2024年湖南省长沙市初中学业水平考试数学冲刺卷（四）(含答案)

长沙市2024年初中学业水平考试冲刺试卷（四）

温馨提示：

1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、

考室和座位号；

2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；

3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；

4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；

5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；

6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分.

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题

共10个小题，每小题3分，共30分）

1.二024的相反数是()

I_I

A公B.一丽c.2024D.-2024

2.下列运算正确的是()

A.2v2-2=<2B.(fl-1)'=o:-1

(—3a2)*=6a*

D.

3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

4.小明所在班级部分同学身高情况统计如下:

身高/cm160161162163164165

人数4661141

则这组统计数据的中位数、众数分别为（）

A.163,163B.163,162C.162,162.5D.162.5,163

5.如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的.若水面和杯底互相平行，且

乙1二100：则乙2的度数为（）

1

6.已知下列各图中的四边形是平行四边形，根据各图中保留的作图痕迹，能得到菱形的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.一次函数y=1的函数值y随x的增大而增大，当x=2时，y的值可以是（）

A.-2B.TC.1D.2

8.如图，矩形0月8（的顶点2在0°上，点4、c在弦DE上，且OA=3.OD=6,则sinzODA二（）

些她出

A.5B.5C.4D.

9.物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示.经测试，发现电流/（A）随着电

阻R《n）的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象.若该电路的最小电阻为1Q则该

电路能通过的（）

2

A.最大电流是36AB.最大电流是27A

c.最小电流是36AD.最小电流是27A

10.廊桥是我国古老的文化遗产.如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面AB宽48m,拱桥最高处点C

到水面的距离为12m,为保护该桥的安全，现要在该抛物线上的点E,E处安装两盏警示灯，若要保证两

盏灯的水平距离EF是24m,则警示灯E距水面的高度为（）

A.12mB.11mC.10mD.9m

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.若代数式不?在实数范围内有意义，则实数X的取值范围是.

12.因式分解4一.

13.舞蹈诗剧《只此青绿》以收藏于故宫博物院的北宋青绿山水巅峰之作《千里江山图》为创作背景，以时间

为主轴，以"青绿"为视觉主色调，通过舞蹈、绘画等艺术门类的跨界融合，展现中国古典艺术之美和优秀传统

文化的时代气息.《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为3.4米、宽为

2.5米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是9：1±且四周边衬的宽度相等.问：边衬的宽度应是多少米？设

边衬的宽度为尤米，根据题意可列方程为.

14.如图，在aABC和ADEF中，点8,F,C,E在同一直线上，BF-CE,ABWE,请添加一个条件，使

LASC^^DEF,这个添加的条件可以是一（只需写一个，不添加辅助线）.

3

A

15.《孙子算经》中载有“今有丁一千二百万，出兵四十万.问：几丁科一兵？"其大意为："今有1200万壮丁,

要出兵40万.问几个壮丁中要征一个兵？”这个问题体现了中国古代的概率思想，则对于其中任意一个壮丁,

被征为兵的概率是.

16.如图，点。是边长为2的正方形5BCD边CD上一动点，连接力0,点D关于40的对称点为。，连接AD；0D.若

以。为圆心，℃为半径的。0过4/1。。直角边的中点，则。。的半径为

三、解答题（本大题共9小题，第17-19题每小题6分，第20-21题每小题8分，第22-23题每小题9分,

第24-25题每小题10分）

17.计算：1一』-、3+2'-（1-卜）°.

18.先化简，再求值：,其中0=1

19.如图，图①是山坡顶上的信号塔，图②是数学活动课上小红测量山高时使用的简图，已知信号塔高

AC=30m,使用测倾器在山脚下点3处测得信号塔底。的仰角为45°,塔顶月的仰角为56°,求山高CD（点儿C,

4

D在同一条竖直线上，点B,。在同一条水平线上），（结果保留1m）.

（参考数据：t*n560*1.48,sin56**0.83,cos56°*0.56）

20.在中，rBAC=90・，。是BC的中点，石是40的中点，过点A作AFIBC交8E的延长线于点?

⑴求证：△AEFSADE8；

（2）证明四边形ADCF是菱形.

21.某学校开展了安全知识的宣传教育活动.为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部

分学生进行知识测试（测试满分100分，得分尤均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：基本合

格（6。ix<70）,合格（70<x<80）,良好（8。<x<90）,优秀（9。<x$100）,制作了如下不完整统计图.请

你根据图中提供的信息解答下列问题:

篇的％生如吼UM成・的・心

八10

5

⑴在这次调查中，一共抽取了多少名学生？

(2)请通过计算补全条形统计图；

⑶若全校学生都参加测试，请你估计该学校测试成绩优秀的学生有多少名.

22.阅读名著，感受经典，丰富内涵，品味人生.某书店售卖的《儒林外史》和《水浒传》两本名著的单本进

价和售价如表所示：

进价(元/本)售价(元/本)

《儒林外史》a30

《水浒传》b60

已知该书店购进1°本《儒林外史》和8本《水浒传》共需560元；购进15本《儒林外史》和5本《水浒传》共

需525元.

(1)求〃、I的值;

2

(2)该书店一次购进《儒林外史》和《水浒传》共10。本，其中购进《儒林外史》的数量不少于《水浒传》的

销售完这本书获得的总利润为w元，要使获得的总利润最大，应怎样购进《儒林外史》和《水浒传》？总

利润最大是多少元？

23.如图，在四边形ABCD中，且UAD-90：对角线AC和3。相交于点。，且BO=00,过点g作BEIAD,

交AC于点E,连结DE.

⑴求证：G0D三LEOB；

(2)试探究四边形MED的形状，并说明理由；

⑶若=BC=5,=求四边形ABED的面积.

6

24.我们约定：在平面直角坐标系中，若点P（X，y）满足x+v=3,我们就说点P是该平面直角坐标系内的"，VV"

点，图象上存在一个或以上的"NY"点的函数我们称之为小力,函数"，根据约定，解答下列问题：

⑴试判断函数y=H+2（左为常数，且卜土。）是否为"，W函数"？若是，求出该函数图象上的小点坐标，

若不是，请说明理由；

y=——+—=xj+3xj—1

（2）若函数."的图象上存在两个小""点为Mx：»）和班必v：）,且&，请求出机的值；

y=­X3（d-c-l）x--a—c+4.

⑶若函数’4的图象上存在唯一的一个小注"点，且当一1三b三2时，a的最大

值与最小值的差是虱，求c的值.

25.如图，四边形A8CD内接于00,北为。0的直径，DEJ.AC于点厂交比于点E

图1图2

⑴设zDBC=a,试用含a的代数式表示“DE；

BD

（2）如图2,若8E=3CE,求正的值;

FG

⑶在（2）的条件下，若ACBD交于点G,设彳一"coszJDE=y

①求y关于x的函数表达式.

②若8C=8D,求了的值.

参考答案与解析

一、选择题

7

题号12345678910

选项DCCDCBDCAD

二、填空题

25。_9

11.XN-2且xwl12,4(x+l)(x-l)13.-匚14.A3=DE(答案不唯一)

12S

15.1016.a或4

三、解答题

17.【详解】解：原式=2-3+8-1

二6

(1■言)

18.【详解】解:/fI”

■a..尸1_1)

(a+1)2\a+1a+1J

aa

(a+l)2^fl+1

aa+1

=^7~

i

=aTl

当a=v3—l时，原式-vl-i+i.3

19.【详解】解：由题意可知，4C=30in,UDB=90°,z£BD=45°,UBD=56：

在Rt二CDB中，CD=BDtan45:-BD,

在Rt2ADB中，AD-BDtan56c1.48FD,

.AD-CD=AC,

:.1488。-BD=30,

8

BD=62.5m,

•.CD=62.5m*63m,

即山高CD约为63m.

20.【详解】⑴解：,•AFIBC,

：.〃FE=LDBE.

"E是”的中点，

AAE-DE.

CAFE=LDBE

LAEF=乙DEB

在MEF与ADEB中，［AE^DE

：.△AEF必DEB(AAS)

(2)由(1)可知，4F=BD,

7。是BC的中点，

BD=CD.

：.AF=CD.

7AFICD.

二四边形片DCF是平行四边形，

又•••△A8C为直角三角形，。是BC的中点，

DA=DC=；8c

四边形4DCF是菱形.

21.【详解】⑴解：30+15%=20。(名)

答：一共抽取了200名学生.

(2)解：200-30-80-40-50,补全图形为:

9

所**的9T*R力HI

1500x^=300

(3)解:(名)

答：该学校测试成绩优秀的学生有300名.

|10a+8b=560产=20

22.【详解】(1)解：依题意得，Ls^+SbuSZS,解得&=45,

二。的值为2Qb的值为45.

(2)解：设购根本《儒林外史》，则购进HO。-m)本《水浒传》.

m2-(100-m)

依题意得1,

解得m>4C.

由题意得卬=0。-20)m+(60-45)(100-m)=-5m+1500,

_5<0,

w随相的增大而减小，

.•.当m=40时，w取得最大值，

此时100-m=60本，w-(-5)x40+1500=1300元.

当购进4°本《儒林外史》，6。本《水浒传》时总利润最大，为1300元.

23.【详解】(1)证明：WM,

-LBEO=zZMO,

io

LBEO=LDAO

LEOB=LAOD

在aAOD和aEOB中，.80=DO

,-.LAOD£-EOB(AAS\.

(2)解：四边形ABED是矩形，理由如下：

■■^AOD^-EOS

.-.BE^AD,

BEIAD,

：.四边形ABED是平行四边形，

・血D=90',

四边形ABED是矩形；

(3)解：「BCMCD且BO=DO,

..coLBD,即dOC=90,，

四边形ABED是正方形，

,-,BOEOf

设8。-EO-xt则OC-i+1,

在RtABOC中，由勾股定理得BO,+CO2=BC3即/+(x+1)?=5?,

解得：Xi=3,x;=-4(舍去)，

80=E0=3,

-BD=AE=2BO=6,

%="6x6=18

••，

••・四边形ABED的面积为18.

24.【详解】（1）解：•・•点P（X，F）满足X+Y=3,

11

.•.「（刀"）在函数『="^+3上,

函数y=kx+2中，当k=-l,此时两个函数的图象平行，不是小/量函数”,

当卜工-1,则两函数的图象必有交点，此时r=ki+2是“NT函数”,

cy="x+3

」y=H+2,解得:

小建"点坐标为岛亲）

y=—

（2）如图，由函数,"的图象上存在两个"NY"点为A（xi，＞）和

HI

则-.与y=-x+3有两个交点，

-1+3=-,

工整理可得K-3x+m=0,

2

..M+X2=3,XXX2=m,△=(-3)-4m>0,

,s

nt<-

••，

■"+~=+3必一1

..rl!

•,

—+J―2=3(Xt+x2)-m-1

••x，

——2=9-m-1

•••m，

整理得：？M-lSn+9=0,

解得：m=l或m=9(不合题意舍去)，

,•,m-1，.

I

y=-x2+(6-c-l)x--a-c+4

(3)•:函数4的图象上存在唯一的一个小丁"点

12

y：―x3+(&-c-l)x—a—c+4_

与Y=一区+3只有1个交点,

-x2+1(6-c-l)x--a—c+4=—x+3

x2~(b-c)x+ia+c-1=0

整理得：

△=(b-c)「-4Qa+c-1)=0

整理得：Q-c)2-a-4c+4=0,

a=b2-2cb+r-4c+4,

.___一衣_

当一〒-’时，a的最小值为--2/+/_4c+4=4-4c,

b<.

当b+1<2-，即>

：.当•时,

当b=2时取最大值为4-4c+c2-4c+4=r-8c+8,

a的最大值与最小值的差是4c,

•_r-8c+8-4+4c=4c,即F-8c+4=0,

解得：c=4±2v3,此时不符合题意,

b>：

同理当b+l>2_"即:,

2

当-时,

当b=_］取最大值为(一1铲+2。+/_4c+4=r-2c+5,

•••。的最大值与最小值的差是4c,

,-•r-2c+5-4+4c=4c，

13

解得：c=l,

综上：C=L

25.【详解】(1)解：L四边形ABCD内接于。0,

LDAC-乙CBD-a,

-DELAC,

,-•UFD=90=，

8B

,,zJ4DF=90-z.D4