2024年中考数学复习：圆与锐角三角函数综合相关证明

2024年九年级中考数学专题复习：

圆与锐角三角函数综合相关证明

1.如图，AB为。的直径，C是圆上一点，。是BC的中点，弦DEJ.AB,垂足为点

F.

P

⑴求证：BC=DE；

（2*是弧外石上一点，AC=6,BF=2,求半径r的长；

⑶在（2）的条件下，当CP是/ACB的平分线时，求CP的长.

2.如图.正方形A5CD顶点A,8在上.BC与。交于点E,8经过一。上一点

P,且必平分NAEC.

一，~、D

⑴求证：8是.。的切线；

⑵若S正方Ws=琵，求CE的长.

3.如图1,四边形ABC。内接于：。，对角线AC与50交于点及AC>9,点/在AC

上，ZADF+ZABC=90°.

⑴求NCD尸的度数.

(2)如图2,作DG_L4S于点G,£>G与AC交于点H,8G=CD,E为8。中点，求证：

CF=2DE.

⑶在(2)的条件下，BD=2.

①若3DG的面积是面积的3倍，求AC的长.

②如图3,当圆心。在高DG上时，求O的半径.

4.如图，AB是。的直径，C为A3下方半圆上一动点，0。〃4。交8(7于点。.

⑴求证：BD=CD；

(2)己知。半径为r,设8。=羽AC=y,求x与y的关系式；

(3)点P为A3上方圆外一点，且/R4B=2/APO,连结PA、PB、PO,出交上半圆于

点、E,已知当工二君时y=9,PB=A/61,求sinNPAB的值.

5.如图，48是。的直径，C,D是O上的两点，且BC=OC,BD交AC于点、E,

点/在AC的延长线上，BE=BF.

⑴求证：3户是的切线;

试卷第2页，共6页

3

⑵若EF=6,cosZABC=-,

①求防的长；

②求。的半径.

6.如图，边长为旧的等边,A6C是，。的内接三角形，。是BC上一点（点。与点以

C不重合），AD,3C相交于点E.

备用图

⑴ZADB=°,O的半径为

⑵当49=4时（点。在AD的下方）.

①求的长；

②点、F、G分别在射线。C、线段AD上，FDavCDE.若AF=叵,求。G的长.

2

7.如图，A8是。的直径，点C是BZ）的中点，CEJ.AB于点、E,BD交CE于点F.

C

⑵若BE=OE=3,求AZ）的长度.

8.如图，在Rt^MC中，ZC=90°,以。3为半径的9。与AB相交于点E,与AC相

切于点D

3

(2)已知cosNA8C=y,AB=6,求一。的半径几

9.如图，A3是。的直径，AD是;。的弦，。是A3延长线上一点，过点5作班，CD

交CD于E,交1。于尸，NEBC=2NDAC.

3

⑵若cos/ABF=y,。的半径为5,求8C的长.

10.如图，为।。的直径，点C为AB上方上一点，点。为C4延长线上一点,

连接CB,DB,CELBD交O于点E,垂足为H,AE交8。于点足

r

⑵若CD=AB,AE=8.

①若CH=6,求的长；

②若点A是线段8的中点，求此圆的半径.

11.如图，AB是;O的直径，点。是BC的中点，NPAC=ZADC,且8=百，AO与

2c交于点E.

⑵若tan/C4O=；,求DE的长；

⑶延长CD,AB交于点R若OB=BF,求：。的半径.

12.如图，在ABC中，ZBCA=90°,以8C为直径的O交AB于点P,点。是线段AC

试卷第4页，共6页

的中点，连接0P并延长交CB的延长线于点D

(1)求证：直线PQ是。的切线;

⑵若AP=6,tanA=—,

①求。的半径的长；

②求PD的长.

13.如图，已知，ABC中，AB=BC,以AB为直径的O交AC于点，。“与＜。相

切，交BC于点E,连接OE,CD=2y/3,ZACB=3Q°.

(1)判断DE与3c的位置关系，并说明理由；

(2)若以AB,0E的长为方程尤2+法+C=0两个实数根，求6的值；(若一元二次方程

bc

依2+桁+0=0的两个根为X],须，则玉+%=一一，再％=一・)

aa

(3)求图中以线段8,8C和80所围成图形的面积.

14.如图，。是Rt^ABC的外接圆，点。是弧48的中点，过点。作的平行线交

⑵当8=2时，求SBCE的值;

(3)设3C=AZAC.

①求岩的值；(用含〃的代数式表示)

BD

②若3CE=8AC,DE=6,求AB的长.

15.如图1,ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,延长BC到点£),使&)=胡.点

尸是8C边上一点，以点P为圆心、PO长为半径作P,交AC于点E,设尸C=x.

HD

普用陶I*用阻2

⑴如图2,点Q是射线54上的一点，PQ=PB,当点。在尸上时，尤=

(2)尤为何值时，P与A3相切？

(3)若P与ABC的三边有两个公共点，直接写出x的范围.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.(1)解：•••。是8C的中点,

••CD-BD,

：DEIAB且A3为「。的直径,

••BE=BD，

比=法，

:.BC=DE；

(2)解：连接0O,

.CD=BD,

：./CAB=/DOB,

•；AB为。的直径,

・•・ZACB=90°f

,:DEJ.AB,

：.ZDFO=9Q0,

AACB^-OFD,

.ACOF

・•法—访‘

设。。的半径为r,

则？=3,

2rr

解得r=5,经检验，r=5是方程的根,

：.Q的半径为5；

(3)解：如图，过点8作3G_LCP交CP于点G,

答案第1页，共24页

・•・ZBGC=ZBGP=90°,

•••。的半径为5,AB为。的直径,

AAB=10,ZACB=90°,

・•・BC=YIAB2-AC2=8,

AtanZCAB^^^,

AC63

・・,CP是/ACS的平分线，

JZACP=ZBCP=45°

：.NCBG=45。

JCG=BG=BCcos45°=472,

•；ZBPC=/CAB,

4

..tan/BPC=—,

3

.BG4

••=-t

GP3

•*-GP=30，

CP=4A/2+3A/2=7A/2.

2.(1)证明：连结。P,则。尸=0E,

OPE?AEP,

*EP平分/AEC,

.1CEP?AEP,

.1OPE?CEP,

.OP//BC,

•四边形ABC。是正方形,

.?OPD?C90?,

,OP是。的半径，且CD_LOP,

答案第2页，共24页

・・・cr)是。的切线.

(2)解：连接AP,

V?B90?,

・・・AE是O的直径，

：.lAPE90?,OEOA,

VBC//AD,OP//BC,

：.BC//OP//AD,

.PCOEi

..==1,

PDOA

丁S正方形=CD2=16,且CD>0,

:.AD=CD=4,

PC=PD=-CD=2,

2

・•・ZC=ZD=90°,?CPE?DAP90??APD,

CF

—=tan?CPEtan?DAP

PC

・・・CE=-PC=l

2f

。的内接四边形,

ZADC+ZABC=180°,

・・・Z.CDF+ZADF+ZABC=180°,

ZADF-^ZABC=90°,

JZCDF=90°；

(2)证明：・.・DG_LAB,

JZBGD=90°,

•・•NCD尸=90。，

答案第3页，共24页

:./BGD=/CDF,

又•：ZABD=ZACD,BG=CD,

・•..BDG丝CFD(AS0,

：.CF=BD,

•・•点七是BO的中点，

:.BD=2DE,

：.CF=2DE；

(3)①由(2)知：BDGaCFD,CF=BD=2,/BDG=/CFD,

uBDG-J".DEH,

•V="

••JCFD~-JDEG，

:.EH=-CF=~,

33

ZDEH=/FED,

:.JJEHsFED,

:.DE7=EHEF,

A1=-EF,

3

:.EF=-

2f

:.CE=CF-EF=-,

2

ZABD=ZACD,ZAEB=NCED,

ABEsCED,

:.BEDE=CEAE,

.\lxl=—AE,

2

AE=2,

AC=CE+AE=--

2

②如图，

答案第4页，共24页

作。于W,作直径CV,连接。V,

:.DOLAB,

BG=AG,

AD=BD=2,

由①知：ABEs.CED,

BEAEAB

,CE~DE~CD"

/.AB=2BC,BC=CD,

...—I=-A-E=z,

CE1

:.CE=-,AE=2,

2

设EW=x,贝|AW=2—x,

DW2=DE2-EW2=AD2-AW?,

.■.12-X2=22-（2-X）2,

x——1,

4

EW=-,DW=^~,

44

113

/.CW=EW+CE=-+-=-,

424

CD=y/cW2+DW2=+乎=,,

sinV=sinZACD,

.CDDW

,cv9

答案第5页，共24页

V6V15

.三二丁，

-CV2

“晅

5

・・・)0的半径为：3叵.

5

9

\OD//ACf

：.ZBAC=ZBOD,ZOCA=ZCODf

9：OA=OC,

：.ZBAC=ZOCA,

:・/BOD=/COD,

；・BD=CD・

(2)解：如图：连接OC、BC、BD,BC与OD交于点。

9

\OD//ACf

:..BOQs^BAC,

,OB=OQ=BQ

**AB-AC-

•.*AB=2OB,

：.OQ=^AC=^y,BQ=CQ,

答案第6页，共24页

•：OD=r,

QD=OD—OQ=r——y,

是半径，BQ=CQ,

：.ODLBC,

在RtACOQ和RtABDQ中，

由勾股定理得CQ2=OC2-OQ2,BQ2=BD2-QD2,

BQ=CQ,

：.OC2-OQ2=BD2-QD2,即产—=x2-|r-lyj,整理得/+0—2/=0.

(3)解：如图：连接OE,BE,

-1(不合题意，舍去),

=0,得5+9—2/=0,解得广

r=5,

OA=OE,

：./PAB=ZAEO=2ZAPO,

,/NAEO是△POE的外角，

ZAEO=ZAPO+ZPOE,

：.ZAPO=ZPOE,

：.OE=PE=5,

：A3是直径，

ZAEB=NBEP=90°,

在RtaBPE中，

VPE=5,尸8=病，

BE=yjPB2-PE2=6，

答案第7页，共24页

在RtZWE中，

*.*BE=6,AB=2r=10,

・・.si必皿=股二.

AB5

5.(1)证明：•;BC=DC,

・•・BC=DC，

：.ZA=ZCBD,

•；BE=BF,

：.ZBEC=ZF.

•・•AB为O的直径，

JZACB=90°,

：.ZBEC+ZCBE=90°,

AZF+ZA=90°.

：.ZABF=90°,

：.OBLBF,

〈OB是圆的半径，

：・BF是O的切线；

(2)解：①由(1)得：BE=BF,

・・•AB为。的直径，

BC工EF,

：.CF=CE=-EF=3,

2

・.・ZABC+ZCBF=90°,ZCBF+ZF=90°,

・•・ZF=ZABC,

在Rt5CF中，

CF

,：cosZF=——,

BF

3

BF=CF—=5；

5

②在Rt3c厂中，BC=y/BF2-CF2=4，

在RtzXABC中，

答案第8页，共24页

VcosZABC=—=-,

AB5

•-AB=T

。的半径为学

6.(1)解：•.•边长为屈的等边A5C是：。的内接三角形,

ZACB=ZABC=NBAC=60°,AC=BC=AB=y/l3,

•••。是8c上一点(点。与点8、C不重合),

ZAD3=ZACB=60°,

连接CO并延长交AB于点X,连接A。、BO,

・.・OB=OA,AC=BC,

：.CH±AB,AH=BH=-AB=—,

22

ZAOB=2ZACB=120°,

J/BOH=-ZAOB=60°,

2

・BH_•„.二八o_G

••=sin/ZBOH=sin60=—,

OB2

：.OB=BHJI=^+2=叵,

2223

即二，。的半径为叵，

3

故答案为：60,叵

3

(2)①作垂足为H.

贝UDH=AD-cos600=2,AH=AD-sin60°=2百.

:.BH=yjAB2-AH2=b

:.BD=DH+BH=3；

答案第9页，共24页

②作4,DC,垂足为/.两种情况如图,

AC=AC^

ZADC=ZABC=60°f

/.AI=AD-sin60°=2石，DI=AD-cos60。=2,

3731

:.DF、=2+—=—或0K=2——=—.

2222

:KDG-CDE,

/DF、G,=/DCE=Z£>AB.

・.,NFQGi=ZADB,

:.DF】G】sDAB,

DGX_DFX

…DB一扇.

7Z?!

当。月=彳时，0G_5,解得。G=k；

2-=i8

113

同理可求DF2=彳时，DG,解得DG2=-.

2I­=48

213

综上所述，OG的长是4或，

8°

7.(1)证明：4?是CO的直径，

:.ZACB=90°,

又CE1AB,

答案第10页，共24页

/BCE+ZECA=ABAC+ZECA=90,

■.ZBCE=ZBAC,

点。是50的中点，

:.ZDBC=ZBAC,

:.ZDBC=ZCDBf

:.ZBCE=ZDBCf

CF=BF

(2)解：连接0。，OC,

BE=0E=3,

OB=BE+OE=3+3=6,

OB=OC,

cosZCOE=—=-=

OC62

:"COE=60。,

点。是BO的中点，

/.ZDOC=ZCOE=60,

ZAOD=180-ZDOC-ZCOE=60,

,,,,60°TTx6小

AD的长度=180。=2万，

8.(1)证明：连接如图所示：

•・,AC切-O于点

：.OD±ACf

;ZC=90°,

答案第11页，共24页

・•・OD//BC,

：./ODB=/CBD,

■:OB=OD,

・・・/ODB=/OBD,

：・/OBD=/CBD,即RD平分/ABC；

(2)解：在RtaABC中，ZC=90°,

3

VcosZABC=~,AB=6,

.BC_BC_3

-_-

*ABr5

1Q

解得：BC=—

丁OD//BC9

:.Z\AODs公ABC,

r6-r

9.(1)证明：如图，连接OD,则49=00,

・•・ZADO=ZDAO,

♦：NEBC=2NDAC,NDOB=2NDAC,

:・NEBC=NDOB,

：.OD//BE,

答案第12页，共24页

:./ODC=/BEC,

丁BE上CD,

：.ZODC=ZBEC=90°,

即OD_LCD,

•「OD是半径，

・・・8是。的切线；

3

(2)解：•：NEBC=NDOB=ZABF,cosZABF=-,

3

JcosZDOC=-,

・.・的半径为5,即QB=QD=5,

ocOP_5_25

"cosZDOC-J-T,

5

BC=OC-OB=—.

3

10.(1)证明：VAB^Jo的直径，

JNACB=90。，

AZD+Z£>BC=90°,

CELBD,

；・ZDBC+NBCE=90。,

：.ZD=/BCE,

■:ZBAE=NBCE,

ZBAE=ZD；

(2)解：①连接BE,

TAB为O的直径,

ZAEB=90°,

答案第13页，共24页

CE上BD,

：.ZCHD=90°=ZAEB,

又•：NBAE=ND,AB=CD,

：.ABE^.DCH(AAS),

：.AE=DH=8,BE=CH,

■:ZBCE=/D,NBHC=ZDHC,

J.CHDsBHC,

.CHBH

••OH―说，

：.CH2=BH・DH,

CH?=8BH,

,:CH=6,

9

BH=~；

2

②・・・CD=A5,点A是线段CD的中点，点。是A5的中点,

・•・AO=AC=BO,

・AC1

・・•sin7A^C-=--=-一,

AB2

・•・ZABC=30°,

ZABC=ZAEC=30°f

,:CELBF,

：.ZBFE=60°,

：.ZEBF=30°,

/.£F=1BF=4,BE=43EF=473,

二AB=>jAE2+BE2=V64+48=4不，

圆的半径为2，".

11.(1)证明：为直径，点C在圆上，

ZACS=90°,

ZP+ZPAC=90°,

又NPAC=ZADC,

答案第14页，共24页

;AC=AC,

：.ZADC=ZABC,

：.ZP+ZABC=90°,

：.ZPAB=90°,即「4,AB,又点A在「。上

•••E4是。的切线；

（2）连接3。，：点。是BC的中点，

ZCAD=ZBAD,

：.CD=BD=>/5,

：A3为直径，点。在圆上，

ZADB=90°,

1^ZCAD=ZCBD,

：.tanZCBD=tanZCAD=

3

在中，---——,

BD3

••DE——；

3

(3)连接OO,

■:ZDOB=2ADAB=ACAB,

又丁ZDFO=ZCFA,

：・DOFs&CAF,

答案第15页，共24页

XVOB=BF=OA,

.DFFO_2

*FC--E4-3

.DFOF2

而CD=非9

*CD-AO-T

*.DF=275,

•:CD=BD,

：.ZDCB=ZDBC,

：.ZBDF=2ZDCB,

又BD=BD，

:・/DCB=/DAB,

：.Z.DOB=2ZDAB=2ZDCB,

:.NBDF=NDOB,

又「/DFB=/DFO,

：.FDBsFOD,

OPDF

,DB~^Ff

OP245

,而OD=OB=BF,

/.OD=M.

12.(1)解：连接ORCP

D

BC是。的直径，

:.ZBPC=90°,则/APC=90°,

又•.。是AC的中点，

-PQ=CQ.

：.ZQCP=NQPC,

答案第16页，共24页

N3c4=90。，

NOC尸+NQCP=90。，

•：OC=OP,

：./OCP=/OPC,

：.ZOPC+ZQPC=90°,即ZOPQ=90°,

・・・直线尸。是O的切线；

(2)解：①在RtZ\APC中，

*.*AP=6,tanA=—,

2

CP=AP»tanA=6x—=3,

2

AC=VAP2+PC2=762+32=3A/5，

在RtZVIBC中，

・•・BC=AC.tanA=375x-=^,

22

・・・DO的半径长为迳；

4

②在RtaABC中，

AB=yjAC2+BC2=J(3y/5)2+(―)2=—，

V22

连接OQ,

:。是AC的中点，。是8C的中点，

OQ//AB,OQ=^AB=^-,BP=AB-PA=^--6=^,

•：OP=OC,QP=QC,

；.OQ垂直平分PC,

ZCPQ+ZPQO=90°,

'：ZCPQ+ZAPQ=90°,

答案第17页，共24页

ZAPQ=Z.PQO=/BPD,

•・•/D=/D,

；,_DOQsDBP,

DPBPDPBP

----=----,BDP-----------=----

DQOQDP+PQOQ

；PQ=；AC=孚，

3

Dp一2

-

15-

4

解得：PD=y/5.

13.(1)解：DEIBC,理由如下，如图，连接OQ,

•：AB=BC,

：.ZA=ZC.

9

：OA=ODf

：.ZA=ZADO,

：.ZADO=AC,

:.OD//BC.

,:DE是O的切线,

：.OD1DE,

：.DE.LBC；

(2)解：连接BO.

答案第18页，共24页

:AB为。的直径，

，ZADB=90°.

在Rt88中，ZACB=30°,

BC=2.BD,BC2-BD2=CD2,

(2BD)2-B£)2=(273)2,

BD=2,

：.AB=BC=4,

在RtVDCE中，ZACB=30°,DE=-CD=^3,

2

在Rt^DOE中，OE=Jo/??+DE?=百+(⑹2:用,

,/AB,OE的长为方程/+"+0=0两个实数根,

.\Z2=-(AB+OE)=-(4+V7)=-4-A/7；

(3)解：连接,作Z)F_LO3于R

,?AB=BC,

：.ZA=ZACB=30°,

ZDOB=2ZA=60°,

：.DF=sin60°OD=—x2=y/3,

2

答案第19页，共24页

SBOD=gOB.DF=；x2x^3=5/3,

•:SBCD=*CD=EX26=26,S3=嘿言=9，

z乙JoU3

・•・线段8、5c和8。所围成图形的面积为SBOD+SBCO—S扇物3=3百—

14.(1)证明：连接A。，

ED//AB,

.\ZADE=ZBAD,

.・•点。是A8的中点，

/.AD=BD9

:.ZABD=ZBAD,

ZACB=90°,

AB是直径，

,\ZADB=90°,

:.ZBAD=ZABD=45°,

ED//AB,

:.ZADE=ZBAD=45°,

.•.NADE=NABD,

AC=AC

：.ZADC=ZABC,

.\ZADE^-ZADC=ZABD-^ZABCf

:./EDC=NCBD；

⑵解：AD=BD，

:.ZECD=ZCBD

答案第20页，共24页

=-ZACB=45°,

2

/EDC=/CBD,

CDEsjCBD,

.CDCE

'~CB~~CD'

s.CD1=BCCE,

CD=2,

:.BCCE=4,

\'°qBCE

=-BCCE

2

=2;

(3)①解：过。点作PGLAE交于G点,

BC±AEf

:.DG//BC,

:./CED=/CAB,

BC=nACf

tanZC4B=n,

tanNCED=〃，

设GE=〃，则GD=〃〃，

ZACD=45°,

CG=GD=na，

/.CD=yflna，CE=a+na,

CD2=BCCE,

：.2几