广东六校联盟2024年高考数学押题试卷含解析

广东六校联盟2024年高考数学押题试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

x-ay+3>0

1.已知y=ox+人与函数/（%）=21nx+5和8（%）=k+4都相切，则不等式组<-cC所确定的平面区域在

x+by-2>0

犬+丁+2%—2y—22=0内的面积为（）

A.27tB.3"C.67rD.12万

2.甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远

古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人.已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不

在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨.若以上语句都

正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

3.各项都是正数的等比数列｛4｝的公比qwl,且生，1的，。1成等差数列，则亍爱的值为（）

1—A/5+1

A.---------B.---------

22

C.D.5+1或

222

4.已知等比数列｛。"｝满足％=3,q+4+%=21,则%+%+%=（）

A.21B.42C.63D.84

5.定义在［-2,2］上的函数/（#与其导函数/'（X）的图象如图所示，设。为坐标原点，A、B、。、。四点的横坐

标依次为-；、-：、1、p则函数y=/星的单调递减区间是（）

D.(1,2)

6.设耳，为是双曲线C：.—==1（。>04>0）的左，右焦点，。是坐标原点，过点B作C的一条渐近线的垂

ub

线，垂足为尸.若归用=痴|。升，则C的离心率为（）

A.V2B.73C.2D.3

7.若函数/（》）=必"-。恰有3个零点，则实数。的取值范围是（）

A.（：，+8）B.（0，!）C.（0,4e2）D.（0,+<x>）

8.已知正三棱锥A-BCD的所有顶点都在球。的球面上，其底面边长为4,E、F、G分别为侧棱AB,AC,AD

的中点.若。在三棱锥A-BCD内，且三棱锥A-BCD的体积是三棱锥O-5CD体积的4倍，则此外接球的体积与

三棱锥O-E与G体积的比值为（）

A.兀B.8#）兀C.126万D.246兀

%,%<0

9.已知SwR,函数/（%）=131,八2八，若函数>=/（%）—办—b恰有三个零点，则（）

—X（Q+1）X+6ZX,%2。

132

A.a<-l,b<0B.a<-l,b>0

C.a>-l,b<0D.a>-l,b>0

10.若各项均为正数的等比数列｛4｝满足。3=3%+2/，则公比q=（）

A.1B.2C.3D.4

II.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为爪6,0),直线y=x-1与其相交于“，N两点，若中点的横坐标

2

为-一，则此双曲线的方程是

3

2222

A.^-^=1B.工-匕=1

3443

2222

C.土-匕=1D.土-工=1

5225

12.一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40。的方向直线航行，30分钟后到达5处，在C处有一

座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70。，在8处观察灯塔，其方向是北偏东65。，那么8,C两点间的距

离是()

B*

A.6a海里B.6G海里C.80海里D.8G海里

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数〃x)=eXcosx+x5,则曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程是.

14.如图，在正四棱柱A3CD—A用中，P是侧棱CC上一点，且£P=2PC.设三棱锥尸―的体积为匕，

正四棱柱ABCD-4瓦£9的体积为V,则£的值为.

5G

15.已知等差数列｛4｝的各项均为正数，4=1,且。2+&=/，若。—4=10,则4一%=.

16.(x+j)(2x—j)5的展开式中ry的系数为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.⑴分)已知函数/(x)=lnx+£-a'g⑴=一+空•》‘(代⑷

(1)讨论/(尤)的单调性;

(2)若"X)在定义域内有且仅有一个零点，且此时/(x)»g(x)+相恒成立，求实数机的取值范围.

18.(12分)已知数列｛a,J的前〃项和为S",2S“+a”=l(“eN*).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

11『11

(2)若--+-,1为数列｛g｝的前〃项和.求证：Tn>2n—.

1+%1-4+13

19.(12分)已知函数."x)=e"(Q%+l),aeR.

(1)求曲线y=/(x)在点/(。，/⑼)处的切线方程；

(2)求函数/(%)的单调区间；

(3)判断函数/(%)的零点个数.

20.(12分)2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共

接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若

公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导

游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲

公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：

分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)

频数2b2010

(1)求。，〃的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？

(2)从甲、乙两家公司旅游总收人在口。,20)(单位：万元)的导游中，随机抽取3人进行业务培训，设来自甲公司的人

数为X,求X的分布列及数学期望.

21.(12分)设函数/(x)=%2—2x+2“lnx(Q£R).

(I)讨论函数/("的单调性；

(II)若函数/(%)有两个极值点以〃，求证：/(Z?7)~/(n)>4/^-1.

m—n

22.(10分)设函数〃x)=l+ln(x+l)(x〉0).

X

(1)若/(x)〉工恒成立，求整数上的最大值；

X+1

(2)求证：(l+lx2)-(l+2x3)[l+"x(〃+l)]>e2"-3.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据直线y=ox+人与/(%)和g(x)都相切，求得d6的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆

x~+y2+2x-2y-22^0,由此求得正确选项.

【详解】

22

f(x)=—,g'(x)=2x.设直线y=ax+/7与/(%)相切于点A®,21n%o+5),斜率为一，所以切线方程为

22.21(1)1

y-(21nx0+5)=—(x-x0),化简得y=-x+21n/+3①.令g(x)=2x=—，解得x=一,g一=—+4,

%X。%%*

(\\2(1211

所以切线方程为y——+4=—x——,化简得，=—%-二+4②.由①②对比系数得21nx。+3=—二+4,

xxxxx

<oJo<xoJooo

化简得21nx0+4—1=0③.构造函数/z(x)=21nx+±—l(x>0),"⑴==2(x+[(x—1),所以妆%)在

X0xxXX

(0,1)上递减，在(1,+8)上递增，所以〃⑺在x=l处取得极小值也即是最小值，而从1)=0,所以〃(尤)=0有唯一

x-tzy+3>0x-2y+3>0

解.也即方程③有唯一解=1.所以切线方程为y=2x+3.即a=2力=3.不等式组<即4

x+by-2>0x+3y-2>0'

画出其对应的区域如下图所示.圆必+/+2x—2y—22=0可化为（％+1了+（y—1了=24,圆心为A（-l,l）.而方程

\x=-l

组x-2/y+c3=0八的解也是，・画出图像如下图所示，不等式组x-2y/+3c>0八所确定的平面区域在

x+3y-2=0[y=l[x+3y-2>0

f+V+2x—2y—22=0内的部分如下图阴影部分所示.直线x-2y+3=0的斜率为直线x+3y—2=0的斜率

11

1—1—

为――.所以tan44C=tan（NA£D+N/4D£）=/T、=l,所以NR4C=工，而圆4的半径为宿=2«,所

31——x—4

23

以阴影部分的面积是（2斯了=3》.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考

查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题.

2、D

【解析】

根据演绎推理进行判断.

【详解】

由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千

丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁.

故选：D.

【点睛】

本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础.

3、C

【解析】

分析：解决该题的关键是求得等比数列的公比，利用题中所给的条件，建立项之间的关系，从而得到公比q所满足的

等量关系式，解方程即可得结果.

详解：根据题意有出+q=2即4-1=0,因为数列各项都是正数，所以q=匕正，而

22

=L=故选c.

%+。5qi+V52

点睛：该题应用题的条件可以求得等比数列的公比心而待求量就是,，代入即可得结果.

q

4、B

【解析】

由ai+a3+a5=21得。］（l+q?+不）=21•/+/+/=7•/=2•33+35+37=+生+%）=2x21=42,选B.

5、B

【解析】

先辨别出图象中实线部分为函数y=/（"的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数y=的导数为

ex

yj（x）-〃x）,由y＜o,得出r（x）＜〃x）,只需在图中找出满足不等式/'（力＜/（力对应的x的取值范围

ex

即可.

【详解】

若虚线部分为函数y=/（x）的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与x轴有三个交点，不合乎

题意；

若实线部分为函数y=/（力的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与％轴恰好也只有两个交点，

合乎题意.

对函数丫=但求导得y=1（X）一/（“）,由了＜。得/'（%）＜/（力，

exex

由图象可知，满足不等式/'（九）＜/（力的X的取值范围是，

因此，函数丁="?的单调递减区间为［-:,11.

故选:B.

【点睛】

本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等

题.

6、B

【解析】

j2f2＞、

设过点M（c,O）作丁=2%的垂线，其方程为y=—4（x—c）,联立方程，求得戈=£,y=也,即P—,由

abcc\＜cc）

|P^|=V6|OP|,列出相应方程，求出离心率.

【详解】

解：不妨设过点耳（G。）作y的垂线，其方程为丁=—蓝（x—c）,

b

y=~X27（2r\

5后口c。

由,＜a解得%=—a,y=一ab，即n尸—a,——a,

a（、cc{ccJ

y=—^\x-c）

底而［、［七//＜2422y

,IaV（aab

由埒=，6|O尸I，所以有1一+—+c=6二+「一，

cyc）\cc）

化简得3/=02,所以离心率e=£=g.

a

故选：B.

【点睛】

本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题.

7、B

【解析】

求导函数，求出函数的极值，利用函数/。）=必/-。恰有三个零点，即可求实数。的取值范围.

【详解】

函数y=必/的导数为y'=2x数+%V=xe\x+2），

令y'=0,则％=0或-2,

-2<%<0上单调递减，(-*-2),(0,+8)上单调递增，

所以0或-2是函数y的极值点，

函数的极值为：/(0)=0,/(-2)=4e-2=—,

e

4

函数/(%)=必靖-。恰有三个零点，则实数的取值范围是：(0，r).

e~

故选B.

【点睛】

该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象

的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.

8、D

【解析】

如图，平面跳G截球。所得截面的图形为圆面，计算=由勾股定理解得尺="，此外接球的体积为

生3，三棱锥O-EFG体积为也，得到答案.

33

【详解】

如图，平面跳G截球。所得截面的图形为圆面.

正三棱锥A-BCD中，过A作底面的垂线AH,垂足为“，与平面EFG交点记为K,连接8、HD.

依题意匕.BC»=4%-B”，所以AH=4W,设球的半径为R,

在中，OD=R,330=延，OH=-OA=-,

3333

由勾股定理：氏2=苧,解得R=«,此外接球的体积为马普万,

由于平面E/G〃平面5CD,所以AH_L平面EFG,

球心。到平面EFG的距离为KO,

则KO=OA-必===0=

2333

所以三棱锥o—EEG体积为L工x且x42x亚=立，

34433

所以此外接球的体积与三棱锥O-EFG体积比值为24辰.

故选：D.

【点睛】

本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

9、C

【解析】

当％<0时，y=—==—最多一个零点；当X..0时，

y=f(x)-ax-b=^x3-^a+V)x2+ajc-ax-b=jx3-^a+V)x2-b,利用导数研究函数的单调性，根据单调

性画函数草图，根据草图可得.

【详解】

b

当％<0时，y^f(x)-ax-b=x-ax-b=(l-a)x-b=O,得工=----；y=/(%)—依一匕最多一个零点；

1-a

当X..0时，y=f(%)——/?=_d——(a+1)%2+ox—cix—b=1——(a+1)%2—b,

y'-x2_(a+l)x,

当a+L,0,即④—1时，y..0,y=f(x)-ax-b^[0,+到上递增，y=/(%)—公一人最多一个零点.不合题意;

当a+l>0,即a>—1时，令y'>0得xe[a+l,+©),函数递增，令V<0得xe[0,a+1),函数递减；函数最

多有2个零点；

根据题意函数y=/(x)-狈一人恰有3个零点o函数y=/(尤)一以一人在(-8,0)上有一个零点，在[0,+8)上有2

个零点，

如图：

f-Z?>0

b

，----<。且｛1.1

1-a—(a+Ip——(a+1)(〃+1)92-Z?T<0

、32

,1a

解得6<。，1—a>0,0>Z?>—(tz+1)4z>—1.

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及。力两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中

有可能分类不全面、不彻底.

10、C

【解析】

由正项等比数列满足。3=3%+24，即％/=3q+2qq,又。尸0,即寸―2q—3=0,运算即可得解.

【详解】

解：因为%=3%+2a2,所以=3q+2qq,又q/0,所以/-2q-3=0,

又q>0,解得4=3.

故选：C.

【点睛】

本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.

11、D

【解析】

25

根据点差法得二=不，再根据焦点坐标得/+〃=7,解方程组得4=2,〃=5,即得结果.

ab

【详解】

22

设双曲线的方程为工—1=1（。〉0］〉0）,由题意可得储+廿=7,设"（七,％）,Ng%），则"N的中点为

ab

2)

2_52222(%+%)(%-%)2x(--)2x(—5

,由冬一冬=1且冬—咚=1,得

，--------------------------'33,

33a2b2a2b2a2

b2

2522

即==7T，联立标+〃=7,解得标=2,b2=5,故所求双曲线的方程为匕-乙=1.故选D.

a2b225

【点睛】

本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.

12、A

【解析】

先根据给的条件求出三角形A5C的三个内角，再结合A3可求，应用正弦定理即可求解.

【详解】

由题意可知：ZBAC=70°-40。=30。./4。。=110。，AZACB=110°-65。=45。,

：.ZABC=180°-30°-45°=105°.XAB=24x0.5=12.

BC

sin30°'

12BC

即也一1，：,BC=6&

V2

故选：A.

【点睛】

本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中

档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、y=x+l

【解析】

求导，x=0代入求k,点斜式求切线方程即可

【详解】

/'(%)=ex(^cosx-siwc^+5x4，贝!)/'(0)=1,又/⑼=1

故切线方程为y=x+l

故答案为y=x+l

【点睛】

本题考查切线方程，求导法则及运算，考查直线方程，考查计算能力，是基础题

1

14、-

6

【解析】

设正四棱柱的底面边长45=5。=。，高再根据柱体、锥体的体积公式计算可得.

【详解】

解：设正四棱柱ABC。-4耳CR的底面边长AB=6C=a,高朋二人，

X

则匕BS-4B1G4=，ABCDAA-ab,

VP-D,DB=VB-D,DP=；SgDP.BC=gx3ab-a=：a%

3326

.PaJ即匕」

VABC£>-44G46V6

故答案为：~

6

【点睛】

本题考查柱体、锥体的体积计算，属于基础题.

15、10

【解析】

设等差数列｛。“｝的公差为d>0,根据4=1,且。2+4=%，可得2+6d=l+7d,解得d,进而得出结论.

【详解】

设公差为d,

因为4+%=〃8，

所以4+d+q+5d=q+7d,

所以d=q=1,

所以4_%=(〃一〃)[=10*1=10

故答案为：10

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式、需熟记公式，属于基础题.

16、40

【解析】

先求出(2x-y)5的展开式的通项，再求出笃,《即得解.

【详解】

设(2x—y)5的展开式的通项为I；.=C；(2x)5-r(-y)r=(-l)r25-rC；x5-ryr,

23

令r=3,则T&=—4C〉2y3=_40xy,

令尸2,贝(J刀=8C5%3y2=80x3/,

所以展开式中含xY的项为公(―40必/)+y.(80x3y2)=40x3y3.

所以xY的系数为40.

故答案为：40

【点睛】

本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)a4O时，/(尤)在(0,+8)上单调递增，a>0时，f(x)在(0,。)上递减，在3,”)上递增.(2)

【解析】

(1)求出导函数/'(x),分类讨论，由/(盼>0确定增区间，由((x)<0确定减区间；

(2)由/(1)=0,利用(1)首先得“V0或。=1,求出/(%)—g(x)的最小值即可得结论.

【详解】

(1)函数定义域是(0,+8),

当时，/'(x)>0,/(x)单调递增；

a〉0时，令/'(%)=。得x=a,0<x<a时，f'(x)<Q,递减，x>a时，f'(x)>Q,/(x)递增,

综上所述，“WO时，f(x)在(0,+s)上单调递增，a>0时，/。)在(0,。)上递减，在3,y)上递增.

(2)易知/⑴=0,由函数单调性，若/(x)有唯一零点，则或4=1.

〃一1I

当〃<0时,g(x)=----,/(x)-g(x)=lnx+——a,

xx

从而只需〃=0时，/(%)—g(x)N加恒成立，即根Vln%+,，

%

令丸(x)=lnx+」，/(乃=!—二=三=，/i(x)在(0,1)上递减，在(1,内)上递增，

XXXX

；・飘九)1^=〃⑴=1，从而加£1.

JQ]

a=1时，g(x)=—,f(x)=In%H----1,

e一x

1YX—11—V11

令t(x)=/(x)-g(x)=Inx+——77-1，由t'(x)=———==(%-1)(—+F)，知«)在(0,1)递减，在(1,y)

xex'ex'e

上递增，^(^)min=?(1)=-1>*'•W<-1.

综上所述，加的取值范围是(一亚-1].

【点睛】

本题考查用导数研究函数的单调性，考查函数零点个数与不等式恒成立问题，解题关键在于转化，不等式恒成立问题

通常转化为求函数的最值.这又可通过导数求解.

18、(1)(2)证明见解析

【解析】

⑴利用。"=二。c求得数列｛4｝的通项公式.

[5„-5„_pn>2

(2)先将。“缩小即c”〉2-击)，由此结合裂项求和法、放缩法，证得不等式成立.

【详解】

⑴f+eUeN)令〃=1,得

/、a”1

又2SM+4T=1(〃22),两式相减，得工=子

an-\3

11

3"3"111

-------------1--------;-------=2—------------1--------;------

3，，+i3"+i—13"+13"鬼一1

11

=2—

3"+13"i—1广

又；

c11cl

=2n-\---：---->2n——.

3Z33

T〉2〃—.

3

【点睛】

本小题主要考查已知S“求劣,考查利用放缩法证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

19、(1)(a+l)x-y+l=O(2)答案见解析(3)答案见解析

【解析】

(1)设曲线y=/(x)在点M(0,f(0))处的切线的斜率为左，可求得上=/(0)=。+1,/(0)=1,利用直线的点斜式

方程即可求得答案；

(2)由(I)知，f\x)=e\ax+a+X),分a=0时，a>0,a<0三类讨论，即可求得各种情况下的的单调区

间为；

(3)分a=0与aw0两类讨论，即可判断函数Ax)的零点个数.

【详解】

(1)Qf(x)=ex(ax+1),

/'(x)=ex(ax+l)+aex=ex(ax+a+V),

设曲线y=/(x)在点M(O,/(0))处的切线的斜率为3

则左=r(。)=ex(ax+l)+aex=e0(a+l)=a+l,

又/(0)=l,

・二曲线y=/(x)在点加(0,7(。))处的切线方程为：y-l=(a+I)x9即(a+l)%—y+l=O；

(2)由(1)知，fr(x)=ex(ax+a+I),

x

故当〃=。时，f(x)=e>09所以/(%)在R上单调递增；

当〃>0时，XG(—00,------),/'(X)V。；XG(------，+8),f\X)>0•

aa

・・・/(X)的递减区间为(口,-但)，递增区间为(-但，+8)；

aa

当a<0时，同理可得/Xx)的递增区间为(口,-但)，递减区间为(-3，+8)；

aa

综上所述，4=0时，“X)单调递增为(-8,+8),无递减区间；

当。>0时，/(元)的递减区间为(-也-但)，递增区间为(-@里，+与；

aa

当。<0时，/(X)的递增区间为(-也-"3,递减区间为(-竺+©);

aa

(3)当。=0时，/(乃=靖>0恒成立，所以/Xx)无零点；

当a/0时，由/(x)=，(ar+l)=O,得：x=----,只有一个零点.

a

【点睛】

本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想与推理、运算能力，

属于中档题.

20、(1)4=0.013=5,乙公司影响度高；(2)见解析，E(X)=2

【解析】

(1)利用各小矩形的面积和等于1可得。，由导游人数为40人可得心再由总收人不低于40可计算出优秀率；

(2)易得总收入在口。,20)中甲公司有4人，乙公司有2人，则甲公司的人数X的值可能为1,2,3,再计算出相应

取值的概率即可.

【详解】

(1)由直方图知，(a+O.O25+O.O35+O.O2+a)xlO=l,解得。=0.01,

由频数分布表中知：2+》+20+10+3=40,解得3=5.

所以，甲公司的导游优秀率为：(0.02+0.01)x10x100%=30%,

乙公司的导游优秀率为：且9x100%=32.5%,

40

由于32.5%>30%,所以乙公司影响度高.

(2)甲公司旅游总收入在口0,20)中的有0.01x10x40=4人，

乙公司旅游总收入在口。,20）中的有2人，故X的可能取值为1,2,3,易知:

j2

P(X=1)=^Cc^=4—=1-,P(X=2)=C-2^cl=1—2=3-

d205Cf205

3

p(X=3)=-C^-=—4=-1

Cg205

所以X的分布列为:

X123

31

P

555

131

E(X)=lx—+2x—+3x—=2.

【点睛】

本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列与期望，考查学生数据处理与数学运算的能力，是一道中档题.

21、（I）见解析（II）见解析

【解析】

(I)求导得到/'(的=生3^,讨论0<«<p。40三种情况得到单调区间.

f(rn)—f(ri)

(II)设相>〃，要证^---------->4mn-l,即证/(加)―/(〃)>(4相〃-1)(加一〃)，m+n=l,mn=a,设

m—n

g(rri)=lnm-ln(l-m)-4m+2(g<m<1),根据函数单调性得到证明.

【详解】

/丫、「,/、八八2。2x2-2x+2a/、八、

(I)/'(%)=2%—2+—=-----------------(x>0),

xx

2

令g(%)=2x-2x+2a9A=4(1-4tz),

(1)当AWO,即时，g(x)>0,f'(x)>0,/(尤)在(0,+8)上单调递增;

4

(2)当/>0,即。〈工时，设g(x)=0的两根为公dxl<x2),

4

1—Jl—4a1+Jl—4a

%1=2，%2=2'

①若0<a<^,0<x<x2,xe(0,七)1,(%2，+°0)时，f\x)>0,

4.一

所以/3在（0,占）和（X2，+8）上单调递增,

时，/'(x)＜。，所以/(x)在(如％2)上单调递减，

②若aWO,%1<0<x2,xe(0,%2)时，/'(x)<0，所以/(x)在(0，%)上单调递减，xe(x2,+°o)f\x)>0,

所以/(x)在(x2,+8)上单调递增.

综上，当a2工时，f(x)在(0,+8)上单调递增；

4

当0<a<:时，f(x)在(0,匕*四)和(1±^2也,+8)上单调递增,

在工正且匕正迈上单调递减；

22

当4Vo时，在(0,匕牛9)上单调递减,在(1+4",+00)上单调递增.

(II)不妨设血〉”，要证[(“"一—(")

m—n

即证/(加)―/(〃)>(4mn-l)(m-n),

即证于(市)—f(ji)—(4m九-l)(m—n)>0,

由(I)可知，m+n=l,mn=a,0<a<—,可得0<〃<,<加<1,

42

f(m)—于(ri)=(jn—ri)(m+ri)—2(m—ri)+2a(Inm—Inn),

所以有/(m)—f(ri)—(4m几—l)(m—n)=2a[Inm—ln(l—m)—4m+2],

令g(m)=lnm—ln(l—m)—4m+2(；<m<l),