安徽省合肥市2022届高三年级下册第二次教学质量检测理科数学卷附答案解析

安徽省合肥市2022届高三下学期第二次教学质量检测理科

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设全集U=R,集合M={x|y=ln(x-1)},N={x|y=J4-4}，则下面上;〃〃图

中阴影部分表示的集合是()

A.(1,2)B.(1,2]

C.(2,+oo)D.[2,+8)

2.设复数z满足iz-3-i=z,贝丫的虚部为()

A.-2iB.2iC.-2D.2

3.某市高三年级共有14000人参加教学质量检测，学生的数学成绩J近似服从正态分

布N(90,〃)(试卷满分150分)，且玖42100)=0.3,据此可以估计，这次检测数学成

绩在80到90分之间的学生人数为()

A.2800B.4200C.5600D.7000

4.考拉兹猜想是引人注目的数学难题之一，由德国数学家洛塔尔・考拉兹在20世纪30

年代提出，其内容是：任意正整数S,如果S是奇数就乘3加1,如果S是偶数就除以

2,如此循环，最终都能够得到1.下边的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程.若

输入s的值为5,则输出i的值为()

试卷第1页，共6页

A.3B.4C.5D.6

5.设。为第二象限角，若sina+cosa=,则tan(a+f)=()

54

.一1

A.—2B.—

2

C.yD.2

6.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间

站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天

实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同

的安排方案共有()

那天实验舱

A.8种B.14种C.20种D.116种

7.函数〃切=b4-b(e是自然对数的底数)的图象关于()

A.直线x=-e对称B.点(-e,0)对称

C.直线x=-2对称D.点(-2,0)对称

试卷第2页，共6页

8.将函数＞=sinx的图象上各点横坐标缩短为原来g（纵坐标不变）后，再向左平移

2个单位长度得到函数＞=/（x）的图象，当时，/（x）的值域为（）

A.[TJ]B.---

FVs1D,卜r子i一-

9.抛物线C:/=2px（p＞0）的焦点为尸，A为抛物线C上一点，以尸为圆心，|以|

为半径的圆交抛物线C的准线/于M,N两点，\MN\=2^＞p,则直线小的斜率为

（）

A.±1B.±72

C.百D.±Vs

10.已知直线4：加x—〉=0（加£氏）过定点A,直线，2：x+叩+4-2加=0过定点5,4与

，2的交点为。，贝！JVZ5C面积的最大值为（）

A.VToB.25/5

C.5D.10

JT

II.在四面体/BCD中，NACB=NADC=-,AD=DC=CB=2,二面角

2.

24___

8-的大小为多，则四面体/3C。外接球的表面积为（）

1640

A.一71B.一71

33

C.16aD.24万

12.过平面内一点P作曲线＞=|ln^两条互相垂直的切线人12,切点为耳、P]（月、

巴不重合），设直线4、4分别与7轴交于点A、B,则下列结论正确的个数是

（）

①片、6两点的横坐标之积为定值；

②直线4心的斜率为定值；

③线段48的长度为定值；

④三角形48尸面积的取值范围为（0川.

A.1B.2C.3D.4

试卷第3页，共6页

二、填空题

13.已知向量方=(-1,2),布=(2fJ+5),若A、B、C三点共线，贝〃=.

14.已知双曲线C：《—4=l(a>0,6>0)的右焦点为尸，A为双曲线C右支上一点，

0为坐标原点.若AMOF为等边三角形，则双曲线C的离心率为.

15.已知V/3C的内角A.B,C的对边分别为。，b,c,若6+2cosB+bcoM=6,

a=2,则V/3C面积的取值范围为.

16.在正方体/BCD-44G。中，E为线段的中点，设平面43G与平面CQE的

交线为/,则直线/与BE所成角的余弦值为.

三、解答题

17.记"为数列｛%｝的前”项和，已知为=1,且S"=%+]-3.

(1)求数列｛对｝的通项公式；

(2)已知数列匕｝满足,记，为数列匕｝的前“项和，证明：T„<2.

nlogd

从①——卡一瓦②2=两个条件中任选一个,补充在第(2)问中

-2

(。M+1-1)(。n+l)an+\

的横线上并作答.

18.如图，在矩形A8C。中，48=240,点〃■为边43的中点.以CM为折痕把

JT

3cM折起，使点3到达点尸的位置，使得=连结尸区,PB,PD.

⑴证明：平面尸MC_L平面；

(2)求直线PC与平面PAD所成角的正弦值.

19.通信编码信号利用信道传输，如图1,若BEC信道传输成功，则接收端收到

的信号与发来的信号完全相同；若2EC信道传输失败，则接收端收不到任何信号.传统

通信传输技术采用多个信道各自独立传输信号(以两个信道为例，如图2).

试卷第4页，共6页

,——信号O

信号"----{BEC信道（枳］

益敏/无信号

图1

图2

华为公司5G信道编码采用土耳其通讯技术专家ErdalArikan教授的极化码技术（以两

个相互独立的5EC信道传输信号为例）：如图3,信号人直接从信道2传输；信号-

在传输前先与4“异或”运算得到信号X1,再从信道1传输.接收端对收到的信号，

运用“异或”运算性质进行解码，从而得到或得不到发送的信号L或6.

图3

（注：“异或”是一种2进制数学逻辑运算.两个相同数字“异或”得到0,两个不同数字

“异或'得到1,“异或'运算用符号'㊉”表示：0©0=0,1©1=0,1©0=1,

0®1=1.“异或，，运算性质：/㊉8=C,则4=C㊉8）.假设每个信道传输成功的概率

均为0（0<0<1）.。”。2={0，1}.

⑴在传统传输方案中，设“信号a和4均被成功接收”为事件A,求P（/）：

（2）对于极化码技术：①求信号G被成功解码（即根据BEC信道1与2传输的信号可

确定Ui的值）的概率；②若对输入信号-赋值（如5=0）作为已知信号，接收端只

解码信号仇，求信号6被成功解码的概率.

20.已知椭圆。:=+==1（〃〉6>0）的左焦点为尸，右顶点为A,离心率为不，M

ab2

为椭圆C上一动点，AFAM面积的最大值为述.

2

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵过点M的直线/：>=履+1与椭圆C的另一个交点为N,P为线段MN的中点，射线

OP与椭圆交于点。.点。为直线。上一动点，且丽.丽=历2,求证：点。在定

试卷第5页，共6页

直线上.

21.已知函数/(x)=e，+cosx-ex,/(x)是〃x)的导函数.

⑴证明：函数只有一个极值点；

⑵若关于龙的方程/'(X)=母e⑷在(0,万)上有两个不相等的实数根三,三，证明：

x=1+6t

22.在直角坐标系x(2y中，直线/的参数方程为La为参数).以坐标原点为

y=l-Ct

极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

(1)求直线/的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

TTTT

⑵若直线。=:(。€幻与直线/交于点直线。=：(/?€&与曲线C交于点42,

且求实数。的值.

23.已知函数/(x)=2|x+l|+|x+2|的最小值为加.

⑴求机；

(2)已知a,b,。为正数，且abc=5n，求(a+6/+c'的最小值.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.A

【解析】

【分析】

由对数函数性质，二次根式定义确定集合然后确定降"〃图中阴影部分表示的集合

并计算.

【详解】

由题意加={刈》-1>0}="|工>1},"={刈/24}={刈>¥4-2或》22},

0N={%|-2<x<2},

Venn图中阴影部分为Nn©N)="|l(尤＜2}.

故选：A.

2.C

【解析】

【分析】

根据复数的除法运算求出复数z,再根据虚部的定义即可得解.

【详解】

解：因为iz-3-i=z,所以(l-i)z=-3-i,

—3—i(-3-i)(l+i)—2—4i

则2==-l-2i

1-i-(l-i)(l+i)~~

所以z的虚部为-2.

故选：C.

3.A

【解析】

【分析】

根据正态曲线的性质即可解出.

【详解】

因为尸42100)=0.3,J近似服从正态分布"(90,〃),

所以尸(80<J<90)=尸(90<片<100)=P(<>90)-尸(J>100)=O.5-O.3=0.2,

答案第1页，共19页

即这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数大约为14000x0.2=2800.

故选：A.

4.C

【解析】

【分析】

根据程序框图列举出算法循环的每一步，即可得出输出结果.

【详解】

第一次循环，!s=geZ彳

、成立，s=3x5+l=16,2=0+1=1,s=l不成立；

第二次循环，gs=8eZ成

;立，s=—xl6=8,/=1+1=2,s=l不成立；

2

第三次循环，gs=4eZ成

;立，贝！Js=-x8=4,z=2+1=3,s=l不成立；

2

第四次循环，gs=2eZ成

;立，贝|s=-x4=2,，=3+1=4,s=l不成立；

2

第五次循环，gs=leZ成立，贝|s=；x2=l,z=4+1=5,s=l成立.

跳出循环体，输出；5.

故选：C.

5.B

【解析】

【分析】

结合平方关系解得sina,cos1,由商数关系求得tanc,再由两角和的正切公式计算.

【详解】

2—2102.3

由sina+cosa得sin6T+2sinorcosa+cosa--=—,sinacosa=-----,

525510

二是第二象限角，cosa<(),sina>0,

[.3,3V10

sinacosa=-----sina=-------

所以由.常,解得：1二，

Vio

sma+cosa=-----cosa---------

15[10

，sina〜

所以tana=-------=-3,

cosa

71

tana+tan—

/兀、4-3+1_1

tan(cr+—)=--------------—-

4I-tanatan—l-(-3)xl-2•

4

答案第2页，共19页

故选：B.

6.B

【解析】

【分析】

按照同个元素(甲)分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解.

【详解】

按照甲是否在天和核心舱划分，

①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩

下两个舱位，则有C；-£=3x2=6种可能；

②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三

人进入天和核心舱即可，则有C；•C：=2x4=8种可能；

根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.

故选：B.

7.D

【解析】

【分析】

根据对称性进行检验.

【详解】

e*2e+4_e-®T)=-x-2e4_2ex

由题意-2e-x)=e+e+)它与/(%)之间没有恒等关系，相加也

不为0,AB均错，

而/(-4一%)=e-T+4-=e-_e4+x=-/(x),所以的图象关于点(一2,0)对称.

故选：D.

8.C

【解析】

【分析】

利用三角函数图象变换可求得〃x)=sin(2x+f],由xJ,引可求得2x+f的取值范

围，结合正弦型函数的基本性质可求得函数/(x)的值域.

【详解】

答案第3页，共19页

将函数＞=sinx的图象上各点横坐标缩短为原来!(纵坐标不变)后，可得到函数

y=sin2x的图象，

再将所得图象向左平移?个单位长度得到函数＞=/(x)的图象，则

f(x)=sin+=sin^2x+y^,

当z时，一+耳，所以，/(x)=sin卜x+

故选：C.

9.D

【解析】

【分析】

根据题意求出点A坐标，即可求出直线斯的斜率.

【详解】

由题意可知：|E4|=|F"|=R,设准线与x轴交于H,

因为pW|=26p,所以=且|F”|=p,

所以=|FA/|=J|所=2p,

设/(%,%),由抛物线定义可知回=%+勺

所以％=学，代入抛物线中得％=±®，所以/(学,土岛)，且尸［多。

所以直线小的斜率为土百.

故选：D

答案第4页，共19页

10.c

【解析】

【分析】

由直线方程求出定点48,确定即C在以为直径的圆上，由圆的性质得点C到

AB的距离最大值为圆半径，由此可得面积最大值.

【详解】

由直线4的方程是机x-y=0得直线4过定点4(0,0),同理直线方程为，x+冲+4-2〃?=0

即(x+4)+7”⑶-2)=0,所以定点8(-4,2),

又加xl+(-l)x加=0,所以即C在以为直径的圆上，

|^5|=7(-4)2+22=275,由圆的性质知点C到48的距离最大值等于圆半径，即

；|明=石,

所以V/3C面积的最大值为S=gx2右x石=5.

故选：C.

11.B

【解析】

【分析】

取NC中点E,4B中点尸，连接DE,EF,DF,证明斯是二面角。-/C-3的平面

27r

角，ADEF=—,E是直角V4DC的外心，尸是直角△/CB的外心，在平面£7)户内过E

作EOLDE,过尸作。尸，跖，交点。为四面体48co外接球球心，求出球半径可得表面

答案第5页，共19页

积.

【详解】

取NC中点E,N3中点尸，连接DE,EF,DF,则EF//BC,EF=\BC,

2

jr

AD=DC=2,ZADC=-,所以E是直角VNDC的外心，DE1AC,DE=s/2,

jr

ZACB=-,BC=2,所以£F=1,EFVAC,

277

所以/D斯是二面角。-/C-8的平面角，ZDEF=—,

厂是42中点，则尸是直角△/€»的外心，

由DE_L4C,EF1AC,DE^EF=E,u平面。£尸得/C_L平面。,

/Cu平面4DC,所以平面。£F_L平面4DC,同理平面。£尸_L平面48C,

平面DMc平面4DC=r»E,平面〃斯_1平面Z8C=EF,

在平面EZ"内过£作EO_LOE,则EO_L平面/OC,

在平面厂内过尸作。尸_1_跖，则尸。_1_平面4BC,EO与。尸交于点O,

所以。为四面体/BCD的外接球的球心，

TTTTTTTT

YOEF中/OEF=DEF-/DEO=%,AEOF=

卜L卜L卜L(C)EF1-2

所以sinNEOPu^，所以一sinNEOF，——5

E(Jsin—

OD=^ED2+OE2=J(也了+(,)2=聘,

1A4077-

所以外接球表面积为S=4万-O»=4%乂了=口一.

故选：B.

12.C

【解析】

答案第6页，共19页

【分析】

设点耳、E的横坐标分别为X］、*2，且不＜%,分析可知。＜玉41＜々或。＜再＜14%，利

用导数的几何意义可判断①的正误；利用斜率公式可判断②的正误；求出点A、8的坐

标，利用两点间的距离公式可判断③的正误；求出点尸的横坐标，利用三角形的面积公式

可判断④的正误.

【详解】

-Inx,0<x<1

因为y=|lnx|=

Inx,x>1

所以，当o＜xvi时，y=--；当xNl时，yr=­

XXf

不妨设点片、鸟的横坐标分别为多、X2,且玉＜/，

若0＜再＜/＜1时，直线4、4的斜率分别为左二一,、k2=-—,止匕时左向=」一＞0,不

玉x2XxX2

合乎题意；

若马＞玉川时，则直线4、才2的斜率分别为《='、左2=一,止匕时左1左2=—＞0,不合乎

题意.

,1,1

所以，0＜再41＜%或0＜再＜14%，则左=-1，心=1，

,,1,

由题意可得秘2=-------=T,可得占％=1,

若再=1,贝若％=1,则再=1,不合乎题意，所以，0＜%!＜1＜X2,①对;

对于②，易知点4（%,一111再）、^（x2,lnx2）,

Jn豆+1喳」n（色）=0,②对;

所以，直线62的斜率为原马

x2一再x2-xx

对于③，直线4的方程为y+ln再=-'(x-xJ,令x=0可得y=l-ln%，即点

x\

/(0,1-lnxJ,

।1/\

直线4的方程为y-ln%=—(X-%),令x=0可得了=lnx2-l=-lnx「l,即点

X2

5(0,-In$-1),

所以，M同=|(l-lnxJ_(T-lnxj=2,③对;

答案第7页，共19页

y-x+1—InXj

对于④，联立:可得辱=2乎=含，

1,X.+xX,+1

y=—x+In%2—12

、工2一

2x/、2(1——)

令〃无)=—，其中xe(O4)，则/(x)=/F£>0,

所以，函数〃无)在(0,1)上单调递增，则当xe(o,l)时，/(x)e(O,l),

所以，SAHBP=1'网,|x/=£^e(O,l),④错.

故选：C.

13.-1

【解析】

【分析】

ULUULILI

由己知可得/8//8C,利用平面向量共线的坐标表示可求得实数/的值.

【详解】

ULUUL1U/、

由已知4?〃BC，则4/=-。+5),解得，=-1.

故答案为：-L

14.V3+l##l+V3

【解析】

【分析】

设双曲线C的左焦点为点尸，，连接尸尸，可知VPE「为直角三角形，以及/P尸户=30°,将

归尸|,|尸尸|用c表示，然后利用双曲线的定义可求出双曲线离心率.

如图所示，设双曲线C的左焦点为点尸‘，连接小

答案第8页，共19页

△OP尸为等边三角形，

:.\OP\=\OF\=\OF'\,

所以，V尸尸户为直角三角形，且/尸尸尸为直角，且/尸尸尸=30°,

.-.\PF\=^\FF'\=c,

由勾股定理得|尸尸［=y)\FF'f-1PF|2=V3c,

由双曲线的定义得|尸尸'|-归司=2。，

即V3c-c=2a,

e=—=-f=--=V3+1,

aV3-1

因此，双曲线C的离心率为g+1,

故答案为：V3+1.

15.(0,2百

【解析】

【分析】

由余弦定理变形得出|/2|+|/C|=6,A在以8C为焦点，长轴长为6的椭圆上，因此当A

是椭圆短轴顶点时，A到8c的距离最大，由此可求得三角形面积最大值，从而可得面积

取值范围.

【详解】

b+2cos5+bcosA=6,a=2,

22_A2L2,2_2

由余弦定理得［+“•+/°—"・二6,所以6+c=6,

2ac2bc

即网+困|=6,即忸q=2,

所以A在以8,C为焦点，长轴长为6的椭圆上(不在直线2C上)，如图以为X轴，线

22

段8c中垂线为了轴建立平面直角坐标系，设椭圆方程为鼻+右=1,则q=3,C=1,所以

ab

b=yla2—c2=2V2，

当A是椭圆短轴顶点时，A到5C的距离最大为6=2及，

所以凡的的最大值为92x28=2收，可无限接近于0,无最小值，

答案第9页，共19页

SV/BC的取值范围是（0,2拒］,

故答案为：（0,2逝］.

1A国

10.----

10

【解析】

【分析】

以点A为坐标原点，AB、AD,/4所在直线分别为X、了、z轴建立空间直角坐标系，

计算出平面4BG、的法向量，可求得直线/的一个方向向量，再利用空间向量法可

求得直线I与BE所成角的余弦值.

【详解】

解：设正方体42。-4片G2的棱长为2,

以点A为坐标原点，AB、AD、44所在直线分别为％、7、z轴建立如下图所示的空间

直角坐标系，

答案第10页，共19页

则4（0,0,2）、3（2,0,0）、G（2,2,2）、C（2,2,0）、£（0,1,0）,

设平面48G的法向量为蔡=（再,凹,zj,54=（-2,0,2）,西=（0,2,2）,

m•BA1=一2项+2z=0

x取玉=1,可得加=（1,一1,1）,

m•BCX-2必+22i=0

设平面CGE的法向量为1=(%,%,Z2),£C=(2,1,0),eq=(0,0,2),

ri-EC=2X+y=0

22取工2=1,可得3=(1,-2,0),

n-CCX=2Z2=0

设直线/的方向向量为〃=（x,y,z）,/u平面48G,/u平面CC\E,则加J_〃，〃_L〃，

所味[m—-u=x-y少+z=0‘取I，则-I/4-1、)，

——■/、-u•BE—3

BE=（-2,1,0）,cos<u,BE>=—亡=---,

、'I”即V6xV510

因此，直线/与BE所成角的余弦值为我.

10

故答案为：也.

10

[1,〃=1,

〃⑴%小心2.

（2）证明见解析

【解析】

【分析】

答案第11页，共19页

(1)分类讨论〃=1和"》2,利用作差法得。角=2a“，从而根据等比数列定义求出与；

(2)若选择①利用裂项相消求和，若选择②利用错位相减求和，最后证明结论即可.

(1)

.•,Si向-3①，

当〃=1时，％=&-3,七=4；当"22时，S".=-3②

①-②得，即a„+i~2ct"

又.•,”=4*2,

%

数列｛4｝是从第2项起的等比数列，即当“22时，%=2-2"-2=2".

1,«=1,

2",n>2.

⑵

若选择①:

限=2"2=22=2P_______

（%「1）（%+1一2）（2n+1-l）（2w+1-2）（2用—1）（2〃—1）（2〃一12〃+="'

1

2〃一1

H+2EIT34W+1n+21_34n+1〃+2

若选择②，则7^初十梦+…+芝广+万育③，/=声+梦+•..----------1---------

C"=2”+12〃+i2〃+2

④,

③-④得「=:+]&+;+...+/

77+4

<2.

2向

18.(1)证明见解析

(2)等

【解析】

【分析】

(1)利用几何关系和勾股定理逆定理证明尸。1平面/MCD,再根据面面垂直的判定方法

即可确定最终答案.

(2)根据。P,CM,相互垂直，以。为坐标原点，OC,OB,OP所在的直线分别

答案第12页，共19页

PC-n

为x,了，，轴建立空间直角坐标系，求出平面尸的法向量为，利用———即可求出

\PC\-\n\

最终答案.

(1)

证明：取线段CMr的中点。，连结30,PO,

71

ZPMB=-,PM=BM,

3

「.A/"四为等边三角形，

PB=PM=PC=BM=BC.

BOVCM,PO1CM.

JT

又•・•/CBM=ZCPM=—,

2

BO=PO=-CM=—PB,

22

BO2+PO2=PB2,

71

:.ZPOB=-,

2

又•.♦CMfW=O,

PO1平面AMCD.

POu平面PMC,

平面PMC1■平面AMCD

⑵

由（1）知，OP,CM,08相互垂直，以。为坐标原点，0C,OB,。尸所在的直线分

别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示.

答案第13页，共19页

设AB=2AD=2亚,贝!JCM=2,PO=BO=1,连结。M,则r)M_LGW,且。初=2,

..「(0,0,1),C(l,0,0),D(-l,2,0),5(0,-1,0),

73C=(l,0,-l),PD=(-1,2,-1)，AD=BC=(1,1,0).

设力=(x,%z)为平面尸4D的一个法向量，

,n-PD=0[-x+2y-z=0

则一一即1\,

n-AD=0[x+y=0

令x=l,则kT,z=_3,

设直线PC与平面PAD所成角为e,

-Q\-\|PC-n42V22

/.sint^=COS<PC,H>=-----=—(=—―=------,

11\PC\-\n\A/2.VHH

直线PC与平面PAD所成角的正弦值为拽1.

11

19.⑴加；

⑵①/；②2p-pl

【解析】

【分析】

(1)根据独立事件的概率乘法公式可求得答案；

(2)①当且仅当信道1、信道2都传输成功时，由。2、乂的值可确定G的值;

②若信道2传输失败、信道1传输成功，6被成功解码的概率为(1-0)。；若信道2、信

道1都传输失败，此时信号。2无法成功解码；由此可求得答案.

(1)

解：设“信号G和&均被成功接收”为事件A,则P(⑷=p.0=/；

(2)

解：①♦.乜㊉4=X，.♦乜=6㊉X-

当且仅当信道1、信道2都传输成功时，由。2、X的值可确定-的值，所以信号-被成

功解码的概率为22；

答案第14页，共19页

②若信道2传输成功，则信号6被成功解码，概率为P；

若信道2传输失败、信道1传输成功，则。2=4㊉典，因为q为已知信号，信号4仍然

可以被成功解码，此时6被成功解码的概率为(1-。)。；

若信道2、信道1都传输失败，此时信号4无法成功解码;

综上可得，信号4被成功解码的概率为P+0(1-°)=2p-.

20.⑴兰+片=1

43

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)按照题目所给的条件即可求解；

⑵作图，联立方程，将M,N,P,Q,。的坐标用斜率人表示出来,

(3)按照向量数量积的运算规则即可.

(1)

设椭圆的半焦距为。，由椭圆的几何性质知，

当点M位于椭圆的短轴端点时，AFAM的面积取得最大值，

此时SvFAM=5("+c)b,

+=:.(a+c)b=3也..

c]

由禺心率一=大得Q=2。，/.b=，解得。=1,a=2,b=址＞,

a2

22

.•・椭圆C的标准方程为土+匕=1；

43

⑵

由题意作下图：

答案第15页，共19页

y=kx+l

设”(再,必)，N(x2,y2).由x?/得(3+4F)/+8履一8=0.

143

QKQ

•・•点(。,1)在这个椭圆内部，所以A＞°'再+%=-市廿洛=一际

，/、c8左2c6

—(…)+2—E+2=E'

•••点P的坐标为「建，/f

当上片0时，直线。尸的斜率为-弁，，直线O尸的方程为夕=-三》，即x=-9y,

4左4k3

将直线OP的方程代入椭圆方程得力2=-^―,xj=芈匕

4k+J4k+3

以上4k)麻丽=而得-号(4ky3_16k29

设点--Yy，y)由CTJJ+止+3"-4k2+3+止+3

16r+916k2+9

化简得3(4公+3)'V=4胃+3化简得＞=3,.•.点。在直线y=3上,

当直线/的斜率上=0时，此时尸(0,1),。(0,6),

由痂・丽=历2得0(0,3),也满足条件，.•.点。在直线y=3上；

综上，椭圆C的标准方程为《+片=1,点。在直线＞=3上.

43

【点睛】

本题的难点在于联立方程，把M,N,P,Q,。点的坐标用左表示出来,

有一定的计算量，其中由于。尸与椭圆有两个交点，

在表示近的时候用历2表示，可以避免讨论点。在那个位置.

21.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)求导，根据导函数的单调性以及符号即可证明；

(2)应用极值点偏移的方法即可证明.

(1)

函数/(x)的定义域为R,且/''(x)=eX-sinx-e.

当x40时，/(x)=ex-sinx-e<1-sinx-e<0；

答案第16页，共19页

当x>0时，^//(%)=/(x)=ex-sinx-e,则/z(x)=eX-cosx〉0,

・•・〃(%)在(0,+8)上单调递增.

Xv/z(0)=l-e<0,〃O)=e〃-e>0,3x0£(0,%)，使得力(④())=0,

x

即e°-sinx0-e=0,

当O<x<%o，时，f\x)<0；当x〉/时，/(x)>0,

・•・函数/(X)在(-00,%)上单调递减，在(%,+8)上单调递增，

.•./(X)只有一个极小值点心,无极大值点；

(2)

由(1)知，函数/'(X)在(0/)上单调递增，/'(%)=0,

且/d=-sin、-e>e，-1-e=e-1-1>e(1.6-l)-l>0,

.•.x0<1,函数/(x)在(O,x0)上单调递减，在(%,万)上单调递增，

不妨设