工程力学简明教程 课件 第13章 弯曲应力及弯曲强度计算

纯弯曲梁横截面上的正应力第二篇材料力学第十三章弯曲应力及弯曲强度计算132弯曲横截面上的应力纯弯曲时的正应力纯弯曲与横力弯曲M1.弯曲横截面上的应力内力应力剪力弯矩

M

切应力正应力相切于横截面的内力系的合力垂直于横截面的内力系的合力偶矩2.纯弯曲与横力弯曲---横截面上只有正应力CD

段:剪力为零，弯矩为常量---

纯弯曲AC、DB段：剪力非零，弯矩非零FFFFFa剪力图弯矩图ACDB---横截面上既有正应力，又有切应力---横力弯曲3.纯弯曲实验（1）变形现象纵向线:仍保持为直线;相对转过了一个角度;与变形后的纵向弧线垂直;各纵向线段弯成弧线;靠近顶端的纵向线缩短;

靠近底端的纵向线伸长;横向线:θ（2）提出假设(a)平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线；(b)单向受力假设:

纵向纤维不相互挤压,只受单向拉压；（2）提出假设推论：必有一层变形前后长度不变的纤维---中性层中性轴横截面对称轴中性轴横截面对称轴⊥

中性层（1）变形几何关系dx图(b)yzxo图(c)yρzyxO’o’b’b’ybboo4.纯弯曲时的正应力图(a)dx（2）物理关系可得：胡克定律:?MyzOx将代入上式，中性轴的位置中性层的曲率半径（3）静力关系横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系。简化后，得到三个内力分量：yzxOMzyσdAFNMzMy微内力:横截面积分将应力式代入中性轴通过横截面形心将应力式代入自然满足将应力式代入纯弯曲时正应力的计算公式:M:梁横截面上的弯矩;y:为梁横截面上任意一点到中性轴的距离;Iz:为梁横截面对中性轴的惯性矩;EIz:梁的抗弯刚度横力弯曲梁横截面上的正应力第二篇材料力学第十三章弯曲应力及弯曲强度计算132横力弯曲正应力公式常见截面的惯性矩和抗弯截面系数最大弯曲正应力纯弯曲平面假设；

单向受力假设；横截面发生翘曲；

纤维之间存在正应力；1.横力弯曲正应力公式不成立横力弯曲横力弯曲正应力公式:公式的应用范围：(1)在弹性范围内，小变形；(3)平面弯曲；(4)直梁或小曲率梁。(2)纯弯曲或具有切应力的梁；引用记号:则公式改写为:---抗弯截面系数最大弯曲正应力:2.最大弯曲正应力横力弯曲正应力公式:MyzOxzdybhzyzDdy实心圆截面矩形截面空心圆截面3.常见截面的惯性矩和抗弯截面系数FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120K(1)C截面上K点正应力;(2)

C截面上最大正应力;(3)

全梁上最大正应力;(4)

C截面的曲率半径ρ;【例】如图所示简支梁，弹性模量为200GPa，受到均布载荷作用，

梁横截面为矩形，尺寸如图。求:解:(1)求支反力（mm）FSx90kN90kNxM(2)画剪力图和弯矩图FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1mC截面弯矩：矩形截面惯性矩：(3)C截面上K点正应力（4）C

截面最大正应力FSx90kN90kNxMFAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1m（5）全梁最大正应力（6）C

截面曲率半径ρ

截面曲率公式：FSx90kN90kNxMFAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1m弯曲切应力第二篇材料力学第十三章弯曲应力及弯曲强度计算132矩形截面梁横截面上的切应力圆截面梁、盒形薄壁梁切应力工字形截面梁的切应力1.矩形截面梁横截面上的切应力（1）两个假设（a）切应力与剪力平行；（b）切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离处切应力相等）。q(x)F1F2zybhyτFS（2）模型构建与分析(a)用横截面m-m,和n-n截取dx微梁段，分析弯曲内力和应力q(x)F1F2mmnnxdx

Zy(c)在纵截面ABB1A1上，必有沿x

方向的剪力dFS′和切应力τ′(b)假想地从梁段上截出长方体mB1mnnmxyzOyABA1B1bdxm’m’hnABB1A1mnxzyyḿFN2FN1ττ’ABB1mnxzyym’FN1FN2dFS’（3）公式推导A1

左侧截面：

右侧截面：A1：距中性轴为y的横线以外部分

的横截面面积.:为面积A1对中性轴的静矩。A1由平衡方程：A1ABB1A1mnxzyym’FN2FN1dFS’

纵截面ABB1A1上的剪力：b欲求切应力的点处截面的宽度；yz整个横截面对中性轴的惯性矩；距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩；横截面上的剪力；（4）矩形截面上切应力公式y1nBmAxyzOyA1B1m1（5）切应力沿截面高度的变化规律静矩的确定：t

当y=±h/2时，

即在距中性轴最远的各点处，切应力取最小值。

当y=0时，

即在中性轴上各点处，切应力达到最大值。切应力沿截面高度按抛物线规律变化矩形截面切应力公式:2.工字形截面梁的切应力腹板切应力的计算公式亦为：hoyxb0zh0b假设:

//腹板侧边，并沿其宽度均匀分布腹板翼缘翼缘b0

—腹板的宽度—距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积A对中性轴的静矩。

(1)腹板上的切应力Ozydxytminozytmaxτmax（a）切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；（b）若取，则腹板上切应力的最小值：（c）若取，则可得腹板上切应力的最大值：腹板切应力：最小切应力：最大切应力：因两者相差不大！腹板上切应力大致呈均匀分布腹板部分的总剪力占横截面的总剪力的95~97%腹板部分的切应力可近似表示为：沿剪力Fs

方向的切应力分量翼缘上切应力相对比较小工程上一般不考虑z

(2)翼缘上的切应力3.T形截面梁切应力沿高度的分布规律计算公式切应力危险点：中性轴处τmaxydzO4.圆截面梁切应力(1)切应力的分布特征：(2)关于其切应力分布的假设：

边缘各点切应力的方向与圆周相切；切应力分布与y轴对称；

与y轴相交各点处的切应力其方向与y轴一致。

离中性轴为任意距离y的水平直线段上各点处的

切应力汇交于一点；这些切应力沿y方向的分量

沿宽度相等。最大切应力在中性轴处:zyOtmaxkk'O'dyzOC2d/3p(3)圆截面梁切应力公式(4)圆环形截面梁切应力公式弯曲梁的强度计算第二篇材料力学第十三章弯曲应力及弯曲强度计算132弯曲梁的正应力强度条件弯曲梁的切应力强度条件1.弯曲梁的正应力强度条件(1)数学表达式(a)对于抗拉强度和抗压强度相等的材料，如碳钢许用拉应力=许用压应力=许用正应力(b)对于抗拉强度和抗压强度不相等的材料，如铸铁强度条件计算：

最大的正应力强度条件计算：

且(2)强度条件的应用设计截面确定许可载荷强度校核80y1y22020120z【例题1】T形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图所示。铸铁的许用拉应力为[

t]=30MPa，许用压应力为[

c]=160MPa。已知截面对形心轴z的惯性矩为Iz

=763cm4，y1=52mm，校核梁的正应力强度。F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1mFRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m+4kN·m2.5kN·m【解答】（1）最大正弯矩在截面C上：-截面C上最大拉应力：截面C上最大压应力：y1y2zFRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m+4kN·m2.5kN·m（2）最大负弯矩在截面B上：-截面B上最大拉应力：截面B上最大压应力：y1y2z(1)数学表达式(2)需要校核切应力的几种特殊情况（a）梁的跨度较短，M

较小，而FS较大时,要校核切应力；（b）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢

的相应比值时，要校核切应力；（c）各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差，要校核切应力。（d）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，

一般情况下，以正应力设计为主，切应力校核为辅；2.弯曲梁的切应力强度条件【例题2】简支梁AB如图所示。l＝2m，a＝0.2m.梁上的载荷为q=10kN/m，F=200kN。材料的许用应力为[

]=160MPa，[

]=100MPa，试选择工字钢型号。qBACDElFFaa(1)计算支反力做内力图qBACDElFFaa8kN210kN208kN41.8kN·m41.8kN·m45kN·mFRAFRB（2）根据正应力强度条件，设计截面，选择工字钢型号：查型钢表，选用20b工字钢，其Wz＝309cm3。【解答】(3)校核梁的切应力查表(22a工字钢):

腹板厚度

d=0.75cm不符合切应力强度条件重新选择Wz更大的截面。现选用22b工字钢并进行试算：符合切应力强度条件提高梁弯曲强度的措施第二篇材料力学第十三章弯曲应力及弯曲强度计算132降低梁的最大弯矩值增大抗弯截面系数34根据材料特性选择截面形状采用等强度梁梁弯曲的正应力强度条件：降低梁的最大弯矩值

增大抗弯截面系数W提高梁弯曲强度---减小梁最大正应力（1）合理地布置梁的荷载FlFl/4Fl/8Fl/4l/4l/21.降低梁的最大弯矩值力学模型如何简化？哪个结构更合理？（2）合理地设置支座位置a=0.2laalq0.0214ql2lq0.125ql22.增大抗弯截面系数W（1）合理选择截面形状圆形截面：zD面积相等的情况下，选择