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文档简介
山西省祁县中学2024年高三3月份模拟考试数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若复数/--(aeR)是纯虚数,则复数2a+2,在复平面内对应的点位于()
1+z
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4x-y..2,
2.不等式°的解集记为。,有下面四个命题:Pi:V(x,y)eD,2y-西,5;A:3(x,y)eD,2y-x.2;
J+M,3
p3:\f(x,y)^D,2y-x,,2;/:m(x,y)eD,2y-x..4次中的真命题是()
A.PiRB.P2,P3C.PmD.。2,。4
3.赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,
亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的).类比“赵
爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角
形.设D尸=2A尸=2,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形(阴影部分)的概率是()
3A/13
26
4.已知集合A=A7=J%2—1},(x-2x2)},贝!|CR(AAB)=()
A.[0,—)B.(-co,0)U[—,+co)
22
C.(0,-)D.(-oo,0]U[-,+oo)
22
5.函数/(x)=sin0x(。>0)的图象向右平移二个单位得到函数y=g(x)的图象,并且函数g(x)在区间£,刍上
1263
单调递增,在区间[工,2]上单调递减,则实数0的值为()
32
735
A.—B.—C.2D.一
424
V2V24
6.已知双曲线C:—-2_=l(a>0,6>0)的右焦点为尸,过原点。作斜率为一的直线交C的右支于点A,若|。4|=|。尸
a2b23
则双曲线的离心率为()
A.73B.75C.2D.73+1
7.已知函数/(x)=sin(ox+6),其中6y>0,其图象关于直线x=£对称,对满足|/(石)一/(々)|=2
的占,%,有N-%L=W,将函数的图象向左平移煮个单位长度得到函数g(x)的图象,则函数g3的单
调递减区间是()
77E
A.kji--.k7i+—[k€Z)B.K7i,k7r-\--(keZ)
62
7兀,7乃
C.k7T-\——,k兀〜-----(kGD.k兀'«兀A(丘Z)
36'1212
8.如图所示的程序框图输出的S是126,则①应为()
A.n<5?B.n<6?C.n<7?D.n<8?
x+2y-5<0
2x+y-4<0
9.若实数x,y满足条件―、八,目标函数z=2%—y,则z的最大值为()
x>0
5
A.B.1C.2D.0
2
10.设aeH,b>0,则“3°>2,'是"°〉屿6”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
11.已知函数/(x)=<9x>0‘则函数'=/(/(%))的零点所在区间为()
A.B.(-1,0)C.(4D.(4,5)
12.下列函数中,既是奇函数,又是R上的单调函数的是()
A./(x)=ln(|x|+l)B./(%)=/
2二x<0)
X2+2x,(x>0)
c.D./(x)=<0,(x=0)
-X2+2x,(x<0)
I,(x>0)
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知复数z=1+27,其中i为虚数单位,则Z?的模为.
14.经过椭圆事+丁=1中心的直线与椭圆相交于M、N两点(点M在第一象限),过点以作x轴的垂线,垂足为
点E.设直线NE与椭圆的另一个交点为P.则cosZNMP的值是
15.(x+1),的展开式中产的系数为
16.成都市某次高三统考,成绩X经统计分析,近似服从正态分布X〜NQOO,b?),且P(86<X<100)=0.15,若
该市有8000人参考,则估计成都市该次统考中成绩X大于114分的人数为.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
TTTT
17.(12分)如图,在直角中,ZACB=-,ZCAB=-,AC=2,点"在线段AB上.
23
(1)若sin/CM4=X3,求CM的长
3
(2)点N是线段B上一点'MN=B且%求.+酬的值.
18.(12分)已知椭圆C:5+y2=l的右顶点为4,点P在V轴上,线段AP与椭圆C的交点3在第一象限,过点3
的直线I与椭圆C相切,且直线/交X轴于〃.设过点4且平行于直线I的直线交y轴于点Q.
(I)当3为线段AP的中点时,求直线A3的方程;
(II)记ABPQ的面积为H,AOMB的面积为邑,求、+$2的最小值.
19.(12分)在AABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,73sin(A+B)=4sin2.
(1)求cosC;
(2)若b=7,。是BC边上的点,且AAC。的面积为6石,求sinNAO反
221
20.(12分)已知椭圆。:彳+£=1(。〉6〉0)与*轴负半轴交于4(—2,0),离心率6=万.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线/:y=Ax+〃z与椭圆C交于/(%,%),N(42,%)两点,连接AM4V并延长交直线x=4于
后(*3,%),方(七,典)两点,若一+—=—+—,直线是否恒过定点,如果是,请求出定点坐标,如果不是,
''%>2>3>4
请说明理由.
21.(12分)已知函数y=/(x).若在定义域内存在%,使得/(—%)=—/(须)成立,则称/为函数y=/(x)的局
部对称点.
(1)若人£尺且。声0,证明:函数/(%)=ax1+bx-4有局部对称点;
(2)若函数8(月=2'+0在定义域[-1』内有局部对称点,求实数c的取值范围;
(3)若函数Mx)=4'—底22+疗—3在R上有局部对称点,求实数机的取值范围.
22.(10分)已知抛物线。::/=2勿(〃>0)的焦点为产,点。(2,力(“>0)在抛物线C上,|P同=3,直线/过点
F,且与抛物线。交于A,3两点.
(1)求抛物线。的方程及点P的坐标;
(2)求尸4尸3的最大值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
化简复数'-由它是纯虚数,求得。,从而确定2a+2/・对应的点的坐标.
1+z
【详解】
2a+2i1号=a+l+”6是纯虚数,则.«+1=0
a——19
1+z1一aH0'
2a+2,=—2+2"对应点为(-2,2),在第二象限.
故选:B.
【点睛】
本题考查复数的除法运算,考查复数的概念与几何意义.本题属于基础题.
2、A
【解析】
作出不等式组表示的可行域,然后对四个选项一一分析可得结果.
【详解】
作出可行域如图所示,当x=l,y=2时,(2y—x)111ax=3,即2y-x的取值范围为(―s,3],所以
V(x,y)&D,2y-x„5,为真命题;
3(x,y)^D,2y-x..2,p2为真命题;p3,P”为假命题.
故选:A
【点睛】
此题考查命题的真假判断与应用,着重考查作图能力,熟练作图,正确分析是关键,属于中档题.
3、A
【解析】
根据几何概率计算公式,求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可.
【详解】
在AABZ)中,AD=3,BD=1,ZADB=120°,由余弦定理,得AB=JAD?+§£)2_2Ao.8DCOS120°=如,
DF2
所以罚
所以所求概率为黑丝=(二].
S^ABCIA/13J13
故选A.
【点睛】
本题考查了几何概型的概率计算问题,是基础题.
4、D
【解析】
求函数的值域得集合A,求定义域得集合3,根据交集和补集的定义写出运算结果.
【详解】
集合4={y|y=—1}=。肚0}=[0,+oo);
B=[x]y=lg(x-2x2)}={x\x-2x2>0}={x|0<x<^}=(0,g),
:.AQB=(0,-),
2
ACs(AAB)=(-oo,0]U[-,+oo).
2
故选:D.
【点睛】
该题考查的是有关集合的问题,涉及到的知识点有函数的定义域,函数的值域,集合的运算,属于基础题目.
5、C
【解析】
由函数/(X)=sina>x(a>>0)的图象向右平移。个单位得到g(x)=s利5)]=sin(.cox-,函数g(x)在
TTTTITIT
区间上单调递增,在区间
_o3J|_32_
上单调递减,可得x时,g(x)取得最大值,即(ox]—爸)=a+2左乃,keZ,6y>0,当k=0时,解得。=2,
故选C.
点睛:本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用,属于基础题;据平移变换“左加右减,上加下减”
的规律求解出g(x),根据函数g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减可得x时,g(力取
得最大值,求解可得实数。的值.
6、B
【解析】
(222
以。为圆心,以耳为半径的圆的方程为必+丁2=02,联立/,可求出点A△--------,则
G卞=1(c0
£
C4
整理计算可得离心率.
ay/c2+b~
c
【详解】
解:以。为圆心,以同为半径的圆的方程为好+/=。2,
ayjc2+b2
222
x+y=cx=---------------
联立一12,取第一象限的解得,
b2
y=—
£
ay/c2+b2b2
c4
即A----------,一,则
ay/c2+b23
整理得(9C2-5«2)(C2-5«2)=0,
252
则c==士<1(舍去),c==5,
a29a2
.'.e=—=y/5.
a
故选:B.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解,考查学生的计算能力,是中档题.
7、B
【解析】
根据已知得到函数/(%)两个对称轴的距离也即是半周期,由此求得。的值,结合其对称轴,求得。的值,进而求得
/(X)解析式.根据图像变换的知识求得g(x)的解析式,再利用三角函数求单调区间的方法,求得g(x)的单调递减区
间.
【详解】
解:已知函数/(x)=sin(s+e),其中@>0,0*,£|,其图像关于直线对称,
对满足|/(%)一/(%2)|=2的%,%,有1%_%2,in=5=5•二7,,④=2,
7T7TTT
再根据其图像关于直线%=。对称,可得2%一+。=左"+—,keZ.
662
:.0=^~,:./(x)=sin^2x+.
将函数/(x)的图像向左平移占个单位长度得到函数g(x)=sin2x+g+£=cos2.x的图像.
6I36J
令2左万<2x<2k7i+7i,求得kji<x<kji—,
2
71
则函数g(%)的单调递减区间是k兀,k兀+5,keZ,
故选B.
【点睛】
本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式,考查三角函数图像变换,考查三角函数单调区间的求法,属于中
档题.
8、B
【解析】
试题分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加S=2+22+...+2n
的值,并输出满足循环的条件.
解:分析程序中各变量、各语句的作用,
再根据流程图所示的顺序,可知:
该程序的作用是累加S=2+22+...+2n的值,
并输出满足循环的条件.
VS=2+22+...+21=121,
故①中应填nSL
故选B
点评:算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的考试题型,
这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题
型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误.
9、C
【解析】
画出可行域和目标函数,根据平移得到最大值.
【详解】
x+2y-5<0
2x+y-4<0
若实数x,y满足条件八,目标函数z=2x-y
x>0
”1
3
当x=5,y=1时函数取最大值为2
故答案选C
【点睛】
求线性目标函数z=ax+by(ab丰0)的最值:
当b>0时,直线过可行域且在V轴上截距最大时,z值最大,在丁轴截距最小时,z值最小;
当6<。时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大.
10、A
【解析】
根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可.
【详解】
若3a>2匕,Z?>0,则a>log32Z?,可得a〉log3b;
若a>logs6,可得3">b,无法得到3">2Z?,
所以“3">2,'是“。〉log36”的充分而不必要条件.
所以本题答案为A.
【点睛】
本题考查充要条件的定义,判断充要条件的方法是:
①若。=4为真命题且4=>〃为假命题,则命题p是命题g的充分不必要条件;
②若。=4为假命题且402为真命题,则命题p是命题g的必要不充分条件;
③若。=4为真命题且4n〃为真命题,则命题P是命题g的充要条件;
④若。=4为假命题且4n2为假命题,则命题?是命题q的即不充分也不必要条件.
⑤判断命题0与命题g所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题0与命题g的关系.
11,A
【解析】
首先求得x<0时,/(%)的取值范围.然后求得x>0时,/(尤)的单调性和零点,令/(/(力)=0,根据“x<0时,
/(%)的取值范围”得到了(%)=2*+log3x—9=3,利用零点存在性定理,求得函数y=/(/(%))的零点所在区间.
【详解】
当xKO时,3</(%)<4.
当"0时,"xhT+loggf—gnZx+logsX—9为增函数,且〃3)=0,则x=3是八%)唯一零点.由于“当
x<0时,3</(%)<4所以
令/(/(力)=0,得〃x)=2'+log3X—9=3,因为〃3)=0<3,
/^1j=8V2+log31-9>8xl.414+log33-9=3.312>3,
所以函数y=/(/(%))的零点所在区间为13,11.
故选:A
【点睛】
本小题主要考查分段函数的性质,考查符合函数零点,考查零点存在性定理,考查函数的单调性,考查化归与转化的
数学思想方法,属于中档题.
12、C
【解析】
对选项逐个验证即得答案.
【详解】
对于4,〃—尤)=ln(H+l)=ln(国+1)=/(无),.•./(可是偶函数,故选项4错误;
对于3,/(%)=%-'=-,定义域为{RXHO},在R上不是单调函数,故选项3错误;
X
对于C,当龙〉0时,-x<0,:./(_1)=+2(—x)=—无__2x=_(%2+2x)=_/(尤);
当x<0时,一x>0,;./(―%)=(—尤)~+2(—光)=x?—2x=—(—尤2+2%)=—f(尤);
又%=0时,/(-o)=-/(o)=o.
综上,对xeR,都有=.・./(%)是奇函数.
又90时,〃尤)=V+2x=(x+l)2—1是开口向上的抛物线,对称轴x=—1,.••/(九)在[0,+8)上单调递增,
•.八X)是奇函数,.•・/(X)在R上是单调递增函数,故选项C正确;
对于D,7(%)在(-8,0)上单调递增,在(0,+。)上单调递增,但l)=g>/⑴=-j.・./(X)在R上不是单
调函数,故选项。错误.
故选:C.
【点睛】
本题考查函数的基本性质,属于基础题.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13、5
【解析】
利用复数模的计算公式求解即可.
【详解】
解:由z=l+2,,得z?=(1+=—3+4,,
所以H=J(—3)2+42=5.
故答案为:5.
【点睛】
本题考查复数模的求法,属于基础题.
14、0
【解析】
作出图形,设点/(%,%),则N(—%,—%)、E(%0,0),设点。(石,%),利用点差法得出上MN利用斜
率公式得出左左MN,进而可得出左MN%ff=T,可得出上W,MP,由此可求得COSNWP的值.
【详解】
设点>0,%>0),则N(F),-%)、£(光0,0),设点尸(七,%),
2
i
即%%y;-y;
丁一片
为一%0石+x02
211
由斜率公式得kNP=kNE=y-=--—一5左MN,••一]二%四尸化NP=^^MNJ=2左IP»,,^MN^MP=-1,故
2/2x022
MN±MP,
因此,cosZNMP=D.
故答案为:0.
【点睛】
本题考查椭圆中角的余弦值的求解,涉及了点差法与斜率公式的应用,考查计算能力,属于中等题.
15、6
【解析】
在二项展开式的通项中令x的指数为2,求出参数值,然后代入通项可得出结果.
【详解】
44r
(x+1)的展开式的通项为Tr+1=C]x-,令4—r=2nr=2,
因此,a+i)4的展开式中好的系数为c:=6.
故答案为:6.
【点睛】
本题考查二项展开式中指定项系数的求解,涉及二项展开式通项的应用,考查计算能力,属于基础题.
16、2800.
【解析】
根据正态分布密度曲线性质,结合P(86<X<100)=0.15求得P(X>114)=3—0.15=0.35,即可得解.
【详解】
根据正态分布X〜N(100,b?),且P(86<X<100)=0.15,
所以P(X>114)=;—0.15=0.35
故该市有8000人参考,则估计成都市该次统考中成绩X大于114分的人数为8000x0.35=2800.
故答案为:2800.
【点睛】
此题考查正态分布密度曲线性质的理解辨析,根据曲线的对称性求解概率,根据总人数求解成绩大于114的人数.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、(1)3;(2)4+73.
【解析】
(1)在VC4M中,利用正弦定理即可得到答案;
(2)由S^BMN=^SAACB可得BM-BN=46,在ABMN中,利用MN=J7及余弦定理得
MN~=BM2+BN--2BM-BNcos-,解方程组即可.
6
【详解】
(1)在VC4M中,已知NCAM=工,sin/CMA=@,AC=2,由正弦定理,
33
AC-sin—2x^~
CMAC
得,解得。lf=.”上=^^~=3.
sinZCAMsinZCMAsmZCMA,3
T
(2)因为SABMN=《S^CB,所以gBM.BMsinmnlxlxZxZ/,解得BM-BN=4g.
22622
在中,由余弦定理得,
MN2=BM2+BN2-2BM-BNc吟=(BM+BN、-IBM-BN-
即诉2=(BA/+5N)2_2X4出
2
(BM+BN?=19+8代=(4+时,
故BM+BN=4+瓜
【点睛】
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,考查学生的计算能力,是一道中档题.
18、(I)直线的方程为y=—半(%—应)(H)0
【解析】
(1)设点。(0,%)(%>°),利用中点坐标公式表示点小并代入椭圆方程解得先,从而求出直线A5的方程;(2)
/—rv]\
设直线/的方程为:y=kx+m(k<O,m^O),表示点M-1,0,然后联立方程,利用相切得出m2=2左2+1,然
后求出切点5,再设出设直线AQ的方程,求出点。(0,-&),利用A8两点坐标,求出直线的方
(i)
程,从而求出P0,1——,最后利用以上已求点的坐标表示面积,根据基本不等式求最值即可.
VyJ2k+mJ
【详解】
解:(I)由椭圆C5+V=l,可得:A(V2,0)
可得…4
由题意:设点。(。,%)(%>0),当3为24的中点时,
代入椭圆方程,可得:力=孝所以:BV2
所以kAB=——=-坐.故直线AB的方程为y=-
叵一近2
2
(II)由题意,直线/的斜率存在且不为0,
故设直线/的方程为:y^kx+m[k<0,m^0)
-m
令>=0,得:%=券所以:M.
k
y-kx+m,消丁,整理得:(2左2+1)尤2+4初a+2%2一2=o.
联立:《
x2+2y2-2=01)
因为直线/与椭圆相切,所以八=16左2疗一4(2左2+1乂2〃,-2)=0.
即H?=2左2+1.
、八/\…-2km-2k,m1
设n以孙%),则"何+时
-2k1
所以5
mm
又直线AQ//直线/,所以设直线AQ的方程为:y=k(x-后卜
令X=0,得y=—0左,所以:Q(0,—瓜).
1
m1
因为左AB=
-2k_夜—2k—\/2m
m
所以直线A5的方程为:y=_2/鬲卜一亚).
1(1)
,所以:P0,亍——
令A"得"五金172k+m)
~,।_.I1+1m2+।।
所以忸。=|而获+0[%-7=2k2发+yfl+km加=小y/2k1m=网.
又因为S]=^\PQ\\xB\=^\m\^=\k\.
S=-\OM\\y\=---
221"'BI2km2\k\
所以51+52=闷+质》2出(当且仅当|刈=)对,即k=-当时等号成立)
所以(Si+s?)1mli=72.
【点睛】
本小题主要考查直线和椭圆的位置关系,考查直线方程以及求椭圆中的最值问题,最值问题一般是把目标式求出,结
合目标式特点选用合适的方法求解,侧重考查数学运算的核心素养,本题利用了基本不等式求最小值的方法,运算量
较大,属于难题.
以⑴.⑵噜
【解析】
CC
(1)根据诱导公式和二倍角公式,将已知等式化为角上关系式,求出tan一,再由二倍角余弦公式,即可求解;
22
(2)在一ACD中,根据面积公式求出CD长,根据余弦定理求出AD,由正弦定理求出
sinZADC,即可求出结论.
【详解】
(1)^sin(A+B)=4sin2-y,2^sin-ycos-y=4sin2,
0<C<tsinC>0,.」anJ包
22222
rc/sin2cin2c
C999
22CCC7
cos2——l-sin2——1+tan2——
222
(2)在ACD中,由(1)得sinC=±8,
7
=-x7xCDx^=
q66,:.CD=3,
jAC。27
由余弦定理得
AD2=Z72+COSC=49+9-2x7x3」=52,
7
.•.AD=2而,在_ACD中,
746
ADAC「2女二刀本=辔
sinCsinZADC
2、丽
sinZADB=sin/ADC=——
13
【点睛】
本题考查三角恒等变换求值、面积公式、余弦定理、正弦定理解三角形,考查计算求解能力,属于中档题.
22
20、(1)亍+4=1(2)直线恒过定点。,0),详见解析
【解析】
(1)依题意由椭圆的简单性质可求出。力,即得椭圆C的方程;
(2)设直线AM的方程为:x=txy-2,联立直线的方程与椭圆方程可求得点〃的坐标,同理可求出点N的坐
标,根据的坐标可求出直线的方程,将其化简成点斜式,即可求出定点坐标.
【详解】
122
(1)由题有a=2,e=—~.:.c=l,:,b2=a2-c2^3.:.椭圆方程为土+匕=1.
a243
x=t1y-2
22
(2)设直线的方程为:x=txy-2,贝人xy尸(3。+4)y2-12:y=0
I43
12/_12A_6A2-86t^-812/,
/.x=ty2=----,同理/二-5----,
111—2=-------%二声7
111匕彳+43彳+423^+4
.6/°66°.1.111
当/=4时,由退=。%—2有为4,厂,同理/4,-,又;7+1==--1--
h*2J%%、'%%
.+4+3?2+4_(%+幻(3印2+4)/+,2
=L+豆——z-
12Z112,26612伯6
y,-%
当。+12。。时,平2=-4,直线MN的方程为丁一必=人上
X]一马
12112?2
12%_3片+438+4j.6[一8112G_4<6彳-8]
—3彳+厂6彳—86g石广-3彳+4尸y_3d+4L+/2r―3%2+4)
3%;+43^+4
446片—812A44(3彳+4)4(八
=y=----%---------\——+,1=-----X-/,'~;——--=-----(X-1)
%+,2%+L3力+43/j~+4t}+t2(3彳+4)&+心)+t2
二直线MN恒过定点(1,0),当4+弓=0时,此时也过定点(1,0)“
综上:直线恒过定点(1,0).
【点睛】
本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的标准方程,以及直线与椭圆的位置关系应用,定点问题的求法等,意在考
查学生的逻辑推理能力和数学运算能力,属于难题.
21、(1)见解析(2)-1<c<-l(3)l-64m&2也
【解析】
⑴若函数〃x)=>+"”有局部对称点,则/(—%)+/(%)=0,即(以2+匕尤一〃+(依2一法一〃=。有解,即可求证;
⑵由题可得g(r)+g(x)=0在[-1』内有解,即方程2,+2-'+2c=0在区间[T』上有解,则-2c=2'+2r,设
t=2A(-1<x<l),利用导函数求得2,+2
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