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高级中学名校试卷PAGEPAGE12023年新高考全国Ⅰ卷模拟测试卷05一、单选题1.已知复数,则(

)A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗由得,故选:A2.已知集合,,则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是(

)A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗,,,由Venn图知,A符合要求.故选:A.3.已知抛物线的焦点在圆上,则该抛物线的焦点到准线的距离为(

)A.1 B.2 C.4 D.8〖答案〗C〖解析〗由于抛物线的焦点为正半轴上,与正半轴的交点为,故抛物线的焦点为,所以,因此抛物线的焦点到准线的距离为,故选:C.4.已知函数,则(

)A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数〖答案〗C〖解析〗函数的定义域为R,因为,所以函数为奇函数,又因为函数在R上都是减函数,所以函数在R上是减函数.故选:C.5.某射击运动员连续射击5次,命中的环数(环数为整数)形成的一组数据中,中位数为8,唯一的众数为9,极差为3,则该组数据的平均数为(

)A. B. C.8 D.〖答案〗B〖解析〗依题意这组数据一共有个数,中位数为,则从小到大排列的前面有个数,后面也有个数,又唯一的众数为,则有两个,其余数字均只出现一次,则最大数字为,又极差为,所以最小数字为,所以这组数据为、、、、,所以平均数为.故选:B.6.已知事件A、B满足,,则(

)A. B.C.事件相互独立 D.事件互斥〖答案〗C〖解析〗由题设,所以,即相互独立,同一试验中不互斥,而未知,无法确定、.故选:C.7.在平面直角坐标系中,过点作圆的两条切线,切点分别为.则直线的方程为(

)A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗圆的圆心为,半径为2,以、为直径,则的中点坐标为,,以为圆心,为直径的圆的方程为,因为过点圆的两条切线切点分别为A,B,所以是两圆的公共弦,将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为:.故选:A.8.已知函数,若实数a、b、c使得对任意的实数恒成立,则的值为(

)A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗设,可得,其中,且,因为实数使得对任意的实数恒成立,即恒成立,即恒成立,所以由上式对任意恒成立,故必有,若,则由式①知,显然不满足式③,所以,所以,由式②知,则,当时,则式①,③矛盾.所以,由式①,③知,所以.故选:B.二、多选题9.已知实数满足,且,则下列说法正确的是(

)A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗对于A,,,,A错误;对于B,,,,,,,,即,B正确;对于C,,,,即,C正确;对于D,,D错误.故选:BC.10.下列说法中正确的是(

)A.若数据的方差为0,则此组数据的众数唯一B.已知一组数据2,3,5,7,8,9,9,11,则该组数据的第40百分位数为6C.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强,则线性相关系数r的值越大D.在残差图中,残差点分布的水平带状区域越窄,说明模型的拟合精度越高〖答案〗AD〖解析〗对于A,由方差,得,即此组数据的众数唯一,故A正确;对于B,数据2,3,5,7,8,9,9,11共有个,由可知,该组数据的第40百分位数为,故B错误;对于C,若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强,则线性相关系数的值越接近于,故C错误;对于D,在残差图中,残差点分布的水平带状区域越窄,说明波动越小,即模型的拟合精度越高,故D正确.故选:AD.11.函数f(x)=b(x-a)2(x-b)的图象可以是(

)A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由函数〖解析〗式可知,是不变号零点,是变号零点,A.由图可知,变号零点是0,则,则,不成立,故A错误;B.由图可知,变号零点小于0,不变号零点为0,则,此时,当,,当,,当时,,满足图象,故B正确;C.由图可知,,,当时,,当时,,当时,,满足图象,故C正确;D.由图可知,,,当时,,与图象不符,所以D错误.故选:BC12.如图所示,有一个棱长为4的正四面体容器,D是PB的中点,E是CD上的动点,则下列说法正确的是(

)A.若E是CD的中点,则直线AE与PB所成角为B.的周长最小值为C.如果在这个容器中放入1个小球(全部进入),则小球半径的最大值为D.如果在这个容器中放入10个完全相同的小球(全部进入),则小球半径的最大值为〖答案〗ACD〖解析〗A选项:连接AD.在正四面体中,D是PB的中点,所以.因为平面,平面,,所以直线平面.因为平面.所以,所以直线AE与PB所成角为.故A选项正确;B选项,把沿着CD展开与面BDC同一个平面内,由,,所以,所以,所以的周长最小值为不正确.故B选项错误;C选项,要使小球半径最大,则小球与四个面相切,是正四面体的内切球,设半径为r.由等体积法可得:,所以半径.故C选项正确;D选项,10个小球分三层(1个,3个,6个)放进去,要使小球半径要最大,则外层小球与四个面相切,设小球半径为,四个角小球球心连线是棱长为的正四面体,其高为,由正四面体内切球的半径是高的得,如图正四面体,则,正四面体高为,得.故D选项正确.故选:ACD.三、填空题13.已知,则__________.〖答案〗〖解析〗由,得,即,解得,所以.故〖答案〗为:.14.数列满足,若,,则=____________.〖答案〗-6〖解析〗因为,,所以,,,,所以数列的周期为4,又因为,所以.故〖答案〗为:-6.15.已知函数f(x)=若f(x)在区间[m,4]上的值域为[-1,2],则实数m的取值范围为________.〖答案〗〖解析〗作出函数f(x)的图象,当x≤-1时,函数f(x)=单调递减,且最小值为f(-1)=-1,则令=2,解得x=-8;当x>-1时,函数f(x)=在(-1,2)上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,则最大值为f(2)=2,又f(4)=<2,f(-1)=-1,所求实数m的取值范围为故〖答案〗为:.16.修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图,某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛,其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足,且AC长度为3百米,为便于游客到小岛观光,打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE,水面上的点B在线段AC上,且BD、BE均与圆C相切,切点分别为D、E,其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN,则需要修建的栈道总长度的最小值为__________百米.〖答案〗〖解析〗连接CD,CE,由半圆半径为1得:.由对称性,设,又,,所以,,易知,所以的长为.又,故,故,令且,则,,所以.-0+单调递减极小值单调递增所以栈道总长度最小值.故〖答案〗为:.四、解答题17.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.(1)求A;(2)若D为BC上一点,且,,求的面积.解:(1)在中,因为,所以由正弦定理得:,即.因为,所以,即.因为,所以.(2)在中,因为,,所以.由余弦定理得:,即,解得:(舍去).因为.所以,即.因为,所以,解得:,所以的面积.即的面积为.18.移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域.截至2022年底,我国移动物联网连接数达18.45亿户,成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家.右图是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图,其中年份2018-2022对应的t分别为1~5.(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关.计算样本相关系数(精确到0.01),并推断它们的相关程度;(2)(i)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1,y1),(x2,y2),…,(x,y),两个变量满足一元线性回归模型

(随机误差).请推导:当随机误差平方和Q=取得最小值时,参数b的最小二乘估计.(ii)令变量,则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用(i)中结论求y关于x的经验回归方程,并预测2024年移动物联网连接数.附:样本相关系数,,,,解:(1)由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近,由此推断两个变量线性相关.因为,所以,所以,所以这两个变量正线性相关,且相关程度很强.(2)(i),要使取得最小值,当且仅当.(ii)由(i)知,所以y关于x的经验回归方程,又,所以当时,则,所以预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.19.已知数列的前项的和为,且满足.(1)求数列的通项公式及;(2)若数列满足,求数列的前项的和.解:(1)由得:,即,由得:,两式相减得:,即,即数列是以1为首项,2为公比的等比数列,则,则;(2)由(1)知:,则,则当时,,,当时,,则.20.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥AD,CD⊥AD,A1D⊥BD1.(1)证明:四边形ADD1A1为正方形;(2)若直线BD1与平面ABCD所成角的正弦值为,CD=2AB,求平面ABD1与平面BCD1的夹角的大小.(1)证明:由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1知:,又,且,所以平面,又平面,所以,又,且,所以平面,又平面,所以,因为四边形是矩形,所以是正方形;(2)解:建立如图所示空间直角坐标系:设,则,所以,设ABCD的一个法向量为,直线BD1与平面ABCD所成的角为,则,即,解得,则,所以,设平面ABD1的一个法向量为,则,即,令,则,设平面BCD1的一个法向量为,则,即,令,则,所以,因为,则,所以平面ABD1与平面BCD1的夹角为.21.已知点和点之间的距离为2,抛物线经过点N,过点M的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,点E,F分别在直线,上,且,(O为坐标原点).(1)求直线l的倾斜角的取值范围;(2)求的值.解:(1),,,,将代入,解得,抛物线C的方程为,直线l过点,且与抛物线C有两个不同的交点,直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为,由得,,且,即,且,,,,,点E,F均在y轴上,,均与y轴相交,直线l不过点,,k的取值范围为且且,直线l的倾斜角的取值范围为;(2)设,M,A,B三点共线,,,,,,,由(1)知,,且,直线的方程为,令得,同理可得,,.22.已知函数.(1)若,求实数的取值范围;(2)若,且,求证:且.(1)解:解法一:当时,由,且时,故成立;当时,即为.由,令,得,当时,;当时,;所以在单调递增,在单调递减,所以,即.综上,.解法二:,由,且时,所以.设,则,令,得,当时,;当时,;所以在单调递减,在单调递增,所以,即.(2)证明:证法一:,当时,;当时,;所以在单调递增,在单调递减,故.先证,由,故即证,由,故即证,设,则,所以在上单调递减,所以.所以,从而.现证,即证.设,故即证,即证.设,则,设,则,当时,;当时,,所以在单调递增,在单调递减,又,所以,使得,故在单调递增,在单调递减,又,所以,即,故.证法二:证明的方法同解法一.,,则在处的切线方程为,下面证.设,,设,则,当时,;当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,使得,故在单调递减,在单调递增,又,故,即,所以.2023年新高考全国Ⅰ卷模拟测试卷05一、单选题1.已知复数,则(

)A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗由得,故选:A2.已知集合,,则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是(

)A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗,,,由Venn图知,A符合要求.故选:A.3.已知抛物线的焦点在圆上,则该抛物线的焦点到准线的距离为(

)A.1 B.2 C.4 D.8〖答案〗C〖解析〗由于抛物线的焦点为正半轴上,与正半轴的交点为,故抛物线的焦点为,所以,因此抛物线的焦点到准线的距离为,故选:C.4.已知函数,则(

)A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数〖答案〗C〖解析〗函数的定义域为R,因为,所以函数为奇函数,又因为函数在R上都是减函数,所以函数在R上是减函数.故选:C.5.某射击运动员连续射击5次,命中的环数(环数为整数)形成的一组数据中,中位数为8,唯一的众数为9,极差为3,则该组数据的平均数为(

)A. B. C.8 D.〖答案〗B〖解析〗依题意这组数据一共有个数,中位数为,则从小到大排列的前面有个数,后面也有个数,又唯一的众数为,则有两个,其余数字均只出现一次,则最大数字为,又极差为,所以最小数字为,所以这组数据为、、、、,所以平均数为.故选:B.6.已知事件A、B满足,,则(

)A. B.C.事件相互独立 D.事件互斥〖答案〗C〖解析〗由题设,所以,即相互独立,同一试验中不互斥,而未知,无法确定、.故选:C.7.在平面直角坐标系中,过点作圆的两条切线,切点分别为.则直线的方程为(

)A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗圆的圆心为,半径为2,以、为直径,则的中点坐标为,,以为圆心,为直径的圆的方程为,因为过点圆的两条切线切点分别为A,B,所以是两圆的公共弦,将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为:.故选:A.8.已知函数,若实数a、b、c使得对任意的实数恒成立,则的值为(

)A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗设,可得,其中,且,因为实数使得对任意的实数恒成立,即恒成立,即恒成立,所以由上式对任意恒成立,故必有,若,则由式①知,显然不满足式③,所以,所以,由式②知,则,当时,则式①,③矛盾.所以,由式①,③知,所以.故选:B.二、多选题9.已知实数满足,且,则下列说法正确的是(

)A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗对于A,,,,A错误;对于B,,,,,,,,即,B正确;对于C,,,,即,C正确;对于D,,D错误.故选:BC.10.下列说法中正确的是(

)A.若数据的方差为0,则此组数据的众数唯一B.已知一组数据2,3,5,7,8,9,9,11,则该组数据的第40百分位数为6C.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强,则线性相关系数r的值越大D.在残差图中,残差点分布的水平带状区域越窄,说明模型的拟合精度越高〖答案〗AD〖解析〗对于A,由方差,得,即此组数据的众数唯一,故A正确;对于B,数据2,3,5,7,8,9,9,11共有个,由可知,该组数据的第40百分位数为,故B错误;对于C,若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强,则线性相关系数的值越接近于,故C错误;对于D,在残差图中,残差点分布的水平带状区域越窄,说明波动越小,即模型的拟合精度越高,故D正确.故选:AD.11.函数f(x)=b(x-a)2(x-b)的图象可以是(

)A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由函数〖解析〗式可知,是不变号零点,是变号零点,A.由图可知,变号零点是0,则,则,不成立,故A错误;B.由图可知,变号零点小于0,不变号零点为0,则,此时,当,,当,,当时,,满足图象,故B正确;C.由图可知,,,当时,,当时,,当时,,满足图象,故C正确;D.由图可知,,,当时,,与图象不符,所以D错误.故选:BC12.如图所示,有一个棱长为4的正四面体容器,D是PB的中点,E是CD上的动点,则下列说法正确的是(

)A.若E是CD的中点,则直线AE与PB所成角为B.的周长最小值为C.如果在这个容器中放入1个小球(全部进入),则小球半径的最大值为D.如果在这个容器中放入10个完全相同的小球(全部进入),则小球半径的最大值为〖答案〗ACD〖解析〗A选项:连接AD.在正四面体中,D是PB的中点,所以.因为平面,平面,,所以直线平面.因为平面.所以,所以直线AE与PB所成角为.故A选项正确;B选项,把沿着CD展开与面BDC同一个平面内,由,,所以,所以,所以的周长最小值为不正确.故B选项错误;C选项,要使小球半径最大,则小球与四个面相切,是正四面体的内切球,设半径为r.由等体积法可得:,所以半径.故C选项正确;D选项,10个小球分三层(1个,3个,6个)放进去,要使小球半径要最大,则外层小球与四个面相切,设小球半径为,四个角小球球心连线是棱长为的正四面体,其高为,由正四面体内切球的半径是高的得,如图正四面体,则,正四面体高为,得.故D选项正确.故选:ACD.三、填空题13.已知,则__________.〖答案〗〖解析〗由,得,即,解得,所以.故〖答案〗为:.14.数列满足,若,,则=____________.〖答案〗-6〖解析〗因为,,所以,,,,所以数列的周期为4,又因为,所以.故〖答案〗为:-6.15.已知函数f(x)=若f(x)在区间[m,4]上的值域为[-1,2],则实数m的取值范围为________.〖答案〗〖解析〗作出函数f(x)的图象,当x≤-1时,函数f(x)=单调递减,且最小值为f(-1)=-1,则令=2,解得x=-8;当x>-1时,函数f(x)=在(-1,2)上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,则最大值为f(2)=2,又f(4)=<2,f(-1)=-1,所求实数m的取值范围为故〖答案〗为:.16.修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图,某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛,其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足,且AC长度为3百米,为便于游客到小岛观光,打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE,水面上的点B在线段AC上,且BD、BE均与圆C相切,切点分别为D、E,其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN,则需要修建的栈道总长度的最小值为__________百米.〖答案〗〖解析〗连接CD,CE,由半圆半径为1得:.由对称性,设,又,,所以,,易知,所以的长为.又,故,故,令且,则,,所以.-0+单调递减极小值单调递增所以栈道总长度最小值.故〖答案〗为:.四、解答题17.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.(1)求A;(2)若D为BC上一点,且,,求的面积.解:(1)在中,因为,所以由正弦定理得:,即.因为,所以,即.因为,所以.(2)在中,因为,,所以.由余弦定理得:,即,解得:(舍去).因为.所以,即.因为,所以,解得:,所以的面积.即的面积为.18.移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域.截至2022年底,我国移动物联网连接数达18.45亿户,成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家.右图是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图,其中年份2018-2022对应的t分别为1~5.(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关.计算样本相关系数(精确到0.01),并推断它们的相关程度;(2)(i)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1,y1),(x2,y2),…,(x,y),两个变量满足一元线性回归模型

(随机误差).请推导:当随机误差平方和Q=取得最小值时,参数b的最小二乘估计.(ii)令变量,则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用(i)中结论求y关于x的经验回归方程,并预测2024年移动物联网连接数.附:样本相关系数,,,,解:(1)由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近,由此推断两个变量线性相关.因为,所以,所以,所以这两个变量正线性相关,且相关程度很强.(2)(i),要使取得最小值,当且仅当.(ii)由(i)知,所以y关于x的经验回归方程,又,所以当时,则,所以预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.19.已知数列的前项的和为,且满足.(1)求数列的通项公式及;(2)若数列满足,求数列的前项的和.解:(1)由得:,即,由得:,两式相减得:,即,即数列是以1为首项,2为公比的等比数列,则,则;(2)由(1)知:,则,则当时,,,当时,,则.20.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥AD,CD⊥AD,A1D⊥BD1.(1)证明:四边形ADD1A1为正方形;(2

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