2024年上海高考数学讲练 函数的概念与性质（讲义）含详解

专题2-1函数的概念与性质

----------------------------'i

内容概览…

01专题网络•思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）

02考情分析•解密高考

03高频考点•以考定法（五大命题方向+6道高考预测试卷，高考必考-（4-20）分）

考点一函数的值域

>高考猜题

考点二函数奇偶性的性质与判断

>高考猜题

04仓IJ新好题•分层训练（★精选17道最新名校模拟试卷+9道易错提升）

（ft〉专题网络•思维脑图•

考情分析•解密高考•

真题多维细目表

考点考向考题

函数的值域函数的值域2023秋季高考第5题

函数奇偶性的函数奇偶性的性质与判断2023春季高考第13题

2023秋季高考第18题

性质与判断

高频考点•以考定泊

考点一函数的值域

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典例01(2023♦上海)己知函数，二，则函数/(x)的值域为口，+00)

［2*,x>0——

【分析】分段求出/(x)的值域，再取并集即可.

【解答】解：当用,0时,/(%)=1,

当x>0时,/(x)=2A>1,

所以函数/(X)的值域为［1,+00).

故答案为：［1,+O0).

【点评】本题主要考查了求函数的值域，属于基础题.

考点二函数奇偶性的性质与判断

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典伊］01(2023•上海)下列函数是偶函数的是()

A.y=sinxB.y=cosxC.y=x3D.y=2'

【分析】根据偶函数的定义逐项分析判断即可.

【解答】解：对于A,由正弦函数的性质可知，y=sinx为奇函数；

对于5,由正弦函数的性质可知，y=cosx为偶函数：

对于C,由幕函数的性质可知，y=r为奇函数；

对于。，由指数函数的性质可知，y=2'为非奇非偶函数.

故选：B.

【点评】本题考查常见函数的奇偶性，属于基础题.

典例02(2023•上海)已知a,ceR,函数/(X)=:+(3"+1)X+C.

x+a

(1)若a=0,求函数的定义域，并判断是否存在c使得〃x)是奇函数，说明理由；

(2)若函数过点(1,3),且函数f(x)与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和a的取值范围.

【分析】(1)。=0时，求出函数f(x)的解析式，根据函数的定义域和奇偶性进行求解判断即可.

(2)根据函数过点(1,3),求出c的值，然后根据/(幻与x轴负半轴有两个不同交点，转化为一元二次方程根的分

布进行求解即可.

【解答】解：(1)若a=0,则/(x)=<2--'=x+-+l,

XX

要使函数有意义，则xwO,即/(x)的定义域为{x|x*0},

y=x+£是奇函数，y=l是偶函数，

X

函数/■(x)=x+$+l为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数C,使得"X)是奇函数.

X

(2)若函数过点(1,3),则/(1)J+3"+l+c=3a+2+c=3,得3a+2+°=3+3a,得c=3—2=1,

\+a\+a

此时f(x)=-+(3"+l)x+l,若数f(x)与x轴负半轴有两个不同交点，

x+a

即/(X)=『+(34+DX+I=O,得/+(3“+]»+]=0,当x<o时，有两个不同的交点，

x+a

设g*)="?+(3a+l)x+1,

一=(3。+1)2-4〉0

xx=1>0a>-^a<-\

}23。+1>+1<—2.3，即4>L

则《x+x=一(3a+1)<0，得c八，得I

}23〃+1>013

3a4-1八a>——

------<03

2

若x+a=0即x=-a是方程/+(3Q+1)X+1=0的根,

贝！J一(3。+1)。+1=0,BP2a2+iz—1=0,得〃=!或。=—1,

2

则实数。的取值范围是a>L且awL且aw—1,

32

即2):)D，+8).

322

【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数与方程的应用，根据条件建立方程，转化为一元二次方程根的

分布是解决本题的关键，是中档题.

创新好题•分层训练(★精选18道最新名校模拟考试卷+9道易错提升)

A•新题速递

一、单选题

1.(2023•上海浦东新•统考三模)已知定义在R上的函数y=/(x).对任意区间［。，句和c、e［a,同，若存在开区间

I,使得ce/［。,可，且对任意xe/［"㈤()者|5成立/(x)</(c),则称c为/(x)在［a,句上的•一个“M

点有以下两个命题：

①若/(X。)是“X)在区间k句上的最大值，则%是〃x)在区间肉上的一个M点；

②若对任意a<b,b都是/(x)在区间［许句上的一个M点，则f(x)在R上严格增.

那么()

A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题

C.①、②都是真命题D.①、②都是假命题

【答案】D

【分析】举出反例，得到①②错误.

【详解】对于①，设/(力=1,满足/(为)是f(x)在区间句上的最大值,但与不是“X)在区间句上的一个

M点,①错误：

对于②，设f(x)={2"nx'€二O，对于区间［。，句，令b为有理数，满足对任意可都成立

u,x比Q

“X)<Fe)，故b为区间［a,句上的一个M点,

但/(x)在R上不是严格增函数.

故选：D

【点睛】举出反例是一种特殊的证明方法，它在证明"某命题''不成立时，可达到事半功倍的效果.

2.(2023・上海闵学校考二模)已知定义在R上的函数.f(x),对于给定集合A,若

当占一々e4时都有〃芭)-/(电)eA,则称是“A封闭”函数.已知给定两个命题：

P:若“X)是”{1}封闭”函数,则/(x)一定是“{%}封闭”函数(keN，)；

Q：若/(x)是“［〃,可封闭“函数eN*),则/(x)不一定是“{，侬封闭”函数.

则下列判断正确的为()

A.P对，。对B.P不对，。对C.P对，。不对D.P不对，。不对

【答案】C

【详解】对命题P：对于集合{l},VawwR使X一&W{1},则%=%+1,而F3是“⑴封闭”函数，

则/(9+1)—/(xj=1,即Wx€R都有/(x+1)=/(x)+l,

r

对于集合伙},VX],%GR^^-XJe{k},则X[=x2+k,ke^,

ifn/(-^+^)=/(x2+A:-l)+l,/(x2+^-l)=/(x2+^-2)+l,...,/(x2+l)=/(x,)+l,

所以/(々+左)+/(&+%_1)+...+/(々+1)=/(々+%_1)+/(々+々_2)+...+/(々)+%_[,

即/(&+%)=/(幻+h故/(9+内―/(毛)=女/(幻一定是“伙}封闭”函数伏。)尸正确；

对命题2,其逆否命题为，若Ax)是“{知封闭”函数，则Ax)不是“口⑸封闭”函数(a/eN"),

只需判断出其逆否命题的正误即可，\/占,々€1^使王-々=浦，则〃为)-〃毛)=必，

ab>a

若彷则,"Kb,由次?WZ?解得因为awN",所以。=1,

a<b

即Vx15x2GR-^2=ah=be[a,b],则/(5)一/(七)=扇=6w[a,勿,

满足/(X)是勿封闭”函数(〃为wN*),

所以命题。的逆否命题为假命题，则原命题也为假命题，。错误.

故选：C

【点睛】思路点睛：函数性质及命题真假判断，根据给定条件可得VxeR都有f(x+l)=/(x)+l,VxeR都有

,f(x+a)=f(x)+b,再利用递推关系及函数新定义判断正误即可.

3.(2023・上海普陀・曹杨二中校考模拟预测)若存在实数上和6,使得函数"X)和g(x)对其公共定义域上的任意

实数x都满足：g(x)M"+b《/(x)恒成立，则称此直线y=fcr+%为f(x)和g(x)的“隔离直线”.有下列命题：①

/。)=工2和8。)=26山”之间存在唯一的“隔离直线"丫=2几-6；②f(x)=f和g(x)=勺x<0)之间存在“隔离直

线”，且方的最小值为-1,贝I()

A.①、②都是真命题B.①、②都是假命题

C.①是假命题，②是真命题D.①是真命题，②是假命题

【答案】D

【分析】命题①，/(》)=/和8。)=26山》有公共点(五,6),故隔离直线过该点，设为点斜式，结合二次函数性

质对参数分类讨论，即可求解；

命题②，设隔离直线为丁=h+3则：「"一["：对任意XV。恒成立，结合二次函数性质对参数分类讨论，即可

kx-4-Zzr-l<0

求解;

【详解】对于命题①，函数和g(x)=2elnx的图像在片正处有公共点,

若存在，(x)和g(x)的隔离直线，那么该直线过这个公共点(五,e),

设隔离直线的斜率为Z,则隔离直线方程为y-e=Z(x-血)，即y=6+e

由70：)2区一%正+6(》>0)恒成立，即Y-Ax+Z五一e20(x>0)恒成立，

(i)当k=0时，则x2ze(x>0)不恒成立，不符合题意；

lk

(ii)当％<0时，4»(x)=x2-Ax+A：Ve-e(x>0),对称轴》=万<0,

“(x)在(0,五)上单调递增，且“(血)=0,故左<0不恒成立，不符合题意；

(iii)当左>0时，令〃(X)=J?-fcr+Z正一e(x>0),对称轴x=g>0,

贝L(x)=仲/+々&_=("2甸2只有五，即直线y=2五x-e

\/minI2J44

下面证明^(x)=2eInx<25/ex-e,令G(x)=2V^x-e-2elnx,

求导G'(X)=26(X_^)，令G，(X)=0,得乂=&,

X

当x«0,五)时，G(x)<0,函数G(x)在区间仅，人)上单调递减；

当xe(忘+oo)时，G'(x)>0,函数G(x)在区间(而+8)单调递增；

故当x=正时，函数G(x)取得极小值，也是最小值，故G(x)20,即g(x)426x-e

所以，(尤)=f和g(x)=2eInx之间存在唯一的隔离直线y=2y/ex-e.

对于命题②，设/(%)=X2和g(x)=L(x<0)的隔离直线为y=kx+h,

X

x2>kx+b

_kx—Z?N0

则1对任意xv0恒成立，即72J八对任意XV。恒成立,

—<kx+hkj^+bx-\t<Q

、x

由依2+法_14o恒成立，得k40

(i)当k=0时，则匕=0符合题意;

(ii)当《<0时，则V—丘-6W0对任意x<0恒成立，令力(x)=J?—履—b(x<0),

对称轴x=g<0,需△=公+4匕40,即左24-4/),故匕40

令〃(犬)=&+区一1(》<0),对称轴x=-卷40,^S=b2+4kb<0,

BPb2<-4k，所以64-64左，故~44%<0

同理可得力4416公V-648,即T46<0,故

故命题①正确，命题②错误；

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义“隔离直线”，解题中理解“隔离直线”的定义，注意利用导数研究函数

的单调性及最值时解题的关键，考查学生的转化与化归能力，属于难题.

4.（2023・上海崇明•统考一模）若存在实数，对任意实数xe[0,l],使得不等式％3-机Wox+8Wd+w恒成立，

则实数〃?的取值范围是（）

A.*，+8）B.^^'+8C.冬+8D.

【答案】A

【分析】不等式d—机<奴+。〈*3+加等价于卜丁+6+44加，原命题等价于存在实数。，h,对任意实数

xe[0,l]不等式卜丁+奴%恒成立，等价于存在实数a,b,不等式卜丁+如+可”"4"成立，分别讨论

a<0,0<a<l,l<a<3,的情况，先求出卜储+以+可皿，再求出+公+比、[仙即可解决问题.

【详解】不等式/一机4依+6与丁+加等价于T/JW-V+ar+b4%即卜丁+奴+闿4m,

原命题等价于存在实数a,b,对任意实数xe[0,l]不等式卜丁+依+力归〃?恒成立，

等价于存在实数。，b,不等式kV+4机成立，

i己/(x)=-x3+ax+b,则f\x)=-3x2+a,

（1）当〃W0时，对任意工£[0内，恒成立，即/⑴在[0,1]上单调递减

①当a+b—1+匕20,即629时，|/(X)L=6,

②当a+匕一l+b<0,即6<宁时，|/(x)L=-«-/?+1,

.、\-a

b>---

b2

从而当aWO时，gS）=

-a-b+\.\-a

b<---

2

则gS）在（7,1黑）上单调递减，在詈,+0。上单调递增,

ZL\J-]_q1

所以gS)min=g(—^-)=~Y~~2；

（2）当0<“<3时，令尸（力=0,解得x=

/（X）在区间0,上单调递增，在上单调递减,

f(o)=b,f,f(l)=a+b-\,

①当0<aVl时a+IWb,此时〃+6-14/(%)咛t+6,

。)当“+。一1+与,+6<0即/7<3-(“一'|,时,|/U)|„BX--a-b+\,

0当。+。―1+年汽+匹。即/在;一:"三汽时'\f(x)\nm+'

—2a—h+Sb<---a——.l^-

?23V3

从而当0<〃41时;gS)={2a[a

TV3

则g(b)在区间卜8,J?上单调递减，在区间11

—a匕单调递增,

2U*3+8

13记g)=9#+产,

=----r2+r3

22

则”(/)=3/-3。=3，。-1),

4⑺<0恒成立,

即MJ)在区间0,J1上单调递减,即力Q)m,“

即gS)min~~Y；

②当l<a<3时。+6—1>6,此时/(x)<y^1+/?,

a)当匕+4g+6<0即匕时，|/(x)L=-b,

协当"等患+b"即b冶祗时,W]祗+从

\-b

—3V3

从而当l<a<3时，gib)=\2a[a,j—，

+b

-3TV\h3,bi>、——aJ—a

3V3

则gS)在区间-8,-1,)上单调递减，在区间卜三器,+8上单调递增,

(3)当aN3时,对任意xe3,1],/'(x)N0恒成立，即，㈤在[0J上单调递增,

b<f(x)<a+b-\

①当a+8—1+Z?之()，即人之一--时，=〃+/?-1,

②当〃+匕一1+6<0,即6<宁时，|/(刈3=一6,

卜＞l-a

2a+b-8'-2

从而当时，g(b)=

-b,\-a"

出＜丁

则g®在(-8,宁)上单调递减，在上单调递增,

1—a(11

所以8(”而=8(与一)=-^21；

综上所述，g(6)1nhi=,，

所以加之也.

9

故选：A

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化:

一般地，已知函数丁=〃无),工£[。,句，y=g(x),x£[c,d]

(1)若Vx,w[a,b],在小,可，总有了(占)<8仇)成立，故/&)1mx；

(2)若％w[a,b],切十/],有〃玉)<8(/)成立,故/(5)皿<8仇)1rax;

t

(3)若叫e[a,可,Hx2e[c,J],有〃xj<g(w)成立，故/(石)而11Vge2)一；

(4)若向不回,叫w[c,d],有“x)=g(w),则〃x)的值域是g(x)值域的子集.

二、填空题

5.(2023・上海崇明•统考二模)若函数y=je—*龙>0的图像上点A与点8、点C与点O分别关于原点对称，除此

ax2,x<0

之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数。的取值范围是.

【答案】[

【分析】由题意将问题转化为了(X)在(-8,0)的图像关于原点对称后与(0,+8)的图像有两个交点，即转化为方程

m=-"在(0，+8)上有两根，孤立参数为-"力在(0,+8)上有两根，求导确定函数y=三的单调性与取值情

ecc

况，作出大致图象，即可求得实数。的取值范围.

【详解】若/(X)有两组点关于原点对称，则/(X)在(-8,0)的图像关于原点对称后与(0,+8)的图像有两个交点.

由x<0时，/(x)=or2；得其关于原点对称后的解析式为y=-ax2.

问题转化为尸二与y=-/在(0,+o))上有两个交点，即方程J=-ax2有两根,

化简得-a=5,即y=-a与y=j在(o,y)上有两个交点.

Y1—X1—Y

对于>=-7，求导y'=一1，令y'=——>0,解得：%<1,

eee

即：当x«0,l)时，y=(■单调递增；

令歹=一<0,解得：x>\.

e

即：当X«L”)时，)，==单调递减，

二x=l为其极大值点，y=-,xf+«:时，yfo；画出其大致图像:

milxe

欲使尸、与丁=己在X>0时有两个交点，则-即

6.(2023・上海・统考模拟预测)“X)在R上非严格递增，满足/(尤+l)=/(x)+l,g(x)=若存在

符合上述要求的函数及实数3,满足g5+4)=g(M)+l,则。的取值范围是.

【答案】(T一2)(2,4)

【分析】根据题意整理可得：对V〃eN*,则/(x+〃)=/(x)+〃，分类讨论看,q+4的取值范围，分析运算.

【详解】V/(x+l)=/(x)+l,即f(x+l)_f(x)=l

对V“eN",则/(x+/)=[/(x+〃)―/(x+〃-l)]+[/(x+〃_l)_/(x+”-2)]+...+[/(x+l)-f(x)]+/(x)

=1+1+…+l+/(x)="+/(x),

故对X7〃eN*，则/(了+小=/口)十〃，

：g(巾+4)=g(毛)+1,则有：

1.当X。4-12时，则与+44-8,

可得/(毛+4-4)=/(%-。)+4=/(%-。)+1,不成立；

2.当一12<%)K-8时，贝ij-8<%)+4W—4,

可得了(%+4)=/(%>)+4=/($—a)+l,则/(七一a)=/(%)+3,

若—a=3,解得。=一3,符合题意；

特别的：^imf(x)=k,xe[k,k+l),keZ,取A0G{-11,—10,-9,—8},则34-。<4,解得~4<a4-3；

例如/(x)=A,xe(A,k+l],/reZ,取毛e{-ll,-10,-9,一8},则2<-a43,解得-4<a<-2；

故-4<aM-3：

3.当一8</<4时，则一4<%+4<8,

可得/(/+4)=〃为)+4=〃毛)+1,不成立；

4.当44/<8时，则84题+4<12,

可得，(％+4-&)=/(%-a)+4=/(%)+l,则/(七)=/(不一。)+3,

若”=3,解得a=3,符合题意；

特别的：例如/(%)=如XW[&,1+1),AGZ,取$w{4,5,6,7},则34a<4；

例如/(x)=A,xe(k,Z+l],%eZ,取用w{4,5,6,7},贝i」2<a43；

故34。<4；

5.当飞28时，则%+4*12,

可得/(为+4-。)=/(%—a)+4=〃x°-q)+l,不成立；

综上所述：。的取值范围是(Y,-2)(2,4).

故答案为：(7,-2)(2,4).

【点睛】关键点点睛：

(1)对〃x+l)=/(x)+l,结合累加法求得/(x+〃)=/(x)+〃；

(2)对于分段函数，一般根据题意分类讨论，本题重点讨论/+4与±8的大小关系；

(3)对特殊函数的处理，本题可取〃x)=%,xe[Z,/+l),AwZ和f(x)=k,x&(k,k+l],k&Z.

三、解答题

7.(2022・上海长宁.统考二模)已知函数/(x)的定义域为(0,也)，若存在常数7>0,使得对任意x«0,田)，

都有/(笈)=〃x)+T,则称函数f(x)具有性质P(T).

⑴若函数〃x)具有性质P(2),求/⑵的值

⑵设〃x)=log“x,若0”<1,求证:存在常数T>0,使得/(x)具有性质P(T)

(3)若函数/(x)具有性质P(T),且/(x)的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数/(x)在(0,+司上存在零点.

【答案】(1)〃2)_/(£|=4

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】⑴对任意x«O,M),都有〃2x)=/(力+2,代入x=2和x=；即可得出答案；⑵设

g(x)=logux-x,利用零点存在性定理即可证得结论；(3)先转化为/(T"x)="x)+〃T,然后令x=l得,

f(T")=f^+nT,分情况利用零点存在性定理证得结论.

【详解】⑴函数“X)具有性质尸(2),

所以对任意xe(O,M),都有〃2x)=〃x)+2,

令x=2,得〃2)=〃1)+2,

令A*得〃1)=吗)+2,

所以/(2)-/(£]=4.

(2)证明：函数/(“具有性质P(T)的充要条件为

存在T>0,使得log“(7k)=log«x+T,即log«T=T,

设g(x)=log“x-x,

因为g⑴=T<0，g(a)=l-a>0,

所以在区间(a,1)上函数g(x)存在零点%,

取7=与，则logoTnT,

得函数〃x)具有性质P(T).

(3)设MN*,因为/(7k)=/(x)+T,

所以/(T"x)=〃x)+〃T,

令x=l得，f(T")=f(l)+nT,

①若〃1)=0,则函数“X)存在零点

若J⑴<0,当%>-型时,")>0,

所以此时函数f(x)在区间(0,+8)上存在零点

②因为〃X)=/陶+"

所以

若/(1)>0,当/>平时，/(厂'")<0,

所以此时函数f(x)在区间(0,+8)上存在零点.

综上，函数/(x)在(0,也)上存在零点.

8.(2022.上海闵行.统考二模)对于定义域为R的函数y=/(x),若存在实数。使得/(x+a)+/(x)=2对任意

xwR恒成立，则称函数y=/(x)具有尸⑷性质.

⑴判断函数工(x)=V与/(x)=l+sinx是否具有P(a)性质，若具有尸⑷性质，请写出一个。的值，若不具有P(a)

性质，请说明理由；

⑵若函数y=/(x)具有P(2)性质，且当xw[0,2]时，/(x)=|x-l|,解不等式"x"?

(3)已知函数y=/(x),对任意xeR,〃x+l)=/(x)恒成立，若由“y=/(尤)具有「思性质”能推出“小)恒等

于1”，求正整数”的取值的集合.

【答案】(1)工(力=人不具有P(a)性质,理由见解析；力(x)=l+sinx具有性0)性质,a=n(只要满足

a=(2《+l);r(/:eZ)即可)

■42~lz、

(2)4A-§，4Z-§(左b)

(3){4+12幺8+12%,12+12©(左eN)

【分析】⑴根据工(2+。)+/(2)24可知工(%)=会不具有P(a)性质;当。=(2%+1)万(壮Z)时，结合诱导公式

可知」(x+a)+&(x)=2,可得力(x)=l+sinx具有P(a)性质；

(2)由〃x+2)+〃x)=2可推导得到f(x)是以4为周期的周期函数；分别在xe[(),2]和xe[-2,0]的情况下，解

不等式，根据周期性可得到结论；

(3)由/(x+l)=/(x)可知只需研究14〃412(〃eN*)的情况；当”=4k46次eN*)、〃=2、〃=6和

”=10时，通过反例可知不合题意；当〃=12、〃=8和”=4时，结合〃x+a)+〃x)=2可推导得到〃x)=l,由

此可得取值集合.

【详解】(1)/(x)=V不具有P(a)性质，理由如下：

对于任意实数a,/(2+a)+,力(2)=(2+a『+424,即工(2+。)+力⑵工2,

=f不具有pg)性质；

人(x)=l+sinx具有P(a)性质，

若a=(2k+l)乃(ZeZ),贝!|f2(x+a)+yj(x)=l+sin(x+(2々+l)%)+l+sinx=2-sinx+sinx=2；

•••a的一个取值为力(只要满足a=(2左+1)乃(AwZ)即可).

(2)由〃x+2)+〃x)=2得：/(x+4)+/(x+2)=2,.-./(x+4)=/(x),

\/(x)是以4为周期的周期函数；

当xe[0,2]时，/(x)=|x-l|>|,不等式无解；

当xe[-2,0]时,x+2e[0,2],则f(x+2)=|x+l|,

•■•/(•^)=2-/(X+2)=2-|X+1|>|,解得：-<x<―；

5「42-

综上所述：当xe[-2,2]时，”x)z|的解集为；

••.〃刈之；的解集为4k--Ak--(ZeZ).

(3)/(x+l)=/(x),.•J(x+Z)=/(x)(AeZ),则只需研究14〃412("eN*)的情况;

①当，?=2%-104Z46,keN*)时,

0,04x<—,、

令/(x)=(,[且dx+、|=/(x)对于任意xwR恒成立,

2,-L<X<1I6J

I126

此时“X)满足〃x+l)=/(x)，并具有「⑶性质，但“X)不恒等于1;

②当〃=2时，导/当〃=6时，对;当〃=10时,W；

0,0Wx<—

6且/(x+g)=/(x)对于任意

令f(x)=<x$R恒成立,

2c,—1<x<1—

63

n

此时〃力满足/。+1)=〃力,并具有P性质，但)不恒等于

n“X1;

③当”=12时，/(x+l)=/(x),/(x+l)+/(x)=2,;./(x)=l,满足题意；

④当"=8时，|+|)+〃x)=2,.・.《x+g)+f[x+|)=2,

二/1+3=〃力，又f(x+l)=/(x),.•./(x+l)=/(x+3，・,•/(x+£|=〃x)，

则小+[)+/(*)"0+g)+f(x)=2/(x)=2,”(x)=l,满足题意；

⑤当〃=4时，/(x+g)+/(x)=2,；./(x+|)+/(x+g)=2,

・••/(x+g)=/(x)，又/(x+l)=/(x),.•.f(x+|)=f(x+1),.♦./(X+；)=〃X),

贝(1/(X+£|+/(X)=2/(X)=2,.-./(X)=1)满足题意；

综上所述：当14〃412(〃eN*)时，满足题意的〃的取值集合为｛4,8,12｝,

满足题意的正整数"的取值的集合为｛4+12%,8+12%,12+12"(ZeN).

【点睛】关键点睛：本题考查函数中的新定义运算问题；解题关键是能够根据已知抽象函数关系式推导得到函数

的周期性，进而根据周期性可将所研究的问题转化为一个周期内的函数关系式的求解问题.

9.(2023・上海宝山・统考一模)已知函数/(力=*2一奴_“，aeR.

⑴判断函数的奇偶性；

(2)若函数F(x)=r/(x)在x=l处有极值，且关于x的方程F(x)=加有3个不同的实根，求实数，”的取值范围；

⑶记g(x)=-e'(e是自然对数的底数).若对任意小々e[0,e]且百＞当时，均有|/(百)一〃々)|＜卜(5)-8(*2)|

成立，求实数a的取值范围.

【答案】(l)a=0时，f(x)为偶函数；axO时，f(x)为非奇非偶函数

⑵[-*1；

⑶[21n2-2,l].

【分析】(1)根据二次函数的性质以及奇偶函数的定义，即可判断；

(2)根据极值，求出a=l,得到/(为二X3-/-》，利用导数的性质，判断尸(幻=机有3个不同的实根时，机的

取值范围；

(3)根据g(x)的单调性，问题转化为gGAgGk/GA/HkgGFga)，整理得，

/(X)4-£(X.)＜f(X)+g(X)

[[2一0,分别判断函数/a)+g(x)和函数/a)-g(x)在[oe上的单调性，根据不等式恒成立

的性质，分离参数，即可求出。的取值范围.

【详解】(1)f(x)=x2-cix-a,因为/(元)的对称轴为x=T，故当。=0时，/⑴的对称轴为y轴，此时/")为

偶函数；。时，f(x)为非奇非偶函数.

(2)厂=在x=l处有极值，因为尸(%)=%3一办2一GX,则/(无)=3/一2以一。，故

Fr(l)=3—2a—a=0,得白=1；

F(X)=X3-X2-X,此时，F(x)=3x2-2x-1=(x-l)(3x+1),

故xe(ro,—3和(1，"°)上，尸(x)单调递增，xe(-l1)±,尸。)单调递减，

因为关于x的方程尸(x)=加有3个不同的实根，根据导数的性质，当F⑴4机4尸(-；)时，满足题意，得

,故"？

2727

(3)g(x)=-e*,g(x)单调递减,对任意A、%e［O,e］且西>w时,

g(七)-g(七)>0,g(X1)-g(X2)<0,

则对任意玉、々《O,e］且%时，均有(xj<|g(%)-g(x2)|成立，

转化为,对任意玉、we［O,e］且%>七时，均有g(5)-8(%2)<“玉)-/(旦<8(马)-g&)成立,即

|/(占)+g区)</(々)+g®)

1/U|)-)>f^2)-g(x2)'

所以，函数/(x)+g(x)在［O,e|上单调递减，函数/(x)-g。)在［O,e|上单调递增，

①函数/(x)+g(x)在［0,e］上单调递减，即f'(x)+g'(x)<0在10,e］上恒成立，

又因为，f(x)=x2-ax-a,g(x)=—e",故/(x)+g，(x)=2x-a-e*W(),

得2x-e*4a在［0，e］上恒成立，令/J(X)=2x-e*,/?'(%)=2-ev,令"'(x)=0,得x=ln2,所以，〃(无)在［0,In2)上

单调递增，在(In2,e］上单调递减，故版x)2=〃(ln2)=21n2-2,故心21n2—2：

②函数/(x)-g(x)在［0,e|上单调递增，即f\x)-g0)》0在［0,e|上恒成立，

又因为，f(x)=x2-ax-a,g(x)=—e",故((x)-g，(x)=2x-a+e*20,得

2x+e，”在［0,e］上恒成立,因为函数y=2x+e、在［0,e］上为单调递增函数,故/n=1,此时，a<l：

综上所述，实数。的取值范围为：［21n2-25.

10.(2023•上海徐汇・南洋中学校考三模)设函数/(》)=12+以+04卜*,其中。为常数.对于给定的一组有序

实数(人,加),若对任意4、/eR,都有的-0(/)+间•&2-/(X2)+间20,则称出⑼为/(x)的“和谐数组”.

(1)若a=0,判断数组(0,0)是否为."X)的"和谐数组”，并说明理由；

(2)若a=4&，求函数，(x)的极值点；

(3)证明：若伏，㈤为f(x)的“和谐数组”,则对任意xeR,都有履-/(x)+〃?40.

【答案】⑴是/")的“和谐数组”，理由见解析；

⑵x=-2-2收为函数/(x)的一个极大值点,x=-20为“X)的一个极小值点.

(3)见解析

【分析】(1)代入有.f(x)=x2e',根据指数函数、幕函数性质可得/(xhde'NO,再将％=帆=0代入

[kXy-/(^)+«].[^-/(%2)+«]即可证明；

(2)代入。值有/(力=任+4夜》+8卜',直接求导，令导函数为0即可得到其极值点;

(3)假设存在x°eR,使得5-/(引+加>0,通过和谐数组定义转化得对任意xwR,心:-/(可+%20恒成立，设

2x

F(x)=(x+ax+^2ay-kx-m,再利用二次函数的性质即可证明假设不成立.

【详解】⑴是f(x)的“和谐数组”，理由如下：

2

当“=0时,外力=Y炉.根据基函数、指数函数的性质,对任意xeR，都有/(x)=xe'20.对任意外x2eR，代入

k=rn=OM：[kxi-f(xl)+m]-[kx2-f(x2)+m]=f(xl)-f(x2)>Q.

.・・(0,0)是〃x)的“和谐数组”.

(2)当。=4及J(x)=12+4&x+qe"'，

.•./(力=卜+(2+4&卜+8+4&卜=1+2⑹(x+2+2©e”于是可列表如下：

X（f,-2-2近）-2-2V2（-2-2夜2应）-272卜2夜,+8)

/(X)+0—0+

/(X)/极大值、极小值JI

.•.x=-2-20为函数f(x)的一个极大值点,x=-20为“X)的一个极小值点.

(3)反证法:假设存在xoeR，使得kx0-f(x0)+m>0,则对任意xoeR，都有[白)-f(%)+%]•[坛>-f(%)+叱]20.

对任意xeR,去一/(x)+mN0恒成立.令F(X)=俨+以+逝。卜*-日-机，则*x)M0在R上恒成立，

由二次函数性质可知，必存在t<>>0使得当x>%吐f+依+亿>0恒成立，且此时e'>1,

...当时有尸(x)=(x?+ax+-Jla^ex-kx-m>x1+ax+\[la-kx-m,

2

a-k七互+缶一小

其中％2+办+yf2a-kx—m=x+------

24

由二次函数性质可知，必存在内>4使得当X>不时，F(x)>x2+ax+>j2a-kx-m>0.

这与F(x)40在R上恒成立矛盾.

・••对任意xeK都有kx-f(x)+m<0

【点睛】关键点睛：本题第3问的关键是运用反证法，首先假设存在x°eR,使得依。-/(玉)+机>0,根据和谐数组

的定义转化得存在x°eR,使得/(%)+〃?>(),设尸(月=任+如+夜。卜一米-〃?，通过二次函数与指数函数的

图象与性质即可推理出与假设矛盾的结论，最后即得到证明.

11.(2023•上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测)设y="X)是定义在R上的奇函数.若y=/⑷。>0)是严格

X

减函数,则称为“。函数”.

⑴分别判断y=Tx|和y=sinx是否为。函数，并说明理由：

(2)若y=J■二-《是。函数，求正数。的取值范围；

⑶已知奇函数y=Rx)及其导函数y=F'(x)定义域均为R.判断“y=F(x)在(0,+时上严格减”是“y=F(x)为。

函数”的什么条件，并说明理由.

【答案】(l)y=—是。函数,y=si3不是。函数，理由见解析

(2)0<a<l

(3)“y=F'(x)在(0,+切上严格减”是“y=F(x)为。函数”的充分非必要条件，理由见解析

【分析】(1)根据“。函数”的定义结合函数的奇偶性以及单调性判断即可：

(2)令g(x)=^j^r句=1x(1+“,)，利用导数讨论其单调性即可求解；

(3)先用特殊函数丫=怠作为反例说明"y=F'(x)在(0,+8)上严格减，，不是“y=F(x)为。函数”的必要条件，

再构造"(x)=xF'(〃)-F(x),〃>。，G(x)=x,F(x)-xF(x,),利用导数与单调性、最值的关系证明

丛义<£应，根据单调性定义即可证明"y=F'(x)在(。,+8)上严格减”是“y=F(x)为。函数”的充分条件.

占X]

【详解】(1)设，(尢)=-x|R,4(x)=sinx,

所以/(-x)=布=T(x),2(-x)=-sinx=-2(x),

所以丁=「¥可和丁=sinx均为定义在R上的奇函数.

当x>0时，函数y=*=-x严格减，故y=-x|R是。函数.

X

ciny

而当X=7T和X=2兀时，二一=0,不是。函数.

1112优+11优—1

(2)y=

优+122(优+1优+15.优+1

设皿加^高,定义域为R’

5」J—U…,

2a~x+\2\+ax

所以"看一；是定义在R上的奇函数.

y=六一;=°不是°函数'下设awl.

当a=1时,

令8(加兀,+1_121\-ax

当x>0时,=2^+*,

一优(1+优)X1M-(1一优)(1+优+xax\na)_/2xax\na

则g，(/力\=不1

/(1+优)~2元2(1+优丫

再设/z(x)=crx-1-2xax\na,则//(x)=2a2'Ina-2ax\na-2xax(lna)2=2a"Ina(优一1一xlna).

设"(x)=e*-1-x,n'(x)=ex-1,

所以当x<0时，〃'(x)<0,函数”(x)单调递减，

当x>0时，nr(x)>0,函数”(x)单调递增,

所以"(x)=e