2021年中考数学突破-待定系数法

45待定系数法

专题知识点概述

L待定系数法的含义

一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一

个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程

组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系

数法。

2.待定系数法的应用

（1）分解因式

待定系数法是初中数学的一个重要方法。用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把

原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，

由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方

程组即可求出待定系数的值。在初中竞赛中经常出现。

a.确定所求问题含待定系数的解析式。

b.根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。

c.解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

（2）求函数解析式

初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别

可设y=kx,

y=k/x,y=kx+b的形式（其中k、b为待定系数，且kWO）.而二次函数可以根据题目所给条件

的不同，设成y=ax2+bx+c（a、b、c为待定系数），y=a（x—h）2+k（a、k、h为待定系数），y=a

（x—xl）（x—x2）（a、xl、x2为待定系数）三类形式.根据题意（可以是语句形式，也可以是图

象形式），确定出h、k、a、c、b、xl、x2等待定系数.一般步骤如下：

a.写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；

b.把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。

c.解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式。

（3）解方程

例如：已知一元二次方程的两根为xl、x2,求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该

方程为x2+mx+n=0,则有(x—xl)(x—x2)=0,即x2—(x1+x2)x+x1x2=0,对应相同项的系数

得m=—(xl+x2),n=xlx2,所以所求方程为：x2—(x1+x2)x+x1x2=0.

（4）分式展开

首先用未知数表示化为部分分式和的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列

出含有未知数的方程组，解方程组，带入所设的部分和可得结果。也可以用代值法求系数。

【例题1】（2020•上海）已知反比例函数的图象经过点（2,-4）,那么这个反比例函数的解

析式是（）

A.y=|B.y=一28

xx

【对点练习】（2020乌鲁木齐模拟）如图，在直角坐标系xOy中，点A,B分别在x轴和y

QA3

轴，0B=&NAOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C,与AB交于点D,反比例函

k2

数y=7的图象过点C.当以CD为边的正方形的面积为7时，k的值是（）

A.2B.3C.5D.7

【例题2】（2020•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0,2）,点B的

坐标为（1,0）,连结AB,以AB为边在第一象限内作正方形ABCD,直线BD交双曲线y

」（k#0）于D、E两点，连结CE,交x轴于点F.

X

（1）求双曲线y=（（kWO）和直线DE的解析式.

（2）求ADEC的面积.

【对点练习】（2019湖北黄冈）如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（-2,2）,B

（-2,0）,C（0,2）,D（2,0）四点，动点M以每秒«个单位长度的速度沿B-C-D

运动（M不与点B、点D重合），设运动时间为t（秒）.

(1)求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；

(2)点P在(1)中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAMgZiPBM,求点P的坐

标；

(3)当M在CD上运动时，如图②.过点M作MFJ_x轴，垂足为F,ME_LAB,垂足为

E.设矩形MEBF与4BCD重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式，并求出S的最大

值；

(4)点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H,与y轴交于点K.是否存在点Q,

使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请

说明理由.

一、选择题

1.(2020•乐山)直线y=kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b《2的

解集是()

A.xW-2B.xW-4C.x2-2D.x》-4

2.(2019桂林)如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-4,0),B(-2,-1),C(3,

0),D(0,3),当过点B的直线I将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线1所表

示的函数表达式为()

3.明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提

高了工作效率.该绿化组完成的绿化面积S（单位：m2）与工作时间t（单位：h）之间的函

数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（）

A.300m2B.150m2C.330m2D.450m2

4.已知关于x的分式方程^—=1的解是非正数，则a的取值范围是（）

X+1

A.aW—1B.aW—1,且aW—2C.aWl,且aW—2D.aWl

5.（2019•浙江绍兴）若三点（1,4）,（2,7）,（a,10）在同一直线上，则a的值等于（）

A.-1B.0C.3D.4

二、填空题

6.（2020年浙江金华模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴

k

上，反比例函数y=±（x〉0）的图象经过该菱形对角线的交点A,且与边BC交于点F.若点

x

D的坐标为（6,8）,则点F的坐标是

7.若一个二次函数的二次项系数为-1,且图象的顶点坐标为（0,—3）.则这个二次函数的表

达式为.

三、解答题

8.（2020•苏州）某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量x（kg）之

间函数关系的图象如图中折线所示.请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，

解答下列问题：

（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？

（2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式.

日期销售记录

6月1日库存600kg,成本价8元/kg,售价10元/kg（除了促销降价，其他时间售价

保持不变）.

6月9日从6月1日至今，一共售出200kg.

6月10、这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg.

11日

6月12日补充进货200kg,成本价8.5元/kg.

6月30日800kg水果全部售完，一共获利1200元.

9.（2020•陕西）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术.这种瓜苗

早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生

长.研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致

如图所示.

（1）求y与x之间的函数关系式;

（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后.继续生长大

约多少天，开始开花结果？

10.（2020•河北）表格中的两组对应值满足一次函数y=kx+b,现画出了它的图象为直线1,

如图.而某同学为观察k,b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一

次函数，设其图象为直线1'.

X-10

y-21

（1）求直线1的解析式；

（2）请在图上画出直线T（不要求列表计算），并求直线1被直线1和y轴所截线段的长；

（3）设直线y=a与直线1,1,及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直

接写出a的值.

―,x?—x+2ABC,,.

11.已知：—--------7=—+------+-------，求A、B、C的值。

尤（x-3）（x+2）xx-3x+2

12.12020上海模拟）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时,

每吨的成本y1万元/吨）与生产数量x1吨）的函数关系式如下图、

[1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

12）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量。

〔注：总成本=每吨的成本X生产数量）

13.(2019辽宁抚顺)如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=mx+n交于B(0,4),C(3,

1)两点.直线y=mx+n与x轴交于点A,P为直线AB上方的抛物线上一点，连接PB,

PO.

(1)求抛物线的解析式

(2)如图1,连接PC,OC,△OPC和△OPB面积之比为1：2,求点P的坐标；

(3)如图2,PB交抛物线对称轴于M,PO交AB于N,连接MN,PA,当MN〃PA时,

直接写出点P的坐标.

14.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m-1(m>0)与x轴的交点为A,

B.

(1)求抛物线的顶点坐标；

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.

①当m=l时，求线段AB上整点的个数；

②若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点,

结合函数的图象，求m的取值范围.

y八

i-

o-T

45待定系数法

专题知识点概述

1.待定系数法的含义

一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一

个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程

组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系

数法。

2.待定系数法的应用

（1）分解因式

待定系数法是初中数学的一个重要方法。用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把

原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，

由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方

程组即可求出待定系数的值。在初中竞赛中经常出现。

a.确定所求问题含待定系数的解析式。

b.根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。

c.解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

（2）求函数解析式

初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别

可设y=kx,

y=k/x,y=kx+b的形式（其中k、b为待定系数，且kWO）.而二次函数可以根据题目所给条件

的不同，设成y=ax2+bx+c（a、b、c为待定系数），y=a（x—h）2+k（a>k、h为待定系数），y=a

（x-xl）（x-x2）（a、xl、x2为待定系数）三类形式.根据题意（可以是语句形式，也可以是图

象形式），确定出h、k、a、c、b、xl、x2等待定系数.一般步骤如下：

a.写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；

b.把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。

c.解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式。

（3）解方程

例如：已知一元二次方程的两根为xl、x2,求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该

方程为x2+mx+n=0,则有(x—xl)(x—x2)=0,即x2—(x1+x2)x+x1x2=0,对应相同项的系数

得m=—(xl+x2),n=xlx2,所以所求方程为：x2—(x1+x2)x+x1x2=0.

(4)分式展开

首先用未知数表示化为部分分式和的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列

出含有未知数的方程组，解方程组，带入所设的部分和可得结果。也可以用代值法求系数。

例题解析与对点练习

【例题1】(2020•上海)已知反比例函数的图象经过点(2,-4),那么这个反比例函数的解

析式是(

2c8n8

A.y=-B.y=—C.y=-D.y=—

JXXXX

【答案】D

【分析】已知函数图象上一点的坐标求反比例函数解析式，可先设出解析式y=2再将点的

X

坐标代入求出待定系数k的值，从而得出答案.

【解析】设反比例函数解析式为y=号

将(2,-4)代入，得：-4=]

解得k=-8,

所以这个反比例函数解析式为y=d

【对点练习】(2020乌鲁木齐模拟)如图，在直角坐标系xOy中，点A,B分别在x轴和y

QA3

轴，0B=&NAOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C,与AB交于点D,反比例函

k2

数y=7的图象过点C.当以CD为边的正方形的面积为彳时，k的值是()

A.2B.3C.5D.7

【答案】D.

【解析】设0A=3a,则OB=4a,

设直线AB的解析式是y=kx+b,

[3ak+b=0

则根据题意得：ib=4a,

解得：b=4a,

则直线AB的解析式是y=-3x+4a,

直线CD是NAOB的平分线，则OD的解析式是y=x.

'y=x

,4

根据题意得：3、切，

(12

x=^-a

_12

解得：1"彳'

1212

则D的坐标是(7：7a),

33392

.Ta

OA的中垂线的解析式是则C的坐标是(亍。2），则k=4

2

,/以CD为边的正方形的面积为7

1232

.-.2(Ta-2a)2=7,

28

则a2=9,

928

.\k=4x9=7.

【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，正确求得C和D的坐标是解决本题的关键.

设0A=3a,则0B=4a,利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，直线CD的解析式是

3

y=x,OA的中垂线的解析式是x=2,解方程组即可求得C和D的坐标，根据以CD为边

22

的正方形的面积为7即CD2=7据此即可列方程求得a2的值，则k即可求解.

【例题2】（2020•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，己知点A的坐标为（0,2）,点B的

坐标为（1,0）,连结AB,以AB为边在第一象限内作正方形ABCD,直线BD交双曲线y

—（k#0）于D、E两点，连结CE,交x轴于点F.

X

（1）求双曲线y=K（kWO）和直线DE的解析式.

JX

（2）求ADEC的面积.

【答案】见解析。

【分析】（1）作DM_Ly轴于M,通过证得AAOB会ZXDMA（AAS）,求得D的坐标，然后

根据待定系数法即可求得双曲线y=K（k#0）和直线DE的解析式.

JX

（2）解析式联立求得E的坐标，然后根据勾股定理求得DE和DB,进而求得CN的长，即

可根据三角形面积公式求得4DEC的面积.

【解析】：点A的坐标为（0,2）,点B的坐标为（1,0）,

；.OA=2,OB=1,

作DM_Ly轴于M,

•/四边形ABCD是正方形，

NBAD=90°,AB=AD,

.•.ZOAB+ZDAM=90°，

VZOAB+ZABO=90°,

・・・NDAM=NABO,

在AAOB和ADMA中

'NABO=ZDAM

"ZAOB=ZDMA=90°'

(AB=DA

AAAOB^ADMA(AAS),

・・・AM=OB=1,DM=OA=2,

AD(2,3),

・・,双曲线y」(kWO)经过D点，

JX

・・・k=2X3=6,

・,•双曲线为y=1,

设直线DE的解析式为y=mx+n,

把B(1,0),D(2,3)代入得解得］m=3

12m+n=3in=一3'

直线DE的解析式为y=3x-3；

(2)连接AC,交BD于N,

:四边形ABCD是正方形，

，BD垂直平分AC,AC=BD,

.*.E(-1,-6),

VB(1,0),D(2,3),

；.DE=J(2+1尸+(3+6尸=3V10,DB=V(2-l)2+31=V10,

.\CN=iBD=—,

22

【对点练习】（2019湖北黄冈）如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（-2,2）,B

（-2,0）,C（0,2）,D（2,0）四点，动点M以每秒«个单位长度的速度沿B-C-D

运动（M不与点B、点D重合），设运动时间为t（秒）.

（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；

（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若APAM0△PBM,求点P的坐

标；

（3）当M在CD上运动时，如图②.过点M作MFLx轴，垂足为F,MEXAB,垂足为

E.设矩形MEBF与aBCD重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式，并求出S的最大

值；

（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H,与y轴交于点K.是否存在点Q,

使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请

说明理由.

【答案】见解析。

【解析】（1）设函数解析式为y=ax2+bx+c,

将点A(-2,2),C(0,2),D(2,0)代入解析式可得

'2=4a-2b+c

-2=c

0-4a+2b+c,

121

.\y=-4X-Ix+2；

(2)VAPAM^APBM,

；.PA=PB,MA=MB,

/.点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点，

：AB=2,

.•.点P的纵坐标是b

121

；.1=-4X-Ix+2,

.'.X=-1+巡或X=-1-V5,

;.p(-1-'石，1)或p(-1+'打，1);

(3)CM=V2t-2V2,MG=V^CM=2t-4,

MD=4/2-(BC+CM)=472-(2&+、历-2&)=472-V2t,

返

MF=2MD=4-t,

.*.BF=4-4+t=t,

1y1y3238

；.S=2(GM+BF)XMF=2(2t-4+t)X(4-t)=-2+8t-8=-2(t-3)

2+3；

8_&

当t=m时，S最大值为巨；

（3）设点Q（m,0）,直线BC的解析式y=-x+2,

2

直线AQ的解析式y=-irH-2（x+2）+2,

2m42m-4

：.K（0,irH-2）,H（m,m）,

（磊）2（&）2（迎文）24）2（巫鱼弟）2

；.OK2=nH-2,OH2=m+m,HK2=m+miu+2

①当OK=OH时，'"2，='，+'m,

m2-4m-8=6

.•・m=2+2、/^或m=2-2^3；

4）2（空3）2（&）2（迎宜望）2

②当OH=HK时，m+m=m+mirri-2,

m2-8=0,

・,.m=2血或m=-2^2；

（2m、22/2m-4_2m、2

③当OK=HK时，nH-2='m，+'mirri-2,不成立；

综上所述：Q（2+2加，0）或Q（2-2V3,0）或Q（272,0）或Q（-272,0）；

【点拨】本题考查二次函数综合；熟练应用待定系数法求函数解析式，掌握三角形全等的性

质，直线交点的求法是解题的关键.

专题点对点强化训练

一、选择题

1.（2020•乐山）直线y=kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+bW2的

解集是（）

A.xW-2B.xW-4C.x2-2D.x》-4

【答案】C

【分析】根据待定系数法求得直线的解析式，然后求得函数y=2时的自变量的值，根据图

象即可求得.

【解析】：直线y=kx+b与x轴交于点(2,0),与y轴交于点(0,1),

・•・{?r=0,解得卜=-巳

&=1lb=1

...直线为y=—|x+1,

当y=2时，2=-3x+l,解得x=-2,

由图象可知：不等式kx+bW2的解集是X2-2

2.(2019桂林)如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-4,0),B(-2,-1),C(3,

0),D(0,3),当过点B的直线1将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线1所表

示的函数表达式为(

2153

【答案】D.

【解析】由A(-4,0),B(-2,-1),C(3,0),D(0,3),

；.AC=7,DO=3,

4-x4-x7x4

四边形ABCD分成面积=2ACX(|yB|+3)=2=14,

可求CD的直线解析式为y=-x+3,

设过B的直线1为y=kx+b,

将点B代入解析式得y=kx+2k-1,

4-2k5k-l

直线CD与该直线的交点为(k+1,k+1),

l-2k

直线y=kx+2k-1与x轴的交点为(k,0),

1_l-2k5k-l

：.7=2x(3-k)x(k+1+1),

5_

；.k=4或k=0,

5_

；.k=4,

5,3.

直线解析式为y=Wx+5

3.明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提

高了工作效率.该绿化组完成的绿化面积S(单位：m2)与工作时间t(单位：h)之间的函

数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是()

A.300m2B.150m2C.330m2D.450m2

【答案】B

【解析】根据待定系数法可求直线AB的解析式,再根据函数上点的坐标特征得出当x=2时，

y的值，再根据工作效率=工作总量+工作时间，列出算式求出该绿化组提高工作效率前每

小时完成的绿化面积.如图，

设直线AB的解析式为y=kx+b,则

[4k+b=1200

（5k+b=1650,

'k=450

解得Ib=-600.

故直线AB的解析式为y=450x-600,

当x=2时，y=450X2-600=300,

300+2=150（m2）.

答：该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是150m2.

4.己知关于x的分式方程^—=1的解是非正数，则a的取值范围是（）

x+1

A.aW—1B.aW—1,且aW—2C.aWl,且aW—2D.aWl

【解析】去分母，得a+2=x+l,

解得x=a+l.

：xW0.且x+l=0,

，a+lW0,且a+lW—1,

a/一1,且aW—2,

；.aW—1,且a/2.故选B.

5.（2019•浙江绍兴）若三点（1,4）,（2,7）,（a,10）在同一直线上，则a的值等于（）

A.-1B.0C.3D.4

【答案】C.

【解析】设经过（1,4）,（2,7）两点的直线解析式为y=kx+b,

件k+b

.-.l7=2k+b

k=3

b=l,

，y=3x+l,

将点（a,10）代入解析式，则a=3

二、填空题

6.（2020年浙江金华模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴

上，反比例函数y='（x>0）的图象经过该菱形对角线的交点A,且与边BC交于点E若点

x

D的坐标为（6,8）,则点F的坐标是

【答案】（12,|

【解析】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；待定系数法的应用；菱形的性

质；中点坐标；方程思想的应用.

,菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，点D的坐标为（6,8）,

OD=DC=OD=+8?=10.点B的坐标为（10,0）,点C的坐标为（16,8）.

•••菱形的对角线的交点为点A,.•.点A的坐标为（8,4）.

V

•・•反比例函数y=—（x〉0）的图象经过点A,：.k=8・4=32.

x

・・・反比例函数为y=M32.

x

.4

_om=—

设直线BC的解析式为y=mx+n,，[m+n_^><3.

10m+n=040

in=------

[3

7.若一个二次函数的二次项系数为一1,且图象的顶点坐标为（0,—3）.则这个二次函数的表

达式为.

【答案】y=-x2-3

【解析】,・,抛物线二次项系数为-1,顶点坐标为（0,-3）,

，抛物线的顶点式为y=-（x—0）2-3,

即y=-x2-3

故答案为：y=-x2-3o

三、解答题

8.（2020•苏州）某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量x（kg）之

间函数关系的图象如图中折线所示.请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，

解答下列问题：

（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？

（2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式.

日期销售记录

6月1日库存600kg,成本价8元/kg,售价10元/kg（除了促销降价，其他时间售价

保持不变）.

6月9日从6月1日至今，一共售出200kg.

6月10、11这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg.

日

6月12日补充进货200kg,成本价8.5元/kg.

6月30日800kg水果全部售完，一共获利1200元.

【答案】见解析。

【分析】（1）由表格信息可知，从6月1日至U6月9日，成本价8元/kg,售价10元/kg,一

共售出200kg，根据利润=每千克的利润X销售量列式计算即可；

(2)设B点坐标为(a,400),根据题意列方程求出点B的坐标，设线段BC所在直线对应

的函数表达式为丫=1«+13,利用待定系数法解答即可.

【解析】(1)200X(10-8)=400(元)

答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元；

(2)设点B坐标为(a,400),根据题意得：

(10-8)X(600-a)+(10-8.5)X200=1200-400,

解这个方程，得a=350,

.•.点B坐标为(350,400),

设线段BC所在直线对应的函数表达式为丫=1«+13,则：

f350k+b=400=T

L800k+b=1200)用牛何卜=_幽'

线段BC所在直线对应的函数表达式为y=-等.

9.(2020•陕西)某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术.这种瓜苗

早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生

长.研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y(cm)与生长时间x(天)之间的关系大致

如图所示.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后.继续生长大

约多少天，开始开花结果？

【分析】(1)分段函数，利用待定系数法解答即可；

(2)利用(1)的结论，把y=80代入求出x的值即可解答.

【解析】(1)当0WxW15时，设丫=1«(kWO),

则:20=15k,

解得k=£

・・・y—4x；

当15VxW60时，设丫=广x+b(kWO),

皿(20=15k，+b

则：，

1170=60kz+b

解得卜，=T,

lb=-30

.*.y=—x—30,

J3

=x(0<x<15)

•'•y=no；

—x-30(15<x<60)

<3

(2)当y=80时，80=yx—30,解得x=33,

33-15=18(天)，

•••这种瓜苗移至大棚后.继续生长大约18天，开始开花结果.

10.(2020•河北)表格中的两组对应值满足一次函数y=kx+b,现画出了它的图象为直线1,

如图.而某同学为观察k,b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一

次函数，设其图象为直线1'.

x-10

y-21

(1)求直线1的解析式；

(2)请在图上画出直线r(不要求列表计算)，并求直线1被直线1和y轴所截线段的长；

(3)设直线y=a与直线1,1'及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直

接写出a的值.

【分析】（1）根据待定系数法求得即可；

（2）画出直线1,求得两直线的交点，根据勾股定理即可求得直线T被直线1和y轴所截线

段的长；

（3）求得两条直线与直线y=a的交点横坐标，分三种情况讨论求得即可.

【解析】（1）•.•直线1'：y=bx+k中，当x=-l时，y--2；当x=0时，y=l,

・•・{1f,解得仁;,

直线1,的解析式为y=3x+l；

直线1的解析式为y=x+3；

⑵如图，

...两直线的交点为（1,4）,

:直线J：y=3x+l与y轴的交点为（0,1）,

直线1'被直线1和y轴所截线段的长为：71^+（4^17=710；

（3）把y=a代入y=3x+l得，a=3x+l,解得x=等；

把y=a代入y=x+3得，a=x+3,解得x=a-3；

当a-3+U=°时，a=］，

里(a-3+O"”时，a=7,

当;(£T+0)=a-3时，a=y,

•••直线y=a与直线1,1,及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a的

值为|或7或孩.

««―..x?—x+2ABC..

11.已知：-一(------；--------=—I-----------1---------9求A、B、C的值。

x(x-3)(x+2)xx-3x+2

184

【答案】A=—、B=—、C——.

3155

【解析】去分母，得

x2—x+2=A(x—3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x—3).

根据恒等式定义，选择x的适当特定值，带入恒等式可直接求出A,B,C的值,

当x=0时，有2=—6A,得人=」；

3

Q

当x=3时，有8=15B,得8=—；

15

4

当x=—2时，有8=10C,得C=y.

12.12020上海模拟)某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时,

每吨的成本y(万元/吨)与生产数量x〔吨)的函数关系式如下图、

(1)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

(2)当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量。

(注：总成本=每吨的成本X生产数量)

【答案】(1)y=-x/10+ll〔10WxW50)

(2)该产品的生产数量为40吨.

【解析】11)利用图象设y关于x的函数解析式为丫=16+1),

将(10,10)(50,6)代入解析式得：

fl0=10k+b

I6=50k+b

解得：

b=11

y=-x/10+11(10WxW50〕

(2)当生产这种产品的总成本为280万元时，

x1-x/10+ll)=280,

解得：xl=40,x2=70［不合题意舍去)，

故该产品的生产数量为40吨.

13.(2019辽宁抚顺)如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=mx+n交于B(0,4),C(3,

1)两点.直线y=mx+n与x轴交于点A,P为直线AB上方的抛物线上一点，连接PB,

PO.

(1)求抛物线的解析式

(2)如图1,连接PC,OC,ZkOPC和△OPB面积之比为1：2,求点P的坐标；

(3)如图2,PB交抛物线对称轴于M,P0交AB于N,连接MN,PA,当MN〃PA时,

直接写出点P的坐标.

【答案】见解析。

【解析】(1)直接将B(0,4),C(3,1)代入y=-x2+bx+c,解方程组即可；

(2)待定系数法求BC解析式：y=-x+4,OC解析式：y=3x,设P(m,-m2+2m+4),

3_21

由△OPC和△OPB面积之比为1：2,可得：2m=2(-21rl+2m+6),求解即可得点P的

坐标；

(3)过点P作PDLy轴于点D,交抛物线对称轴于点E,过点N作NFLy轴于点F,设点

P(m,-m2+2m+4),根据相似三角形性质可得方程求解即可.

解：(1)B(0,4),C(3,1)代入y=-x2+bx+c,

可得b=2,c=4,

.*•y=-x2+2x+4；

(2)B(0,4),C(3,1)代入y=mx+n,

可得m=-l,n=4,/.y=-x+4,