2024年中考数学二轮复习：命题与证明（附答案解析）

2024年中考数学二轮复习：命题与证明

.选择题（共io小题）

1.下列四个命题中，真命题有（）

①两条直线被第三条直线所截，内错角相等.

②如果/I和N2是对顶角，那么N1=N2.

③三角形的一个外角大于任何一个内角.

④如果x2>0,那么x>0.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E为AB的中点,F为EC上一动点，P为DF

中点，连接PB,则PB的最小值是（)

A.2B.4C.y2D.2y2

3.某班有20位同学参加围棋、象棋比赛,甲说：“只参加一项的人数大于14人.”乙说:

“两项都参加的人数小于5.”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的

是（）

A.若甲对，则乙对B.若乙对，则甲对

C.若乙错，则甲错D.若甲错，则乙对

4.如图，AB是00的直径，M、N是AB（异于A、B）上两点，C是MN上一动点，ZACB

的角平分线交00于点D,ZBAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时,

则C、E两点的运动路径长的比是（)

n

A.V2B.—C.-

2口2

5.用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（

A.三角形中有一个内角小于或等于60°

B.三角形中有两个内角小于或等于60°

C.三角形中有三个内角小于或等于60°

D.三角形中没有一个内角小于或等于60°

6.对于命题“若a2>bL则a>b"，下面四组关于a,b的值中，能说明这个命题是假命题

的是（）

A.a=3,b=2B.a=-3,b=2C.a=3,b=-1D.a=-l,b=3

7.利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（）

A.直角三角形的每个锐角都小于45°

B.直角三角形有一个锐角大于45°

C.直角三角形的每个锐角都大于45°

D.直角三角形有一个锐角小于45°

8.下列说法：方等于其本身的数有0,±1；②32/是软单项式；⑨各方程仁一

案=1,冲的分母化为整数，得空一誓2=门④平面内有4个点，过每两

点画直线，可画6条.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.如图，在等腰RtZ\ABC中，AC=BC=2V2,点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为

PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）

A.&兀B.7tC.2y2D.2

10.下列命题中，是假命题的是（）

A.对顶角相等

B.同旁内角互补

C.两点确定一条直线

D.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

二.填空题（共8小题）

11.把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式；

12.把命题”等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是

13.已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：

①如果a〃b,a_Lc,那么bJ_c;②如果b〃a,c〃a,那么b〃c;③如果b_La,c_La,

那么b±c;@如果b_La,c_La,那么b//c.

其中真命题的是.（填写所有真命题的序号）

14.命题“对顶角相等”的逆命题是

15.命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是.

16.如图，有一张矩形纸条ABCD,AB=5cm,BC=2cm,点M,N分别在边AB,CD上，

CN=lcm.现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B,C分别落在点B；C上.当点B'恰

好落在边CD上时，线段BM的长为cm;在点M从点A运动到点B

的过程中，若边MB与边CD交于点E,则点E相应运动的路径长为

17.把命题“同角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式

18.命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：

三,解答题（共2小题）

19.如图，有三个论断：①/1=/2;②/B=/C;③/A=/D,请你从中任选两个作为

条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性.

20.（1）完成下面的推理说明:

己知：如图，BE//CF,BE、CF分别平分/ABC和/BCD.

求证：AB//CD.

证明：：BE、CF分别平分/ABC和NBCD（已知）,

5=，4/

^BE//CF(),

A/l=/2().

11、

.-ZABC-()

・・・NABONBCD(等式的性质).

AAB//CD(______________________).

(2)说出(1)的推理中运用了哪两个互逆的真命题.

D

2024年中考数学二轮复习：命题与证明

参考答案与试题解析

选择题（共10小题）

1.下列四个命题中，真命题有（）

①两条直线被第三条直线所截，内错角相等.

②如果N1和/2是对顶角，那么N1=N2.

③三角形的一个外角大于任何一个内角.

④如果x2>0,那么x>0.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】命题与定理.

【答案】A

【分析】根据平行线的性质对①进行判断；

根据对顶角的性质对②进行判断；

根据三角形外角性质对③进行判断；

根据非负数的性质对④进行判断.

【解答】解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；

如果/I和/2是对顶角，那么/1=/2,所以②正确；

三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，所以③错误；

如果x2>0,那么让0,所以④错误.

A

【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题

设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由己知事项推出的事项，一个命题可以

写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定

理.

2.如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF

中点，连接PB,则PB的最小值是（）

A.2B.4C.y2D.2y2

【考点】轨迹；垂线段最短；矩形的性质.

【专题】动点型；矩形菱形正方形.

【答案】D

【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段PF2,再根据垂线段最短可得当

BPXPiP2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BPlJ_PIPz,故

BP

的最小值为BP】的长，由勾股定理求解即可.

【解答】解：如图：

当点F与点C重合时，点P在P1处，CPi=DPI,

当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DPZ,

；.P#2//CE且n-l

当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP,

由中位线定理可知：PiP//CE且

...点P的运动轨迹是线段PiP2,

.•.当BP±PiP2时,PB取得最小值，

:矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E为AB的中点，

.♦.△CBE、ZXADE、ABCPi为等腰直角三角形，CPi=2,

ZADE=NCDE=NCP1B=45°,/DEC=90。,

.；/DP?Pi=90°,

二/DP]P2=45°,

.：NP2PiB=90°,SPBPi±PtP2,

ABP的最小值为BR的长，

在等腰直角ABCPi中,CPi=BC=2,

/.BPi=2、2,

APB的最小值是2V2.

ififcifeD.

【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决

问题，有难度.

3.某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人.”乙说：

“两项都参加的人数小于5.”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的

是（）

A.若甲对，则乙对B.若乙对，则甲对

C.若乙错，贝IJ甲错D.若甲错，则乙对

【考点】推理与论证.

【专题】压轴题.

【答案】B

【分析】分别假设甲说得对和乙说的正确，进而得出答案.

【解答】解：若甲对，即只参加一项的人数大于14人，不妨假设只参加一项的人数是15

人，

则两项都参加的人数为5人，故乙错.

若乙对，即两项都参加的人数小于5人，则两项都参加的人数至多为4人，

此时只参加一项的人数为16人，故甲对.

婕：B.

【点评】此题主要考查了推理与论证，关键是分两种情况分别进行分析.

4.如图，AB是OO的直径，M、N是AB（异于A、B）上两点，C是MN上一动点，ZACB

的角平分线交00于点D,NBAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时，

则C、E两点的运动路径长的比是（）

r375

A.«2B.-C•三口Q"

【考点】轨迹；圆周角定理.

【专题】与圆有关的计算.

【答案】A

【分析】如图，连接EB.设OA=r.作等腰Rt^ADB,AD=DB,/ADB=90。，则点

E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是GF,点C的运动轨迹是MN,由题

意NMON=2NGDF,设/GDF=a,则NMON=2a,利用弧长公式计算即可解决问题.

【解答】解：如图，连接EB.设OA=r.

：AB是直径，

；.NACB=90°,

VE是4ACB的内心，

.：/AEB=135。,

作等腰RdADB,AD=DB,/ADB=90。,则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运

动，运动轨迹是F,点C的运动轨迹是MN,

:/MON=2/GDF,设NGDF=a,则/M0N=2a

、公的长箸n

tan

故选：A

【点评】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题

意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题.

5.用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（）

A.三角形中有一个内角小于或等于60°

B.三角形中有两个内角小于或等于60°

C.三角形中有三个内角小于或等于60°

D.三角形中没有一个内角小于或等于60°

【考点】反证法.

【专题】反证法.

案】D

【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立进行解答即可.

【解答】解：用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，

第一步应先假设三角形中没有一个内角小于或等于60。，

腌：D.

【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，反证法的步骤

是：⑴假设结论不成立；⑵从假设出发推出矛盾；⑶假设不成立，则结论成立.

6.对于命题“若a?*,则a>b"，下面四组关于4b的值中，能说明这个命题是假命题

的是（）

A.a=3,b=2B.a=-3,b=2C.a=3,b=-1D.a=-l,b=3

【考点】命题与定理.

【专题】符号意识.

【答案】B

【分析】说明命题为假命题，即a、b的值满足a2>U,但a>b不成立，把四个选项中

的a、b的值分别代入验证即可.

【解答】解：

在A中，a2=9,b2=4,且3〉2,满足“若a2>b2,则a>b”，故A选项中a、b的值不

能说明命题为假命题；

在B中，a2=9,b2=4,且-3〈2,此时虽然满足a2>b2,但a>b不成立，故B选项中

a、b的值可以说明命题为假命题；

在C中，a2=9,b2=l,且3>-1,满足“若a2〉b2,则a〉b”，故C选项中a、b的值

不能说明命题为假命题；

在D中，a2=l,b2=9,且T〈3,此时满足a2<b2,得出a<b,即意味着命题“若a?

>怩贝Ua>b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题;

艇：B.

【点评】本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要

注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立.

7.利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（）

A.直角三角形的每个锐角都小于45°

B.直角三角形有一个锐角大于45°

C.直角三角形的每个锐角都大于45°

D.直角三角形有一个锐角小于45°

【考点】反证法.

【答案】A

【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可.

【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°”时，

应先假设直角三角形的每个锐角都小于45°.

【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）

从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立.

8.下列说法：方等于其本身的数有0,±1;②32陵4次单项式；方程=1一

=1.2中的分母化为整数，得1°；_10x：20=[?④平面内有4个点，过每两

点画直线，可画6条.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】命题与定理.

【专题】综合题.

【答案】A

【分析】D1的平方是1；②3?xy提4次单项式；③中方程右应还为1.2;④只有每任

意三点不在同一直线上的四个点才能画6条直线，若四点在同一直线上，则只有画一条

直线了.

【解答】解：①错误，-1的平方是1;

②正确；

③错误，方程右应还为L2;

④错误，只有每任意三点不在同一直线上的四个点才能画6条直线，若四点在同一直线

上，则只有画一条直线了.

故选：A.

【点评】本题考查了数的平方，单项式的概念，方程的分母化为整数，点与直线条数的

关系.

9.如图,在等腰RtA\BC中,AC=BC=2V2,点P在以斜边AB为直径的半圆上,M为

PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）

AW27tB.兀C.2y2D.2

【考点】轨迹；等腰直角三角形.

【专题】与圆有关的计算.

【答案】B

【分析】取AB的中点0、AC的中点E、BC的中点F,连接0C、OP、0M、0E、0F、

EF,如图，禾！J用等腰直角三角形的性质得到AB=42BC=4,则入8-［（）p-

=2,再根据等腰三角形的性质得OM,PC,则/CMO=90。，于是根据圆周角定理得

到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，

M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=0C=2,所以M点的路径为以EF

为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长.

【解答】解：取AB的中点0、AC的中点E、BC的中点F,连接OC、OP、OM、0E、

OF、EF,如图，

•.•在等腰Rt/sABC中，AC=BC=2V2,

.：AB=N2BC=4,

：.（H=\\R2\\H2

为PC的中点,

.'.0M±PC,

.：NCMO=90°,

...点M在以0C为直径的圆上，

点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为

正方形,EF=0C=2,

AM点的路径为以EF为直径的半圆，

，点M运动的路径+长=n

雌：B.

【点评】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹，解决此题

的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆.

10.下列命题中，是假命题的是（）

A.对顶角相等

B.同旁内角互补

C.两点确定一条直线

D.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

【考点】命题与定理.

【答案】B

【分析】根据对顶角的性质对A进行判断；根据平行线的性质对B进行判断；根据直线

公理对C进行判断；根据角平分线性质对D进行判断.

【解答】解：A、对顶角相等，所以A选项为真命题；

B、两直线平行，同旁内角互补，所以B选项为假命题；

C、两点确定一条直线，所以C选项为真命题；

D、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以D选项为真命题.

B.

【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题

设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以

写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定

理.

二.填空题（共8小题）

11.把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果两个角是对顶角，那么

这两个角相等

【考点】命题与定理.

【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.

【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，

应放在“那么”的后面.

【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，

故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，

故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.

【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，

“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简罩.

12.把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是如果两个角是等角的

补角，那么这两个角相等

【考点】命题与定理.

【答案】见试题解答内容

【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相

等，应放在“那么”的后面.

【解答】解：题设为：两个角是等角的补角，结论为：它们相等，

故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等.

故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等.

【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，

“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简罩.

13.已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：

①如果a//b,a_Lc,那么b_Lc;②如果b〃a,c〃a,那么b//c;③如果b_La,c_La,

那么b_Lc;④如果b_La,c_1_a,那么b//c.

其中真命题的是①②④.（填写所有真命题的序号）

【考点】命题与定理；平行线的判定与性质.

【专题】推理填空题.

【答案】见试题解答内容

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得

出答案.

【解答】解：①如果a〃b,a_Lc,那么b_Lc是真命题，故①正确；

②如果b//a,c〃a,那么b//c是真命题，故②正确；

③如果b，a,c，a,那么b，c是假命题，故③错误；

④如果b_La,c_La,那么b//c是真命题，故④正确.

故答案为：①②④.

【点评】本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命

题，难度适中.

14.命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角

【考点】命题与定理.

【答案】见试题解答内容

【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题.

【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”.

故答案为：相等的角为对顶角.

【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题

设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以

写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定

理.也考查了逆命题.

15.命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等三角形是等腰三角形

【考点】命题与定理.

【答案】见试题解答内容

【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命

题.

【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形

两底角相等”，

所以命题”等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”.

【点评】根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是

另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，

另外一个命题叫做原命题的逆命题.

16.如图，有一张矩形纸条ABCD,AB=5cm,BC=2cm,点M,N分别在边AB,CD上，

CN=lcm.现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B,C分别落在点B,C上.当点B恰

好落在边CD上时，线段BM的长为_V5_cm;在点M从点A运动到点B的过程中，

若边MB'与边CD交于点E,则点E相应运动的路径长为

【考点】轨迹；翻折变换（折叠问题）；矩形的性质.

【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】第一个问题证明BM=MB'=NB',求出NB即可解决问题.第二个问题，探

究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可.

图1

:四边形ABCD是矩形,

.".AB//CD,

.•.Z1=Z3,

由翻折的性质可知:/1=N2,,

：.Z2=Z3,

.：MB'=NB',

："NB'=^B'C'2+NC'2=^22+l2^5(cm),

・：BM=NB』＜5(cm).

如图2中，当点M与A重合时，AE=EN,设AE=EN=xcm,

在RtZ\ADE中，则有x2=22+(4-x)2,解得mW.

*.DE~4-jj(,■«•).

如图3中，当点M运动到MB，_LAB时，DE'的值最大，DE，=5-l-2=2(cm),

如图4中，当点M运动到点B'落在CD时，DB'(即DE")=5-『V5=(4-J5)

(cm),

.•.点E的运动轨迹E—E，-E"，运动路径=£日+£”/,，:一I,

•(m)。

图2

图4

故答案为V5,

【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题

意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

17.把命题“同角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式如果两个角是同一个

角的补角，那么这两个角相等.

【考点】命题与定理.

【答案】见试题解答内容

【分析】“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相

等.据此即可写成所要求的形式.

【解答】解：“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个

角相等.

则将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为：如果两个角是同一个角

的补角，那么这两个角相等.

故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.

【点评】本题考查了命题的叙述，正确分清命题的条件和结论是把命题写成“如果…那

么…”的形式的关键.

18.命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：如果三角形有两个锐角互余，那么这个

三角形是直角三角形.

【考点】命题与定理.

【答案】见试题解答内容

【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题.

【解答】解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是

“两个锐角互余”，

所以逆命题是：“