求函数极限的方法三

求函数极限的方法三PAGEPAGE1一、求函数极限的方法1、运用极限的定义例:用极限定义证明:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0证:由SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 取SKIPIF1<0则当SKIPIF1<0时,就有SKIPIF1<0由函数极限SKIPIF1<0定义有:SKIPIF1<0

2、利用极限的四则运算性质若SKIPIF1<0 SKIPIF1<0(I)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(II)SKIPIF1<0(III)若B≠0则：SKIPIF1<0（IV）SKIPIF1<0（c为常数）上述性质对于SKIPIF1<0例：求SKIPIF1<0解:SKIPIF1<0=SKIPIF1<03、约去零因式（此法适用于SKIPIF1<0）例:求解:原式=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<04、通分法（适用于SKIPIF1<0型）例:求SKIPIF1<0解:原式=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0 =SKIPIF1<0 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f(x)、g(x)满足：SKIPIF1<0m、n、k、l为正整数。例：求下列函数极限①SKIPIF1<0、nSKIPIF1<0②SKIPIF1<0解:①令t=SKIPIF1<0则当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0,于是原式=SKIPIF1<0②由于SKIPIF1<0=SKIPIF1<0令：SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<011、利用函数极限的存在性定理定理:设在SKIPIF1<0的某空心邻域内恒有g(x)≤f(x)≤h(x)且有:SKIPIF1<0则极限SKIPIF1<0存在,且有SKIPIF1<0例:求SKIPIF1<0(a>1,n>0)解:当x≥1时,存在唯一的正整数k,使k≤x≤k+1于是当n>0时有:SKIPIF1<0及SKIPIF1<0又SKIPIF1<0当xSKIPIF1<0时,kSKIPIF1<0有SKIPIF1<0SKIPIF1<0及SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 SKIPIF1<0=012、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限SKIPIF1<0存在且等于A的充分必要条件是左极限SKIPIF1<0及右极限SKIPIF1<0都存在且都等于A。即有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=A例：设SKIPIF1<0=SKIPIF1<0求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<013、罗比塔法则（适用于未定式极限）定理：若SKIPIF1<0此定理是对SKIPIF1<0型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：要注意条件，也就是说，在没有化为SKIPIF1<0时不可求导。应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。4、当SKIPIF1<0不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。例：求下列函数的极限①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0解：①令f(x)=SKIPIF1<0,g(x)=lSKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0但SKIPIF1<0从而运用罗比塔法则两次后得到SKIPIF1<0②由SKIPIF1<0故此例属于SKIPIF1<0型，由罗比塔法则有：SKIPIF1<014、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：1、SKIPIF1<02、SKIPIF1<03、SKIPIF1<04、SKIPIF1<05、SKIPIF1<06、SKIPIF1<0上述展开式中的符号SKIPIF1<0都有:SKIPIF1<0例:求SKIPIF1<0解:利用泰勒公式，当SKIPIF1<0有SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<015、利用拉格朗日中值定理定理:若函数f满足如下条件：(I)f在闭区间上连续(II)f在(a,b)内可导则在(a,b)内至少存在一点SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0此式变形可为:SKIPIF1<0例:求SKIPIF1<0解:令SKIPIF1<0对它应用中值定理得SKIPIF1<0即:SKIPIF1<0SKIPIF1<0连续SKIPIF1<0从而有:SKIPIF1<016、求代数函数的极限方法(1)有理式的情况，即若:SKIPIF1<0(I)当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0(II)当SKIPIF1<0时有:①若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0②若SKIPIF1<0而SKIPIF1<0则SKIPIF1<0③若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则分别考虑若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的s重根,即:SKIPIF1<0也为SKIPIF1<0的r重根,即:SKIPIF1<0可得结论如下：SKIPIF1<0例：求下列函数的极限①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0解:①分子，分母的最高次方相同，故SKIPIF1<0=SKIPIF1<0②SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0必含有（x-1）之因子，即有1的重根故有:SKIPIF1<0(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。例：求SKIPIF1<0解:SKIPIF1<0SKIPIF1<0二、多种方法的综合运用上述介绍了求解极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧，使得计算大为简化。例:求SKIPIF1<0[解法一]:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0注:此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。[解法二]:SKIPIF1<0=SKIPIF1<0注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。[解法三]:SKIPIF1