2023届浙江省高考模拟测数学试卷07（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省2023届高考数学模拟测试卷07一、单选题1．若集合，，则（

）．A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗不等式的解集为，所以，又，所以.故选：A.2．复数是纯虚数的充分不必要条件是（

）A．且 B． C．且 D．〖答案〗C〖解析〗因为复数是纯虚数的充要条件是且，又因为且是且的充分不必要条件，所以且是复数为纯虚数的充分不必要条件.故选：C.3．下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗对于A，为奇函数，是周期函数，在定义域内不单调，不符合题意，不符合题意；对于，定义域为，所以为奇函数，但在定义域内不单调，不符合题意；对于C，，故函数不是奇函数，不符合题意；对于D，，是增函数，，是奇函数，满足题意；故选：D.4．某市为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度.为了确定一个比较合理的标准，通过简单随机抽样，获得了1000户居民的月均用水量数据（单位：），得到如图所示的频率分布直方图.估计该市居民月均用水量的中位数为（

）

A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由图知：，所以中位数在区间，令中位数为，则，所以.故选：B5．已知数列，若，则（

）A．9 B．11 C．13 D．15〖答案〗B〖解析〗由，令，则，则，令，则，则.故选：B.6．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围如图，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分除去两个球冠如图，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为，球冠的高为，则球冠的面积已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为，则围成该灯笼所需布料的面积为（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗由题意得圆柱的底面圆直径为，半径为，即球冠底面圆半径为.已知该灯笼的高为，圆柱的高为，所以该灯笼去掉圆柱部分的高为，所以，得，，所以两个球冠的表面积之和为，灯笼中间球面的表面积为．因为上下两个圆柱的侧面积之和为，所以围成该灯笼所需布料的面积为．故选：B．7．设过原点且倾斜角为的直线与双曲线C：的左，右支分别交于A、B两点，F是C的焦点，若三角形的面积大于，则C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗不妨设是双曲线的左焦点，由题可知，直线的方程为，由，得，且，所以，，因为，且大于，所以，所以，解得，又因为，解得，所以，故选：D．8．对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为，则的最小值为（

）A．-1 B． C． D．〖答案〗C〖解析〗设，则，，由，得，则，，设函数，，则，因为函数在上都是增函数，所以在上为增函数，又，所以当时，，单调递减,当时，,单调递增，故，即的最小值为.故选：C.二、多选题9．已知函数则（

）A．的最小正周期为B．在上单调递增C．直线是图象的一条对称轴D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到〖答案〗BC〖解析〗可化为，函数的最小正周期为，A错误；当时，，因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，B正确；当时，，所以直线是图象的一条对称轴，C正确；函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，D错误.故选：BC.10．甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个红球，2个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以，，表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以表示事件“取出的是白球”，则下列结论中正确的是（）A．事件，，是两两互斥的事件 B．事件与事件为相互独立事件C． D．〖答案〗ACD〖解析〗由题意可得，，，显然事件，，是两两互斥的事件，故A正确，，，因为，故事件与事件不是相互独立，故B错误，，故C正确，，故D正确.故选：ACD11．如图所示的几何体，是将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点，作平行于底面的截面所得，且其所有棱长均为1，则（

）

A．直线与直线所成角为 B．直线与平面所成角为C．该几何体的体积为 D．该几何体中，二面角的余弦值为〖答案〗AC〖解析〗将该几何体还原为原正四面体，棱长为，设中心为O，连接OQ，ON，则,对A：因为，所以直线与直线所成角即为MQ与QN所成角为，故A正确；对B：直线与平面所成角为QN与底面MNS所成的角，即为所求角，，，故B错误；对C：该几何体的体积为大正四面体的体积减去4个棱长为1的小正四面体的体积，，故C正确；对D：二面角的大小与的大小互补，显然的大小为锐角，所以二面角的大小一定为钝角，故D错误.故选：AC12．椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象.关于椭圆曲线：，下列结论正确的是（

）A．曲线关于点对称B．曲线关于直线对称C．当时，曲线上点的横坐标的取值范围为D．若曲线上存在位于y轴左侧的点，则〖答案〗BD〖解析〗对选项A：设曲线上有一点，则，而点关于对称的点为，如果曲线关于对称，则也应在曲线上，则有；联立①②，得，此时无解，所以和这样的对称点不存在，即不是该椭圆曲线的对称点，故A错误；对选项B：设曲线上有一点，则，而点关于对称的点为，如果曲线关于对称，则也应在曲线上，则有；联立①②，得=，即=，该式恒成立，则和是在曲线上且关于对称的点，即是该椭圆曲线的对称轴，故B正确；对选项C：因为，所以，所以，当时，有，因为，所以；设，则，令，所以，当时，，在单调递增当时，，在单调递减当时，，在单调递增，极大值，即点也在曲线上，所以C错误；对选项D：由原方程得：，曲线上存在位于y轴左侧的点，即当时有点在曲线上，设，则，当，，在上单调递增，且，所以此时，此时没有能使成立；当时，令，所以，当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；所以只需的极大值大于0即可使曲线上存在位于y轴左侧的点，即，所以所以，所以，得，即，所以D正确.故选：BD.三、填空题13．已知实数，满足，则的最大值为_____________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，即，当时，等号成立，所以的最大值是.故〖答案〗为：14．已知，则_____________.〖答案〗30〖解析〗因为，所以是含项的系数，若从10个式子中取出0个，则需要从中取出3个，7个1，则得到的项为；若从10个式子中取出1个，则需要从中取出1个，8个1，则得到的项为；若从10个式子中取出大于或等于2个，则无法得到含的项；综上：含的项为，则含项的系数为，即.故〖答案〗为：.15．已知P是圆上一点，动点，的坐标为，，其中.若恰好存在一个点，使得，则______.〖答案〗或〖解析〗设以为直径的圆为圆，∵，，∴，∵圆上恰好有一个点满足，∴圆与圆相切.①当两圆外切时，，解得；②当两圆内切时，，解得.故〖答案〗为：或.16．已知平面向量、、、，满足，，，，若，则的最大值是_________.〖答案〗〖解析〗因为，即，可得，设，，则，则，设，则，因为，，则或，因为，则或，令，则或，根据对称性，可只考虑，由，记点、、，则，，所以，，当且仅当点为线段与圆的交点时，等号成立，所以，.故〖答案〗为：.四、解答题17．若数列前n项和为，且满足（t为常数，且）（1）求数列的通项公式：（2）设，且数列为等比数列，令，.求证：.（1）解：由题意，得：（t为常数，且），当时，得，得.由，故，，故.（2）证明：由，由为等比数列可知：，又，故，化简得到，所以或（舍）.所以，，则.设的前n项和为.则，相减可得18．在中，角，，所对的边分别是，，，满足．（1）求角的大小；（2）设，求的最大值此时的大小．解：（1）因为，所以，，，又因为，所以.又因为，所以.（2）因为，所以，即，故.，，当时，即时，取得最大值为19．如图，已知四棱锥中，底面是矩形，，，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：如图，取，的中点，，连接，，，因为，，所以，，，又，所以，，又因为，所以，所以，即，平面，所以平面，而平面，所以平面平面；（2）解：解法一：设到平面的距离为，因为，，所以，由（1），，又，所以，平面，所以平面，因为，所以点到平面的距离为，所以，所以，故直线与平面所成角的正弦值为.解法二：建系法如图，建立空间坐标系，则，，，，设，由，得即，设平面的法向量为，因为，，所以，令，可得，于是.20．某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450～950分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示，将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.（1）求的值，并估计该校学生分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从分数落在，内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高分选手”的女生有10人，请判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关？（参考公式：，其中）0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）由题意知，解得，样本平均数为.（2）由题意，从中抽取7人，从中抽取3人，随机变量的所有可能取值有0，1，2，3.（，1，2，3），所以随机变量的分布列为：0123随机变量的数学期望.（3）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高分选手”的25人，其中女生10人；得出以下列联表；属于“高分选手”不属于“高分选手”合计男生152540女生105060合计2575100，所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与性别有关.21．已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，椭圆的长轴长为．（1）记椭圆与抛物线的公共弦为，求；（2）P为抛物线上一点，为椭圆的左焦点，直线交椭圆于A，B两点，直线与抛物线交于P，Q两点，求的最大值．解：（1）根据题意得：，∴抛物线方程：，椭圆方程：联立抛物线与椭圆：，整理得：（舍）∴∴（2）设联立与椭圆：，整理得：所以弦长公式：联立与抛物线：，整理得：所以弦长公式：联立与，∴P在抛物线上：，整理得：，即∴∴的最大值为，当时取到最大值．22．已知函数既有极大值，又有极小值.（1）求实数的取值范围；（2）记为函数的极小值点，实数且，证明：.（1）解：①当时，单调递增，不存在2个零点，故舍去；②当时，令，则，所以在单调递增，在单调递减，所以，解得.下证，当时，函数既有极大值，又有极小值.由得，存在使，由，又恒成立，证明如下：令，，时，，单减，时，，单增，故，所以恒成立，故存在使，0+0单减极小值单增极大值单减函数既有极大值，又有极小值，故；（2）证明：由（1）可知函数在，，单调递减，在，单调递增，实数且，故要证即证，即．因为，所以只要证．因为得，令，即证当时，．设，因为，所以在，上单调递增，故（1），因此在，上单调递增，故当时，（1）．综上，．浙江省2023届高考数学模拟测试卷07一、单选题1．若集合，，则（

）．A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗不等式的解集为，所以，又，所以.故选：A.2．复数是纯虚数的充分不必要条件是（

）A．且 B． C．且 D．〖答案〗C〖解析〗因为复数是纯虚数的充要条件是且，又因为且是且的充分不必要条件，所以且是复数为纯虚数的充分不必要条件.故选：C.3．下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗对于A，为奇函数，是周期函数，在定义域内不单调，不符合题意，不符合题意；对于，定义域为，所以为奇函数，但在定义域内不单调，不符合题意；对于C，，故函数不是奇函数，不符合题意；对于D，，是增函数，，是奇函数，满足题意；故选：D.4．某市为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度.为了确定一个比较合理的标准，通过简单随机抽样，获得了1000户居民的月均用水量数据（单位：），得到如图所示的频率分布直方图.估计该市居民月均用水量的中位数为（

）

A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由图知：，所以中位数在区间，令中位数为，则，所以.故选：B5．已知数列，若，则（

）A．9 B．11 C．13 D．15〖答案〗B〖解析〗由，令，则，则，令，则，则.故选：B.6．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围如图，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分除去两个球冠如图，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为，球冠的高为，则球冠的面积已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为，则围成该灯笼所需布料的面积为（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗由题意得圆柱的底面圆直径为，半径为，即球冠底面圆半径为.已知该灯笼的高为，圆柱的高为，所以该灯笼去掉圆柱部分的高为，所以，得，，所以两个球冠的表面积之和为，灯笼中间球面的表面积为．因为上下两个圆柱的侧面积之和为，所以围成该灯笼所需布料的面积为．故选：B．7．设过原点且倾斜角为的直线与双曲线C：的左，右支分别交于A、B两点，F是C的焦点，若三角形的面积大于，则C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗不妨设是双曲线的左焦点，由题可知，直线的方程为，由，得，且，所以，，因为，且大于，所以，所以，解得，又因为，解得，所以，故选：D．8．对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为，则的最小值为（

）A．-1 B． C． D．〖答案〗C〖解析〗设，则，，由，得，则，，设函数，，则，因为函数在上都是增函数，所以在上为增函数，又，所以当时，，单调递减,当时，,单调递增，故，即的最小值为.故选：C.二、多选题9．已知函数则（

）A．的最小正周期为B．在上单调递增C．直线是图象的一条对称轴D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到〖答案〗BC〖解析〗可化为，函数的最小正周期为，A错误；当时，，因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，B正确；当时，，所以直线是图象的一条对称轴，C正确；函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，D错误.故选：BC.10．甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个红球，2个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以，，表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以表示事件“取出的是白球”，则下列结论中正确的是（）A．事件，，是两两互斥的事件 B．事件与事件为相互独立事件C． D．〖答案〗ACD〖解析〗由题意可得，，，显然事件，，是两两互斥的事件，故A正确，，，因为，故事件与事件不是相互独立，故B错误，，故C正确，，故D正确.故选：ACD11．如图所示的几何体，是将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点，作平行于底面的截面所得，且其所有棱长均为1，则（

）

A．直线与直线所成角为 B．直线与平面所成角为C．该几何体的体积为 D．该几何体中，二面角的余弦值为〖答案〗AC〖解析〗将该几何体还原为原正四面体，棱长为，设中心为O，连接OQ，ON，则,对A：因为，所以直线与直线所成角即为MQ与QN所成角为，故A正确；对B：直线与平面所成角为QN与底面MNS所成的角，即为所求角，，，故B错误；对C：该几何体的体积为大正四面体的体积减去4个棱长为1的小正四面体的体积，，故C正确；对D：二面角的大小与的大小互补，显然的大小为锐角，所以二面角的大小一定为钝角，故D错误.故选：AC12．椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象.关于椭圆曲线：，下列结论正确的是（

）A．曲线关于点对称B．曲线关于直线对称C．当时，曲线上点的横坐标的取值范围为D．若曲线上存在位于y轴左侧的点，则〖答案〗BD〖解析〗对选项A：设曲线上有一点，则，而点关于对称的点为，如果曲线关于对称，则也应在曲线上，则有；联立①②，得，此时无解，所以和这样的对称点不存在，即不是该椭圆曲线的对称点，故A错误；对选项B：设曲线上有一点，则，而点关于对称的点为，如果曲线关于对称，则也应在曲线上，则有；联立①②，得=，即=，该式恒成立，则和是在曲线上且关于对称的点，即是该椭圆曲线的对称轴，故B正确；对选项C：因为，所以，所以，当时，有，因为，所以；设，则，令，所以，当时，，在单调递增当时，，在单调递减当时，，在单调递增，极大值，即点也在曲线上，所以C错误；对选项D：由原方程得：，曲线上存在位于y轴左侧的点，即当时有点在曲线上，设，则，当，，在上单调递增，且，所以此时，此时没有能使成立；当时，令，所以，当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；所以只需的极大值大于0即可使曲线上存在位于y轴左侧的点，即，所以所以，所以，得，即，所以D正确.故选：BD.三、填空题13．已知实数，满足，则的最大值为_____________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，即，当时，等号成立，所以的最大值是.故〖答案〗为：14．已知，则_____________.〖答案〗30〖解析〗因为，所以是含项的系数，若从10个式子中取出0个，则需要从中取出3个，7个1，则得到的项为；若从10个式子中取出1个，则需要从中取出1个，8个1，则得到的项为；若从10个式子中取出大于或等于2个，则无法得到含的项；综上：含的项为，则含项的系数为，即.故〖答案〗为：.15．已知P是圆上一点，动点，的坐标为，，其中.若恰好存在一个点，使得，则______.〖答案〗或〖解析〗设以为直径的圆为圆，∵，，∴，∵圆上恰好有一个点满足，∴圆与圆相切.①当两圆外切时，，解得；②当两圆内切时，，解得.故〖答案〗为：或.16．已知平面向量、、、，满足，，，，若，则的最大值是_________.〖答案〗〖解析〗因为，即，可得，设，，则，则，设，则，因为，，则或，因为，则或，令，则或，根据对称性，可只考虑，由，记点、、，则，，所以，，当且仅当点为线段与圆的交点时，等号成立，所以，.故〖答案〗为：.四、解答题17．若数列前n项和为，且满足（t为常数，且）（1）求数列的通项公式：（2）设，且数列为等比数列，令，.求证：.（1）解：由题意，得：（t为常数，且），当时，得，得.由，故，，故.（2）证明：由，由为等比数列可知：，又，故，化简得到，所以或（舍）.所以，，则.设的前n项和为.则，相减可得18．在中，角，，所对的边分别是，，，满足．（1）求角的大小；（2）设，求的最大值此时的大小．解：（1）因为，所以，，，又因为，所以.又因为，所以.（2）因为，所以，即，故.，，当时，即时，取得最大值为19．如图，已知四棱锥中，底面是矩形，，，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：如图，取，的中点，，连接，，，因为，，所以，，，又，所以，，又因为，所以，所以，即，平面，所以平面，而平面，所以平面平面；（2）解：解法一：设到平面的距离为，因为，，所以，由（1），，又，所以，平面，所以平面，因为，所以点到平面的距离为，所以，所以，故直线与平面所成角的正弦值为.解法二：建系法如图，建立空间坐标系，则，，，，设，由，得即，设平面的法向量为，因为，，所以，令，可得，于是.20．某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450～950分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示，将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.（1）求的值，并估计该校学生分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从分数落在，内的两组学生中抽取10人，