2024年中考数学一轮复习讲义 锐角三角函数 培优练习

锐角三角函数培优练习

一、课标导航

课标内容课标要求目标层次

了解锐角三角函数；知道30。、45。、60。角的三角函数值★

由某个角的一个三角函数值，会求这个角的其余三角函数值；会计算含

锐角三角函数★★

有30。、45。、60。角的三角函数式的值

能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单计算★★★

二、核心纲要

1.锐角三角函数的概念

⑴定义:在RtAABC中，锐角A的正弦、余弦和正切统称为锐角A的三角函数.

(2攻口下图所示，在Rt△48c中,NC=90°,

①正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做乙4的正弦.记作sinA,即sinA=

c

②余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做乙4的余弦，记作cosA.即cosA=

③正切：锐角A的对边与邻边的比叫做NA的正切.记作tanA,即tanA=(

b

注：(1)锐角三角函数没有单位.

⑵锐角三角函数值只与角的大小有关，与直角三角形的大小和位置无关.

(3)sinA是一个整体符号，即表示的正弦，习惯省去角的符号“N”,但不能写成sin-A,三个大写字母表示一个角时，角的符号

“N”不能省略,如：sin^BAC.

(4)当0°<ZJ4<90°时,0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0.

2.特殊角的三角函数(如下表所示)

数

sinacosatana

锐角a

1V3

30°V3

2~TT

V2V2

45°1

TT

V31

60°V3

T2

注：特殊角的锐角三角函数值的记忆方法

⑴数形结合记忆法

如下左图、中图所示，由定义可得各角的三角函数值.

⑵增减规律记忆法

①Sina的值随a的增大而增大，依次为：今冬冬

②cosa的值随a的增大而减小，依次为：

③tana的值随a的增大而增大，依次为：f,L遮.

3.锐角三角函数之间的关系

如下右图所示,在RtAABC中,NC=90。.

⑴互余关系:sinA=cos(90°-ZA)=cosB,cosA=sin(90°-NA)=sinB.

(2)平方关系:sin2A+COS2A=1.

(3)倒数关系:tanA-tanB=L

(4)商数关系:tanA=半.

①根据特殊角的三角函数值求值.

②借助边的数量关系求值.

③借助等角求值.

④根据三角函数关系求值.

本节重点讲解：一个概念，一个特殊值，一个方法.

三、全能突破

基础演练

1.(1)在AABC中,.NC=90°,cosB=^,AB=15则BC的长为().

43旧B.3V29C.6D.|

(2)在RtAABC中,NC=90。,若BC=1,AB=则tanA的值为().，则

A.-B.—C.-D.2

552

2.如图28-1-1所示，菱形ABCD的边长为10cm,DESAB.sinA=|,则这个菱形的面积为()cm2.

A.40B.60C.80D.100

3.在平面直角坐标系中,已知点A(2,l)和点B(3,0),则sin/AOB的值等于().

A.—B.-C.—D.-

5222

4.如图28-1-2所示，在AABC中,NACB=9(r,CD_LAB于点D,若AC=2翼,AB=3Vx则tanNBCD的值为().

A

D

A>C

6

A./2B./2若D用图28-1-1图28-1-2

5.点A(sin3(T,-tan30。)关于原点对称的点A、的坐标是__.

6.在AABC中，若NA、NB满足|cos(4-15。)-1+(sinB-多=0,则NC三.

00-1

7.计算：COS260+tan30°sin60-(cos45°—V2+cos30°)+(sin30°)—Vtan45~°+tan^Qo.

8.如图28-1-3所示,AB是。O的直径,C是。0上一点,CDAB,垂足为点D,F是…"的中点，OF与AC相殳打

E,AC=8cm,EF=2cm.

⑴求AO的长.

⑵求sinC的值

图28-1-3

能力提升

9.已知a为锐角，目Vsina<当则a的取值范围是().

A.0°<a<30°B.60°<a<90°C.45°<a<60°D.30°<a<45°

10.直线y=2x与x轴正半轴的夹角为a,那么下列结论正确的是().

A.tana=2B.cota=2C.sina=2D.cosa=2

11.如图28-1-4所示，在四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC等于(

图28-1-4

12在RtAABC中,NC=9(F,NA、NB的对边是a、b,且满足a?-ab-/=0,则tanA=().

1—V5

等r萼

A.lBC.---------D.

2

13.小明在学习“锐角三角函数”中发现，将图28-1-5所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原

后，再沿过点E的直线折叠,使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5。角的正切值是().

A.V3+1B.V2+1C.2.5D.V5

14.(1)如图28-1-6所示，在8x4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是I,若AABC的三个顶点都在图中相应的格点上，则sinZA

的值为—.

⑵如图28-1-7所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB、CD相交于点P,则t

anZAPD的值是一

图28-1-6图28-1-7

15.⑴如图28-1-8所示,。O是AABC的外接圆,AD是。O的直径，若。0的半径为|,4C=2,则cosB的值为.

(2)如图28-1-9所示，已知AABC的外接圆。O的半径为1,D、E分别为AB、AC的中点，则sin/BAC的值等于线段______的长.

图28-1-8图28-1-9

16.如图28-1-10所示在R3ABC中,NC=9()o,AB的垂直平分线与BC、AB的交点分别为D、E.

⑴若=10,sin乙4。。=、，求AC的长和tanB的值.

⑵若AD=l,NADC=a参考⑴的计算过程直接写出:tan］的值(用sina和cosa的值表示).

图28-1-10

17.已知a、b、c分别是4ABC中NA、NB、ZC的对边，关于x的一元二次方程(a(l-x2)+2bx+c(l+x2)=0有两个相等的实数

根，且3c=a+3b.

⑴判断△ABC的形状.

⑵求sinAsinB的算术平方根.

18.当0Va<60时，下列关系式中有且仅有一个正确.

A.2sin(a+30°)=sina+V3B.2sin(a+30°)=2sina+V3

C.2sin(a+30°)=V3sina+cosa

(1)正确的选项是___.

⑵如图28111(a)所示，在4ABC中,人01,/3=30。,/人=%葡1」用此图证明编中的结论

(3)两块分别含45。和30。的直角三角板按图28-l-ll(b)所示方式放置在同一平面内一8。=8证,求.S4ADC.

A

A

图28-1-11中考链接

19.(四川乐山改编)如图28-1-12所示，定义:在)RM4BC中,锐角a的邻边与对边的比叫做角a的余切，记作cota,即

一角a的邻边_AC

0角a的对边BC'根据上述角的余切定义，解下列问题：

(l)cot30°=

(2)已知tan4=*其中NA为锐角试求cotA的值

(3)已知第一象限内的点A在反比例函数y=?勺图像上，第二象限内的点B在反比例函数y=§的图像上：且

图28-1-12

OA&OB,coM=当直接写出k的值

20.(广东湛江改编)阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：

B

A

sin30°=|,cos30。贝!J.s①，30。+cos'30。=,①

sin45"=乎，cos45°=孝，贝|J:sin2450+cos245°=,②

AC

sin60°=—,cos60。=二则.siMeo。+cos260°=③

22图28-1-13

观察上述等式，猜想：对任意锐角A,都有：sin2A+COS2A=

(1)如图28-1-13所示，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对NA证明你的猜想.

(2)已知:NA为锐角(cosA>0),且sinA=|,求cosA.

(3)在RtAABC中,/C=90。,且sinA、cosA是关于x的方程3/-讥久+1=0的两根，m为实数，则sin4A+cos4A=.

巅峰突破

21.在AABC中,NACB=90°,NABC=15°,BC=l,则AC=().

A.2+V3B.2-V3C.0.3D.V3-V2

22.如图28-1-14所示,在等腰直角三角形ABC中,ZC=90°,D为BC的中点，将AABC折叠,使A点与D点重

合，若EF为折痕,则sinNBED的值为—芸的值为____.

DF

AB

图28-1-14

基础演练

l.(l)C(2)C2.B3.A4.B5.(-j-y)6.60°7.11

8.(1)：F是AC的中点。AF=CF.

又VOF是半径,，OF±AC,AE=CE.

*.*AC=8cm.AE=4cm.

在RtAAEO中,AE2+EO2=AO2.

又•・•EF=2cm,・•・42+(AO-2)2=AGP,解得:AO=5,

/.A0=5cm.

(2)VOE±AC.AZA+ZAOE=90°.

VCD±AB,ANA+NO90。，

JZAOE=ZC..\sinC=sinZAOE.

■:sinZ-AOE=-=sinC=

AO55

能力提升

9.D10.All.B12.B13.B

14.(1)|(2)215.(1)|(2)DE

16.(1)在IRtAACD中,NC=90。.AD=10,sinZADC=1

4

AC=AD-sin乙40c=10x-=8.

5

CD=AD-cos乙40c=10x|=6.

•/DE垂直平分AB,Z.BD=AD=10.

，BC=CD+BD=16.

在RtAABC中.NC=90°,tanB=-=—=-

BC162

(2)ta吧=写成上也可)

21+cosasma

17.(1)将方程整理得:(c-a)x2+2bx+a+c=0

4=(2b)2-4(c—a)(a+c)=4(b2+a2-c2).

.•,方程有两个相等的实数根，”△=0..-.b2+a2=c2,

.1△ABC是直角三角形.

⑵由⑴得.b2+a2=c2„X3c=a+3b.(3c-3b)2+b2=c2.(4c-5b)(c-b)=0.

,.l7743

•••c丰b,:.4c=5b.b=-c,a=-c.

在RtAABC中.sinA-sinB=|x^=||.

.,.sinAsinB的算术平方根为等.

18.(1)C

(2)如下图所示，过点A作AD±BC交BC的延长线于点D.

•/ZB=30°,ZBAC=a,AC=l,AZACD=a+30°.

AADC中,NADC=90°,AD=AC-sinZACD=sin(a+30°).

VHAABD中,/B=30。，

/.AB=2AD=2sin(a+30°).

过点C作CE_LAB于点E.

CEA中