2023年高考考前信息必刷数学试卷4（上海专用）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12023年高考数学考前信息必刷卷4（上海专用）一、填空题1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数______.〖答案〗〖解析〗因为复数对应的点的坐标是，则，，故〖答案〗为：.2．若向量，，且，则与的夹角大小是__________.〖答案〗〖解析〗∵，∴，∵，∴，∴，∴与的夹角大小为，故〖答案〗为：.3．函数的定义域为___________.〖答案〗〖解析〗由题意可知，而以2为底的对数函数是单调递增的，因此，求解可得或．故〖答案〗为：．4．某种食盐的袋装质量服从正态分布，随机抽取10000袋，则袋装质量在区间的约有______袋．（质量单位：g）附：若随机变量服从正态分布，则，，．〖答案〗8186〖解析〗由题意知，，所以，得，所以袋装质量在区间的约有袋.故〖答案〗为：8186.5．已知，则___________.〖答案〗〖解析〗等式，两边同时平方得，，两式相加，得，，整理得，即，因为，所以，得，代入，得，即，则，则.故〖答案〗为：.6．的展开式中含项的系数为______.〖答案〗〖解析〗的展开式通项，令，得；令，得，故的展开式中含项的系数为.故〖答案〗为：.7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，的平分线交BC于D．当的面积最大时，AD的长为______．〖答案〗〖解析〗因为，即，在中，由余弦定理可得，所以，且，所以，且，则，所以，当且仅当时，等号成立，此时，此时，，在中，，由正弦定理可得，故〖答案〗为:8．有穷数列共有k项，满足，，且当，时，，则项数k的最大值为______________．〖答案〗〖解析〗当时，，因为有穷数列，，，所以当项数最大时，，则，，，将以上各式相加得，即，，即，则.故〖答案〗为：9．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其外接球半径为2，则的最大值为____________．〖答案〗8〖解析〗设，因为三棱锥的三条侧棱两两垂直，所以由长方体模型可知，，即.，当且仅当时，取等号.即的最大值为.故〖答案〗为：10．已知，是双曲线：的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足为，线段的延长线交于点，是坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为______〖答案〗〖解析〗因为是的角平分线，，所以是等腰三角形，，为的中点，又为的中点，所以是的中位线，所以，因为，当点在双曲线的右支上时，，当点在双曲线的左支上时，，所以，即，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故〖答案〗为：.11．设函数（，e为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则a的取值范围是______．〖答案〗．〖解析〗由曲线上存在点，使得，即，下面证明，因为在定义域上严格递增，假设，则，不满足，同理，不满足，所以，那么函数，即函数在有解，所以，即，，令，则，，，单调递增，又，所以，所以a的取值范围是．故〖答案〗为：12．已知函数（且a为常数）和（且k为常数），有以下命题:①当时，函数没有零点；②当时，若恰有3个不同的零点，则；③对任意的，总存在实数，使得有4个不同的零点，且成等比数列.其中的真命题是_____（写出所有真命题的序号）〖答案〗②〖解析〗①因为，，由得，函数的零点，即是函数图像与直线交点的横坐标，当时，恒成立，因为，所以时，函数显然没有零点；当时，由得，即，即，因为，所以恒成立，若时，函数可能有零点；若，函数没有零点；故①错；②当时，因为恰有个不同零点，令，则关于的方程有两个不同的实数解，记作，不妨令；做出函数的图像如下：由图像可得：当时，与有个交点；当时，与有个交点；因为函数恰有个不同零点，则有个根，记作；有个根，记作（不妨令）；所以只需，，因此，，所以；，，因此；故②正确；③由，得；所以函数与图像交点个数，即为函数的零点个数；由②中图像可知：当时，与在上有个交点，即函数在上有个零点；当时，若，则函数在上单调递增，因此函数与在上最多只有个交点，即函数在上最多只有个零点；不满足存在实数，使得有4个不同的零点；若，由基本不等式可得：，即时，；若，则函数与在上最多只有个交点，也不满足对任意的，总存在实数，使得有4个不同的零点.故③错.故〖答案〗为：②.二、单选题13．已知直线，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗当时，，解得或，当时，直线，，此时两直线不重合，当时，直线，，此时两直线不重合，即或时，，故是的充分不必要条件.故选：A.14．已知两组数据和的中位数､方差均相同，则两组数据合并为一组数据后，（

）A．中位数一定不变，方差可能变大B．中位数一定不变，方差可能变小C．中位数可能改变，方差可能变大D．中位数可能改变，方差可能变小〖答案〗A〖解析〗对于中位数：不妨设，则两组数据和的中位数分别为，则，两组数据合并为一组数据后，则中位数为，故中位数一定不变；对于方差：设的平均数为，方差为，的平均数为，方差为，则，可得，则两组数据合并为一组数据的平均数，方差，当且仅当时等号成立，故方差可能变大，一定不会变小；故选：A.15．如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点（在的左边），且．下列说法错误的是（

）A．当运动时，不存在点使得B．当运动时，不存在点使得C．当运动时，二面角的最大值为D．当运动时，二面角为定值〖答案〗C〖解析〗建立如图所示的空间直角坐标系，则．因为在上，且，，可设，则，则，所以，故恒为正，故A正确．若，则四点共面，与和是异面直线矛盾，故B正确．设平面的法向量为，又，所以，即，取，则，平面的法向量为，所以．设二面角的平面角为，则为锐角，故，因为，在上单调递减，所以，故，当且仅当时，取得最大值，即取最小值，故C错误．连接．平面即为平面，而平面即为平面，故当运动时，二面角的大小保持不变，故D正确．故选：C16．已知点集，且，则下列说法正确的个数为（

）①区域Q为轴对称图形；②区域Q的面积大于；③M是直线上的一点，.A．0 B．1 C．2 D．3〖答案〗C〖解析〗根据题意，且，即，显然当时，满足条件限制；当时，两边平方化简可得：，其表示焦点在轴上的椭圆在第一象限和第三象限上及其内部的点；绘制点集表示的图形如下所示：数形结合可知，①错；阴影部分的面积，②对；对③：设，与椭圆方程联立可得：，若与椭圆相切，则，解得，故当时，直线与直线的距离即为的最小值，故，故，③正确.故正确的是②③.故选：C.三、解答题17．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点.（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正切值.（1）证明：由题设知，平面平面，交线为.因为，平面，所以平面，平面，故,因为是上异于，的点，且为直径，所以，又，平面，所以平面，而平面，故平面平面；（2）解：以D为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.当三棱锥M−ABC体积最大时，M为的中点.由题设得，设是平面MAB的法向量，则即，可取，又是平面的一个法向量，因此，，得，所以，，所以面与面所成二面角的正切值是.18．如图，已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求B；（2）若，，点D在边AC上，且在和上的投影向量的模相等，求线段BD的长．解：（1）∵，∴由正弦定理可，由余弦定理可得，∴即，∵，∴．（2）由（1）知，∴又，∴，解得．∵，∴，可得，由可得，解得．∵在和上的投影向量的模相等，∴BD为的平分线，由角平分线的性质知，即，解得，在中，由正弦定理可得，∴，在中，，由正弦定理可得，即，解得．19．某市为调研本市学生体质情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如表：优秀良好及格不及格男生100200780120女生120200520120（1）根据所给数据，完成下面列联表，并据此判断：能否有的把握认为该市学生体质测试是否达标与性别有关.（注：体质测试成绩为优秀､良好或及格则体质达标，否则不达标）达标不达标合计男生女生合计其中；（2）体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男､女生体质测试成绩优良的频率视为该市男､女生体质测试成绩优良的概率，在该市学生中随机选取1名男生，1名女生，设所选2人中体质测试成绩优良人数为，求的分布列，数学期望与方差.解：（1）由题得列联表如下：达标不达标合计男生10801201200女生840120960合计19202402160所以没有的把握认为该市学生体质达标与性别有关.（2）由题意男生体质测试优良率，女生体质测试优良率.的所有可能取值为.所以的分布列为012，20．已知椭圆过点，分别为椭圆C的左、右焦点且.（1）求椭圆C的方程；（2）过P点的直线与椭圆C有且只有一个公共点，直线平行于OP（O为原点），且与椭圆C交于两点A、B，与直线交于点M（M介于A、B两点之间）.（i）当面积最大时，求的方程；（ii）求证：，并判断，的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列.解：（1）设，，则，.，.又在椭圆上，故，又，解得，，故所求方程为.（2）（i）由于，设方程为，.由，消y整理得，，则.又点P到的距离,.当且仅当，，即时，等号成立.故直线AB的方程为：.（ⅱ）要证结论成立，只须证明：，由角平分线性质即证：直线为的平分线，转化成证明：.因为因此结论成立.又与C有一个公共点，即为椭圆的切线，由得令，，则，所以，所以，故所研究的4条直线的斜率分别为，，，，若这四个数成等比数列，且其公比记为q，则应有或，或.因为不成立，所以，而当时，，，此时直线PB与重合，不合题意，故，，PA，PB的斜率无论怎样排序都不可能构成等比数列.21．考虑下面两个定义域为（0，+∞）的函数f（x）的集合：对任何不同的两个正数，都有，=对任何不同的两个正数，都有（1）已知，若，且，求实数和的取值范围（2）已知，且的部分函数值由下表给出：4比较与4的大小关系（3）对于定义域为的函数，若存在常数，使得不等式对任何都成立，则称为的上界，将中所有存在上界的函数组成的集合记作，判断是否存在常数，使得对任何和，都有，若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由解：（1）由：对任何不同的两个正数，都有，=对任何不同的两个正数，都有，可得函数y，y在（0，+∞）为增函数，y2x2+2ax+b，若f（x）∈Ω1，则0，即a≥0y2x+a，y′＝2，当b≥0，x＞0时，y′＞0，此时f（x）∈Ω2，不符合题意，舍去；当b＜0时，令y′＝0，解得x，此时函数在x∈（0，+∞）有极值点，因此f（x）∉Ω2．综上可得：当b＜0时，f（x）∈Ω1且f（x）∉Ω2．（2）由f（x）∈Ω1，若取0＜x1＜x2，则．由表格可知：f（a）＝d，f（b）＝d，f（c）＝t，f（a+b+c）＝4，∵0＜a＜b＜c＜a+b+c，∴，∴d＜0，d，d，t，∴2d+t=4.（3）∵对任何f（x）∈T和x∈（0，+∞），都有f（x）＜M，先证明f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立．假设存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＞0，记m＞0∵y是增函数．∴当x＞x0时，m＞0，∴f（x）＞mx2，∴一定可以找到一个x1＞x0，使得f（x1）＞mx12＞k，这与f（x）＜k对x∈（0，+∞）成立矛盾．即f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立．∴存在f（x）∈T，f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立．下面证明f（x）＝0在（0，+∞）上无解．假设存在x2＞0，使得f（x2）＝0，∵y是增函数．一定存在x3＞x2＞0，使0，这与上面证明的结果矛盾．∴f（x）＝0在（0，+∞）上无解．综上，我们得到存在f（x）∈T，f（x）＜0对x∈（0，+∞）成立．∴存在常数M≥0，使得存在f（x）∈T，∀x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立．又令f（x）（x＞0），则f（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，又有在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）∈T，而任取常数k＜0，总可以找到一个xn＞0，使得x＞xn时，有f（x）＞k．∴M的最小值为0．2023年高考数学考前信息必刷卷4（上海专用）一、填空题1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数______.〖答案〗〖解析〗因为复数对应的点的坐标是，则，，故〖答案〗为：.2．若向量，，且，则与的夹角大小是__________.〖答案〗〖解析〗∵，∴，∵，∴，∴，∴与的夹角大小为，故〖答案〗为：.3．函数的定义域为___________.〖答案〗〖解析〗由题意可知，而以2为底的对数函数是单调递增的，因此，求解可得或．故〖答案〗为：．4．某种食盐的袋装质量服从正态分布，随机抽取10000袋，则袋装质量在区间的约有______袋．（质量单位：g）附：若随机变量服从正态分布，则，，．〖答案〗8186〖解析〗由题意知，，所以，得，所以袋装质量在区间的约有袋.故〖答案〗为：8186.5．已知，则___________.〖答案〗〖解析〗等式，两边同时平方得，，两式相加，得，，整理得，即，因为，所以，得，代入，得，即，则，则.故〖答案〗为：.6．的展开式中含项的系数为______.〖答案〗〖解析〗的展开式通项，令，得；令，得，故的展开式中含项的系数为.故〖答案〗为：.7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，的平分线交BC于D．当的面积最大时，AD的长为______．〖答案〗〖解析〗因为，即，在中，由余弦定理可得，所以，且，所以，且，则，所以，当且仅当时，等号成立，此时，此时，，在中，，由正弦定理可得，故〖答案〗为:8．有穷数列共有k项，满足，，且当，时，，则项数k的最大值为______________．〖答案〗〖解析〗当时，，因为有穷数列，，，所以当项数最大时，，则，，，将以上各式相加得，即，，即，则.故〖答案〗为：9．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其外接球半径为2，则的最大值为____________．〖答案〗8〖解析〗设，因为三棱锥的三条侧棱两两垂直，所以由长方体模型可知，，即.，当且仅当时，取等号.即的最大值为.故〖答案〗为：10．已知，是双曲线：的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足为，线段的延长线交于点，是坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为______〖答案〗〖解析〗因为是的角平分线，，所以是等腰三角形，，为的中点，又为的中点，所以是的中位线，所以，因为，当点在双曲线的右支上时，，当点在双曲线的左支上时，，所以，即，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故〖答案〗为：.11．设函数（，e为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则a的取值范围是______．〖答案〗．〖解析〗由曲线上存在点，使得，即，下面证明，因为在定义域上严格递增，假设，则，不满足，同理，不满足，所以，那么函数，即函数在有解，所以，即，，令，则，，，单调递增，又，所以，所以a的取值范围是．故〖答案〗为：12．已知函数（且a为常数）和（且k为常数），有以下命题:①当时，函数没有零点；②当时，若恰有3个不同的零点，则；③对任意的，总存在实数，使得有4个不同的零点，且成等比数列.其中的真命题是_____（写出所有真命题的序号）〖答案〗②〖解析〗①因为，，由得，函数的零点，即是函数图像与直线交点的横坐标，当时，恒成立，因为，所以时，函数显然没有零点；当时，由得，即，即，因为，所以恒成立，若时，函数可能有零点；若，函数没有零点；故①错；②当时，因为恰有个不同零点，令，则关于的方程有两个不同的实数解，记作，不妨令；做出函数的图像如下：由图像可得：当时，与有个交点；当时，与有个交点；因为函数恰有个不同零点，则有个根，记作；有个根，记作（不妨令）；所以只需，，因此，，所以；，，因此；故②正确；③由，得；所以函数与图像交点个数，即为函数的零点个数；由②中图像可知：当时，与在上有个交点，即函数在上有个零点；当时，若，则函数在上单调递增，因此函数与在上最多只有个交点，即函数在上最多只有个零点；不满足存在实数，使得有4个不同的零点；若，由基本不等式可得：，即时，；若，则函数与在上最多只有个交点，也不满足对任意的，总存在实数，使得有4个不同的零点.故③错.故〖答案〗为：②.二、单选题13．已知直线，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗当时，，解得或，当时，直线，，此时两直线不重合，当时，直线，，此时两直线不重合，即或时，，故是的充分不必要条件.故选：A.14．已知两组数据和的中位数､方差均相同，则两组数据合并为一组数据后，（

）A．中位数一定不变，方差可能变大B．中位数一定不变，方差可能变小C．中位数可能改变，方差可能变大D．中位数可能改变，方差可能变小〖答案〗A〖解析〗对于中位数：不妨设，则两组数据和的中位数分别为，则，两组数据合并为一组数据后，则中位数为，故中位数一定不变；对于方差：设的平均数为，方差为，的平均数为，方差为，则，可得，则两组数据合并为一组数据的平均数，方差，当且仅当时等号成立，故方差可能变大，一定不会变小；故选：A.15．如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点（在的左边），且．下列说法错误的是（

）A．当运动时，不存在点使得B．当运动时，不存在点使得C．当运动时，二面角的最大值为D．当运动时，二面角为定值〖答案〗C〖解析〗建立如图所示的空间直角坐标系，则．因为在上，且，，可设，则，则，所以，故恒为正，故A正确．若，则四点共面，与和是异面直线矛盾，故B正确．设平面的法向量为，又，所以，即，取，则，平面的法向量为，所以．设二面角的平面角为，则为锐角，故，因为，在上单调递减，所以，故，当且仅当时，取得最大值，即取最小值，故C错误．连接．平面即为平面，而平面即为平面，故当运动时，二面角的大小保持不变，故D正确．故选：C16．已知点集，且，则下列说法正确的个数为（

）①区域Q为轴对称图形；②区域Q的面积大于；③M是直线上的一点，.A．0 B．1 C．2 D．3〖答案〗C〖解析〗根据题意，且，即，显然当时，满足条件限制；当时，两边平方化简可得：，其表示焦点在轴上的椭圆在第一象限和第三象限上及其内部的点；绘制点集表示的图形如下所示：数形结合可知，①错；阴影部分的面积，②对；对③：设，与椭圆方程联立可得：，若与椭圆相切，则，解得，故当时，直线与直线的距离即为的最小值，故，故，③正确.故正确的是②③.故选：C.三、解答题17．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点.（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正切值.（1）证明：由题设知，平面平面，交线为.因为，平面，所以平面，平面，故,因为是上异于，的点，且为直径，所以，又，平面，所以平面，而平面，故平面平面；（2）解：以D为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.当三棱锥M−ABC体积最大时，M为的中点.由题设得，设是平面MAB的法向量，则即，可取，又是平面的一个法向量，因此，，得，所以，，所以面与面所成二面角的正切值是.18．如图，已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求B；（2）若，，点D在边AC上，且在和上的投影向量的模相等，求线段BD的长．解：（1）∵，∴由正弦定理可，由余弦定理可得，∴即，∵，∴．（2）由（1）知，∴又，∴，解得．∵，∴，可得，由可得，解得．∵在和上的投影向量的模相等，∴BD为的平分线，由角平分线的性质知，即，解得，在中，由正弦定理可得，∴，在中，，由正弦定理可得，即，解得．19．某市为调研本市学生体质情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如表：优秀良好及格不及格男生100200780120女生120200520120（1）根据所给数据，完成下面列联表，并据此判断：能否有的把握认为该市学生体质测试是否达标与性别有关.（注：体质测试成绩为优秀､良好或及格则体质达标，否则不达标）达标不达标合计男生女生合计其中；（2）体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男､女生体质测试成绩优良的频率视为该市男､女生体质测试成绩优良的概率，在该市学生中随机选取1名男生，1名女生，设所选2人中体质测试成绩优良人数为，求的分布列，数学期望与方差.解：（1）由题得列联表如下：达标不达标合计男生10801201200女生840120960合计19202402160所以没有的把握认为该市学生体质达标与性别有关.（2）由题意男生体质测试优良率，女生体质测试优良率.的所有可能取值为.所以的分布列为012，20．已知椭圆过点，分别为椭圆C的左、右焦点且.（1）求椭圆C的方程；（2）过P点的直线与椭圆C有且只有一个公共点，直线平行于OP（O为原点），且与椭圆C交于两点A、B，与直线交于点M（M介于A、B两点之间）.（i）当面积最大时，求的方程；（ii）求证：，并判断，的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列.解：（1）设，，则，.，.又在椭圆上，故，又，解得，，故所求方程为.（2）（i）由于，设方程为，.由，消y整理得，，则.又点P到的距离,.当且仅当，，即时，等号成立.故直线AB的方程为：.（ⅱ）要证结论成立，只须证明：，由角平分线性质即证：直线为的平分线，转化成证明：.因为因此结论成立.又与C有一个公共点，即为椭圆的切线，由得令，，则，所以，所以，故所研究的4条直线的斜率分别为，，，，若这四个数成等比数列，且其公比记为q，则应有或，或.因为不成立，所以，而当时，，，此时直线PB与