工程力学简明教程 课件 第9-11章 剪切和挤压、平面图形的几何性质、扭转

剪切和挤压的实用计算第9章剪切和挤压132剪切的概念挤压的概念剪切的实用计算挤压的实用计算49.1剪切9.1.1剪切的概念连接件受力特点：构件上受到一对大小相等，方向相反，作用线相距很近且与构件轴线垂直的力作用剪切变形：构件沿两力分界面发生相对错动(或趋势)

这种变形称为剪切变形剪切面：构件发生或将要发生错动的截面FFFFFFQ单剪切：只有一个剪切面的剪切，双剪切：有两个剪切面的剪切剪力：剪切面上的内力称为剪力，

其作用面与剪切面平行，用表示9.2.1剪切内力的计算：截面法9.2剪切的实用计算FFFSF9.2.2求应力：假设切应力在剪切面上是均匀分布的切应力是剪切面上的平均切应力，又称为名义切应力。所以叫实用计算τ9.2.3剪切强度条件其中，[τ]为许用切应力。

为极限切应力，n为安全系数有三个方面的应用：强度校核：确定许可截面：确定许可载荷：9.3挤压的概念

挤压面：物体相互压紧的接触面称为挤压面

挤压力：作用接触面上的压力，用Fbs表示。挤压变形：挤压面上由于相互挤压而产生的变形挤压应力：挤压面上的压强称为挤压应力，用σbs表示。9.4挤压的实用计算9.4.1假设挤压面上的挤压应力是均匀分布的。9.4.2挤压面积Abs的计算挤压面面积按接触面在力的方向上投影面面积计算

挤压面为圆柱面

挤压面为平面Abs=dtAbs=bh9.4.3挤压强度条件一般情况下，塑性材料有：

[σbs]=(1.5—2.5)[σ]脆性材料有：[σbs]=(0.9—1.5)[σ]1强度校核2确定许可截面3确定许可载荷例题1：已知F、a、b、l。计算榫接头的切应力和挤压应力。

解：两条水平红线代表剪切面竖直红线代表挤压面剪切面挤压面例题2：一销钉连接如图所示，已知外力F=18kN,被连接的构件A和B的厚度分别为t=8mm和t1=5mm,销钉直径d=15mm,销钉材料的许用切应力为[]=60MPa,许用挤压应力为[bS]=200MPa.试校核销钉的强度.t1FFAtt1Bd解:(1)销钉受力如图b所示dF剪切面挤压面(2)校核剪切强度：双剪切由截面法得两个面上的剪力FFQFQ剪切面积为dF剪切面挤压面(3)挤压强度校核这两部分的挤压力相等，故应取长度为t的中间段进行挤压强度校核.FFSFS故销钉是安全的.平面图形的几何性质第十章132静矩和形心惯性矩和惯性半径4平行移轴公式惯性积5转轴公式主惯性矩§10-1

静矩和形心(Thefirstmomentofthearea¢roidofanarea)一、静矩(Thefirstmomentofthearea）OyzdAyz截面对y,z

轴的静矩为静矩可正，可负，也可能等于零.yzO

dAyz二、截面的形心(Centroidofanarea)C（2）截面对形心轴的静矩等于零.

（1）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心.三、组合截面的静矩和形心(Thefirstmoments¢roidofacompositearea)

由几个简单图形组成的截面称为组合截面.

截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截面对于同一轴的静矩. 其中Ai—第i个简单截面面积1.组合截面静矩(Thefirstmomentsofacompositearea)

2.组合截面形心(Centroidofacompositearea)—第i个简单截面的形心坐标解：组合图形，用正负面积法解之.用正面积法求解.将截面分为1，2两个矩形.例题1试确定图示截面形心C的位置.取z

轴和y

轴分别与截面的底边和左边缘重合101012012Ozy90图(a)矩形1矩形2所以101012012Ozy90§10-2

惯性矩和惯性半径

(Themomentofinertia&radiusofgyrationofthearea)yzOdAyz

二、极惯性矩(Polarmomentofinertia）一、惯性矩(Momentofinertia)所以yzdydyzdAdA三、惯性半径(Radiusofgyrationofthearea)解：bhyzCzdz例题2求矩形截面对其对称轴y,z轴的惯性矩.

zyd解：因为截面对其圆心O的极惯性矩为

例题3求圆形截面对其对称轴的惯性矩.所以yzOdAyz

惯性积

(Productofinertia)（1）惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，也可能等于零；§10-3

惯性积(Productofinertia

)（2）若y，z

两坐标轴中有一

个为截面的对称轴，则

截面对y，z轴的惯性积

一定等于零。§10-3

惯性积(Productofinertia

)yzOdAdA如图所示截面：yzOC(a,b)ba一、平行移轴公式(Parallel-Axistheoremformomentofinertia)(a,b)―形心C在yOz坐标系下的坐标§10-4平行移轴公式

(Parallel-axistheorem)y,z

￣

任意一对坐标轴C―截面形心yzOC(a,b)bazCyCyC

,zC￣过截面的形心C

且与y,z轴平行的坐标轴(形心轴）

Iy

,Iz

,Iyz

—截面对y,z

轴的惯性矩和惯性积.

已知截面对形心轴yC,zC

的惯性矩和惯性积，求截面对与形心轴平行的y,z轴惯性矩和惯性积，则平行移轴公式

IyC,IzC,IyCzC￣截面对形心轴yC

,zC的惯性矩和惯性积.二、组合截面的惯性矩、惯性积(Momentofinertia&productofinertiaforcompositeareas）组合截面的惯性矩，惯性积￣第i个简单截面对y,z轴的惯性矩，惯性积.例题4求T形截面对其形心轴yC

的惯性矩.解：将截面分成两个矩形截面.2014010020截面的形心必在对称轴zC上.

取过矩形2的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作y轴.21zCyC所以截面的形心坐标为y2014010020y21zcyC一、转轴公式

(Rotationofaxes)§10-5

转轴公式主惯性轴(Rotationofaxes&principalaxes)yOz为过截面上的任一点建立的坐标系Oyzy1z1

y1Oz1为yOz

转过

角后形成的新坐标系顺時针转取为–号逆時针转取为+号

已知截面对坐标轴轴y,z

轴的惯性矩和惯性积求截面对y1，z1

轴惯性矩和惯性积.转轴公式为Oyzy1z1

显然二、截面的主惯性轴和主惯性矩(principalaxes&principalmomentofinertia)

主惯性轴(Principalaxes)：总可以找到一个特定的角

0

,使截面对新坐标轴y0,z0的惯性积等于0,则称y0,z0

为主惯性轴.主惯性矩(Principalmomentofinertia)

：截面对主惯性轴y0,z0的惯性矩.形心主惯性轴(Centroidalprincipalaxes)

：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时,则称为形心主惯性轴.形心主惯性矩(Centroidalprincipalmomentofinertia)

：截面对形心主惯性轴的惯性矩.

求出后，就确定了主惯性轴的位置.（1）主惯性轴的位置设

为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角则有由此（2）主惯性矩的计算公式（3）截面的对称轴一定是形心主惯性轴.

过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有一对是主惯性轴.截面的主惯性矩是所有惯性矩中的极值.即求形心主惯性矩的方法（1）确定形心的位置（2）选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐标轴y,z,计算Iy

,Iz

,Iyz（3）确定形心主惯性轴的方位（4）计算形心主惯性矩例题5计算所示图形的形心主惯性矩.解：该图形形心C的位置已确定，如图所示.

过形心C选一对座标轴y

z

轴，计算其惯性矩(积).101012025C4020yz20158035在第三象限分别由

y轴和z轴绕C点逆时针转113.8º

得出.

形心主惯性轴

y0,z0101012070形心主惯形矩为C4020yzy0

0=113.8°z0PPT模板下载：/moban/行业PPT模板：/hangye/节日PPT模板：/jieri/PPT素材下载：/sucai/PPT背景图片：/beijing/PPT图表下载：/tubiao/优秀PPT下载：/xiazai/PPT教程：/powerpoint/Word教程：/word/Excel教程：/excel/资料下载：/ziliao/PPT课件下载：/kejian/范文下载：/fanwen/试卷下载：/shiti/教案下载：/jiaoan/字体下载：/ziti/

演讲完毕，谢谢观看圆轴扭转的概念扭矩图第11章扭转132圆轴扭转的概念扭矩图扭矩11.1圆轴扭转的概念11.1.1工程实例11.1.3变形特点杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.这种变形称为扭转变形，简称扭转MeMe

11.1.2受力特点杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶.

轴：以扭转变形为主要变形的构件称为轴本部分主要研究圆轴的强度和刚度问题11.2.1外力偶矩的计算11.2扭矩和扭矩图M—作用在轴上的力偶矩(N·m)P—轴传递的功率(kW)外力偶矩的功：

整理得：从动轮nMe2Me1Me3从动轮主动轮n—轴的转速(r/min)11.2.2扭矩

内力的计算--截面法：截取、取代、平衡MeMeMeT扭矩符号的规定：用右手螺旋法则,当力偶矩矢的指向背离截面时扭矩为正，反之为负.Me•xTMex••T

扭转时横截面上垂直于轴线的内力偶称为扭矩。用表示T11.2.3扭矩图用平行于杆轴线的坐标x表示横截面的位置；用垂直于杆轴线的坐标T表示横截面上的扭矩，正的扭矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方.Tx+_扭矩图的意义：①直观反映扭矩与截面位置变化关系；②确定出最大扭矩的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。Me4ABCDMe1Me2Me3n例题1一传动轴如图所示，其转速n=300r/min，主动轮A输入的功率为P1=500kW.若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为P2=150kW、P3=150kW及P4=200kW.试做扭矩图.解:计算外力偶矩Me4ABCDMe1Me2Me3n计算CA

段内任横一截面2-2截面上的扭矩.假设T

2为正值.结果为负号，说明T

2应是负值扭矩由平衡方程ABCD

Me1Me3Me222同理，在BC

段内BCxMe2Me3T2Me4Me2xABCD同理，在AD

段内33注意：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算符号相同.Me4Me1Me3Me2Me4T3作出扭矩图从图可见，最大扭矩在CA段内.总结：按右手定则，指向截面的外力偶为正，背离截面的外力偶为负T4780N·m9560N·m6370N·m+_X纯剪切和切应力互等定理第11章扭转132薄壁圆筒扭转的应力剪切胡克定律切应力互等定理11.3纯剪切11.3.1薄壁圆筒扭转的应力薄壁圆筒：壁厚（r0—圆筒的平均半径）实验前：画纵向线，圆周线；施加一对外力偶.实验后：a.圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；

b.各纵向线均倾斜了同一微小角度；c.所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形推论a.横截面上无正应力，只有切应力；b.切应力方向垂直半径或与圆周相切.圆周各点处切应力的方向于圆周相切，且数值相等，近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化.结论：此式为薄壁筒扭转时横截面上切应力的计算公式.推导公式薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直，指向与扭矩的转向一致.Tττ11.3.2切应力互等定理整理得：切应力互等定理：单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在，且大小相等，方向相反，都指向（或背离）该两平面的交线.单元体平面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体.xydydzzdxττ单元体平衡，绕z轴无转动11.3.3剪切胡克定律式中，r

为薄壁圆筒的外半经.由图所示的几何关系得到切应力与扭矩的关系.称为切应变TO

O

由以上各量之间的线性关系，可推出

与

间的线性关系.该式称为材料的剪切胡克定律。G–剪切弹性模量

弹性模量E，剪切弹性模量G与泊松比μ的关系思考题：指出下面图形的切应变

2

切应变为切应变为0圆轴扭转时横截面上的应力第11章扭转132圆轴扭转时横截面上的应力强度条件11.4圆轴扭转时横截面上的应力11.4.1圆轴扭转时横截面上的应力1.变形的几何关系变形现象：a.轴向线仍为直线，且长度不变；b.横截面仍为平面且与轴线垂直；c.径向线保持为直线，只是绕轴线旋转.横截面上只有切应力，并且与半径垂直.平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面几何关系：扭转角由几何关系：得：2.物理关系把上式代入剪切胡克定律得：

同一圆周上各点剪应力

均相同，且其值与成正比，

与半径垂直。最大切应力在圆周的各点上。方向与扭矩的方向一致。3.静力关系—为横截面对形心的极惯性矩。则：或：定义：代入：得等直圆杆扭转时横截面上任一点处切应力计算公式:横截面周边上各点处(

=R)的切应力最大:引入:

式中Wt称为抗扭截面系数，其单位为m3。T为横截面上的扭矩rOTdAdAρρ

ρ

max为点到圆心的距离为横截面对圆心的极惯性矩3.极惯性矩和抗扭截面系数的计算圆环截面dOρdρ空心圆截面其中ODdρdρ例题1图示空心圆轴外径D=100mm，内径d=80mm，M1=6kN.m，M2=4kN.m，材料的剪切弹性模量G=80GPa.求：(1)画轴的扭矩图；(2)求轴的最大切应力，并指出其位置.M1M2ABCll解：（1）画轴的扭矩图M1M2ABCllBC段1M2CT1T1+M2=02M2CM1BT2T2+M2-M1=0T2=2kN·mAB段（+）（-）T1=-4kN.m最大扭矩发生在BC段Tmax=4kN.m4kN.m2kN.m+_TXT（2）求轴的最大切应力，并指出其位置

max最大切应力发生在截面的周边上，且垂直于半径.M1M2ABCll

max11.4.2切应力强度条件数学表达式强度条件的应用强度校核设计截面确定许可载荷剪切安全系数：ABC解：作轴的扭矩图MAMBMC分别校核两段轴的强度例题2

图示阶梯圆轴，AB段的直径d1=120mm，BC段的直径,d2=100mm.扭转力偶矩为MA=22kN·m，MB=36kN·m，MC=14kN·m.已知材料的许用切应力[

]=80MPa，试校核该轴的强度.因此，该轴满足强度要求.22kN.m14kN.m+_TX圆轴扭转时的变形第11章扭转132圆轴扭转时变形刚度条件11.5圆轴扭转时的变形11.5.1扭转变形1.

圆轴扭转时的变形是用相对扭转角

来度量的其中d

代表相距为dx的两横截面间的相对扭转角.长为L的一段杆两端面间的相对扭转角

可按下式计算—扭转角GIP

称作抗扭刚度

若轴上作用几个不同的扭矩，或者横截面面积或剪切模量在不同的区段发生突变，而在每一个区段内上述参数为常值，先分