2023-2024学年福建省福州十九中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省福州十九中八年级（下）期中数学试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。1.下列式子中，y不是x的函数的是(

)A.y=2x2 B.y=x+1 C.y=3x 2.若关于x的方程ax2+3x+1=0是一元二次方程，则a的取值范围是A.a>0 B.a≥0 C.a≠0 D.a为任意实数3.矩形、菱形、正方形都具有的性质是(

)A.对角线相等 B.对角战互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线平分对角4.八年级某班正在筹备班班有歌声比赛，班长对全班同学进行了问卷调查.他将三首备选歌曲编号，让每位同学选取其中一首.下列调查数据中你认为最值得关注的是(

)A.中位数 B.平均数 C.众数 D.加权平均数5.一元二次方程x2−3=0的根的情况是(

)A.有两个不相等的实数根 B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根 D.没有实数根6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若AC=8，AD=5，则菱形ABCD的面积为(

)A.18

B.20

C.24

D.287.某校在读书系列活动中，为了解学生的课外阅读情况，随机选取了八年级某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间(单位：ℎ)进行统计，数据如图表，两组数据的平均数分别为M甲、M乙，方差分别为S甲2、S甲组456678乙组2566710A.M甲>M乙，S甲2<S乙2 B.M甲=8.已知关于x的一次函数y=kx+5(k≠0)，下列说法不正确的是(

)A.函数图象与y轴交于点(0,5)

B.函数图象不经过第三象限或第四象限

C.函数图象向下平移5个单位长度得到正比例函数y=kx(k≠0)的图象

D.若点A(x1,y1)9.如表是关于某个一次函数的自变量x及其对应的函数值y的信息，则m+n的值为(

)x…012…y…m2n…A.1 B.2 C.3 D.410.在一节《综合与实践》课上，老师和同学们正在进行剪纸活动.老师用一张边长为2的正方形纸片ABCD按如下步骤确定线段MN的位置，最后剪下矩形ABMN：

①作AB的垂直平分线分别交AB，CD于点E，F；

②连接AF，作∠BAF的角平分线，交BC于点M；

③过点M作MN⊥AD于点N；

小刘同学通过推理计算出BM的值为，于是他明白了老师的用意．(

)

A.2 B.5−1 C.2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.若x=−1是关于x的方程ax2+bx−2=0的一个解，则代数式2024+a−b12.在对某样本进行方差计算时，计算的公式是：s2=113.如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=1，则BC长为______．

14.在同一平面直角坐标系中，直线y=3x与y=2x−a相交于点A(−2,n)，则关于x，y的方程组3x−y=02x−a−y=0的解为______．15.△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D在△ABC内，且BD=CD，∠BDC=90°，E、F、G、H分别是AB、AC、BD、CD的中点，则四边形EFHG的面积为______．

16.如图，直线y=3x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，且∠OBA=30°．C(−4,3)为线段AB上一点，CD⊥y轴于点D，∠BCD的平分线交y轴于点E.线段CE上有一动点P，在x轴上有一动点Q，连接DP、PQ、DQ

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

解方程：

(1)x2−9=0；

18.(本小题8分)

如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为线段AB，CD的中点.若∠EDF=50°，求∠EBF的度数．19.(本小题8分)

一次函数y=x+2的图象经过点A(a+1,3)．

(1)在平面直角坐标系内画出该函数的图象，并求出a的值；

(2)根据函数图象，直接写出当y<0时，x的取值范围．20.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程x2−(k+2)x+k+1=0．

(1)求证：不论k取何值，该方程都有两个实数根．

(2)若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根．21.(本小题8分)

如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OB．

(1)求证：四边形ABCD是矩形；

(2)过点O作OE⊥BD，交AD点E，若AB=8，BC=16，求AE的长．22.(本小题10分)

福建某企业生产甲、乙两款武夷山大红袍，为了解两款茶叶的质量，分别请消费者和专业机构进行测评.随机抽取25名消费者对两款大红袍评分，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：

A.甲款大红袍分数(百分制)的频数分布表如下表，分数70≤x≤7575≤x≤8080≤x≤8585≤x≤9090≤x≤9595≤x≤100频数2144其中甲款大红袍分数在85≤x≤90这一组的是：86，86，86，86，86，88，88，89，89，89

B.甲、乙两款大红袍分数的平均数、众数、中位数如表所示：品种平均数众数中位数甲86mn乙879086根据以上信息，回答下列问题：

(1)补全甲款大红袍分数的频数分布直方图；

(2)表格中m的值为______，n的值为______；

(3)专业机构对两款大红袍进行综合评分如下：甲款大红袍92分，乙款大红袍89分.若将这25名消费者评分的平均数和专业机构的评分按照6：4的比例确定最终成绩，那么哪款大红袍的最终成绩更高？请通过计算说明理由．23.(本小题10分)

某蜂巢物流决定在新社区安装物流箱，现有A型和B型两种物流箱可供选择，若安装2个A型物流箱和3个B型物流箱共11.8万元，且B型物流箱单价比A型物流箱单价高0.6万元．

(1)求A型物流箱和B型物流箱的单价；

(2)该社区需安装物流箱共30个，设安装B型物流箱x(x⩾18)个，安装全部物流箱总费用为w元，求w关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．

(3)为了更多地推广B型物流箱，蜂巢物流决定将每个B型物流箱降价m元(m>0)，A型物流箱价格不变，在(2)的条件下，若总费用不低于67.2万元，求m的取值范围．24.(本小题12分)

如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=kx−3(k≠0)与x轴交于点A(1,0)，与y轴交于点B，直线BC：y=−34x−3与x轴交于点C．

(1)求直线AB的解析式和线段AC、BC的长度；

(2)在线段AB上有一动点P(点P不与点A、B重合)，过点P作PD⊥x轴于点D，PE⊥直线BC于点E，以PD、PE为邻边作▱PDFE．

①求▱PDFE的周长；

②当▱PDFE为菱形时，求点F的坐标．

25.(本小题14分)

如图1，四边形ABCD是平行四边形，点F是对角线BD上一点，点E是▱ABCD外一点，连接EC、CF和BE，且CE=CF，∠BCD=∠ECF，∠ABD=∠CBE

【初步探究】(1)求证：四边形ABCD是菱形；

【拓展延伸】(2)如图2，连接EF交BC于点M，延长EF交AD于点N，求证：EM=FN；

【实践应用】(3)我校生态社在校内的蔬菜种植活动硕果累累，备受关注.如图3所示的一块正方形ABCD种植区被BD、GP、GC分割种植着不同植物，经测量得GP=GC=1m，∠PGC=45°.现学校决定延长PG交AD于点Q，以AQ为边长，在该种植区的左边再开辟一块小正方形新区域种植更多蔬菜，求新区域的面积．

答案和解析1.【答案】D

解：∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，

∴A、y=2x2；B、y=x+1；C、y=3x，当x取值时，y有唯一的值对应；

故选：D．

根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．

主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，2.【答案】C

解：∵关于x的方程ax2+3x+1=0是一元二次方程，

∴a≠0．

故选：C．

根据一元二次方程的定义得出a≠0即可．

本题考查了一元二次方程的定义，能能熟记当a≠03.【答案】B

解：对于选项A，矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有；

对于选项B，矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分；

对于选项C，菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有；

对于选项D，菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有．

综上所述：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．

故选：B．

根据题目中给出的四个选项，对照矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐一进行甄别即可得出答案．

此题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角．4.【答案】C

解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故最值得关注的是众数．

故选：C．

根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析选择．

此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、加权平均数的意义．反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．5.【答案】A

解：Δ=02−4×1×(−3)=12>0，

故原方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

利用根的判别式进行求解即可．

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b6.【答案】C

解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，

∴AC⊥BD，OB=OD，

∵AC=8，

∴AO=4，

∴OD=AD2−AO2=52−42=3，

∴BD=2×3=6，

∴S菱形ABCD=17.【答案】B

解：M甲=(4+5+6+6+7+8)÷6=6，

M乙=(2+5+6+6+7+10)÷6=6，

所以，M甲=M乙，

从表格中可以看出，甲组的数据分布于4−8，乙组的数据分布于2−10，

根据方差的概念和意义可知，甲组的数据波动比乙组的数据波动更小，离散程度更小，稳定性也更大，

所以S甲2<S乙2，

故答案为：8.【答案】D

解：∵x=0时，y=kx+5=5，

∴函数图象与y轴交于点(0,5)，

故选项A正确，不合题意；

对于一次函数y=kx+5，当k<0时，函数图象不经过第三象限，当k>0时，图象不经过第四象限，

故选项B正确，不合题意；

函数y=kx+5图象向下平移5个单位长度得到正比例函数y=kx(k≠0)的图象，

故选项C正确，不合题意；

当k<0时，y随x的增大而减小，

若点A(x1,y1)，B(x2,y2)为函数图象上的两个点，则(x1−x2)(y1−y2)<0，

故选项D不正确，符合题意．

故选：D．

利用图象上点的坐标特征即可判断A；利用一次函数的性质即可判断B、D；利用平移的规律即可判断C．

此题主要考查了一次函数的图象及性质，一次函数的图象与系数之间的关系，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解对于一次函数y=kx+b(k≠0,b≠0)，9.【答案】D

解：设y关于x的函数解析式为y=kx+b(k≠0)，

根据题意得：m=b①2=k+b②n=2k+b③，

①+③得：m+n=2k+2b，

∴m+n=2(k+b)=2×2=4．

故选：D．

设y关于x的函数解析式为y=kx+b(k≠0)，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于m，n的方程组，利用①+③，可得出m+n=2k+2b，代入②，即可求出m+n的值．

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式10.【答案】B

解：过点M作MG⊥AF于点G，连接MF，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC=AD=CD=2，∠B=∠C=∠D=90°，

∵AM为∠BAF的平分线，

∴BM=MG，

∵AM=AM，

∴Rt△ABM≌Rt△ACM(HL)，

∴AG=AB=2．

∵直线EF为线段AB的垂直平分线，

∴AE=CE=DF=CF=1，

∴AF=AD2+DF2=5，

∴FG=5−2．

设BM=MG=x，

则MC=2−x．

在Rt△MFG和Rt△MFC中，由勾股定理得，MF2=MG2+FG2=MC2+CF2，

即x2+(5−2)2=(2−x)2+12，

解得x=5−1，

∴BM的值为511.【答案】2026

解：∵x=−1是关于x的方程ax2+bx−2=0的一个解，

∴a−b−2=0，

∴a−b=2，

∴2024+a−b=2024+2=2026．

故答案为：2026．

根据x=−1是关于x的方程ax2+bx−2=0的一个解，可以得到12.【答案】10

解：∵公式s2=110[(x1−3)2+(x2−3)2+⋅⋅⋅+(x10−3)2]，

∴13.【答案】11

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=6，BC=AD，AD//BC，

∵BF平分∠ABC交AD于E，CE平分∠BCD交AD于F，

∴∠ABF=∠CBF=∠AFB，∠BCE=∠DCE=∠CED，

∴AB=AF=6，DC=DE=6，

∴EF=AF+DE−AD=6+6−AD=1．

∴AD=11，

∴BC=11．

故答案为：11．

先证明AB=AE=6，DC=DF，再根据EF=AF+DE−AD求出AD，即可得出答案．

本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型．14.【答案】x=−2y=−6解：将点A(−2,n)代入y=3x，

得n=3×(−2)=−6，

∴A(−2,−6)，

∴原方程组的解为x=−2y=−6．

故答案为：x=−2y=−6．

先将点A(−2,n)代入y=3x，求出n，即可确定方程组的解．15.【答案】352解：连接AD并延长交BC于点P，

∵AB=AC，BD=CD，

∴AP是线段BC的垂直平分线，

∴BP=CP=5，AP⊥BC，

在Rt△BDC中，∠BDC=90°，BP=CP，

∴DP=12BC=5，

在Rt△APB中，AP=AB2−BP2=12，

∴AD=12−5=7，

∵E、F分别是AB、AC的中点，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF=12BC=5，EF/​/BC，

同理，GH=12BC，GH/​/BC，EG=12BC=3.5，EG/​/AD，

∴GH=EF，GH//EF，

∴四边形EFHG为平行四边形，

∵EF/​/BC，EG/​/AD，AP⊥BC，

∴四边形EFHG为矩形，

∴四边形EFHG的面积=5×72=352，

故答案为：16.【答案】2解：如图，作点D关于x轴的对称点D1，作点D关于直线CE的对称点D2，连接D1D2交CE于点P，交x轴于Q，

则△DPQ周长的最小值就是D1D2，

∵CE平分∠BCD，

∴点D2在直线AB上，

∵C(−4,3)为线段AB上一点，

∴3=3×(−4)+b，解得b=53，

∴直线AB解析式为：y=3x+53，

∵△CDD2是等边三角形，

∴D2的横坐标为−2，

当x=−2时，y=−23+53=33，

17.【答案】解：(1)由原方程，得

x2=9，

开方，得

x1=3，x2=−3；

(2)由原方程，得

x2+4x=1，

配方，得

x2+4x+22=1+22【解析】(1)先移项，然后利用直接开平方法解方程；

(2)将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解．

本题考查了解一元二次方程--配方法、直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a(a≥0)；ax2=b(a,b同号且a≠0)；18.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB，CD/​/AB，

∵点E，F分别为线段AB，CD的中点，

∴FD=12CD，BE=12AB，

∴FD=BE，

∴四边形【解析】由平行四边形的性质推出CD=AB，CD/​/AB，由线段中点定义推出FD=BE，即可证明四边形DEBF是平行四边形，得到∠EBF=∠EDF=50°．

本题考查平行四边形的判定和性质，关键是证明四边形DEBF是平行四边形．19.【答案】解：(1)∵一次函数y=x+2的图象经过点A(a+1,3)，

∴3=a+1+2，解得a=0，

∴A(1,3)，

图象过点A(1,3)，(0,2)，

函数图象如下：

(2)当y=0时，x=−2，

根据函数图象，当y<0时，x的取值范围为：x<−2．

【解析】(1)函数y=x+2过点(1,3)(0,2)，画出函数图象即可；

(2)根据函数图象直接写出y<0时，x的取值范围即可．

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数性质是关键．20.【答案】(1)证明：∵Δ=b2−4ac=[−(k+2)]2−4×1×(k+1)=k2，

∵无论k取何值，k2≥0，

∴不论k取何值，该方程都有两个相等的实数根；

(2)解：设方程的另一个根为x=m，

则3+m=k+23m=k+1，

解方程组得k=2m=1，

∴k的值为2，方程的另一根为1．

方法二：

(2)解：把x=3代入方程可得9−3(k+2)+k+1=0，

解得k=2，

则方程为x【解析】(1)根据根的判别式，即可得出Δ=k2≥0，由此可证出不论k取何值，方程必有两个的实数根；

(2)设方程的另一个根为x=m，利用根与系数的关系得到3+m=k+23m=k+1，解方程组即可．

本题考查了根与系数的关系．一元二次方程ax21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=12AC，OB=12BD，

∵OA=OB，

∴AC=BD，

∴四边形ABCD是矩形；

(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC=16，

连接BE，

∵OB=OD，OE⊥BD，

∴BE=DE，

∵∠BAE=90°，

∴AB2+AE2=BE2，

【解析】(1)根据平行四边形的性质得到OA=12AC，OB=12BD，得到AC=BD，根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是矩形；

(2)根据平行四边形的性质得到22.【答案】86

88

解：(1)∵甲款分数在85≤x<90的频数为10，

∴分数在90≤x<95这一组的频数为25−2−1−4−10−4=4，

补全频数分布直方图：

(2)根据所给数据可得众数为86，中位数为从小到大排列的第13个数据为88，

故答案为：86，88；

(3)以这25名消费者评分的平均数和专业机构的评分按照6：4的比例确定最终成绩为：

甲的成绩：86×6+92×46+4=88.4(分)，

乙的成绩：87×6+89×46+4=87.8(分)，

∵88.4>87.8，

∴甲款大红袍的最终成绩更高．

(1)求出甲款大红袍分数在90≤x<95这一组的频数，即可补全频数分布直方图；

(2)分别根据众数和中位数定义即可求出答案；

(3)根据加权平均数公式分别求得两款红茶的得分，即可得出结论．

本题考查频数(率)分布直方图，频数(23.【答案】解：(1)设A型物流箱的单价为a元，则B型物流箱的单价为(a+0.6)．

根据题意，得2a+3(a+0.6)=11.8，

解得a=2，

2+0.6=2.6(万元)，

∴A型物流箱的单价为2万元，B型物流箱的单价为2.6万元．

(2)根据题意，安装A型物流箱(30−x)个，

w=2(30−x)+2.6x=0.6x+60(18≤x≤30)，

∴w关于x的函数解析式为w=0.6x+60(18≤x≤30)．

(3)根据题意，得w=2(30−x)+(2.6−m)x=(0.6−m)x+60(18≤x≤30)．

当0<m<0.6时，0<0.6−m<0.6，w随x的减小而减小，

∵18≤x≤30，

∴当x=18时，w取最小值，w最小=18(0.6−m)+60，

由题意，得18(0.6−m)+60≥67.2，解得m≤0.2，

∴0<m≤0.2；

当m=0.6时，w=60，

∵60<67.2，

∴不符合题意，应舍去；

当0.6<m<2.6时，−2<0.6−m<0，w随x的增大而减小，

∵18≤x≤30，

∴当x=30时，w取最小值，w最小=30(0.6−m)+60，

由题意，得30(0.6−m)+60≥67.2，解得m≤0.36，

∴此时m不存在．

综上，m【解析】(1)设A型物流箱的单价为a元，则B型物流箱的单价为(a+0.6)，根据题意列方程并求解即可；

(2)根据“安装总费用=安装A型物流箱的费用+安装B型物流箱的费用”作答即可；

(3)根据“安装总费用=安装A型物流箱的费用+安装B型物流箱的费用”写出w关于x的函数解析式，分情况讨论x的系数，根据一次函数的增减性和x的取值范围，求出对应w的最小值，令w的最小值大于或等于67.2，求出对应m的取值范围即可．

本题考查一次函数、一元一次不等式的应用，掌握一次函数的增减性和一元一次不等式的解法是本题的关键．24.【答案】解：(1)将点A(1,0)代入直线AB：y=kx−3得k−3=0，

∴k=3，

∴直线AB：y=3x−3，

∴B(0,−3)，

直线BC：y=−34x−3，令y=0，则0=−34x−3，解得x=−4，

∴C(−4,0)，

∴AC=1−(−4)=5，BC=32+42=5；

(2)①如图，连接PC，

∵AC=BC=5，

∴S△ABC=S△APC+S△BPC=12AC⋅PD+12BC⋅PE=12AC⋅OB，

∴12×5(PD+PE)=12×5⋅OB，

∴PD+PE=OB=3，

∵四边形PDFE是平行四边形，

∴PD=EF，PE=DF，

∴▱PDFE的周长为2(PD+PE)=6；

②如图，连接PC，

∵四边形PDFE为菱形，

∴PD=PE，

∵PD⊥x轴于点D，PE⊥直线BC于点E，

∴PC平分∠BCA，

∵AC=BC=5，

∴PA=PB【解析】(1)将点A(1,0)代入直线AB：y=kx−3得k=3，可得B(0,−3)，直线BC：y=−34x−3，令y=0，可得C(−4,0)，利用两点的距离公