山东省潍坊市石家庄中学高三数学理摸底试卷含解析

山东省潍坊市石家庄中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合A＝{x|x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，1） C．（﹣2，1） D．（﹣1，2）参考答案：D解：A＝{x|x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝（﹣1，2）．故选：D．2.若函数f（x）=，方程f[f（x）]=a只有四个不同的实根，则实数a的取值范围是（）A．（2+ln2，e） B．（e，2+ln3） C．（2+ln2，3） D．（3，2+ln3）参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断；函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数求出方程左侧的表达式，画出函数的图象，利用两个函数的图形的交点个数，求出的范围．【解答】解：f[f（x）]==，画出函数y=f[f（x）]与y=a的图象，因为方程f[f（x）]=a只有四个不同的实根，函数的图象的交点有4个，可知a∈（3，2+ln3）．故选：D．【点评】本题考查函数的零点个数的判断与求法，考查函数与方程的综合应用，数形结合的解题的关键．3.小胖同学忘记了自己的QQ号，但记得QQ号是由一个1，一个2，两个5和两个8组成的六位数，于是用这六个数随意排成一个六位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ号最多尝试次数为．A．96

B．180 C．360

D．720参考答案：B4.《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1千年，在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为（）A．200π B．50π C．100π D．π参考答案：B【考点】球内接多面体；简单空间图形的三视图．【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，也外接与球，它的对角线的长为球的直径：=5该三棱锥的外接球的表面积为：=50π，故选B．【点评】本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．5.计算：等于

A．1+i

B．1—i

C．—1+i

D．—1—i参考答案：A6.已知数列{an}满足：则a20=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C7.按如图所示的程序框图运行程序后，输出的结果是15，

则判断框中的整数H=(

)．

A.3

B.4

C.5

D.6参考答案：A8.已知集合，则AB=

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A9.已知全集U=R，集合A={x|x＜1}，则?UA=（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．R D．（1，+∞）参考答案：B【考点】补集及其运算．【分析】根据补集的定义写出集合A的补集即可．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x＜1}，则?UA={x|x≥1}=[1，+∞）．故选：B．10.如下图①对应于函数f(x)，则在下列给出的四个函数中，图②对应的函数只能是（

）A．y=f(|x|)

B．y=|f(x)|

C．y=f(－|x|)

D．参考答案：【答案解析】C

解析：由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，故B错误，且当x＞0时，对应的函数图象右侧与左侧关于y轴对称，而y轴左侧图象与（1）中的图象对应的函数y=f

（x）的图象相同，故当x＞0时，对应的函数是y=f（-x），得出A、D不正确．故选C.【思路点拨】由题意可知，图2函数是偶函数，与图1对照，y轴左侧图象相同，右侧与左侧关于y轴对称，对选项一一利用排除法分析可得答案．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知x和y是实数，且满足约束条件的最小值是

.参考答案：做出不等式对应的可行域如图，由得，做直线，平移直线，由图象可知当直线经过C点时，直线的截距最小，此时最小，此为,代入目标函数得。12.双曲线的顶点到其渐近线的距离为

．

参考答案：13.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数，如．则

．参考答案：3814.红队队员甲、乙、丙分别与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A,乙对B,丙对C各一局，已知甲胜、乙胜B、丙胜C的概率分别为，若各局比赛结果相互独立，用X表示红队队员获胜的总局数，则的数学期望

参考答案：15.（5分）（2015?钦州模拟）已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥AB，PA⊥AC，∠BAC=120°，PA=AB=AC=2，则三棱锥的外接球体积为．参考答案：【考点】：球的体积和表面积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：求出△ABC的外接圆的半径，三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球体积．解：设△ABC的外接圆的半径为r，三棱锥的外接球的半径为R，则∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC==2，∴2r==4，∴4R2=16+4，∴R=，∴三棱锥的外接球体积为=，故答案为：．【点评】：本题考查三棱锥的外接球体积，考查学生的计算能力，确定三棱锥的外接球的半径是关键16.给出下列几个命题：①若函数的定义域为，则一定是偶函数；②若函数是定义域为的奇函数，对于任意的都有，则函数的图象关于直线对称；③已知是函数定义域内的两个值，当时，，则是减函数；④设函数的最大值和最小值分别为和，则；⑤若是定义域为的奇函数，且也为奇函数，则是以4为周期的周期函数．其中正确的命题序号是

．（写出所有正确命题的序号）参考答案：①④⑤略17.将（n∈N+）的展开式中x﹣4的系数记为an，则=．参考答案：考点： 二项式定理的应用．

专题： 二项式定理．分析： 由题意根据二项展开式的通项公式求得an==，再用裂项法求和求得=2[1﹣+﹣+…+﹣]的值．解答： 解：将（n∈N+）的展开式中x﹣4的系数记为an，则an==，∴=2[1﹣+﹣+…+﹣]=，故答案为：．点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）设函数f(x)=(1-x2)ex.（1）讨论f(x)的单调性；（2）当x≥0时，f(x)≤ax+1，求a的取值范围.参考答案：

19.（本小题满分12分）已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，……[来^&源:中教网@~%]（1）

若a1=1，a2=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{an}的通项公式.（2）

证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.参考答案：解（１）对任意,三个数是等差数列，所以即亦即故数列是首项为１，公差为４的等差数列.于是（Ⅱ）（１）必要性：若数列是公比为ｑ的等比数列，则对任意，有由知，均大于０，于是即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.（２）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则，于是得即由有即，从而.因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列.【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.20.已知f（x）=|﹣x|﹣|+x|（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a2﹣3a恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若f（m）+f（n）=4，且m＜n，求m+n的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【专题】转化思想；综合法；不等式．【分析】（Ⅰ）由条件利用函数的单调性求得f（x）的最小值为﹣2，再根据﹣2≥a2﹣3a，求得a的范围．（Ⅱ）根据函数的单调性f（m）≤2，f（n）≤2，结合f（m）+f（n）=4，可得m＜n≤﹣，由此求得m+n的范围．【解答】解：（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a2﹣3a恒成立，即|﹣x|﹣|+x|≥a2﹣3a恒成立．由于f（x）=|﹣x|﹣|+x|=，故f（x）的最小值为﹣2，∴﹣2≥a2﹣3a，求得1≤a≤2．（Ⅱ）由于f（x）的最大值为2，∴f（m）≤2，f（n）≤2，若f（m）+f（n）=4，∴m＜n≤﹣，∴m+n＜﹣5．【点评】本题主要考查分段函数的应用，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．21.已知抛物线的焦点为，直线过点.（1）若点到直线的距离为，求直线的斜率；（4分）（2）设为抛物线上两点，且不与轴垂直，若线段的垂直平分线恰过点，求证：线段中点的横坐标为定值.（6分）参考答案：解：（1）由已知，不合题意.设直线的方程为，由已知，抛物线的焦点坐标为，

…1分因为点到直线的距离为，所以，

…2分解得，所以直线的斜率为.

…4分（2）设线段中点的坐标为，，因为不垂直于轴，则直线的斜率为，直线的斜率为，直线的方程为，

…5分联立方程消去得，

…7分所以，

…8分因为为中点，所以，即，

…9分所以.即线段中点的横坐标为定值.

…10分略22.一个截面为抛物线形的旧河道(如图1)，河口宽米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形(如图2)，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．(Ⅰ)建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧的标准方程；(Ⅱ)试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？

参考答案：解：（1）如图：以抛物线的顶点为原点，中垂线为轴建立直角坐标系------1分则

------2分设抛物线的方程为，将点代入得

-------3分所以抛物线弧AB方程为（）

------4分（2）解法一：设等腰梯形的腰与抛物线相切于

则过的切线的斜率为

所以切线的方程为：，即

令，得，

令，得，所以梯形面积

-----10分当仅当，即时，成立

此时下底边长为

-----12分答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少．

-----13分

解法二：设等腰梯形的腰与抛物线相切于

则过的切线的斜率为

所以切线的方程为：，即

运用定积分计算抛物线与等腰梯形间的面积：-----10分

当仅当，即时，成立，此时下底边长为

---12分答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少．

-----------13分

解法三：设等腰梯形上底（较短的边）长为