2024届高三年级上册第二次诊断性考试文科数学试题附答案解析

2024届高三上学期第二次诊断性考试文科数学试题

一'选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.若iz=l+i,则复数z=()

A.1—iB.1+iC.-1+iD.-1-i

2.已知力={x\x2—x<0],B={%|比<2},则力CB=()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(—oo,2)

3.已知五=(1,0),\b\=1,\a-b\=V3,贝腺与石的夹角为()

A-R—C2"D.至

633o

,y>Q

4.若变量尤，y满足不等式组-'贝k+y的最大值是()

2x+y—2<0,

A.-1B.0C.1D.2

5.已知变量％,y之间的线性回归方程为9=2%+L且变量九，y之间的一组相关数据如表所示，

2468

y58.213m

则下列说法正确的是()

A.m=17

B.变量y与x是负相关关系

C.该回归直线必过点(5,11)

D.x增加1个单位，y一定增加2个单位

6.已知/(%)为R上的减函数，则()

33

A./(0.2-°-)>/(log32)>/(0.5)B./(0.5)>/(log32)>/(0.2-°-)

33

C./(log32)>f(0.5)>/(0.2-0)D./(0.2-°)>f(0.5)>/(log32)

7.已知x>0,y>0，贝U"x+yW1”是+y24i”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知角a的终边与角口的终边关于y=%对称(夕为象限角)，则c。有谓二()

A.-1B.0C.1D.2

9.如图是y=/(久)的大致图象，则/(%)的解析式可能为()

A./(%)=|x2—sinx|B./(%)=\x-sinx|

C./(x)=|2X-1|D.f(x)=\x2-x-^\

io.已知数列｛a"的前〃项和为Sn，且sn=亨，则下列说法正确的是()

4

A.<"n+i.S22>S72+1C-•。几I2s九1D.0<"九g

11.已知曲线y=/一2nu:+m-1与x轴交于不同的两点A,B,与y轴交于点C,则过A,B,C

三点的圆的圆心轨迹为()

A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线

12.设网,尸2分别为椭圆C：今+3=l(a>b>0)的左，右焦点，以Fi为圆心且过心的圆与x轴

交于另一点尸，与y轴交于点Q,线段QF2与C交于点A.已知与△Q&F?的面积之比为

3：2,则该椭圆的离心率为()

A.1B.V13-3C.V3-1D.4H

J4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知a为钝角，since=贝1Jsin(a+/)=.

14.右f(%)=ln(l+x+°)为奇函数,贝Ub=.

15.甲、乙二人用4张不同的扑克牌(其中红桃3张，方片1张)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，

背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.则甲、乙二人抽到的花色相

同的概率为.

16.已知％(―c,0),F2(C,0)分别是双曲线E：**l(a>0,b>0)的左，右焦点，过点

作E的渐近线的垂线，垂足为P.点/在E的左支上，当PMII久轴时，|PM|=c,则E的渐近线方

程为..

三'解答题：共70分。解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。必考题：共60分。

17.已知等差数列｛时｝的前〃项和为S”且55=45,S6=60.

(1)求的通项公式；

1

(2)求数列的前〃项和

unan+l

18.绵阳市37家A级旅游景区，在2023年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入大幅增长.绵

阳某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表：

喜欢旅游不喜欢旅游总计

男性203050

女性302050

总计5050100

2

附.02_n(ad-bc)

K_(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

(1)能否有95%的把握认为喜欢旅游与性别有关？

(2)在以上所调查的喜欢旅游的市民中，按性别进行分层抽样随机抽取5人，再从这5人中随机

抽取2人进行访谈，求这两人是不同性别的概率.

19.在中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且4瓦5・阮=3bcsin4=24c.

(.1)求tanB及a；

(2)若AABC周长为48,求△ABC的面积.

20.已知直线/：丫=土％-2与抛物线4％2=2py(p>0)交于A,8两点，尸为E的焦点，直线

FA,FB的斜率之和为0.

(1)求E的方程；

(2)直线阳，FB分别交直线y=-2于M,N两点，若|MN|216,求％的取值范围.

21.已知函数/(%)=2sin%—ax?+3%.

(1)求曲线/(%)在x=0处的切线方程：

(2)若/(%)在兀］上是单调函数，求实数。的取值范围.

22.选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记

分。在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为卜=3门产。为参数），以坐标原点。为极

Iy=2t

点，以无轴正半轴为极轴，建立极坐标系.

（1）求曲线C极坐标方程；

11

（2）若A,3为曲线C上的动点，且O410B,求+2康的值.

\UB\

23.

2

（1）已知4,b,X,y均为正数，求证：（1+?）.三工+一并指出等号成立的条件;

ax2+hy2ab

（2）利用（1）的结论，求函数/（%）=贫:鬻;（x>0）的最大值,并指出取最大值时x的值.

答案解析

L【答案】B

2

【解析】【解答】解：根据题意，Z="==二^=1—L

I1X(—1)_j2

故答案为：B.

【分析】根据复数的四则运算法则计算即可.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：X={%|%2—%<0}={%|0<%<1},B=(x\x<2}>则ACB={x|0<

x<1}.

故答案为：A.

【分析】先求解集合A,再根据交集运算求解即可.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：由题意可知，Ia|=1,设五与石的夹角为0,0G[O,K],|a-b|=V3,\b\=l，

则木+户2标=3,

即1+1-2x1x1xcos0=3,得cos0=_,故0=竽.

故答案为：C.

【分析】将底引两边同时平方，再结合向量的数量积运算，即可求解.

4.【答案】D

X>0

【解析】【解答】解：由一’作出可行域，如图所示：

2%+y—240,

☆z=x+y,可得y=-x+z,由图可知，当直线y=-x+z过A(O,2)时，z有最大值为2.

故答案为：D.

【分析】由约束条件作出可行域，☆z=x+y,化为直线方程的斜截式，数形结合即可求解.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：A、由题意可知，元=/十4；。十行=5,•.•点(焉历一定在线性回归方程9=

2%+1上，/.y=2x+1=2x5+1=11,

A5+8.2+13+m=n>解得m=17.8,A错误；

B、\♦线性回归方程9=2久+1的斜率大于0,.•.变量y与x是正相关关系，B错误；

C、由A可知，该回归直线必过点(5,11),C正确；

D、♦.•线性回归方程9=2%+1,.'x增加1个单位，y大约增加2个单位，D错误；

故答案为：C.

【分析】根据点(焉歹)一定在线性回归方程？=2x+1上，可判断AC,根据线性回归方程？=2%+1

的斜率为2,可判断BD.

6【答案】B

3

【解析】【解答】解：因为0.2-°>1,0.5=log3V3<log32<log33=1，所以。:一^>log32>

0.5,

又因为/(%)为R上的减函数，

3

所以/(0.5)>/(log32)>/(0.2-°-).

故答案为：B.

【分析】利用对数函数的单调性得到log32与0.5的大小，再利用f(x)为R上的减函数判断.

7.【答案】A

【解析】【解答】解：因为%>0,y>0,x+y<1,所以0<x<l,0<y<l,所以x<x2,y2<y,则

x2+y2<x+y<l,所以充分性成立；

当x>0,y>0,x2+y2gl时，取x=y=乎，贝!J此时x+y=VI>l,所以必要性不成立.

综上，当％>0,y>0,贝甘比+y<1”是/1”的充分不必要条件.

故答案为：A.

【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：因为角a的终边与角B的终边关于y=x对称，设a的终边上点P(a,b),

则P关于y=x对称的点Q(b,a)在0的终边上，所以cosa=sin/?,sina=cos/?,

而I、】cos(q_J)_cosacosS+sinasin/7_sin0cosS+sin/?cos/?_1

所“sin2/?—2sin/?cos/?—2sin/?cos/?一，

故答案为：c.

【分析】由已知结合三角函数定义及和差角公式，,二倍角公式进行化简即可求.

9.【答案】A

【解析】【解答】解：x=0时，由选项可知〃%)=|%2—无一•，出0)加，排除D；

x>0时，可知/(%)=|2尢—1|=2"—1是单调增函数，不满足题意，排除C；

由函数的图象的变化趋势可知X—+8时，函数的图象远离丫=*,所以排除B.

故答案为：A.

【分析】根据题意，结合函数的图象结果的特殊点，排除选项，推出结果即可.

10.【答案】D

【解析】【解答】解：A、当n=l时，ai=Si=g,当nN2时，厮=Sn-Sn_i=史二一或占^

33

(11

._(3^n=1

,・・Q八—j4'

(针，九之2

当nN2时，显然数列｛an｝是递减的，A错误；

4

•Sn+1-Sn=an+i="TT>°，

B、ASn+l>Sn,B错误;

C、当n=l时，ai=SV，则ai+2sl=点号=1,满足an+2Sn=l,

4Aa九_7

当nN2时，an=针，・二an+2Sn=铲+2x§兀=2，C错误；

q，几=1144

D、由(1)可知/i=(4，nN2时，显然数列｛a“是递减的，又•.不<轨=①，当n=2时,

、针，九之23

an的值最大，最大值为京....OvaM，D正确；

yy

故答案为：D.

0/n=1

【分析】利用公式an二$厂$11一1(92)可求出册=；，由此再判断各个选项即可.

、针，71-2

11.【答案】A

【解析】【解答】解：根据题意可知圆心M在抛物线：y=/-2租%+租-1的对称轴x=m上,

・••设M(m,y),又易知C(0,m-1),

令y=x2-2mx+m-1=0,解得工=m±Vm2-m+1,不妨设A(m—Vm2—m+1,0),

则由|MC|二|MA|,可得|MC|2二|MA|2,

_____________2

•'•m2+[y-(m-l)]2=(Jm2-m+lj+产整理可得2y(m-l)=m(m-l),当m=l时,

此时A(0,0),B(2,0),C(0,0),A与C重合，此时M(l,|),当时，y=y,即圆心M(m,

当,

圆心M的轨迹方程为y=*,又点(1,会也满足该方程，

.♦.圆心轨迹为一条直线.

故答案为：A.

【分析】先用m表示A,B,C三点坐标，再根据圆的几何性质将过A,B,C三点的圆的圆心用m

表示，最后消去参数m,即可求解.

12.【答案】B

【解析】【解答】解：由题意可得Fi(-C,0)、F2(C,0),F1F2=2c,

则以Fi为圆心且过F2的圆的方程为(x+c)2+y2=4c2,

令x=0,则yp=±Kc,由对称性，不妨取点P在x轴上方，即P(0,V3c),

则如2：y-Wc=弓:J久,即y=—遮》+6c，

有5.无尸2=TX2cXV3c=V3c2,贝瓦4PF2-fXV3c2=C2,

又SA4PF2=*力X4c=2cy『即有等c?=2cyn，即为=等0，

代入6尸2：y--V3x+43c,有^=一百久4+即久4=^C,

即4(lc,季c)在椭圆上，故自c)Jk)化简得b2c2+27a2c2=16a2b2,由b?=a2d,

M4)廿工厂=1

即有0-c2)c2+27a2c2=16a2(a2-c2),整理得c4-44a2c2+16a4=0,即e4-44e2+16=0,

有e2=44一同一4X16=22_6e或e?=44+J”—4x16=22+6713;

由于22+6jn>l,故舍去，即e2=22—6，n，则e=&2_6vli=J(V13-3)2=V13-3-

故答案为：B.

【分析】由题意可逐步计算出点A坐标，由点A在椭圆上，将其代入椭圆方程得到等式后，借助等

式即可计算离心率.

13.【答案】噌

【解析】【解答】解：因为a为钝角，sina=1所以cosa=—'|,

贝Usin(a+勺=孝(sina+cosa)=¥值一号)=磊

故答案为：旨.

【分析】根据已知，结合同角平方关系及两角和的正弦公式求解即可.

14.【答案】V

【解析】【解答】解：〃久)=皿1+占)=ln(鸯壮)，由与密>0得x<-(b+l)或x>-b,

AIUA-iUA-RU

所以函数的定义域为(-8,-b-l)U(-b,+oo),因为奇函数的定义域关于原点对称，所以-b-l-b=0,得

b=一，此时/(久)=]n(x+；，f(—x)+/~(久)=In-§+点+]n多咎=In产二+In芋+；=]nl=0,

即f(-x)=-f(x),函数f(x)为奇函数，所以b=4

故答案为:-1.

【分析】首先求函数的定义域，根据奇函数的性质，求b的值，再验证函数为奇函数.

15.【答案】1

【解析】【解答】解：甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张，基本事件总数n=4x3=12,

甲、乙二人抽到的花色相同包含的基本事件个数m=3x2=6,则甲、乙二人抽到的花色相同的概率为

_m__6__1

P=n=Tl=2'

故答案为:1.

【分析】基本事件总数n=4x3=12,甲、乙二人抽到的花色相同包含的基本事件个数m=3x2=6,由

此能求出甲、乙二人抽到的花色相同的概率.

16.【答案】V2x±y=0

【解析】【解答】解：如图所示：

由双曲线的对称性，不妨取渐近线y=过点F2作E的渐近线的垂线，垂足为P,.♦•直线F2P方

程为：y=--c),

_a22

y=-x%--

联立aa，解得C，Apf—,—1由PM//x轴，且|PM|二c,可得M

(y=-静-c)丫=弛\cc)c

又点M在双曲线E:弓■—马=1的左支上，・，・g_勺=1,V—,又。2+/=。2,

廿Q2c2c2

•*•b4—a4=a2(a2+/)2),•*-b2—a2=a2>•*-b2=2a2,***/)=V2a,=V^，所以双曲线E的渐

近线方程为遮％±y=0.

故答案为：V2x+y=0.

【分析】由双曲线的对称性，不妨取渐近线y='%,从而可得F2P方程为：y=-擀(%-c),联立

y~^X可P(贮，—Y再由PM//X轴，且|PM|=c,可得M(一生，包)，然后将M代入双

[y=-a-c)、cc)[cc)

曲线方程中，从而建立方程，再化归转化，即可求解.

17•【答案】(1)解：设数列｛a｝的公差是d,

’5%+孚d=45

mil2

6alH—2d—60

解得(n

(Q]—D

・•・an=2n+3.

(2)斛：anan+1—(2n+3)(2n+5)—2(2几+32几+5)

1111111

2(57792T1+32n+5)

11_n

=10-4n+10=lOn+25*

,5x4,什

5alH—Q—d,—45

【解析】【分析】(1)设等差数列的公差为d,则2，然后求数列的通项公式即可;

6alH—2-d—60

11ill

⑵由⑴可得痴藐匚=声:商行时=2(茄雨—茄石)，累加求和即可.

2

_____n(ad—be)______

18.【答案】(1)解：R2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

100(20x20-30x30)2

60x40x50x50=4>3,841

故有95%的把握认为喜欢旅游与性别有关；

(2)解：(2)按分层抽样喜欢旅游的男性为2人，记为41，A2，女性为3人，记为为,

2，2，B2）,

随机抽取2人的事件有：（&,4）,（4,BQ,（4,B2）,（41，B3）,（4BQ,（4

（42，（%,/），

B3）,（Bi，B?）,B3）,

不同性别的事件为：

$（41，M）,Q41，%）'（"1,a），（&，当），（42,B?），（力2，殳）$

故两人是不同性别的概率p=^=l

【解析】【分析】（1）首先计算K2与3.841比较大小，即可作出判断；

（2）首先确定男女各2人和3人，再利用古典概型概率公式，即可求解.

19.【答案】（1）解：・・・4瓦？・丽=3bc•sinA

・•・4a•cosB=3b-sinA

•••4sin/cosB=3sinBsirh4,

4

-

•••tanB3则cosB=

又・・•4BA•BC=24c

・•・4accosB=24c

・••acosB=6

65

：•CL-------=6Xk=10

cosB3

（2）解：由余弦定理：b2=a2+c2—2ac•cosB

・•・b2=100+c2-12c,

又a+b+c=48,贝!Jb+c=38

・•・（38-c）2=100+c2-12c

・・.c=21

114

••・S^ABC=ac,sinB=x10x21x-=­=84

乙乙j

【解析】【分析】（1）代入数量积公式，正弦定理，同角关系即可得；

⑵根据余弦定理，可得c的取值，代入面积公式即可.

20.【答案】（1）解：设力（%1，yi）,8（%2，丫2）

联立22’消y整理得：X2—2pkx+4p=0

（=2py

所以：%1+冷=2pk,/冷二4P

丫2-刍依1-(2+刍)kx2-(24-2)

^FA^FB——----1--=------------1歹-----

%2X1X2

2/C%1%2—(2+g)(％1+%2)

kpp

=2k_](2+乡=k(l—/=O

p=4,即抛物线E的方程为：%2=8y

(2)解：由⑴可知：%i+%2=8k,%1工2=16

且4=64k2-64>0,所有/>1

2

\xr—X2|—J(%]+%2)2—4.1%2=8yjk—1

直线$FA$的方程为：y=3x+2,所以：XM=5~=4~~ky~

Xi乙———ZtX]

同理：和=既=

/l.y/l.-y*

所以|MN|=I久M—KNI=三后一至老

16(%1—％2)I

—I2

16—4A:(%i+X2)+kxxx2

8J/c2-18

=----------16

l1-/c।Jk2-1

解得：一与£k<T或l<kW手

【解析】【分析】(1)由题意，设出A,B,F的坐标，将直线1的方程与抛物线方程联立，利用韦达定

理以及斜率公式再进行求解即可；

(2)结合(1)中信息，得到k2>l以及|xi-X2|的表达式，推出点M,N的坐标，再列出等式进行求解即

可.

21.【答案】(1)解:f(x)=2cosx-2ax+3,

・・・f(0)=2cos0+3=5,

切线斜率为5,

曲线f(x)在x=0处的切线方程为y=5x.

(2)解：解法一：①当x£[0,TI]时f(x)=2cosx-2ax+3,若a<0时，2cosxr>2ax-3恒成立，

若a>0时f(x)在[0,兀]上单调递减.

f(x)>f(7r)=—2—2an+3>0，贝U0<a<

综上：a<2—

27r

②当XE［-1,0］时

若a>0时，2cos%>2ax-3恒成立，

・•・f\x)>0恒成立，

若a<0时/(x)在［一号，0］上单调递增

・••f(X)>f(-^)=a;r+3>0,则<a<0

3

••­a>-—

7T

综上所述：—

it27r

解法二：由(1)可知f(0)=2+3=5>0

・・・/(%)在［―今，7T］上必是单调递增函数

令/(x)=2cosx—2ax+3，

贝(J/(―£)=cur+3>0,/(yr)=1-2an>0

a《白为/(%)在［一］，7T］上是增函数成立的必要条件

令/(x)=2cosx-2ax+3，

下证：当一a《白时，f(%)>0对任意xG兀］恒成立

①当04a《时，、e［一~29兀］，则ctx£［―q,9—2.uxG［-1,引

・•・f(%)=2cosx—2ax+3>1—2ax>0

②当—［《a<0时，

%e［0,7r］,-2ax>0,很显然f(%)>2cosx+3>0；

%G0］,f'(%)为增函数，f'(%)>/'(—£)》a兀+3》0

当一［《a《亲时，g(x)>0对任意%G［-^>兀］恒成立

使得f(x)在［―9兀］上是单调函数.

【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求切线方程;

⑵分类讨论XG[O,兀],%e[-J,0]两种情况，利用导数研究函数的单调性，可得xG[0,n]时,

a<xE[—y>0]时，—即可求解.

27rN7127r

22•【答案】⑴解：由题意：（⑥+⑥=1_产+产=1，且久=3V1-t2>0

曲线C的普通方程为：普+4=1（久？0）

•••曲线c的极坐标方程为於写空+且譬=1（—

即炉=益面（一%"为

⑵解：由⑴得炉=互黠

77"

因为且OA1OB,不妨设A（pi，。），