湖南省2024年高考数学考前最后一卷预测卷含解析

湖南省明德中学2024年高考数学考前最后一卷预测卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月=100）变化图表，则以下说

法错误的是（）

10305

10265

10225

10185

10145

10105岫

±W«J市

JH■2u019^4Ai

图表一图表二

（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是

北京、天津、上海、重庆）

A.3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均

B.4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102

C.四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小

D.仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势

2.已知集合4={刈1。82（兀—1）<2},3=N，则AB=（）

A.{2,345}B.{2,3,4}C.{123,4}D.{0,1,2,34}

3.已知函数/（x）=3sin（ox+0）,（0>0,0<0<兀），若/"［一?J=0,对任意xeR恒有W,在

区间上有且只有一个Xj使/（%）=3,则。的最大值为（）

123105117

A.——D.

4~4~

a+i

4.a为正实数，i为虚数单位,—2,则a=()

A.2B.73C.V2D.1

x+y-l<0

5.若X,y满足约束条件X-V+3W0,则％2+y2的最大值是（）

x+2>0

9R3V2

A.C.13D.V13

22

6.在LABC中，。为BC边上的中点,且|AB|=1,AC|=2,ABAC=：120°,则|丽|=（

V313币

A.BC.-D.

224

7.已知直线也川和平面。，若根_La,则“加J_〃”是“M/a”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.不充分不必要

8.若函数/（》）=必"-。恰有3个零点，则实数。的取值范围是（）

A.（―,+co）B.（0,—）C.（0,4e2）D.（0,+00）

9.在AABC中，内角A的平分线交8C边于点。，AB=4r,AC=S,BD=2,则AA5D的面积是（）

A.1672B.V15C.3D.8A/3

x<1

10.已知函数/（x）=｛J1,若方程—如—1=0恰有两个不同实根，则正数m的取值范围为（）

J[x—2）,x>1

A.1—,1）一（1迷—1）B.1—』]（Le-1]

C.f^，l]u（l,e-l）D.f^,lL（l,e-l]

IJ/\J

11.数列｛〃〃｝满足：。〃+2+%=。〃+1，4=1，%=2,为其前〃项和，贝！|52019二（）

A.0B.1C.3D.4

2

12.已知双曲线C的一个焦点为（0,5）,且与双曲线3-丁=1的渐近线相同，则双曲线C的标准方程为（）

,2222,22

A.丁_工=1B.乙_±=1C.工-匕=1D.丁―土二1

45202054

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若a=log231=log32，则ab=_____,lga+lgb=______.

14.在平面直角坐标系xQy中，曲线C:孙=6上任意一点P到直线/:x+百>=0的距离的最小值为.

15.在正奇数非减数列｛1,3,3,3,5,5,5,5,5,…｝中，每个正奇数上出现上次.已知存在整数力、c、d,对所有的整数九

满足%=>［而+其中［可表示不超过x的最大整数.则b+c+d等于.

x>1,

16.若变量X,y满足约束条件卜2羽则Z=2x+y的最大值是.

3%+2y<15,

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(九)=以一(a+l)lnx—工+2(〃£R).

x

(1)讨论函数/(%)单调性；

(2)当a=—2时，求证：f(x)<ex-2x--.

X

C2

18.(12分)已知在AABC中，角A,B,C的对边分别为〃，b,。，AABC的面积为-----.

2cosC

(1)求证：tanC=sinAsinB；

(2)若。=工，求cos(A—5)的值.

19.(12分)如图，在四棱锥尸-A3CD中，平面ABCD,四边形ABCD为正方形，点歹为线段PC上的点，

过A,Z),歹三点的平面与交于点E.将①AB=AP,②BE=PE,③尸3LED中的两个补充到已知条件中，解答

下列问题:

(1)求平面ADEE将四棱锥分成两部分的体积比；

(2)求直线PC与平面ADEE所成角的正弦值.

20.(12分)已知直线/的参数方程：\,ca为参数)和圆C的极坐标方程：Q=2sin。

b=i+2?

(1)将直线/的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)已知点M(l,3),直线/与圆C相交于A、B两点,求的值.

21.（12分）已知椭圆C:三+/=1（。〉5〉0）经过点（61），离心率为乎.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点M（4,0）的直线交椭圆于人、B两点,若=21加，在线段AB上取点。，使AD=—ZDB，求证：

点。在定直线上.

22.（10分）已知三棱锥P—A5C中，ABC为等腰直角三角形，AB=AC=1,PB=PC=下,设点E为Ri中点,

点。为AC中点，点产为必上一点，且PF=2FB.

（1）证明：BD//平面CEF；

（2）若求直线CE与平面尸5C所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

采用逐一验证法，根据图表，可得结果.

【详解】

A正确，从图表二可知，

3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大

B正确，从图表二可知，

4月份只有北京市居民消费价格指数低于102

C正确，从图表一中可知，

只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大

D错误，从图表一可知

上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势

故选：D

【点睛】

本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题.

2、B

【解析】

解对数不等式可得集合A,由交集运算即可求解.

【详解】

集合4={%|现2（"1）＜2},解得4={祖＜%＜5},

B二N,

由集合交集运算可得Ac3={巾＜x＜5}cN={2,3,4},

故选：B.

【点睛】

本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题.

3、C

【解析】

IJTJT\

根据/（%）的零点和最值点列方程组，求得8,（P的表达式（用人表示），根据〃下）在上有且只有一个最大值,

求得。的取值范围，求得对应攵的取值范围，由左为整数对左的取值进行验证，由此求得。的最大值.

【详解】

兀73(2左+1)

----CD(p—左］兀，=---------

3

由题意知＜k°k,eZ,贝卜,4其中左=匕一左,，k'=匕+%.

兀,71(24'+1)兀

—CD+(P=kTl+—.

29=-4—，

上有且只有一个最大值，所以工—上=@＜2T,得0＜。430,即3（2左+1）«30,所以

515154

左＜19.5,又左eZ,因此左V19.

71.

----CD(p—左］兀，

11r7Q

①当左=19时，。=——，此时取夕=三可使＜3成立，当xe7171

5时,

44兀771157

1口+/=42兀+5，

当x+弓e(2.7兀,6.6兀)，所以当当王+中=4.5兀或6.5兀时，〃%)=3都成立，舍去;

---兀-CD(p—k7］7l,

②当左=18时，。=山，此时取"=色可使＜3成立，当xe兀兀时，工+M

?(2.1兀,5.8兀),

44兀,兀15?44

+/=42兀+'，

所以当手占+；=2.5兀或4.5兀时，/(%)=3都成立，舍去;

兀7

----3+(p=左］兀，

③当％=17时'0=受’此时取展?可使'3成立，当XC兀兀1053兀

9时,-------XH--------G(2.5兀，6兀),

兀7兀15?44

-a)-\-(p=42兀+~，

所以当竽为+亨=4.5兀时，/(%)=3成立;

综上所得。的最大值为限

故选:C

【点睛】

本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数

学思想方法，属于中档题.

4、B

【解析】

|a+11=2\/a2+1=2a=+V3a＞。,:.a=也,选B.

5、C

【解析】

由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值.

【详解】

°。％

解：V+y2表示可行域内的点(x)到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由+y"—1=0

J%+2=0

点A(-2,3)到坐标原点(0,0)的距离最大，即(x2+/),四=(一2)2+3?=13.

故选：C.

【点睛】

本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题.

6、A

【解析】

由。为边上的中点，表示出=+然后用向量模的计算公式求模.

【详解】

解：。为边上的中点，

AD=^AB+AC)

|AD|=|(A5+AC|(A5+AC2

=曲AB?+AC?+2AB-AC)

^^1(12+22+2X1X2XC<9S120-

故选：A

【点睛】

在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题.

7、B

【解析】

由线面关系可知加，〃，不能确定〃与平面a的关系，若M/1一定可得加，〃，即可求出答案.

【详解】

不能确定〃ua还是〃aa,

m-Ln^nila,

当〃〃or时，存在aua,nila,,

由-Ltzn7〃_La,

又M/a,可得加J_〃，

所以"mVn"是"nila"的必要不充分条件，

故选：B

【点睛】

本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题.

8、B

【解析】

求导函数，求出函数的极值，利用函数/(幻=必/一。恰有三个零点，即可求实数。的取值范围.

【详解】

函数y=x%"的导数为y'-2xex+x2ex-xex(x+2),

令y'=。，则x=0或-2,

-2<x<0上单调递减，(-*-2),(0,+8)上单调递增，

所以0或-2是函数y的极值点，

函数的极值为：/(0)=0,/(-2)=4^2=—,

e

函数/(刈=必"-。恰有三个零点，则实数的取值范围是：(0,2).

e

故选B.

【点睛】

该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象

的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.

9、B

【解析】

利用正弦定理求出CD,可得出BC,然后利用余弦定理求出cos6,进而求出sin8,然后利用三角形的面积公式可

计算出的面积.

【详解】

AD为N54C的角平分线，则N&LE)=NC4。.

ZADB+ZADC=71,则NADC=%—NAD6,

sinZADC=sin(»一ZADB)=sinZADB,

ABBD42

在中,由正弦定理得,即,①

sinZADBsinZBADsinZADBsinZBAD

ACCD8CD

在AACD中,由正弦定理得,即,②

sinZADCsinZADCsinZADCsinZCAD

2

①十②得解得CD=4,..6。=5。+8=6,

CD2

』人吃占日nAB-+BC2-AC21,nr-------7TV15

由余弦定理得cos3=---------------------=——，smB=Vl-cos-B=------

2ABBC44

因此'"的面积为%BL；，.加仙3=厉.

故选:B.

【点睛】

本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.

10、D

【解析】

当x>l时，函数周期为2,画出函数图像，如图所示，方程两个不同实根，即函数/(%)和y=阳+1有图像两个交

点，计算服c=\l,&c=e-1,根据图像得到答案.

【详解】

当尤>1时，f(x)=f(x-2),故函数周期为2,画出函数图像，如图所示:

方程/(%)-如一1=0,即/(x)=mx+l,即函数/(x)和y=“+l有两个交点.

f(x)=ex,f\x)=ex,故/(0)=1,3(1,e),C(3,e),现=丁，L=e—L

根据图像知：

故选：D.

【点睛】

本题考查了函数的零点问题，确定函数周期画出函数图像是解题的关键.

11、D

【解析】

用〃+1去换4+2+4=4+1中的％得。“+3+。“+1=%+2，相加即可找到数列｛4｝的周期，再利用

$2019=336s6+q++。3计算.

【详解】

由已知，申2+4=4+1①，所以4+3+4+1=4+2②，①+②，得4+3=一％，

从而4+6=。"，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1,2,1,-1,-2,-1,所以S6=0,

S2019=336(%+ci]++t/g)+%+/+43=0+1+2+1=4.

故选：D.

【点睛】

本题考查周期数列的应用，在求S2019时，先算出一个周期的和即$6,再将S2019表示成336s6+%+%+%即可，本题

是一道中档题.

12、B

【解析】

根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解.

【详解】

丫2

•.•双曲线C与L-丁2=1的渐近线相同，且焦点在y轴上，

4

22

..•可设双曲线C的方程为/-一个焦点为(。,5)'

22

.•.左+4左=25,.•.左=5,故。的标准方程为匕—上=1.

520

故选：B

【点睛】

此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、10

【解析】

①根据换底公式计算即可得解；

②根据同底对数加法法则，结合①的结果即可求解.

【详解】

①由题：tz=log23,/?=log32,

贝！］ab=log23-log32=log23.詈1=1.

1鸣3

②由①可得：lga+lg》=lgab=lgl=O.

故答案为：①1,②0

【点睛】

此题考查对数的基本运算，涉及换底公式和同底对数加法运算，属于基础题目.

14、石

【解析】

解法一：曲线c上任取一点尸1七,走］,利用基本不等式可求出该点到直线/的距离的最小值；

IxoJ

解法二：曲线C函数解析式为y=Y3,由y=-求出切点坐标，再计算出切点到直线/的距离即可所求答案.

x3

【详解】

解法一（基本不等式）：在曲线c上任取一点尸1%,无］,

IXoJ

该点到直线/的距离为,卜+/lf||3V1JI3

当且仅当|%|=；]时，即当/=±6时，等号成立,

因此，曲线C上任意一点P到直线/距离的最小值为出;

解法二（导数法）：曲线C的函数解析式为丁=—,贝物'=—4，

XX

设过曲线C上任意一点pX。,，1的切线与直线/平行，则-g=-解得/=±6,

当％=j§时，尸（石,1）到直线/的距离』=¥=6；

当时，尸卜后1）到直线/的距离1=乎=百.

所以曲线C:孙=百上任意一点到直线/:x+3y=0的距离的最小值为V3.

故答案为：瓜

【点睛】

本题考查曲线上一点到直线距离最小值的计算，可转化为利用切线与直线平行来找出切点，转化为切点到直线的距离,

也可以设曲线上的动点坐标，利用基本不等式法或函数的最值进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等

题.

15、2

【解析】

将已知数列分组为⑴，（3,3,3）,（5,5,5,5,5）,…，（2左—1,2左—1,…,2左—1）,

共2Z-1个组.

设/在第左组，a“=2k-T,

则有1+3+5+…+2Z—3+lW〃<l+3+5+…+2左一1+1,

即（左一iy+l</<F+i.

注意到人>0,解得不二I（女<+

所以，A==1]+1.

因此，a”=2巩-1]+1.

故》+。+1=2+（-1）+1=2.

16、9

【解析】

做出满足条件的可行域，根据图形，即可求出z=2x+y的最大值.

【详解】

做出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，

目标函数z=2x+y过点A时取得最大值，

y=xx=3

联立，解得，即A(3,3),

3x+2y=15B=3

所以z=2x+y最大值为9.

故答案为9

【点睛】

本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析(2)见解析

【解析】

(1)根据/(%)的导函数进行分类讨论/(九)单调性

(2)欲证/(x)</—2X—L只需证lnx+2<Q,构造函数g(x)=lnx—/+2,证明g(x)1mx<0,这时需研究

g(x)的单调性，求其最大值即可

【详解】

解：(1)/(x)=ax-(a+l)lnx-』+2的定义域为(0,+oo),

X

〃+11ax2-(t?+l)x+l(ox-l)(x-l)

f\x)=a-

①当oWO时，由/''(尤卜。得无>1,由/''(x)>。，得尤<1,

所以/(九)在(0,1)上单调递增，在(1,+s)单调递减;

②当0<a<l时，由/''(x)<0得由/"(x)>。，得无<1,或x>,,

所以在(0,1)上单调递增，在J单调递减，在，,+，|单调递增；

③当a=l时，/⑴」尤-2I'2所以/(%)在(°，+。)上单调递增；

④当”>1时，由/'(元)<0,得:<x<l,由/''(x)>0,得x<:，或无>1，

所以“X)在上单调递增，在&,1]单调递减，在。,+⑹单调递增.

(2)当。=—2时，欲证/(x)<e*—2x—工，只需证lnx+2</，

令g(x)=lnx—e*+2,xe(0,-Hx>),则g[x)=1一

X

因存在％e(0,1),使得,=*成立，即有鼠=—In%,使得g'(Xo)=O成立.

当x变化时，g'(x),g(x)的变化如下:

X(0,天)D

g'(x)+0—

g(x)单调递增g(%)单调递减

所以=8(％)=111%0_6苑+2=_/_工+2=_x0+—+2.

%\%oJ

因为九o«O,l),所以无o+，>2,所以g(x)

1mx<-2+2=0.

即g(x)=lnx—e，+2Wg(x)1mx<0,

所以当a=—2时，〃x）<e'—2x—」成立.

X

【点睛】

考查求函数单调性的方法和用函数的最值证明不等式的方法，难题.

18、（1）证明见解析；（2）&

6

【解析】

21

（1）利用‘c一=-absinC,利用正弦定理，化简即可证明tanC=sinAsin3

2cosC2

（2）利用（1）,得到当c=£时，sinAsin3=且，

63

得出cos（A+B）=-cosC=-cos—=一^->得出cosAcosB=,

''626

然后可得cos（A—5）

【详解】

c21

证明：（1）据题意，得「一=-absinC,

2cosC2

：•c2=absinCcosC，

：•sin2C=sinAsinBsinCcosC・

又•••Ce(O,»),

:.sinC=sinAsinBcosC,

:.tanC=sinAsinB.

解：(2)由(1)求解知，tanC=sinAsin

・••当C=§时，sinAsinB--

63

Xcos(A+B)=-cosC=_cos?=~~~9

■73

..cosAcosB-sinAsinB=----

2

cosAcosB=

6

:.cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

=_V3好

___T+T

_V3

一6,

【点睛】

本题考查正弦与余弦定理的应用，属于基础题

19、(1)-；(2)逅.

33

【解析】

若补充②③根据已知可得平面从而有结合PBLFD，可得

平面ADEE,故有PBLAE,而BE=PE,得到AB=AP,②③成立与①②相同，

①③成立，可得BE=PE,所以任意补充两个条件，结果都一样，以①②作为条件分析；

(1)设AP=A3=1,可得AE,进而求出梯形AEED的面积，可求出％.A〃E，％.ABS，即可求出结论;

(2)AB=AD=AP=1,以A为坐标原点，建立空间坐标系，求出EC。坐标，由(1)得为平面ADE尸的

法向量，根据空间向量的线面角公式即可求解.

【详解】

第一种情况：若将①=②BE=PE作为已知条件，解答如下：

(1)设平面ADEE为平面戊.

,/BC//AD,二BC//平面«,而平面a平面PBC=EF,

/.EF//BC,又E为尸3中点.

设AP=AB=1,则跖=』BC=L.

22

在三角形R钻中，PB=^2,AE=—=^,

22

由AD，Z4,，AB知AD，平面R43,

AD±AE,EF±AE,

二梯形AEED的面积

1

AD+EF_i+2V23立,

SAEFD--------------xAE=-x——=

2228

AB=AP,BE=PE,PB_LAE,AD_LPB,

AD4£=4,..尸§,平面4£尢0,

1372V21^P-ABCD=1X1X1=1'

—X------x-----二—，

3828

**EF—ABCD3g24'

1

-HrVP-AEFD_8_3%F-ABCD=9

ftX--------------—~9V-2.

^EF-ABCD__5P-AEFD

24

(2)如图，分别以AB,AD,AP所在直线为x，%z轴建立空间直角坐标系,

^AB=AD=AP=1,贝！IC(1,1,O),P(O,O,1),8(1,0,0)

PB=(1,0,-1),PC=(1,1,-1),

由（1）得PB为平面ADEE的一个法向量,

PCPB2A/6

因为cos〈PC,PB〉=

\PC\\PB\~y/2-^3~3

所以直线PC与平面ADEE所成角的正弦值为逅.

3

第二种情况：若将①AB=AP,③尸5LED作为已知条件,

则由AD,ARAD,AB知平面ABP,ADLPB,

又PB1FD，所以。3,平面ADEE,PB±AE,

又A3=AP,故E为P5中点，即班=PE,解答如上不变.

第三种情况：若将②班=PE,③尸3LED作为已知条件，

由尸8,FD及第二种情况知？8,AE,又BE=PE,

易知AB=AP,解答仍如上不变.

【点睛】

本题考查空间点、线、面位置关系，以及体积、直线与平面所成的角，考查计算求解能力，属于中档题.

20、(1)I：y=2x+l,C：x2+(y-l)2=1；(2)2#)

【解析】

(1)消去参数f求得直线/的普通方程，将夕=2sin，两边同乘以「，化简求得圆C的直角坐标方程.

(2)求得直线/的标准参数方程，代入圆的直角坐标方程,化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得

+的值.

【详解】

(1)消去参数乙得直线/的普通方程为y=2x+l,

将Q=2sind两边同乘以「得"=2夕sin。，x2+(y-l)2=T,

.•.圆C的直角坐标方程为一+(y-=1；

x=(x=l+—t

(2)经检验点M(1,3)在直线/上，_]+2f可转化为,5①，

广3+鸣

/5

将①式代入圆C的直角坐标方程为X?+(y-1)2=1得)+N

化简得『+2•+4=0，

设44是方程产+2而+4=0的两根，则4+芍=—26=4,

；%/=4>0,二"与『同号,

由♦的几何意义得|MA|+|人①|=1+/21=,+寸=2q.

【点睛】

本小题主要考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义求解距离问题,

属于中档题.

22

21、(1)—+^=1;(2)见解析.

62

【解析】

（1）根据题意得出关于。、b、c的方程组，解出/、的值，进而可得出椭圆C的标准方程;

（2）设点及为弘）、3（如％）、D（x0,y0）,设直线A5的方程为工=冲+4,将该直线的方程与椭圆C的方程联

立，并列出韦达定理，由向量的坐标运算可求得点。的坐标表达式，并代入韦达定理，消去X,可得出点。的横坐标,

进而可得出结论.

【详解】

c_R

a3

（1）由题意得31,，解得“2=6，b2=2.

*=1

7a+

c2=a2-b2

22

所以椭圆C的方程是上+乙=1；

62

（2）设直线的方程为x=7盯+4,4（%,%）、8（尤2,%）、。（%，为），

x=my+4

22

由＜xy,得(加之+3)/+8协+10=0.

[62

-—8m10

A=(8/n)—40(疗+3)>0=>>5,则有%+%

/+3'3