2024年中考数学二轮复习真题演练之三角形四 (解析)

备战2024年中考数学二轮专题复习真题演练

三角形（4）

一、选择题

1.（2023•荆州）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AC）,点0是这段弧所在

圆的圆心，B为此1上一点，OBLAC于D.若AC=300V^n,BD=150m,则Af的长为

A.300mliB.2007mC.150mnD.100V37rm

【答案】B

【解析】【解答】解：:OBLAC,AC=300V3,

.*.AD=-AC=150V3.

设OB=r,则0D=r-150.

,.,OD2+AD2=OA2,

A(r-150.)2+(150V3)=r2,

解得r=300,

.,.sinZA0D=—=竺％=氾

AO3002

Z.ZA0D=60°,

，ZAOC=2ZAOB=120

1207TX300

品1的长为=200Ji.

180

故答案为：B.

__1

【分析】由垂径定理可得AD=5AC=150g,设OB=r,则0D=rT50,在Rt^AOD

中，利用勾股定理可得r的值，然后求出sinNAOD的值，得到NA0D的度数，进

1

而求出NAOC的度数，然后由弧长公式进行计算.

2.（2023•聊城）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部

分.若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2,原大圆锥高的剩余部分。。1为

企,则其侧面展开图的面积为（）

2V37TC.3V37TD.4V3TT

【答案】C

【解析】【解答】解:

由题意得OiB=l,C0=2,AAOC^AAOiB,

.OrA_BOr

9*OA-CO9

OrA—。。1=V2?

由勾股定理得4B=CB=W，

...其侧面展开图的面积为27TX2V^-7TX旧=3遮7T,

故答案为：C

【分析】先根据题意结合相似三角形的判定与性质即可得到。14==VL进

2

而根据勾股定理得到4B=CB=W，再运用扇形的面积即可求解。

3.（2023•滨州）已知点尸是等边△4BC的边BC上的一点，若/4PC=104。，则

在以线段ZP,BP,CP为边的三角形中，最小内角的大小为（）

A.14°B.16°C.24°D.26°

【答案】B

【解析】【解答】解：将4PBA绕点A逆时针旋转60°得到4QCA,如图所示：

.•.ZQAP=60°,PB=QC,QA=PA,ZBPA=ZCQA,

.,.△QPA为等边三角形，

.\PA=PQ,

•••最小锐角为NCQP,

,/NAPC=104°,

：.ZBPA=76°,

.•.ZCQA=ZBPA=76°,

.,.ZCQP=16°,

故答案为：B

【分析】将APBA绕点A逆时针旋转60°得到△QCA,根据旋转的性质即可得到/

QAP=60°,PB=QC,QA=PA,NBPA=NCQA,进而得到AQPA为等边三角形，再根据

等边三角形的性质即可得到PA=PQ,从而得到最小锐角为NCQP,再结合题意即可

求解。

4.（2023•滨州）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个

3

等圆。。1，。。2，。。3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和

12八122

C.一71cm乙D.71cm

32

【答案】c

【解析】【解答】解：由题意得图中三部分阴影面积相等,

连接AOi,AO2,O1O2,如图所示:

由题意得△AOQ为等边三角形,

.,.NO201A=60°,且弓形AOi,A02,0@的面积相等,

'S阴影A0I02=S扇形人。1。2=:7rczn2'

・••图中三个阴影部分的面积之和为称ncm2-,

故答案为：C

【分析】先根据圆的对称性即可得到图中三部分阴影面积相等，连接AO1，AO2,

0A,进而得到△AO。为等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得到N

020^=60°,且弓形AO1，A02,OQ2的面积相等，然后运用扇形的面积公式结合题意

即可求解。

5.（2023•绥化）如图，在菱形4BCD中，4=60。，AB=4,动点M,N同时

4

从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A-B-C向终点C运动；点N以每秒1

个单位长度沿线段4。向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止

运动•设运动时间为x秒，AAMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x

函数关系的图象是（）

4

A」二

4x

7号-

1

c，］

4%

【答案】A

【解析】【解答】解：连接BD,过B作BE_LAD于点E,当0<t<4时，点M在AB

上，

AB*___/__________C

ANED

•.•菱形ABCD中,ZA=60°,AB=4,

.\AB=AD,

/.△ABD为等边三角形，

5

-1

.•.AE=DE=^AD=2,BE=V3AE=2V3.

VAM=2x,AN=x,

.AMAB

..—=——=2o.

ANAE

,/ZA=ZA,

Z.AAMN^AABN,

Z.ZANM=ZAEB=90°,

：.MN=VXM2-AN2=y/3x,

/.y=-xXV3x=—x2.

22

当4Wt〈8时，点M在BC上，

y=-AN,BE=-x,2A/3=V3X.

故答案为：A.

【分析】连接BD,过B作BELAD于点E,当0〈t〈4时，点M在AB上，由菱形的

_1

性质可得AB=AD,则4ABD为等边三角形，AE=DE=-AD=2,BE=V3AE=2V3,根据对应

边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△AMNS^ABN,由相似三角形的性质

可得NANM=NAEB=90°,利用勾股定理表示出MN,然后根据三角形的面积公式可

得y与x的关系式；当4Wt〈8时，点M在BC上，根据三角形的面积公式可得y

与x的关系式，据此判断.

6.（2023•绥化）如图，在正方形4BCD中，点E为边CD的中点，连接ZE,过点

B作于点F,连接BD交4E于点G,FH平分/BFG交BD于点H.则下列结论

中，正确的个数为（）

6

①AB2=BF-AE②SABGF：S^AF=2：3③当ZB=a时，BD2-BD-HD=a2

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【解析】【解答】解：二•四边形ABCD为正方形,

Z.ZBAD=ZADE=90°，AB=AD.

VBF±AE,

ZABF=90°-ZBAF=ZDAE,

/.cosZABF=cosZEAD,

.BF_AD

**AB~AE'

VAB=AD,

.-.AB2=BF•AE,故①正确;

设正方形的边长为a,

为CD的中点,

1

ADE=-a,

2

1

/.tanZABF=tanZEAD=-.

2

,/AB=V^F2+BF2=V5AF=a，

*争

,/AE=VXZ)2+DE2=—a，

2

EF=AE-AFqa-&二吗.

2510

7

VAB//DE,

.,.△GAB^AGED,

・.・一AG=—AB=2，

AEDE

.*.GE=-AE=^a,

36

Z.FG=AE-AF-GE=叱a-&*a=*a,

25615

V5

.AF__Ya-3

,'FG=港G

15

=

SABGF：SAABF2：3,故②正确；

过H分别作BF、AE的垂线，垂足分别为M、N,则四边形FMHN为矩形.

：FH为NBFG的平分线，

二•四边形FMHN为正方形，

.•.FN=HM=HN,

，BF=2AF=^a,FG=吗，

515

.MH_FG_1

99BM~BF~3"

设MH=b,贝！JBF=BM+FM=BM+MH=3b+b=4b,BH=VBM2+M/f2=V10b.

•；BF二吗，

5

.-.^a=4b,

5

8

.•.BH=V10X^a=^a,

102

Z.BD-BD•HD=2a2-V2aX^a=a1,故④正确.

2

故答案为：D.

【分析】由正方形的性质可得NBAD=NADE=90°,AB=AD,根据同角的余角相等

可得NABF=NDAE,结合三角函数的概念以及AB=AD即可判断①；设正方形的边长

为a,贝DE」a,tanZABF=tanZEAD=-,由勾股定理可得AB=V^AF=a,贝AF=^a,

225

然后表示出AE、EF,根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与

原三角形相似可得△GABs^GED,由相似三角形的性质可得GE[AE=叱a,然后表

示出FG,得到号的值，利用三角形的面积公式即可判断②；过H分别作BF、AE的

FG

垂线，垂足分别为瓜N,则四边形FMHN为正方形，FN=HM=HN,普=答=上设

BMBF3

MH=b,则BF=4b,BH=V10b,据此不难求出b与a的关系，然后表示出BH,据此判

断④.

7.（2023•聊城）如图，已知等腰直角△ABC,ZACB=90°,AB=•，点C

是矩形ECGF与△ABC的公共顶点，且CE=1,CG=3；点D是C8延长线上一点，

且CD=2.连接BG,DF,在矩形ECGR绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，

当线段BG达到最长和最短时，线段。尸对应的长度分别为m和n,则;的值为

C.V10D.V13

【答案】D

9

【解析】【解答】解：

•「△ABC为等腰直角三角形，AB=V2,

.*.CB=CA=1,

当BG达到最短时，点G在点C上方，B,G,C共线，如图所示:

.*.GB=2,GD=1,

由勾股定理得DF=Vl+1=V2>

**.n=V2,

当BG达到最长时，点G位于点C的下方，B,G,C共线，如图所示:

.*.GB=4,GD=5,

由勾股定理得DF=V52+1=岳,

m=V26，

n

10

故答案为：D

【分析】先根据等腰直角三角形的性质结合题意即可得到CB=CA=1,进而分类讨

论：当BG达到最短时，点G在点C上方，B,G,C共线；当BG达到最长时，点G

位于点C的下方，B,G,C共线；再结合题意运用勾股定理求出m和n即可求解。

二、填空题

8.（2023•吉林）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理

是.

【答案】三角形具有稳定性

【解析】【解答】解：由题意得钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理

是三角形具有稳定性，

故答案为：三角形具有稳定性

【分析】根据题意结合三角形的稳定性即可求解。

9.（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB=AC,分别以点B和点C为圆心，大于

?BC的长为半径作弧，两孤交于点D,作直线4D交于点E.若=110°,

则ZBAE的大小为度.

【答案】55

11

【解析】【解答】解：由题意得AD为NBAC的角平分线,

/.ZBAE=55°,

故答案为：55

【分析】根据题意即可得到AD为NBAC的角平分线，进而根据角平分线的性质即

可求解。

10.（2023•吉林）如图，在RtzXABC中，NC=90。，点D,E分别

在边4B,BC上，连接DE,将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B'.若点B'刚

好落在边4C上，ZCB'E=30。，CE=3,则BC的长为.

【解析】【解答】解：二•将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B'.若点B'刚好

落在边ZC上，/CB'E=30。，CE=3,

.,.BE=B,E=2CE=6,

，BC=6+3=9,

故答案为：9

【分析】根据折叠的性质结合含30°角的直角三角形的性质即可求出BE的长，进

而即可求解。

11.（2023•包头）如图，在RtAABC中，^ACB=90°,AC=3,BC=1，将4

ABC绕点4逆时针方向旋转90°,得到△AB'C'.连接'，交AC于点D,则黑的

值为.

12

【答案】5

【解析】【解答】解：如图，作DELAB于点E,

VZACB=90°,AC=3,BC=L

•".AB=y/AC2+BC2=V10,

•「△ABC绕点A逆时针方向旋转90°,

：.ABz=AB=V10,NBAB'=90°,

ZABB)=45°,

VDE±AB,ZDEB=45°,

/.ADFB是等腰直角三角形，

.'.DE二BE,

VZEAD=ZCAB,ZDEA=ZBCA=90°,

，AADE^AABC,

•.•DE_—BC_——1，

AEAC3

.*.AE=3DE=3BE,

.•.AB=4DE,

：.DE=—,

4

•人口3V10

••AE=-----，

4

：.AD=VXE2+DE2=

2

13

1

：.DC=AC-AD=-,

2

...—AD=5_.

DC

故答案为：5.

【分析】作DELAB于点E,利用旋转的性质得出ADEB是等腰直角三角形，再证

明△ADES/^ABC,进而得出AE=3DE,AB=4DE,求出DE的长，结合勾股定理得出

AD,从而得到"=5.

12.（2023•深圳）如图，/^△。48与a4。8。位于平面直角坐标系中，NAOB=

ZBOC=30°,BA1OA,CB1OB,若4B=B，反比例函数y=g（k。0）恰好

经过点C,则k=.

【答案】4V3

【解析】【解答】解：如图，过点C作CD_1于x轴于点D,

在RtZkAOB中，ZA0B=30o,AB=V3,

Z.0B=2AB=2V3,

在RtZkOBC中，VZB0C=30o,0B=2A/3,

.•.cosZB0C=cos30°二”=2=比，

OCOC2

•••004,

VZC0D=90°-ZA0B-ZB0C=30°,

14

又在RtZkOCD中，ZCD0=90°,

1

.,.CD=-OC=2,0D=V3CD=2V3,

AC（2^3,2）,

/.k=2X2V3=4V3.

故答案为：4-\/3.

【分析】在RtZ^AOB中，由含30°角直角三角形的性质得0B=2AB=2旧，在RtA

OBC中，由NB0C的余弦函数可求出0C=4,在RtZkOCD中，由含30°角直角三角

形的性质得CD=OC=2,0D=V3CD=2V3,从而得出点C的坐标，进而根据反比例函

数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于k即可得出答案.

13.（2023•陕西）如图，正八边形的边长为2,对角线48、CD相交于点£则线段

BE的长为.

【答案】2+V2

【解析】【解答】解：连接GH,

・••正八边形的边长为2,

:.AC=CH=HB=2,AB||CH,CD||HG,AB1CD,NEAC=/ECA,

••・四边形CEF"是平行四边形，^AEC=/CEF=90°,

：,EF=CH=2,ZEAC=ZECA=45°,

15

AE=^AC=也

同理可得=42,

BE=EF+BF=2+42,

故答案为：2+四.

【分析】本题考查的是正八边形的性质、等腰直角三角形和矩形的性质，利用线

段之间的数量关系求出BE的长.

14.（2023•深圳）如图，在△48C中，AB=AC,tcmB=4-，点D为上一动

点，连接4D,将△4BD沿4D翻折得至IhADE,DE交ZC于点G,GE<DG,且

C

三角松GE

AG：CG=3：1,-------

、三角形ADG

【解析】【解答】解：过点A作AMLDE于点M,

由折叠可得AE=AB,又AB=AC,

.*.AB=AC=AE,

设AB=AC=AE=20,

VAG:CG=3：1,

/.AG=15,CG=5,

由折叠知：ZE=ZB,

16

•+D+I?/M3

..tanB=tanE=—=

EM4

设AM=3x,EM=4x,

在RtAAME中，由勾股定理得AM2+ME2=AE2,

即(3x)2+(4x)2=202,

解得x=4,

.\AM=12,EM=16,

在RtAAMG中，由勾股定理得AM2+MG2=AG2,

即122+MG2=152,

解得MG=9,

.*.GE=ME-MG=7,

VAB=AC,

ZB=ZC,

又NB=NE,

：.ZC=ZE,

又NAGE=NDGC,

AAEG^ADCG,

.AGGE157

・・一=—,即Rn一=

DGCGDG5

75

：.DG=

7'

1

-EG-AMGE749

2----------—

75

S»ADG-DG-AMDG75

27

故答案为：?

【分析】过点A作AM,DE于点M,易得AB=AC=AE,设AB=AC=AE=20,则AG=15,

CG=5,由折叠性质及等角的同名三角函数值相等得tanB=tanE=翳=[,设

AM=3x,EM=4x,在RtZkAME中，由勾股定理建立方程可求出x的值，从而得到

17

AM、EM的长，在RtZkAMG中，由勾股定理可算出MG的长，由有两组角对应相等的

两个三角形相似得△AEGs/\DCG,由相似三角形对应边成比例建立方程可求出DG

的长，最后根据同高三角形的面积之比等于底之比即可求出答案.

15.（2023•绥化）如图，。。的半径为2cm,48为。。的弦，点C为河上的一

点，将”沿弦翻折，使点C与圆心0重合，则阴影部分的面积

为_______________.（结果保留口与根号）

【答案】《兀―四）。租2

【解析】【解答】解：连接OA、OC,OC交AB于点M,

由折叠可得OA=AC,AB±OC,

.*.OA=OC=AC=2cm,

.•.OM=CM=-OC=lcm,ZA0C=60°.

VZAMO=90°，

/.AM=VOX2-OM2=V3cm,

故答案为：（;-V3）cm2.

18

【分析】连接OA、OC,0C交AB于点M,由折叠可得OA=AC,AB±OC,则△AOC为

等边三角形，0A=0C=AC=2cm,OM=CMg1OC=lcm,ZA0C=60°,由勾股定理可得AM的

值，然后根据S阴影二S扇形AOC—S/\AOC进行计算.

16.（2023•绥化）已知等腰△4BC,4=120。，4B=2.现将△以点B为

旋转中心旋转45°,得到延长C，4/交直线BC于点D.则4/£＞的长

度为.

【答案】4+28或4-2V3

【解析】【解答】解：①当^ABC绕点B逆时针旋转45°得到AA，BC，，过B作

BE±AZD于点E,作BD的垂直平分线HF交DB于点H,交A'D于点F,连接BF,

:△ABC为等腰三角形，ZA=120°,AB=2,

.'.NBA'C=ZA=120°,A'B=AB=2,ZABC=30°,

ZDAZB=60°.

由旋转可得NA，BA=45°,

.'.NA'BC=NA'BA+ZABC=75°.

•「NA'BC=NDA'B+ZD,

.*.60°+ZD=75°,

.,.ZD=15°.

VZDAZB=60°,A'B=2,

.'.NA'BE=30°,

1

1•A'E=-AB=L

2

19

，BE=A'B2-A7E2=V3.

：HF为BD的垂直平分线，

，DF=BF,

Z.ZD=ZFBD=15°,

Z.ZEFB=ZD+ZFBD=30°,

.,.BF==2BE=2V3,

.,.DF=BF=2V3,

.•.EF=VBF2-BE2=3,

二.A'D=AE+EF+DF=4+2V3.

②当AABC绕点B顺时针旋转45°得到AA，BC‘，过D作DMLA，D于点。作AD

的垂直平分线PQ交A，B于点Q,

由旋转可得NABA'=45°,NBA'Cz=ZA=120°,A'B=AB=2,

.'.NA'BD=NABA'-ZABC=15°,NBA'D=60°.

•.•DM±AZD,

.'.NA'DM=30°.

设NA'M=x,贝"A'D=2A'M=2x,DM=V3x.

：PQ为BD的垂直平分线，

；.BQ=DQ,

20

.'.NA'BD=ZQDB=15°,

.•.ZDQM=ZAZBD+ZQDB=30°,

.,.DQ=BQ=2DM=2V3X,

.•.QM力Q£>2_£）M2=3X.

YA'M+QM+BQ二A'B,

x+3x+2gx=2,

x=2-V^,

：.N'D=2X=4-2V3.

综上可得：AzD=4+2g或4-2班.

故答案为：4+2g或4-2班.

【分析】①当^ABC绕点B逆时针旋转45°得到AA，BC',过B作BE_LA，D于

点E,作BD的垂直平分线HF交DB于点H,交A'D于点F,连接BF,由旋转的性

质可得NBA'C-ZA=120°,A'B=AB=2,NA'BA=45°,则NA'BC二NA'BA+

ZABC=75°,然后求出ND的度数，根据含30°角的直角三角形的性质可得A'

E,由勾股定理求出BE,根据垂直平分线的性质可得ND=NFBD=15°,则NEFB=N

D+NFBD=30°,BF==2BE=2g,由勾股定理求出EF,然后根据A，D=AE+EF+DF进

行计算；②当AABC绕点B顺时针旋转45°得到AA，BC',过D作DMJ_A，D于

点。作AD的垂直平分线PQ交A'B于点Q,由旋转可得NABA'=45°,NBA'C'

=ZA=120°,A'B=AB=2,设NA'M=x,贝ljA'D=2A'M=2x,DM=V3x,

DQ=BQ=2DM=2V3X,QM=3X,根据A'M+QM+BQ=A'B可得x的值，进而可得A'D.

17.（2023•绥化）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高8。上的动

点.连接CE,将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF.连接4F,EF,DF,则△CDF周

长的最小值是.

21

A

【解析】【解答】解：•:△ABC为等边三角形，

.•.AC=BC=6,NABC=NBCA=60°.

VZECF=60°,

ZBCE=ZACF.

VCE=CF,

Z.ABCE^AACF(SAS),

ZCAF=ZCBE.

)•△ABC是等边三角形，BD是高，

11

.,.ZCBE=-2ZABC=302°,CD=AC=3.

过C作CGLAF,交AF的延长线于点G,延长CG到H,使得GH=CG,连接DH、AH,

-1

DH与AG交于点I,连接FH、CI,则NACG=60。，CG=GH=AC=3,

，CH=AC=6,

...△ACH为等边三角形，

/.DH=CD•tan60°=3叫,AG垂直平分CH,

AOHLCF=FH,

.,.CI+DI=HI+DI=DH=3V3,CF+DF=HF+DF2DH,

22

，当F与I重合，即D、F、H共线时，CF+DF取得最小值，最小值为

CF+DF=DH=3V3,

/.△CDF周长的最小值为3+3V3.

故答案为：3+3V3.

【分析】由等边三角形的性质可得NCBEgNABC=30°,CD弓AC=3,AC=BC=6,Z

ABC=ZBCA=60°,根据角的和差关系可得NBCE二NACF,利用SAS证明△BCE^A

ACF,得至IJ/CAF=NCBE,过C作CGLAF,交AF的延长线于点G,延长CG到H,使

得GH=CG,连接DH、AH,DH与AG交于点I,连接FH、CI,易得AACH为等边三角

形，根据三角函数的概念可得DH,由垂直平分线的性质可得CI=HLCF=FH,则

CI+DI=HI+DI=DH,CF+DF=HF+DF2DH,据此求解.

三、解答题

18.（2023•广东）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3

名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种

工作状态，当两臂AC=BC=10租，两臂夹角4CB=100°时，求A,B两点间

的距离.（结果精确到0.17H,参考数据sin50°«0.766,cos50°«0.643,

tan50°«1.192）

D

"：AC=BC,CD1AB,

.,.CD是边48边上的中线，也是4cB的角平分线,

23

1

：

.AB=2AD,NACD=-2ZACB=50°,

在出△中，

4CDAC=10m,ZACD=50°,sin^ACD=—AC

•,rn°4。，

..sin50=—io

：.AD=10sin50"10x0.766=7.66

：.AB=2AD、2x7.66=15.32x15.3(m)

答：A,B两点间的距离为15.3m.

【解析】【分析】连接AB,过点C作CDLAB于点D,利用等腰三角形的性质可证

得AB=2CD,同时可求出NACD的度数；再在Rt^ACD中，利用解直角三角形求出

AD的长，据此可求出AB的长.

四、作图题

19.(2023•郴州)如图,四边形4BCD是平行四边形.

(1)尺规作图；作对角线4C的垂直平分线MN(保留作图痕迹)；

(2)若直线MN分别交ZD,BC于E,F两点，求证：四边形4FCE是菱形

【答案】(1)解：如图所示，MN即为所求；

(2)证明：•.•四边形48CD是平行四边形,

24

：.AD||BC,

/.ZCAE=ZACF,

如图：设EF与AC交于点

•「EF是ZC的垂直平分线，

：.A0=OC,EFLAC,

*.•ZAOE=ZCOF,

：.△AOECOF（ASA）,

：.OE=OF,

•••四边形4FCE为平行四边形，

,：EF1AC,

四边形4FCE为菱形.

【解析】【分析】（1）根据作图-垂直平分线即可求解；

（2）先根据平行四边形的性质结合平行线的性质即可得到/C4E=4C凡设EF

与4C交于点。，根据垂直平分线的性质即可得到4。=OC,EFLAC,再根据三角

形全等的判定与性质即可得到。E=OF,再运用平行四边形的判定与菱形的判定

即可求解。

五、综合题

20.（2023•黄冈）如图，一次函数、1=/^+5（女工0）与函数为丫2=叠（%＞。）的

25

_1___

图象交于4(4,1),BQ-,a)两点.

(1)求这两个函数的解析式；

(2)根据图象，直接写出满足力-了2>0时x的取值范围；

(3)点P在线段48上，过点P作x轴的垂线，垂足为M,交函数为的图象于点

Q,若APOQ面积为3,求点P的坐标.

【答案】(1)解：将4(4,1)代入为=?(%>0)，可得1二/，

解得771=4,

・••反比例函数解析式为%=-(x>0)；

1

■:叱，a)在丁2=-(%>。)图象上,

4

-8

1-

・•・a=-

2

8)

将4(4,1),5(-,8)代入%=k%+b,得：

"4k+b=1

-k+b=8?

12

解得忆/

・•・一次函数解析式为%=-2x+9；

1

(2)解：-<x<4,理由如下：

由(1)可知4(4,1),B(|,8),

当月-yi>。时，%>%，

此时直线48在反比例函数图象上方，此部分对应的X的取值范围为1<%<4,

26

即满足力-了2＞。时，X的取值范围为］＜%＜4；

(3)解：设点P的横坐标为p,

将％=p代入%=—2x+9,可得力=—2p+9,

•••P(p,-2p+9).

AA.

将％=p代入为=:(%＞。)，可得力=

4

:.PQ=-2p+9-

SRPOQ=^PQ-Xp=|X(—2p+9-♦p=3,

整理得2P2-9p+10=0,

解得Pi=2,p2=I，

当p=2时，—2p+9=—2x2+9=5,

当p=|时，—2p+9=—2X|+9=4,

点P的坐标为(2,5)或G，4).

【解析】【分析】(1)将A(4,1)代入y2=?中求出m的值，然后将B(1,a)代

入求出a的值，得到点B的坐标，将A、B的坐标代入yi=kx+b中求出k、b的值，

据此可得反比例函数、一次函数的解析式；

(2)根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分所对应的x的范围

即可；

4

(3)设点P的横坐标为p,则P(p,-2p+9),Q(p,表示出PQ,根据三角形

的面积公式可得P的值，进而可得点P的坐标.

21.(2023•深圳)如图，在单位长度为1的网格中，点0,A,B均在格点上，

。4=3,AB=2,以。为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答

问题：

27

①过点A作切线4C,且AC=4(点C在A的上方);

②连接0C,交。。于点D；

③连接BD,与4C交于点E.

(1)求证：BD为。。的切线；

(2)求4E的长度.

【答案】(1)证明：如图,

：AC是圆。的切线,

.\AC±OA,

在RtZ^AOC中，由勾股定理得0C=5,

在Z^AOC与ADOB中，

VOC=OB=5,ZC0A=ZB0D,OA=OD,

Z.AAOC^ADOB(SAS),

.•.Z0DB=Z0AC=90°,

...BD是圆0的切线;

28

(2)角军：VAAOC^ADOB,

/.AC=BD=4,

VZB=ZB,ZEAB=ZBDO,

/.△AEB^ADOB,

,AB_AE

'"BD~OD，

nn2AE

43

解得:AE=I，

【解析】【分析】(l)由切线的性质得ACJ_OA,在RtZkAOC中，由勾股定理得

0C=5,从而由SAS判断出△AOC0ZXDOB,根据全等三角形的对应角相等得N0DB=

Z0AC=90°,从而根据切线的判定定理(垂直于半径外端点的直线是圆的切线)，

可得结论；

(2)根据全等三角形的对应边相等可得AC=BD=4,根据有两组角对应相等的两个

三角形相似可得△AEBS/\D0B,由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AE的

长.

22.(2023•陕西)如图，△ABC内接于。。，ZBAC=45°,过点8作的垂

线，交。。于点并与C4的延长线交于点以作垂足为M,交。。于

点F.

(1)求证：BD=BC；

(2)若。。的半径r=3,BE=6,求线段BF的长.

29

【答案】（1）证明：如图，连接DC,

则/BDC=NBAC=45

vBD1BC,

/BCD=90°-/BDC=45

:./BCD=/BDC.

BD=BC；

(2)解：如图，•••ZDBC=90°,

CD为。。的直径，

CD=2r=6.

：,BC=CD-sin/BDC=6x—=3四，

2

・•・EC=y/BE2+BC2=^62+(3A/2)2=3A/6^

・・・BF1AC,

・・・/BMC=/EBC=90°,/BCM=/BCM,

・•・△BCMs公ECB.

BC_BM_CM

EC~EB~CB

nn“BCEB3^2x6c/7T.BC2

・•・BM=----=-p-=2,3,CMB=—喂=A

EC3V6EC

连接CF,则/F=/BDC=45。，ZMCF=45

MF=MC=V6,

30

:.BF=BM+MF=2V3+V6.

【解析】【分析】(1)本题主要考查的是圆周角定理，再结合三角形的内角和可以

得到△BCD是等腰直角三角形.

⑵本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先通过圆周角定理求出△BCD的边

长，再利用相似得到BM、CM的边长，然后根据圆周角关系得到是等腰直角

三角形，即可得到BF的长.

23.(2023•荆州)如图1,点P是线段AB上与点A,点B不重合的任意一点，在

AB的同侧分别以A,P,B为顶点作Z1=Z2=Z3,其中N1与N3的一边分别是射

线AB和射线BA,N2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P

为等联点，线段AB为等联线.

(1)如图2,在5X3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1,AB

为端点在格点的已知线段.请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联

线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；

(2)如图3,在Rt^APC中，ZA=90°,AC>AP,延长AP至点B,使

AB=AC,作NA的等联角NCPD和NPBD.将AAPC沿PC折叠，使点A落在点M处，

得到△MPC,再延长PM交BD的延长线于E,连接CE并延长交PD的延长线于F,

连接BF.

①确定4PCF的形状，并说明理由;

31

②若AP：PB=1：2,BF=V2k,求等联线AB和线段PE的长(用含k的式子表

示).

【答案】(1)解：作图

方法1方法2方法3

r

I________

方法4方法5方法6

方法7方法8方法9

(2)解：①4PCF是等腰直角三角形.理由为:

如图，过点C作CNLBE交BE的延长线于N.

由折叠得AC=CM,ZCMP=ZCME=ZA=90°,Z1=Z2

vAC=AB,NA二NPBD=NN=90°.•.四边形ABNC为正方形•♦.CN=AC=CM

又•.(£不£.-.RtACME^RtACNE(HL)

.•・N3=/4而Nl+N2+N3+N4=90°,ZCPF=90°

32

.-.ZPCF=Z2+Z3=ZCFP=45°

・•.△PCF是等腰直角三角形.

②过点F作FQ_LBE于Q,FRJ_PB交PB的延长线于R,则NR=NA=90°.

vZl+Z5=Z5+Z6=90°.-.Z1=Z6

由APCF是等腰直角三角形知：PC=PF.-.AAPC^ARFP(AAS)

.♦.AP=FR,AC=PR,而AC=AB.•.AP=BR=FR

在RtZ^BRF中，BR2+FR2=BF2,BF=V^k

••.AP=BR=FR=k.-.PB=2AP=2k.-.AB=AP+PB=BN=3k

由BR=FR,NQBR=NR=NFQB=90°知：四边形BRFQ为正方形，BQ=QF=k

由FQLBN,CN_LBN得：FQ//CN

.•塔=留，而QE=BN-NE-BQ=3k-NE-k=2k-NE

pti-t2/c—7VFk.1ATJZRML3

即----=—=-，解得：NE=-k7

NE3k32

ooc.

由①知：PM=AP=k,ME=NE=jk.-.PE=PM+ME=/c+|k=^k.

【解析】【分析】(1)直接根据等联角的概念进行作图；

(2)①过点C作CN_1BE交BE的延长线于N,由折叠得AC=CM,ZCMP=ZCME=Z

A=90°,Z1=Z2,易得四边形ABNC为正方形，则CN=AC=CM,利用HL证明RtA

CME^RtACNE,得到N3=N4,进而得到NPCF=N2+N3=NCFP=45。，据此判断；

②过点F作FQ_LBE于Q,FRLPB交PB的延长线于R,则NR=NA=90°,由同角的

余角相等可得N1=N6,由等腰直角三角形的性质可得：PC=PF,利用AAS证明△

APC^ARFP,得到AP=FR,AC=PR,进而推出AP=BR=FR,由勾股定理可得

BF=V2k,则AP=BR=FR=k,PB=2AP=2k,AB=AP+PB=BN=3k,易得四边形BRFQ为正

方形，则BQ=QF=k，根据平行线分线段成比例的性质可得案=给表示出NE,由

NECN

①知：PM=AP=k,ME=NE=-k,然后根据PE=PM+ME进行计算.

33

24.(2023•长沙)如图，点A,B,C在。。上运动，=BC2+AC2,延

长4c至点D,使得NDBC=/C48,点E是弦4C上一动点(不与点A,C重合)，

过点E作弦ZB的垂线，交4B于点F,交BC的延长线于点N,交。。于点M(点M

在劣弧配1上).

(1)BD是。。的切线吗？请作出你的判断并给出证明；

(2)记△BDC,工ABC,△ADB的面积分别为SrS2,S,若S「S=(Sz)2,

求(ttmD)2的值；

(3)若。。的半径为1,设FM=%,FE-FN■=y,试求y关

\BCBNAE-AC)

于X的函数解析式，并写出自变量X的取值范围.

【答案】(1)解：BD是。。的切线.

证明：如图，在△ABC中，AB2=BC2+AC2,

二.ZACB=90°.

又点A,B,C在。。上，

••.4B是。。的直径.

,/NACB=90°,

/CAB+/ABC=90

又/DBC=/CAB,

，/DBC+ZABC=90

34

/ABD=90°.

.•.BD是。。的切线.

111

(2)解：由题意得，Si=：BC,CD,S2=^BC-AC.S=^AD-BC.

•••S「S=(S2)2,

：.-BC-CD--AD-BC=(^BC-ACy.

22v27

Z.CD-AD=AC2.

CD(CD+AC)=AC2.

又+ZDBC=90°,/ABC+4=90°,/DBC=2,

:./D=NABC.

BC

；.tan/D=—=tan/zlBCAC

CDBC

：，CD=—.

AC

XCD(CD+AC)=AC2,

••黑+BC25c2.

：.BC4+AC2-BC2=AC4.

•••1+(阳2=(公上

由题意，设(taziD)2=m,

送尸=m.

.,.1+m=m2.

1±%

••m

2

.m>0,

1+V5

••m

2

(tan/))2=

(3)解：设N/4=a.

35

•/ZA+ZABC=/ABC+ZDBC=/ABC+N7V=90

•*•N/4=/DBC=NN=a.

：.在Rt△OFM中，OF=>/OM2-FM2=V1-%2.

:-BF=BO+OF=1+“一/,AF=OA-OF=1-V1-%2.

.,.在Rt△AFE^p,EF=AF-tana=(1—V1—%2)-tana,AE=‘五-久

cosacosa

在At△ABC中，BC=AB-sina=2sina.(r=1,.,.AB=2)

AC=AB-cosa=2cosa.

在Rt△BFN中，BN=—=1+V1~X\FN=-=1+"一源

sinasinatanatana

"•y=FE-FN-—

21

=X乙

%2

=x2--

x

36

=X.

即y=x.

,：FM1AB,

最大值为F与。重合时，即为1.

0<%<1.

综上，y=%(0<%<1).

【解析】【分析】(1)8。是。。的切线.证明：先根据勾股定理的逆定理得到

NACB=90。，进而根据圆周角定理结合题意得到ZC4B+NABC=90。，从而

结合题意得到=90。，再根据切线的判定即可求解；

(2)先根据三角形的面积结合题意即可得到CD(CD+4C)=4C2,进而证明

/D=/ABC,再根据锐角三角函数的定义即可得到tcm/D=黑=tan/4BC=

箓进而得到CD=器，从而结合题意得到1+(另2=d)4,设已加02=加，

进而即可得到(当尸=rn,从而得到m的值，然后即可求解；

DC

(3)设4=a,先根据题意转化即可得到4=ZDBC=/N=a,连接

OM,