2024年九年级中考数学压轴题-韦达定理 解析版

韦达定理

1.基础公式：

（l）T1+2：2=-—

a

⑵叼电

a

2.拓展公式:

222

(l)x+x=(X1+X2)—2X1X2

Xj+X2

XYX2

x2-।rx2

(为+①2)2一22a2

⑶9+生12

Xix2力巡2"2

(4)/+谴=(尤1+劣2)(/一的.+/)=[(a:i+x)2-32：x]

(XI+T2)212

⑸(工1-立2)2=(g+g)2-4%E2

(6)|rci—X2|=J(必1+二)2—4必1*2

2

(7)(xj+fc)(x2+k)=XiXi+k^+x^+k

J__'『(X+X)2~2XX

J_1I_1212

^?一(g)2（伤电）2

Q【q型制袜IE

趣目|Tl已知关于力的一元二次方程―+t―3=0有两个不相等的实数根.

（1）求实数k的取值范围；

（2）设方程两个实数根分别为g,g,且满足（为十电）2十g=4,求k的值.

【答案】解：（1）根据题意得k¥0且A=12—4Rx（―3）>0,

解得k>—^且kW0;

⑵根据题意得/1+2：2=—Xi-X=―

k2k

'：（3?!+0；2）2+2：1^2=4,

2

整理得4fe+3fc—1=0,解得ki=",k2=~l,

*.*k>—-^―且kW0,

••

I题目叵已知关于x的一元二次方程x2-2(m—l)c+m2=0有实数根.

(1)求?n的取值范围；

(2)设此方程的两个根分别为◎,g，若萌+冠=8-3/便2，求恒的值.

2

【答案】解：(1)•.,关于力的一^二次方程力2—2(772—1)r+m=0有实数根.

A=[―2(m—I)]2—4m2=4—8zn>0,

解得：

2

(2),关于①的一元二次方程/—2(m,—l)x+m=0的两个根分别为g,力2,

g+62=2m—2,21・x2=rri

*.*欣+曷=8—3%力2

2

(力什/a)?—22逆2=8—3X^X2,即5m—8m—4=0,

解得：7721=—,馆2=2(舍去),

5

实数m的值为_工.

2

i题目[T1已知a,b是关于比的一元二次方程/_2(馆+1)工+0+5=0的两实数根.

⑴若(a—1)(6—1)=39,求m的值；

(2)已知等腰AAOB的一边长为7,若a,b恰好是A4O8另外两边的边长，求这个三角形的周长.

22

【答案】解：(1):Q,b是关于x的一^二次方程X—2(m+1)/+m+5=0的两实数根，

：.a+b=2(m+1),ab=m2+5,

2

:.(Q—1)(b—1)—db—(a+b)+1=?71+5—2(TTI+1)+1=39,

解得m=-5或?n=7,

当m=—5时，原方程无解，故舍去，m=7.

⑵①当7为底边时，此时方程/-2(恒+1)/+病+5=0有两个相等的实数根，

A=4(m+l)2—4(m2+5)=0,解得nz=2,

方程变为X2—6X+9=0,

解得a=b=3,*.*3+3<7,不能构成三角形.

②当7为腰时，设a=7,

代入方程得：49—14(m+1)+m2+5=0,

解得：7n=10或4,

当馆=10时，方程变为X2-22X+105=0,

解得2=7或15,b=15,

v7+7<15,/.不能组成三角形；

当馆=4时，方程变为x2-10x+21=0,

解得力=3或7,.,.b=3,

・•・此时三角形的周长为7+7+3=17.

综上所述，三角形的周长为17.

题目[阅读材料:如果一元二次方程Q/2+6/+C=O(QW0)的两根分别是的，力2,那么力1+/2=—£■，0・力2=5■.借

助该材料完成下列各题：

2

⑴若,劣2是方程X—4：X+A/5=0的两个实数根,则21+/2=，的/2=.

(2)若伤，g是方程/+6/一3=0的两个实数根，/:+舄=,—+—=.

---------①]x2------------

(3)若g,g是关于力的方程/—(馆―3)/+恒+8=0的两个实数根，且说+易=13,求馆的值.

【答案】解：(1)•・・©,g是方程X2-4X+逐=0的两个实数根，

•।—4V5/F

••力i+g=-=4A,61•力2=^-=V5.

(2)Vx1962是方程/+62一3=0的两个实数根,

力1+/2=—6,/rX2=—3,

22

:.冠+舄=(X1+X2)—2X1X2=(-6)—2X(—3)=42,

11_/1+力2_6_

--1--=---=-7=幺o・

Xix2x-cx2—3

(3)•.,关于力的方程/—(771—3)/+TTi+8=0有两个实数根，

/.A=(m—3)2—4(m+8)>0,即m>5+4V3,或7n45—4V3,

•「g,g是关于x的方程x2—(m—3)T+m+8=0的两个实数根，

Xi+x2=m—3,x2=m+8,

22

:.*+曷=(Xi+x2)—2x1x2=13,即(rn—3)—2(m+8)=13,

解得，m=—2或？n=10.

即rn的值是一2或10.

|题目区如果关于x的一元二次方程ax2+bx+C=0(a¥0)有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍,那么称

这样的方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程X2~6X+8=0的两个根是2和4,贝U方程X2-6X+8=0就是“倍

根方程”.

(1)若一元二次方程X2-3X+c=0是“倍根方程"，则c=；

(2)若(x—2)[mx—n)=0(m#0)是"倍根方程"，求代数式2Tn,的值；

m+n

(3)若方程ax2-\-bx+c=0(QW0)是“倍根方程”，且(k+1)与(3—k)是方程ax2+bx+c=5的两根，求一元二次

方程a^?-\-bx+c=0(aW0)的根.

【答案】解：⑴设一^二次方程3/+c=0的根是Q,2a,

由根与系数的关系，得Q+2Q=3,Qx2Q=c,

解得a=1,则2a=2.

c=2.

(2)由方程(2一2)(mx—n)=0(mW0),

解得x—2或力2=2.

xm•o

方程(6一2)(nzc—=0(m^0)是“倍根方程”，

.n1斗n

..—=1或一=4A,

mm

当也=1时，

m

--2-m--n--=-----2---=---2---=】1•

m2+n2%21+1

nm

当旦=4时，

m

2Trm_2_2__8_

m2+n2也+9±4-17-

nm4+

⑶由方程aa^+bx+c=5,

变形，得ax2+bx+c—5=0,

由根与系数的关系，得(k+1)+(3—R)=—即一上=4.

aa

设电，力2是方程力+c=0的两根，

方程@22+62+°=0(Q。0)是“倍根方程”，

2]_+/2=4,

假设劣尸2C2，则3g=4,

解得人2=[,则①1=0,

故一^二次方程ax2+bx+c=0(QW0)的根是,和*

OO

题目叵已知关于T的方程T2-(2/C-3)①+k2+l=0有两个不相等的实数根如电.

(1)求实数卜的取值范围；

⑵若力1，62满足周+|力21=2Eg|—3,求实数k的值.

【答案】解：(1)・.•原方程有两个不相等的实数根，

:.A—[—(2fc—3)y—4(肥+1)—4k2—12k+9—4k?—4——12k+5>0,

:.Xr+x2=2k—3Vo.

又出口2=fc2+l>0,

rci<0,a?2<0,

=

|xi|+|a?2|=—x1—x2—(x1+x2)=­2k+3.

由+|比2I=2|力何2|-3,

得—2k+3=2*+2—3,

即—2=0,

/•自=-2,A^2~~1.

又

k=—2.

I题目\jj已知卬①2是一元二次方程2炉一2/+m+1=0=0的两个实数根.

(1)求实数m的取值范围；

(2)如果力1,力2满足不等式4+4c巡2>xl+xl，且m为整数，求??2的值.

【答案】解：(1)根据题意得：A=(—2)2—4x2x(m+l)>0

解得：m4--于

实数7n的取值范围是恒《一

⑵根据题意得：Xi+x2=1,Xi-x2=,

4+4cl①2>X1+X2

4+4/逆2>(61+22)2—2力162

即4+621/2>(①1+g)2

4+6x1>1

TTL>—2

：・一2<m4一■

整数nz的值为一1

〔题目叵已知名1,g是关于力的方程X2+2X+2k—4=。两个实数根,并且为缶力2，

(1)求实数k的取值范围；

(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数,求k的值.

(3)若\Xi—X2\=6,求(劣1一/2)2+3/1/2的值.

【答案】解：(!.)△—ft2—4QC—22—4X1x(2k—4)—20—8k.

・・・方程有两个不相等的实数根，

20—8k>0,

kV].

⑵・・・k为正整数，

；・0VkV,

即k=1或2,

根据配方法可得：(N+1)2=4—2k+1=5—2上

解得x=—1±V5-2fc;

方程的根为整数，

・・・5—2k为完全平方数,•O

当k=l时，5—2fc=3,舍去；

当k=2时，5—2k=l;

k=2.

⑶已知g,62为方程/+2c+2k—4=0的两个不相等实数根,

则6i+72=12,6rx2=2k—4：,

则E—gl=J(61一力2)2=J(劣1+/2)2—46162—V20—8k=6,

解得k=-2,即力避2=2x(—2)—4=—8,

22

所以(X1—X2)+3X1X2—6+3X(—8)=12.

I题目叵I已知关于①的一元二次方程4A4—4fcc+k+l=0.

(1)若方程有实数根,求k的取值范围；

(2)若知22是原方程的根，是否存在实数R,使(2宓1—12)(入1—2电)=—|"成立？若存在，请求出k的值;若不存在,

请说明理由.

【答案】解：⑴方程有实数根，

A=(―4fc)2—4x4fcx(fc+1)=—16k>0,

・•・k40,

・・・方程是一元二次方程，

4kW0,即kW0,

・・.k的取值范围为kVO;

⑵不存在，理由如下：

Xi,力2是一^二次方程4k/—4k力+k+1=0的两个实数根,

/.A=(―4fe)2—4x4fcx(fc+1)=—16k>0,且4kW0,

解得kV0.

Xi,g是一元二次方程4k/—4k%+k+i=0的两个实数根,

k+1

/.Xi+x=1,XiX

224k'

:.(26i—力2)262)—2冠一4g62一出何2+2)=2(届+2|)—9xrX2

k+1—k—9

=2X12-9•

4fc