吉林省白山市2024届高三第二次模拟考试数学试题（解析版）

吉林省白山市2024届高三第二次模拟考试数学试题

一、选择题

1.将一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15,17,a,23,25,27,31,36,37,若该组数

据的30%分位数为19,则（）

A.19B.20C.21D.22

K答案Uc

k解析》这组数据有10个数，所以10x30%=3,

则该组数据的30%分位数为故U±0=19,解得。=21.故选：C.

22

2.若直线/:x+y=0与圆C:（x—2）2+y2=4交于A,B两点，则（）

A.2-72B.2C.72D.1

（答案XA

（解析力圆心C（2,0）到直线/:x+y=0的距离d=*=应，

贝U|AB|=2x74^2=272.故选:A

3.记等差数列｛4｝的前几项和为S“，若几=483,%=12,则｛%｝的公差为（）

A.5B.6C.7D.8

k答案XA

k解析X设数列｛4｝的公差为d,依题意，儿=（4+；4）」4=73+牝）=483,

得%+«12=69,故42=57,则_5.=5.故选：A.

12—3

4.已知/，机为两条不同的直线，d尸为两个不同的平面，且/，。，相，/?,则下列说法正

确的是（）

A."///m”是“a///”的充分不必要条件

B.“/，机”是“aL/3”的必要不充分条件

C.若/，相异面，则名尸有公共点

D.若a,尸有公共点，则/，机有公共点

K答案UC

k解析1对于A,由a//。，/JLa可得口尸，又加，万，故得/〃%即“///机”是“a//少

的必要条件，故A项错误；

对于B,由相，/?,m可得/u,或/〃a，当/u"时，因则C/7,

当/〃尸时，经过/和平面月内一点可确定平面/,且/c々=/',贝”/〃，由/，。可

得同理可得C/?,

即“/L””是，p”的充分条件，故B项错误；

对于C,运用反证法说明，假设名尸没有公共点，则a//,又由神」耳可得/〃小

这与/,相异面矛盾，故假设不成立，即C项正确；

对于D,由名月有公共点可得名尸相交，因则小“相交或异面，故D项错

误.故选：C.

[71)

cos—+a(、

5.若:兀：=3,则tan12aj='

1)

cos——a、/

(4J

1

A.-7B.7C.——

7

K答案1B

(兀)

cos—+a

—rk4)cosa-sinal-tana嗔以1

K解析】因为----7-------sr-二1=3,故tana=——,

兀)cosa+sma1+tana2

cos——a

(4J

2d

_2tanaI2J4

则tan2a=-----厂=——彳=——，

川]—tan2a][，3

C兀41

（\tan2a-tan-----1

故tan|2。一?|=------------工=3/=7.故选:B.

I4）1+tan2a-tan兀I-4

43

6.如图所示，一种儿童储蓄罐有6个密码格，由购买者设定密码后方可使用，其中密码的

数字只能在0』,2中进行选择，且每个密码格都必须设定数字，则数字“1”出现奇数次的不同

密码个数为（）

A.172B.204C.352D.364

（答案』D

K解析》若数字“1”出现1次，则有C：X25=192种可能;

若数字“1”出现3次，有C"23=160种可能；

若数字“1”出现5次，则有烧x2=12种可能,

故数字“1”出现奇数次的不同密码个数为192+160+12=364.故选：D.

7.阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，如在化学

中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆傕曲线中，称圆锥曲线的弦

与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线C:V=8x的

4

焦点为尸，顶点为。，斜率为§的直线/过点产且与抛物线C交于两点，若一PMN

为阿基米德三角形，则|8|=（）

A.而B.2A/3C.V13D.714

K答案1C

k解析X依题意，F（2,0）,设直线/:y=±（x—2）,联立〃2））

3〔Xx,

则丁―6>—16=0,解得y=8或y=—2,不妨设人（8,8）,明,-2）,

设直线尸M方程为y-8=%（x-8）,联立C：V=8x得,

［人(x—8)+8丁=8%，k2x2+(16左一16左2—8)尤+64A:2—128左+64=0,

2I

A=(16左一16/—8)——4公(64/—128k+64)=0,解得A=-

故直线尸M的斜率A=—，故直线PAf:y=—x+4,

22

同理可得直线PN的斜率k'=-2,故直线PN:y=-2x—\,

'1,

联立J2解得x=-2,y=3,即P（—2,3）,则|。尸|=屈.故选:C.

y=-2x-l,

8.已知四面体ABCD中，/BAC=/ZMC=/ZMB=90,AB=AD=2AC=4,点E

在线段A5上，过点A作AF1DE，垂足为口，则当dCDF的面积最大时，四面体ACOE

外接球的表面积与四面体A5CD外接球的表面积之比为（）

343713

A.-B.-C.—D.—

554515

K答案Xc

K解析》由题意可知，四面体A5CD中

由已知得AC，平面ABD,故AC，AC,CE=、4+.

V16+X2

因为£>F，A£ACcAF=A,故£）尸_L平面AFC.故AC_L人尸,。尸=

22

4+忆’即入与时取等号'

当且仅当

148

此时四面体ACDE外接球的半径尺满足（2R）2=AD2+AC2+AE~=—,而四面体

ABCD外接球的半径R满足（2R）2=AB~+AC2+AD-=36,故所求比值为

148373

-----=—.故选：C.

5x3645

二.多选题

9.己知函数/"（x）=cos|2x+—则()

I12J

A.的图象关于原点对称

B.f（x）的图象关于直线X=己对称

“X）在口兀]

C.上单调递增

D.g（九）=2/（尤）-及在（0,271）上有4个零点

K答案』AD

=cos2尤」+主

K解析U/五二-sin2%,

I1212

令/(%)二—sin2x,贝1|F(-x)=-sin(-2x)=sin2x--F(x),

故小总

为奇函数，图象关于原点对称，故A正确;

/JT/JTKIT

当2xH-----=kit,左wZ时，即冗=------1-----，kGZ,

12242

lltt一、t〃t17兀kit.TL77rkit.,3

所以函数的对称轴为％=----1，kGZ,当——------1时，k=—

242122424

7T

所以不存在整数上使得工=—,故B错误；

12

7兀19兀7兀

当一Ji+2kliV2xH-----«2kli时，即------Fkit«xK-------Fkit，

122424

]97c7兀

所以函数/（X）的单调递增区间为-石+E,-五+E,keZ,

5兀17兀29万4171

当％=1时，单调递增区间为—,当左=2时，单调递增区间为

2424~2A,^A

单调递增，在Y17兀，兀।单调递减，故c错误;

24J

令g(x)=2/(x)-逝=0,所以/("=也，令f=2x+^,

21，

7兀55兀7719兀15兀17K时，cost=也,

由%€（0,2兀），贝，当公

12,IT44442

7兀5兀19711171

则g（x）在（0,2兀）上有4个零点，分别是故D正确.

12，612，6

故选：AD.

10.已知马/2为复数，则（）

A.若ZI—Z2=Z-马，则Z]—Z2为实数

B.马2一总|=归|k-4

若z；=%,则％=z；

D.若Z；=42,则复数21在复平面内所对应的点位于坐标轴上

（答案』ABD

K解析U设Z]=a+历,Z2=c+ifi(a,"c,deR),Z]—Z2=4-2

OZ]-4=Z2-G02万=2diob=d,故4-z2=a-c为实数，故A正确;

z；-行卜上（々—Z2）|=阂加一Z2；|=㈤忆—zj,故B正确;

令Zi=l—i,Z2=2i,故z；=上,但故C错误;

若2；=芽，贝q（a+历了=（a—历了，故。6=0,即。=0或人=0,故D正确.

故选：ABD

11.已知函数/（X）定义域为R,其图象关于（1,2）中心对称，若

4

=2-x,则()

A./(2-3x)+/(3x)=4B./(x)=/(x-4)

20

C./(2025)=T046D.^/(z)=-340

i=l

K答案》ACD

［解析》因为〃X)的图象关于(1,2)中心对称，则“2—x)+/(x)=4,故A正确；

由=2—x,可得/(%)—/(4—x)=8—4%,则/(2—x)—/(2+x)=4x,

取％=1得/⑴—"3)=4,

在〃2_x)+/(x)=4中取1=1可得/(1)=2,则/(3)=—2,

由/(一1)+/(3)=4,得/(-l)=6w/(3),故B错误；

由/(2-x)-/(2+%)=4%,得4_/(x)_/(2+x)=4x,

/(x)+/(x+2)=4-4x®/(x+2)+/(x+4)=-4-4x@,

②-①得〃x+4)—/(%)=—8,又

2025=l+4x506,.-./(2025)=/(1)-8X506=2-8X506=-4046,故C正确；

又由①/(2)+/(4)=-4,/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=-4,

205x4

=-4x5+——x(-32)=-340,故D正确.故选：ACD.

i=\2

三、填空题

12.已知集合4={%|%—2<0},3={x|y=lg(2x—3)},若AcB=0,则实数2的取

值范围为.

(3一

k答案》

I2」

［解析X由题意可知：A={x|x<2},JB={x|2x-3>0}=|x|x>-|j,

3

因为Ac5=0,则XV—,

2

所以实数彳的取值范围为，*g.

故K答案』为：[②].

13.已知，ABC中，角所对的边分别为a,4c,其中2Aosc+2ccos3=a2,则。=

；若2cosAsinBsinC=3sin2A，则当,ABC的面积取得最大值时，cosA=

3

K答案』2-

4

K解析H由正弦定理，2sinBcosC+2cosBsinC=2sin（B+C）=2sinA=asinA,

因为sinAW0,故a=2；而2cosAsinBsinC=3sin2A，

由正弦定理，2bccosA=3a\由余弦定理，2bc~一-—土=3/,得/+02=4储，

2bc

取线段的中点为。，延长A0至点£,使AE=2A0,连结BE,CE,

则BC2=AC2+AB2-2ACABCOS/CAB，AE2=BE2+AB2-2BE•ABcosZABE，

因为cosNC4B=-cosNAB£,且班=AC,CE=AB,

所以BC?+AE2=BE2+AB2+AC2+EC2

即平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和可得，

则有2伊+02）=41A。/+",则|=#，

则当A0为边上的高时，A6C的面积取得最大值，

此时b=c=20，

由余弦定理，cosA=（2e）2*ey,=3.故（答案》为:2；-

2x2V2x2V244

£B

CA

22

14.已知点M,N是椭圆C：=+3=1（。〉6〉0）上关于原点对称的两个点，点尸是椭圆

ab

C上异于N的一点，且以NP为直径的圆过点点。在y轴上，且P,N,Q三点

共线，。为坐标原点，若3|皿|,|。。|,|0。|0）5/也9。成等比数列，则椭圆C的离心

率为.

K答案工

2

k解析》因为以NP为直径圆过点M,所以

由题意设直线“加：丁=辰（左wO）（斜率显然存在，否则点P就不存在了），不妨设点M,N

分别在第一象限、第三象限，则直线PM的斜率左PM-----

k，

安"'ab

联立＜[+±=1'解得-土后E'

ababk)Jababk、

则"/--------，]---------，N---------，

、西卜。+b。[a2k2+b?)Iy/a2k2+b2J4左2+/,

而g|ON|.|OQ|,OQ^os/NO。成等比数列，

则002=gONOQcosNNOQ=^ONOQ,

77\

，则OQ=(0，M),ON=

、yJa2k2+Z?21a2k2+b?

abk।

而P,“不重合，也就是》片0,

abk皿abk、

J则4=2/

解得%=c/o,,

24a2k2+b

abkabk

1-----------1I-----------

_,_2y]a2k2+b-个a2k2_k

故直线NP的斜率%v=Lab-2'

0+,

Ja2k°+b2

设?（9，％），M（羽,），N（—乂一丁），

22%。/眉

所RC以||“卜=丁一%—y—%=%—y=矿'」才、)=b,

KpM•KPN—•—22~22~2

x-x2-x-x2x2-xx2-xa

所以原M%PN=—L幺=_』=—《，故所求离心率e=Jl—£=也.

k22a\a'2

故(答案』为：交.

2

四、解答题

15.已知函数/(x)=21nx-zm:+2.

⑴若m=3,求曲线y=/(x)在％=1处的切线方程；

⑵若VX£(O,+8)J(X)VO,求实数加的取值范围.

9

解：⑴/(%)=21nx-3x+2=>广(%)=——3,

因此/'(1)=_1,而

故所求切线方程为y+l=—(%—1),即x+y=O；

故根221nx+2对任意x(0,内)恒成立.

(2)依题意，21nx—mx+2<0,e

21rLx+2

令g(x)(x>0),

X

-2iwc

则g'(x)=

X2

令g<x)=O,解得x=l.

故当x«O,l)时,g'(x)>O,g(x)单调递增;

当％e(l,+8)时，g'(x)<O,g(x)单调递减，

则当％=1时，g(x)取到极大值，也是最大值2.

故实数机的取值范围为［2,+8).

16.现有两组数据，A组：1,2,3,4;5组：1,2,3,4,5.先从A组数据中任取3个，构成数组Q1,

再从8组数据中任取3个，构成数组。2,两组抽取的结果互不影响.

（1）求数组的数据之和不大于8且数组C?的数据之和大于8的概率;

（2）记XumaxC?—minQ],其中min。]表示数组相中最小的数，maxC2表示数组C2

中最大的数，求X的分布列以及数学期望E（X）.

解：（1）记“数组的数据之和不大于8”为事件M,“数组C2的数据之和大于8”为事件N,

13

则P（M）=1—

事件N包含的数组有:（1,3,5）、（1,4,5）、（2,3,4）、（2,3,5）、（2,4,5）、（3,4,5）,共6组,

P（N）=A=g,故所求概率尸=P（M）P（N）=；^.

（2）依题意，X的可能取值为1,2,3,4；

P（X=I）=!，=L,P（X=2）=9，+[.：=3，

\/C：G40'/C：CC：C；20

C2C21C23C2C29

P（X=3）=-|---|-+---1=-,P（X=4）=-|---1

-20

则X的分布列为

X1234

1339

P

4020820

133913

则E（X）=lx—+2x±+3x1+4><==」

—40208204

17.如图在四棱锥S—ABCD中，ABCD为菱形NA3C=120,/SDC=90,S3=SZ>.

（1）证明：SC±BD；

（2）若NASC=90，求平面与平面SBC所成二面角的正弦值.

（1）证明：记05交AC于点。，连接SO.

因为A5CD是菱形，所以瓦），AC,且。为3。的中点.

因为SB=S£＞,所以SOL5D,

又因为AC,SOu平面ASC,且ACSO=O,

所以由），平面ASC,

因为SCu平面ASC,所以SCL5D.

（2）解:取AB的中点p，连接。歹交AC于点E，连接SE.

因为NABC=120，

所以△A3。是等边三角形，

所以。尸，AB.

又因为NSDC=90，故5£＞,43,5£）＜^£＞尸=0,5。,0尸＜=平面50户，

所以AB1平面SDF.又SEu平面SDF,

所以A5LSE.

由（1）知5£＞，5£,且ABBD=B,

所以SE_L平面A5CD.

不妨设45=2，则AE=^^=逑,A0=A3-cos30=6.

cos303

在LASC中，由ASLSC,得=AE-EC=R3x生8=号，所以SE=RS.

3333

以。为坐标原点，。氏0。所在直线分别为x轴、y轴，过点。作垂直平面A5CD的直线为

z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（0,—6',O）,3（1,O,O）,C（O,6',O）,S

I33J

所以A3=(1,60)。=(1,一60)

设平面SAB的法向量为勺

G瓜_

n-BS=0,-xi-5MJzi=0n,

所以《x

n{-AB=0

xl+s/3yl=0,

令％=1得々=—5/3,1,—

设平面SBC的法向量为%=（x2,y2,z2）,

陋246_

n-BS=0,f---y2+Z2=0n，

所以《2

n2-CB=0

x2-6y2=0,

令%=1得%=(后,1,3)

-V3xV3+lxl--xV2

=_V3

故COS〈月,凡〉=2

、2

(-A/3)2+12+X7(^/3)2+12+(V2)2

I27

所以平面SAB与平面SBC所成二面角的正弦值为Y6

3

2

18.已知双曲线C:/—1=1的右焦点为口，点P（Xo，%）（为W°）在双曲线C上，

。卜。・

（1）若为=3,且点P在第一象限，点。关于X轴的对称点为R,求直线PR与双曲线C相

交所得的弦长;

（2）探究：的外心是否落在双曲线C在点尸处的切线上，若是，请给出证明过程;

若不是，请说明理由.

解：（1）依题意，P（2,3）,2l11

,一3,

2

-3-3

=4

则直线网的斜率为1、

----Z

2

则直线PH:y_3=4（x—2）,即y=4x—5；

2

-匕=114

联立《3，得13%2—40%+28=0，解得彳=2或X=-；,

）

y=4x-5=13

故所求弦长为J1+42,2--=应7

1313

（2）△PQb的外心落在双曲线。在点p的切线上，证明过程如下,

设双曲线。在点p的切线斜率为左，则在点P处的切线方程为y—%=左（工一%），

y-y0=k（x-x0）,

联立《2y2得（3-左2卜2_2左（%—质0）%_（%一也y_3=0,

X-----=1,

3

其中公43，则4=4/（%―质。丫+40,

2

而其-与=1,故y；+3=3x：,代入上式可得，―年一6烟）%+9需=0,

解得左=二&,故双曲线c在点尸处的切线方程为y-%=

%

即x0x—卷=1.直线FQ的斜率为kFQ=—今公,线段尸。的中点为普

（42）

5

故直线FQ的中垂线方程为y-^-x——

4

%=35

y一x——

4

联立《22%可得y=3/+2yo6,故外心坐标

2x+14yo

X0

4，

3尤0+2）；-6

4%,

其满足x0x-苧=1,故的外心落在双曲线C在点P处的切线上.

19.已知数列｛4｝的前几项和为S“，若数列｛4｝满足：①数列｛4｝项数有限为N；②

N

S.=0；③力力=1,则称数列｛4｝为“N阶可控摇摆数列”.

Z=1

(1)若等比数列｛a,,｝(lW〃W10)为“10阶可控摇摆数列"，求｛4｝的通项公式；

(2)若等差数列｛4｝(1V/<2以meN*)为“2现阶可控摇摆数列”，且金〉％公求数

列｛%｝的通项公式；

N

(3)已知数列｛%,｝为“N阶可控摇摆数列”，且存在iWmWN,使得XI4=2S,“，探究：

1=1

数列｛S,,｝能否为“N阶可控摇摆数列"，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.

10

解：(1)若4=1,则Ho=lOq=O,解得q=0,则ZI4|=0,与题设矛盾，舍去；

i=l

,6"-/°)

右