2023届天津市九校联考高三模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市九校联考2023届高三模拟考试数学试题第Ⅰ卷参考公式：·如果事件，互斥，那么．·如果事件，相互独立，那么．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗或，由得,所以，故选：D.2.已知为非零实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由，即，即，解得或，所以由可以推出，故充分性成立，由推不出，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.函数的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得，，，因为，所以函数不是奇函数，也不是偶函数，所以函数的图象不关于轴对称，A，D错误，又，B错误；选项C满足以上要求.故选：C.4.少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（）A.样本的众数为65 B.样本的第80百分位数为72.5C.样本的平均值为67.5 D.该校学生中低于的学生大约为1000人〖答案〗B〖解析〗由频率分布直方图可得众数为，A错误；平均数为，C错误；因为体重位于的频率分别为，因为，所以第80百分位数位于区间内，设第80百分位数为，则，所以，即样本的第80百分位数为72.5，B正确；样本中低于学生的频率为，所以该校学生中低于的学生大约为，D错误；故选：B.5.设,,,则（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗由题知,,,因为在定义域内单调递减,所以,即因为在定义域内单调递增,所以,即,因为在定义域内单调递增,所以,即,综上:.故选:D.6.设，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，所以，故选：C7.设、分别为双曲线（，）的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，可知是一个等腰三角形，在直线的投影是其中点，由勾股定理可知|，根据双曲定义可知，整理得，代入整理得，所以所以双曲线渐近线方程为，即，抛物线准线方程为，渐近线与抛物线的准线的交点坐标为：，，的面积.所以双曲线的渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为.故选：B.8.中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（）A. B. C. D.6〖答案〗A〖解析〗由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，四面体的棱长最大，则该球半径，如图：可知为外接球球心，，平面，为底面等边的中心，设正四面体的棱长为，则，，在中，则，即，解得，即．故选：A.9.已知函数（，，）的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：①的图象关于点对称；②的图象关于直线对称；③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到；⑧若方程在上有且只有两个极值点，则的最大值为．以上四个说法中，正确的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗依题意可得，，，再根据五点法作图可得，解得，．因为，所以的图象关于点对称，故①正确；因为，所以的图象关于直线对称，故②正确；将的图象向左平移个单位长度得到，故③错误；因为，当时且，，因为函数在上有且只有两个极值点，所以，解得，即的最大值为，故④正确；故选：C第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.已知是虚数单位，复数的虚部为________.〖答案〗〖解析〗因为，所以其虚部为-1，故〖答案〗为：.11.在的展开式中，的系数是________．〖答案〗〖解析〗由题意得：，，只需，可得，所以，故〖答案〗：.12.直线经过点，与圆相交截得的弦长为，则直线的方程为________．〖答案〗或〖解析〗圆，即，圆心为，半径，因为直线与圆相交截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，若直线的斜率不存在，此时直线方程为，满足圆心到直线的距离为，符合题意；若直线的斜率存在，设斜率为，则直线方程为，即，则，解得，所以直线方程为，即，综上可得直线方程为或.故〖答案〗为：或13.有两台车床加工同一型号的零件，第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%．假定两台车床加工的优秀率互不影响，则两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为________；若把加工出来的零件混放在一起，已知第一台车床加工的零件数占总数的60%，第二台车床加工的零件数占总数的40%，现任取一个零件，则它是优秀品的概率为________．〖答案〗〖解析〗由于第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%，所以两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为记“加工的零件为优秀品”，“零件为第1台车床加工“，“零件为第2台车床加工“，，，，，由全概率公式可得，故〖答案〗为：14.在中，，，若为其重心，试用，表示为________；若为其外心，满足，且，则的最大值为________．〖答案〗〖解析〗连接并延长交与点，由重心性质可得为线段的中点，且，又，所以，若为的外心，则，设点为线段的中点，设点为线段的中点，则，因为，，所以可化为：，所以，由正弦定理可得，故所以，所以，当且仅当，即时等号成立.所以的最大值为.故〖答案〗为：，.15.设，对任意实数x，记．若有三个零点，则实数a的取值范围是________．〖答案〗〖解析〗令，因为函数有一个零点，函数至多有两个零点，又有三个零点，所以必须有两个零点，且其零点与函数的零点不相等，且函数与函数的零点均为函数的零点，由可得，，所以，所以为函数的零点，即，所以，令，可得，由已知有两个根，设，则有两个正根，所以，，所以，故，当时，有两个根，设其根为，，则，设，则，，所以，令，则，则，，且，，所以当时，，所以当时，为函数的零点，又也为函数的零点，且与互不相等，所以当时，函数有三个零点.故〖答案〗为：.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足．（1）求角B的大小；（2）设，．（ⅰ）求c的值；（ⅱ）求的值．解：（1）由，根据正弦定理得，,可得，因为，故，则，又，所以.（2）由（1）知，，且，，（ⅰ）则，即，解得（舍），.故.（ⅱ）由，得，解得，则，则，，则.17.如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．（1）求证：平面；（2）求点到直线的距离；（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由．（1）证明：因为底面，，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，又，可得，因为平面，所以平面，（2）解：因为，所以点到直线的距离.（3）解：设，，则，设平面的法向量为，则令，则，所以，即，解得或（舍去），所以.18.设是等差数列，其前项和为（），为等比数列，公比大于1．已知，，，．（1）求和的通项公式；（2）设，求的前项和；（3）设，求证：．（1）解：依题意设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，，又，，所以，解得或（舍去），所以，.（2）解：由（1）可得，设的前项和为，所以.（3）证明：因为，所以，所以，所以.19.已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，椭圆内一点M满足，．（1）求椭圆的离心率；（2）椭圆上一点P在第一象限，且满，与椭圆交于点Q，直线交的延长线于点D．若的面积为，求椭圆的标准方程．解：（1）因为椭圆内一点M满足，所以为的中点，则，，化简得，因为，所以，所以椭圆的离心率为.（2）椭圆上一点P在第一象限，且满,所以直线，设直线方程为，由直线方程与椭圆方程联立得，，解得，因为点P在第一象限，，因为关于原点对称，，因为，，则直线的方程为，联立得，，所以，所以直线的方程为，即，所以点到直线的距离为，，所以的面积，所以，所以椭圆的标准方程为.故椭圆方程为.20.已知函数，其中.（1）当时，求函数在点上的切线方程.（其中e为自然对数的底数）（2）已知关于x的方程有两个不相等的正实根，，且.（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）设k为大于1的常数，当a变化时，若有最小值，求k的值.解：（1）当时，，所以，所以，又，所以函数在点上的切线方程为，即；（2）（ⅰ）即，则有，，设，，则，令，得，令，得，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又x趋向于0时，趋向负无穷，x趋向于正无穷大时，无限趋向0，且，函数的图象如下：由题意，方程有两个不相等的正实根，即方程有两个不相等的正实根，所以函数的图象与直线有两个交点，由图知，，故实数a的取值范围为；（ⅱ）因为，由（ⅰ）得，则，所以，设，则，即，，由题意有最小值，即有最小值，设，，则，记，则，由于，，时，，则在上单调递减，时，，则在上单调递增，又，，且t趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大，故存在唯一，使得，时，，即，所以在上单调递减，时，，即，所以在上单调递增，所以时，有最小值，而，则，即，所以，由题意知，令，设，则，设，则，设，则，故在上单调递增，，此时在上单调递增，有，此时，故在上单调递增，又，故的唯一解是，故的唯一解是，即，综上所述，.天津市九校联考2023届高三模拟考试数学试题第Ⅰ卷参考公式：·如果事件，互斥，那么．·如果事件，相互独立，那么．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗或，由得,所以，故选：D.2.已知为非零实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由，即，即，解得或，所以由可以推出，故充分性成立，由推不出，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.函数的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得，，，因为，所以函数不是奇函数，也不是偶函数，所以函数的图象不关于轴对称，A，D错误，又，B错误；选项C满足以上要求.故选：C.4.少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（）A.样本的众数为65 B.样本的第80百分位数为72.5C.样本的平均值为67.5 D.该校学生中低于的学生大约为1000人〖答案〗B〖解析〗由频率分布直方图可得众数为，A错误；平均数为，C错误；因为体重位于的频率分别为，因为，所以第80百分位数位于区间内，设第80百分位数为，则，所以，即样本的第80百分位数为72.5，B正确；样本中低于学生的频率为，所以该校学生中低于的学生大约为，D错误；故选：B.5.设,,,则（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗由题知,,,因为在定义域内单调递减,所以,即因为在定义域内单调递增,所以,即,因为在定义域内单调递增,所以,即,综上:.故选:D.6.设，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，所以，故选：C7.设、分别为双曲线（，）的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，可知是一个等腰三角形，在直线的投影是其中点，由勾股定理可知|，根据双曲定义可知，整理得，代入整理得，所以所以双曲线渐近线方程为，即，抛物线准线方程为，渐近线与抛物线的准线的交点坐标为：，，的面积.所以双曲线的渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为.故选：B.8.中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（）A. B. C. D.6〖答案〗A〖解析〗由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，四面体的棱长最大，则该球半径，如图：可知为外接球球心，，平面，为底面等边的中心，设正四面体的棱长为，则，，在中，则，即，解得，即．故选：A.9.已知函数（，，）的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：①的图象关于点对称；②的图象关于直线对称；③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到；⑧若方程在上有且只有两个极值点，则的最大值为．以上四个说法中，正确的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗依题意可得，，，再根据五点法作图可得，解得，．因为，所以的图象关于点对称，故①正确；因为，所以的图象关于直线对称，故②正确；将的图象向左平移个单位长度得到，故③错误；因为，当时且，，因为函数在上有且只有两个极值点，所以，解得，即的最大值为，故④正确；故选：C第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.已知是虚数单位，复数的虚部为________.〖答案〗〖解析〗因为，所以其虚部为-1，故〖答案〗为：.11.在的展开式中，的系数是________．〖答案〗〖解析〗由题意得：，，只需，可得，所以，故〖答案〗：.12.直线经过点，与圆相交截得的弦长为，则直线的方程为________．〖答案〗或〖解析〗圆，即，圆心为，半径，因为直线与圆相交截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，若直线的斜率不存在，此时直线方程为，满足圆心到直线的距离为，符合题意；若直线的斜率存在，设斜率为，则直线方程为，即，则，解得，所以直线方程为，即，综上可得直线方程为或.故〖答案〗为：或13.有两台车床加工同一型号的零件，第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%．假定两台车床加工的优秀率互不影响，则两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为________；若把加工出来的零件混放在一起，已知第一台车床加工的零件数占总数的60%，第二台车床加工的零件数占总数的40%，现任取一个零件，则它是优秀品的概率为________．〖答案〗〖解析〗由于第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%，所以两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为记“加工的零件为优秀品”，“零件为第1台车床加工“，“零件为第2台车床加工“，，，，，由全概率公式可得，故〖答案〗为：14.在中，，，若为其重心，试用，表示为________；若为其外心，满足，且，则的最大值为________．〖答案〗〖解析〗连接并延长交与点，由重心性质可得为线段的中点，且，又，所以，若为的外心，则，设点为线段的中点，设点为线段的中点，则，因为，，所以可化为：，所以，由正弦定理可得，故所以，所以，当且仅当，即时等号成立.所以的最大值为.故〖答案〗为：，.15.设，对任意实数x，记．若有三个零点，则实数a的取值范围是________．〖答案〗〖解析〗令，因为函数有一个零点，函数至多有两个零点，又有三个零点，所以必须有两个零点，且其零点与函数的零点不相等，且函数与函数的零点均为函数的零点，由可得，，所以，所以为函数的零点，即，所以，令，可得，由已知有两个根，设，则有两个正根，所以，，所以，故，当时，有两个根，设其根为，，则，设，则，，所以，令，则，则，，且，，所以当时，，所以当时，为函数的零点，又也为函数的零点，且与互不相等，所以当时，函数有三个零点.故〖答案〗为：.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足．（1）求角B的大小；（2）设，．（ⅰ）求c的值；（ⅱ）求的值．解：（1）由，根据正弦定理得，,可得，因为，故，则，又，所以.（2）由（1）知，，且，，（ⅰ）则，即，解得（舍），.故.（ⅱ）由，得，解得，则，则，，则.17.如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．（1）求证：平面；（2）求点到直线的距离；（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由．（1）证明：因为底面，，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，又，可得，因为平面，所以平面，（2）解：因为，所以点到直线的距离.（3）解：设，，则，设平面的法向量为，则令，则，所以，即，解得或（舍去），所以.18.设是等差数列，其前项和为（），为等比数列，公比大于1．已知，，，．（1）求和的通项公式；（2）设，求的前项和；（3）设，求证：．（1）解：依题意设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，，又，，所以，解得或（舍去）