2023-2024学年辽宁省辽阳二中协作校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年辽宁省辽阳二中协作校八年级（下）期中数学试卷一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分。1.下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是(

)A. B.

C. D.2.若m>n，则下列不等式中正确的是(

)A.m−2<n−2 B.1−2m<1−2n C.−12m>−3.下列式子从左到右的变形是因式分解的是(

)A.(a−3)(a+2)=a2−a−6 B.x2−1+y4.如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH=2cm，EF=5cm，则阴影部分的面积为(

)A.6cm2

B.8cm2

C.

5.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C的度数是(

)A.55°

B.45°

C.42°

D.40°6.若关于x的不等式组x>−ax≥−b的解为x≥−b，则下列各式正确的是(

)A.a>b B.a<b C.a≤b D.b≤a7.如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足，若BD=32，DE=2，EC=52，则ACA.322 B.3328.若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则关于x的不等式0<kx+b<4的解集是(

)A.x<3

B.−2<x<3

C.1<x<3

D.0<x<3

9.如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.△ABC的面积为12，AB=7，DE=2，则BC的长为(

)A.7

B.6

C.5

D.410.已知如图，等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB=AO+AP.其中正确的是(

)

A.①③④ B.①②③ C.①③ D.①②③④二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.用反证法证明：“在△ABC中，若AB=AC，则∠C<90°”，则应先假设______．12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为

．13.在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b=2a−b，已知不等式x△k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是______．14.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−3,0)，B(0,4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…15.若关于x的不等式组x−14(4a−2)≤123x−12<x+2的解集为x≤a，且关于三、解答题：本题共8小题，共71分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)

(1)因式分解：9(m+n)2−3(m−n)(m+n)．

(2)利用因式分解计算：17.(本小题8分)

解不等式组x−3(x−1)>11+3x218.(本小题9分)

如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点都在格点上，坐标分别为A(2,4)，B(1,2)，C(5,3)．

(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；

(2)将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，写出B219.(本小题8分)

“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期.基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．

(1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？

(2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？20.(本小题8分)

如图，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，过E作EG⊥BA交BA的延长线于点G，EF⊥AC交AC于点F．

(1)求证：EG=EF；

(2)联结AE，求证：∠AEG=∠AEF．21.(本小题8分)

如图1，在△ABC中，BA=BC，D、E是AC边上的两点，且满足∠DBE=12∠ABC.以点B为旋转中心，将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，连接DF．

(1)求证：DF=DE；

(2)如图2，若AB⊥BC，其他条件不变．求证：D22.(本小题8分)

如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．

(1)求证：△OCD是等边三角形；

(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．23.(本小题12分)

【数学阅读】

如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE=CF．

小尧的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．

【推广延伸】

如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想PD，PE与CF的数量关系，并证明．

【解决问题】

如图4，在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=−34x+3，l2：y=3x+3，l1，l2与x轴的交点分别为A，B．

(1)两条直线的交点C的坐标为______；

(2)说明△ABC是等腰三角形；

(3)若l2上的一点M到l答案和解析1.【答案】A

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；

B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：A．

根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度与自身重合．2.【答案】B

解：A.由m>n，得m−2>n−2，那么A错误，故A不符合题意．

B.由m>n，得−2m<−2n，推断出1−2m<1−2n，那么B正确，故B符合题意．

C.由m>n，得−12m<−12n，那么C错误，故C不符合题意．

D.由m>n，得n−m<0，那么D错误，故D不符合题意．

故选：3.【答案】D

解：A.

(a−3)(a+2)=a2−a−6，是多项式的乘法运算，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；

B.x2−1+y2=(x+1)(x−1)+y2，等式的右边不是整式的乘积的形式，故该选项不正确，不符合题意；

C.2x2y=2x⋅xy，等式的左边不是多项式，故该选项不正确，不符合题意；4.【答案】B

解：由平移的性质可知BC=EF=5cm，BE=AD=2cm，∠DEC=∠B=90°，S阴影=S直角梯形BEFH，

∴BH=BC−CH=3cm，

∴S阴影=S直角梯形BEFH

=(3+5)×2×12

=8(cm2).

故选：B．5.【答案】B

解：∵△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，

∴∠AOD=∠BOC=40°，OA=OD，∠B=∠C，

∴∠A=70°，

∵∠AOC=105°，

∴∠AOB=65°，

∴∠B=180°−∠A−∠AOB=180°70°−65°=45°，

∴∠C=45°，

故选：B．

由旋转的性质可得∠AOD=∠BOC=40°，OA=OD，∠B=∠C，由等腰三角形的性质可求∠A=70°，由三角形内角和定理可求解．

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．6.【答案】A

解：∵关于x的不等式组x>−ax≥−b的解为x≥−b，

∴−a<−b，

∴a>b，

故选：A．

根据判断不等式组的解集口诀：同大取大，求出−a与−b的大小关系，再根据不等式的性质求出a，b的大小即可．

7.【答案】D

【解析】【分析】

根据线段垂直平分线的性质得出AD，AE当长，利用勾股定理逆定理得出△ADE是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可．

本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理的应用，解题关键是是添加辅助线构造直角三角形．

【解答】

解：连接AD，AE，

∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，

∴AD=BD=32，AE=EC=52，

∵DE=2，

∴AD2+DE2=94+4=2548.【答案】C

解：根据图象可得：关于x的不等式0<kx+b<4的解集是1<x<3，

故选：C．

根据函数图象，找出满足题意x的范围即可．

此题考查了一次函数与一元一次不等式，以及一次函数的性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数性质是解本题的关键．9.【答案】C

解：作DF⊥BC于F，

∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，

∴DF=DE=2，

∴12×AB×DE+12×BC×DF=12，

∴12×7×2+12×BC×2=12，

∴BC=5，

故选：C10.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，①利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；③证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；④首先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AB=AC=AE+CE=AO+AP．

【解答】

解：①如图1，连接OB，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，∠BAD=12∠BAC=12×120°=60°，

∴OB=OC，∠ABC=90°−∠BAD=30°

∵OP=OC，

∴OB=OC=OP，

∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，

∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；故①正确；

②由①知：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，

∵点O是线段AD上一点，

∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；

③∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，

∴∠APC+∠DCP=150°，

∵∠APO+∠DCO=30°，

∴∠OPC+∠OCP=120°，

∴∠POC=180°−(∠OPC+∠OCP)=60°，

∵OP=OC，

∴△OPC是等边三角形；故③正确；

④如图2，在AC上截取AE=PA，连接PE，

∵∠PAE=180°−∠BAC=60°，

∴△APE是等边三角形，

∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，

∴∠APO+∠OPE=60°，

∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，

∴∠APO=∠CPE，

∵OP=CP，

在△OPA和△CPE中，

PA=PE∠APO=∠CPEOP=CP,

∴△OPA≌△CPE(SAS)，

∴AO=CE，

∴AB=AC=AE+CE=AO+AP；故④正确；

11.【答案】∠C≥90°

解：由反证法的定义可知，假设需要否定结论，

所以先假设∠C≥90°

故答案为：∠C≥90°．

根据反证法证明命题的步骤求解即可．

本题考查了反证法的概念，牢记反证法先假设否定结论是解题的关键．12.【答案】75°或30°

解：在等腰△ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高，∠ABD=60°，

当BD在△ABC内部时，如图1，

∵BD为高，

∴∠ADB=90°，

∴∠BAD=90°−60°=30°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=12(180°−30°)=75°；

当BD在△ABC外部时，如图2，

∵BD为高，

∴∠ADB=90°，

∴∠BAD=90°−60°=30°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

而∠BAC=180°−∠BAD=120°，

∴∠ABC=∠ACB=12(180°−120°)=30°；

综上所述，这个等腰三角形底角的度数为75°或30°．

故答案为：75°或30°．

在等腰△ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高，∠ABD=60°，讨论：当BD在△ABC内部时，如图1，先计算出∠BAD=50°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ACB；当BD在△ABC外部时，如图2，先计算出∠BAD=50°13.【答案】−4

解：根据图示知，已知不等式的解集是x≥−1．

则2x−1≥−3

∵x△k=2x−k≥2，

∴2x−1≥k+1且2x−1≥−3，

∴k=−4．

故答案是：−4．

根据新运算法则得到不等式2x−k≥2，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值．

本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．14.【答案】(8088,0)

解：∵点A(−3,0)，B(0,4)，

∴AB=32+42=5．

由图可知，△OAB每旋转三次为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为4+5+3=12．

∵2022÷3=674，

∴△2020的直角顶点是第674个循环组的最后一个三角形的直角顶点．

∵674×12=8088，

∴△2022的直角顶点的坐标为(8088,0)．

故答案为(8088,0)15.【答案】−12

解：x−14(4a−2)≤12①3x−12<x+2②，

解不等式①得x≤a，

解不等式②得x<5，

由题意得a<5，

解方程2y=7+a得，y=7+a2，

∵关于y的方程2y=7+a有非负整数解，

∴7+a2≥0且a为奇数，

解得，a≥−7，

∴a的取值范围为：−7≤a<5，

∵a为奇数，

∴整数a的取值为−7，−5，−3，−1，1，3，

∴符合条件的所有整数a的和为：−7−5−3−1+1+3=−12．

故答案为：−12．16.【答案】解：(1)原式=3(m+n)×[3(m+n)−(m−n)]

=3(m+n)×(3m+3n−m+n)

=3(m+n)×(2m+4n)

=6(m+n)(m+2n)；

(2)原式=(−2)2022×(−2)+22022

=(−2【解析】(1)利用提公因式法进行计算即可；

(2)利用提公因式法进行计算即可．

本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．17.【答案】解：x−3(x−1)>11+3x2>x−1，

解不等式①得，x<1，

解不等式②得，x>−3，

所以不等式组的解集是−3<x<1，

所以不等式组的非负整数解是【解析】分别求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分，再写出范围内的非负整数解即可．

本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；

(2)如图，△A2B2C2即为所求，B2(2,−1)；

(3)作点B关于x轴的对称点B3，再连接B3C与x轴的交点即为所求点P，

由题意可得B3(1,−2)，C(5,3)，

设直线B3C解析式为y=kx+b，代入得：

−2=k+b3=5k+b，【解析】(1)根据中心对称的性质作图，即可得出答案．

(2)根据旋转的性质作图，即可得出答案；

(3)作点B关于x轴的对称点B3，再连接B3C与x轴的交点即为所求点P.19.【答案】解：(1)设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是(x−40)元，

由题意可得5x+10(x−40)=1100，

解得x=100，

x−40=60．

答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元；

(2)设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”(120−m)套，

由题意可得：100(120−m)+60m≤8600m<3×(120−m)，

解得85≤m<90，

又∵m为正整数，

∴m可以取85，86，87，88，89；

∴共有5种购买方案，

方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”；

方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”；

方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”；

方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”；

方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”；

∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，

∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低，

∴最低费用是31×100+60×89=8440(元)．【解析】(1)根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元，得出方程，解方程即可；

(2)设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”(120−m)套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论．

本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键．20.【答案】证明：(1)如图，过点E作EH⊥BD于点H，

∵BE平分∠ABC，EG⊥BA，EH⊥BD，

∴EG=EH，

∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EH⊥CD，

∴EF=EH，

∴EG=EF．

(2)∵EG⊥BA，EF⊥AC，

∴∠AGE=90°=∠AFE，

再Rt△AEG和Rt△AEF中，

EG=EFAE=AE，

∴Rt△AEG≌Rt△AEF(HL)，

∴∠AEG=∠AEF．

【解析】(1)过点E作EH⊥BD于点H，利用角平分线的性质即得证；

(2)通过HL证明Rt△AEG≌Rt△AEF即可．

本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．21.【答案】(1)证明：∵∠DBE=12∠ABC，

∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=12∠ABC，

∵△ABF由△CBE旋转而成，

∴BE=BF，∠ABF=∠CBE，

∴∠DBF=∠DBE，

在△DBE与△DBF中，

BE=BF∠DBE=∠DBFBD=BD，

∴△DBE≌△DBF(SAS)，

∴DF=DE；

(2)证明：∵将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，

∴BA=BC，∠ABC=90°，

∴∠BAC=∠BCE=45°，

∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AF重合，

∴AF=EC，

∴∠FAB=∠BCE=45°，

∴∠DAF=90°，

在Rt△ADF中，DF2=AF2+AD2，【解析】(1)先根据∠DBE=12∠ABC可知∠ABD+∠CBE=∠DBE=12∠ABC，再由图形旋转的性质可知BE=BF，∠ABF=∠CBE，故可得出∠DBF=∠DBE，由全等三角形的性质即可得出△DBE≌△DBF，故可得出结论；

(2)把△CBE逆时针旋转90°，由于△ABC是等腰直角三角形，故可知图形旋转后点C与点A重合，∠FAB=∠BCE=45°，所以∠DAF=90°，由22.【答案】(1)证明：∵△BOC≌△ADC，

∴OC=DC．

∵∠OCD=60°，

∴△OCD是等边三角形．

(2)解：△AOD是直角三角形．

理由如下：

∵△OCD是等边三角形，

∴∠ODC=60°，

∵△BOC≌△ADC，∠α=150°，

∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，

∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=150°−60°=90°，

∴△AOD是直角三角形．

(3)解：∵△OCD是等边三角形，

∴∠COD=∠ODC=60°．

∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，

∴∠AOD=360°−∠AOB−∠BOC−∠COD=360°−110°−α−60°=190°−α，

∠ADO=∠ADC−∠ODC=α−60°，

∴∠OAD=180°−∠AOD−∠ADO=180°−(190°−α)−(α−60°)=50°．

①当∠AOD=∠ADO时，190°−α=α−60°，

∴α=125°．

②当∠AOD=∠OAD时，190°−α=50°，

∴α=140°．

③当∠ADO=∠OAD时，

α−60°=50°，

∴α=110°．

综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．

【解析】(1)根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；

(2)根据全等易得∠ADC=∠BOC=∠α=150°，结合(1)中的结论可得∠ADO为90°，