概率（理）知识点与大题16道（培优题）（解析版）-2021年高考数学大题分类提升

概率（理）知识点与大题16道专练（培优题）（解析版）

知识点一：常见的概率类型与概率计算公式；

类型一：古典概型；

1、古典概型的基本特点：

（1）基本事件数有限多个；

（2）每个基本事件之间互斥且等可能；

2、概率计算公式：

A事件所包含的基本事件数

事件发生的概率尸（）

AA=一总的基本事件数

类型二：几何概型；

1、几何概型的基本特点：

（1）基本事件数有无限多个；

（2）每个基本事件之间互斥且等可能;

2、概率计算公式：

构成A事件的区域长度（或面积或体积或角度）

事件发生的概率尸（）

AA=一总的区域长度（或面积或体积或角度）

注意：

（1）究竟是长度比还是面积比还是体积比，关键是看表达该概率问题需要几个变量,

如果需要一个变量，则应该是长度比或者角度比；若需要两个变量则应该是面

积比；当然如果是必须要三个变量则必为体积比；

（2）如果是用一个变量，到底是角度问题还是长度问题，关键是看谁是变化的主体,

哪一个是等可能的；

例如：等腰A4BC中，角C=/，贝

3

（1）若点M是线段AB上一点，求使得AMWAC的概率；

（2）若射线CA绕着点C向射线CB旋转，且射线CA与线段AB始终相交且交点是

M,求使得AMWAC的概率；

解析：第一问中明确M为AB上动点，即点M是在AB上均匀分布，所以这一问应该

是长度之比，所求概率：==—;

V3AC3

而第二问中真正变化的主体是射线的转动，所以角度的变化是均匀的，所以这一问应该

是角度之比的问题，所以所求的概率：B==75，=51；

1208

知识点二：常见的概率计算性质；

类型一：事件间的关系与运算；

A+B（和事件）：表示A、B两个事件至少有一个发生;

A»B（积事件）：表示A、B两个事件同时发生；

A（对立事件）：表示事件A的对立事件；

类型二：复杂事件的概率计算公式；

1、和事件的概率：

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A•B)

(1)特别的，若A与B为互斥事件，贝IJ：

P(A+B)=P(A)+P(fi)

(2)对立事件的概率公式：

P(A)=1-P(A)

2、积事件的概率：

(1)若事件A、4、•、4相互独立，则：

尸(A・4・・A〃)=P(A)•尸(&)・.P(A„)

(2)n次独立重复的贝努利实验中，某事件A在每一次实验中发生的概率都为p,则

在n次试验中事件A发生k次的概率：

p(A)；=c：p"p)z

类型三：条件概率；

1、条件概率的定义:我们把在事件A发生的条件下事件B发生的概率记为：尸(8|A)；

且P(BIA)=P(A・B)

「⑷

2、三个常见公式：

(1)乘法公式：P(A.B)-P(A)*P(B|A)

(2)全概率公式：设A，A，A，-，4是一组互斥的事件且则对于

k=\

任何一个事件B都有：P(B)=tP(4・3)=支尸(4)・P(B\4)

k=lk=l

(3)贝叶斯公式：设4出,怎是一组互斥的事件且才&=。

k=l

则对于任何一个事件B都有：P(A.|B)=：(."尸(例4)

*(A)・P(8|A)

k=\

知识点三：求解一般概率问题的步骤；

第一步：确定事件的性质：等可能事件、互斥事件、相互独立事件、n次独立重复实验

等；

第二步：确定事件的运算：和事件、积事件、条件概率等；

第三步：运用相应公式，算出结果；

知识点三：常见的统计学数字特征量及其计算;

特征量一：平均数(数学期望)

-1

计算公式一：x=—(%+羽+%++%)；

n一

计算公式二：Ex-^xj*P(x=x)；

k=l

计算公式三：(若随机变量X是连续型随机变量，且函数/(X)是它的密度函数)

广+8

Ex-xf(x)dx

J—00

特征量二：中位数

将所有的数从大到小排或者从小到大排，若共有奇数个数，则正中间的那个数叫做

这一列数的中位数；若共有偶数个数，那么正中间那两个数的平均数叫做这一列数的中

位数。

特征量三：众数

将所有数中出现次数最多且次数超过1次的数叫做这一列数的众数。一列数的众数

可以有多个，也可以没有。

特征量四：方差

方差反映一组数或者一个统计变量的稳定程度，方差越小数值越稳定，方差越大则

数值波动越大。

1n_

计算公式一：2=—[£(x*—x)2]；

nk=i

1n

计算公式二：2=—[»(%=“)•(”—七)2]；

nk=l

计算公式三：2=&2_(&)2；

注：期望和方差的性质：

性质1：E(c)=c；

性质2：E(ax+b)-aEx+b；

性质6：Q(c)=0；

性质7：D(ax+6)=a2D(x)；

性质9：若石,马，・是相互独立的随机变量，则：

D&+/+...+x“)=D(X1)+D(X2)+---+D(x”)；

知识点四：简单的统计学知识；

问题一：统计学中的简单的抽样方法；

方法一：简单随机抽样；

1、基本原理：根据研究目的选定总体，首先对总体中所有的观察单位编号，遵循随机

原则，采用不放回抽取方法，从总体中随机抽取一定数量观察单位组成样本。

2、具体做法：①随机数字法；②抽签法；

3、优缺点分析：

优点：基本原理比较简单；

当总体容量不大时比较方便；

抽样误差的计算较方便；

缺点：对所有观察单位编号，当数量大时，有难度；

方法二：系统抽样；

1、基本原理：先将总体的观察单位按某顺序号等分成n个部分再从第一部分随机抽第

k号观察单位，依次用相等间隔，机械地从每一部分各抽取一个观察单位组成样本;

2、优缺点分析：

优点：抽样方法简便，特别是容量比较大的时候；

易得到一个按比例分配的样本，抽样误差较小；

缺点：仍需对每个观察单位编号；

当观察单位按顺序有周期趋势或单调性趋势时，产生明显偏性；

方法三：分层抽样；

1、基本原理：先将总体按某种特征分成若干层，再从每一层内随机抽取一定数量的观

察单位，合起来组成样本。

2、具体做法：

第一步：计算每一层个体数与总体容量的比值；

第二步：用样本容量分别乘以每一层的比值，得出每层应抽取的个体数；

第三步：用简单随机抽样的方法产生样本；

3、优缺点分析：

优点：在一定程度上控制了抽样误差，尤其是最优分配法；

缺点：总体必须要能分成差别比较大的几层时才能用，局限性比较大；

总结：以上三种抽样方法的共同特征是每个个体被抽中的可能性相同；

知识点五：常用的几个统计学图表；

图表一：频率分布直方图与频率分布折线图；

1、说明几个基本概念：

（1）频数：符合某一条件的个体个数；

频数

（2）频率：频率=台差；（在必要情况下，可以近视的看作概率；所有组的频率

总数

之和是1;）

2、认识频率分布直方图：

(1)横标是分组的情况；

(2)纵标不是频率，而是频率/组距；小方框的面积才是频率；所有的面积和为1；

3、画频率分布直方图：

第一步：求极差；

第二步：分组，确定组距；

第三步：列频率分布表；

第四步：作图；

4、画频率分布折线图：

将频率分布直方图中每个方框的顶边的中点用直线连起来形成的折线图；

5、利用频率分布直方图估计样本的统计学数字特征量：

(1)中位数：取图中方框面积和达到工时的横坐标；

2

(2)众数：取最高的那个方框的中点横坐标；

(3)平均数：=•P(x=xk)；其中/表示第k组的中点横坐标，

k=\

。(九=/)表示第k组的频率；

(4)方差：£>(%)=£[%—颐创2；

k=\

图表二：茎叶图；

定义：若数据为整数，一般用中间的数表示个位数以上的部分，两边的数表示个位数字;

若数据是小数，一般用中间的数表示整数部分，两边的数表示小数部分形成的图表；

甲乙

6715

82868

4033

知识点六：变量间的相互关系与统计案例；

1、相关关系的分类：

从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关

系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关

关系称为负相关。

2、线性相关：

从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量

之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线。

3.最小二乘法求回归方程：

(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫最小二

乘法.

(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：

(xi,yi),(如(x,,%),其回归方程为y=6x+a.

其中，6是回归方程的斜率，a是在y轴上的截距.

4.样本相关系数：

2(y—y)

IAA

_L(.r,,i)~一(v；v)“

r=Li,，用它来衡量两个变量间的线性相关关

系.

(1)当r>0时，表明两个变量正相关；

(2)当r<0时，表明两个变量负相关；

(3)r的绝对值越接近1,表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0,

表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常当旧>0.75时，认为两个变量有很

强的线性相关关系.

6.独立性检验：

(1)用变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，这种变量称为分类变量.例如：

是否吸烟，宗教信仰，国籍等.

(2)列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.

(3)一般地，假设有两个分类变量才和y,它们的值域分别为此，3和山，刃｝,

其样本频数列联表(称为2X2列联表)为：

J2总计

XIaba~\~b

X2Cdc+d

总计a+cb+da+b+c+d

K-=----------、1,~-(其中〃=a+6+c+d为样本容量)，可利用独立性

(〃+b)(a+c)(c+d)(b+d)

检验判断表来判断“x与y的关系”.这种利用随机变量不来确定在多大程度上可以认

为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.

附表：

户(川》90.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

注意：

(1)K2越大相关性越强，反之越弱；

(2)附表中?(好》啰是两个统计学变量无关的概率；

知识点七：常见的概率分布及期望、方差；

类型一：离散型随机变量的概率分布；

1、两点分布(贝努利分布或0、1分布)：

(1)特点：随机变量x只能取两个值0、1；分布列如下:

X01

PPq

(2)期望：E(x)=q；

方差：D(x)=q—=pq；

2、二项分布：

(1)特点：在n次独立重复的贝努利实验中，每次实验中A事件发生的概率都是

P；每次试验只有两个结果A或入；随机变量x表示n次试验中A事件发生

的次数；

即：P(x=k)=C：pkQ_P)i；则称随机变量了服从二项分布；记为：

xB(n,p)；

(2)期望：石(幻=物；(有两种不同的证明方法，这里就省略了。)

方差：D(x)=npQ—p)=npq；

3、几何分布：

(1)特点：在独立重复的贝努利实验中，每次实验中A事件发生的概率都是p,

不发生的概率为(1-P)；随机变量x表示A事件首次出现时试验的次数；

则称随机变量x服从几何分布，记为：xG(p)；

⑵期望：E(x)=；(P(x=k)=Q—p)ip,期望公式可以利用等比数列

求和和极限的思想证明。)

方差：

4、超几何分布：

(1)特点：一般的共有N个个体，A类个体有M个，从中任取n个，随机变量”

表示取到的A类个体的个数，则称*服从超几何分布，记为：

xH(n,M,N)

「k「n-k

p(x=k)"c：";(左=0,1,2,3,,min{M,n})

期望：E(X)=K；

(2)

MnM(M吗2

方差:x一丁+N(N—1)N；

类型二：连续型随机变量的概率分布；(高中阶段我们只研究正态分布)

正态分布：

1、密度函数的概念：在频率分布折线图中，当样本容量取得足够大，组距取得足够小

的时候频率分布折线图会变成一条光滑的曲线，我们就把这样的曲线叫做连续性随

机变量的密度曲线；把他的解析式叫做密度函数；

显然，如果连续型随机变量X的密度函数是/(X),贝I」：

rbf+oo

P(a<x<b}-f(x)dx；f(x)dx=1；

JaJ—oo

ea广+oo

P(x<。)=于(x)dx；P(x〉a)=f(x)dx；

J—ooJa

1(尤一1

2、正态分布的定义：如果连续型随机变量x的密度函数是：/(x)=1^e2拼；

则称随机变量无服从正态分布，记为：XN(〃Q2)；

3、正态分布曲线的特点：

(1)整条曲线都在x轴的上方，即/(x)>0对VxeH恒成立；

(2)x=〃是他的对称轴，当时，函数/(%)单调递增；当xe[〃,+c。)

时，函数/(x)单调递减；在x=〃时取得最大值;

(3)正态分布曲线的两个主要参数〃,o■的几何学意义：

参数〃决定对称轴的位置，也决定整条曲线的位置，所以也称为位置参数；参

数b决定数据的离散程度，也就决定了曲线的高矮胖瘦；具体规律是：o■越大，

数据越离散，曲线越矮越胖；b越小，数据越集中，曲线越高越瘦；于是我们习惯

于把参数。称为形状参数；

4、正态分布的期望与方差：若x

期望：E(x)=〃；方差：£)(%)=/；

5、正态分布的3b原则：

(1)尸(〃—(y<x<jLi+(T)=0.6826；

(2)P(R—2b<x<//+2b)=0.9544；

(3)P(//-3cr<x<//+3cr)=0.9974；

6、标准正态分布：若xN(0,l),则称随机变量x服从标准正态分布；

7、正态分布xNJ/,。?)与标准正态分布之间的转化关系：

若x则口N(0,l)；

1.某县为了在全县营造“浪费可耻、节约为荣”的氛围，制定施行“光盘行动”有关政策,

为进一步了解此项政策对市民的影响程度，县政府在全县随机抽取了100名市民进行调

查，其中男士比女士少20人，表示政策无效的25人中有10人是女士.

(1)完成下列2x2列联表，并判断是否有99%的把握认为“政策是否有效与性别有

关”；

政策有效政策无效总计

女士10

男士

合计25100

(2)从被调查的市民中，采取分层抽样方法抽取5名市民，再从这5名市民中任意抽

取2名，对政策的有效性进行调研分析，求抽取的2人中有男士的概率.

2

参考公式：K=------(a"、))-----------(n=a+b+c+d)

P（K2>k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8425.0246.6357.87910.828

7

【答案】(1)列联表见解析，没有；(2)—.

10

【分析】

(1)分析题意完成2x2列联表，直接套公式求出K?,对照参数下结论;

(2)列举出基本事件，利用等可能事件的概率公式求概率.

【详解】

(1)由题意设男士人数为》,则女士人数为x+20,

又x+x+20=100，解x=40.即男士有40人，女士有60人.

由此填写2x2列联表如下：

政策有效政策无效总计

女士501060

男士251540

合计7525100

由表中数据,计算烂=100x(50x15-25x10)2=5.556<6.635，

60x40x75x25

所以没有99%的把握认为对“政策是否有效与性别有关”.

(2)从被调查的该餐饮机构的市民中，利用分层抽样抽取5名市民，其中女士抽取

60><工=3人，分别用A，B,C表示，男士抽取2人，分别用。，E表示.

100

从5人中随机抽取2人的所有可能结果为(A，3),(4,C),(A，。)，(A，E)，

(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(。，E),共10种.其中

抽取的2人中有男士的所有可能结果为(A，。)，(A,E),(B,D)(B,E),

(C,D),(C,E),(D,E),共7种.

7

所以，抽取的两人中有男士的概率为「=一.

10

【点睛】

(1)独立性检验的题目直接根据题意完成完成2x2列联表，直接套公式求出K?,对照参数

下结论，一般较易；

(2)等可能性事件的概率一般用列举法列举出基本事件,直接套公式求概率.

2.黄石新华书店为了了解销售单价(单位：元)在［8,20］内的图书销售情况，从2020

年已经销售的图书中随机抽取100本，用分层抽样的方法获得的所有样本数据按照

［8,10)、［10,12)、［12,14)、［14,16)、［16,18)、［18,20］分成6组，制成如图所示的

频率分布直方图，已知样本中销售单价在［14,16)内的图书数是销售单价在［18,20］内

的图书数的2倍.

频率

(1)求出x与y；

(2)根据频率分布直方图彳占计这100本图书销售单价的平均数、中位数(同一组中的

数据用该组区间的中点值作代表)；

(3)根据频率分布直方图从销售单价价格低于12元的书中任取2本，求这2本书价格

至少有1本低于10元的概率.

4

【答案】(1)x=0.15,y=0.075；(2)平均数为14.9(元)，中位数为15；(3)

7

【分析】

(1)根据已知条件可得出关于尤、V的方程组，可解出这两个未知数的值；

(2)在频率分布直方图中，将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得

结果全加可得出样本的平均数，利用中位数左边矩形的面积和为0.5可求得样本的中位

数；

(3)利用组合数公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

(1)样本中图书的销售单价在［14,16)内的图书数是x.2x100=200x,

样本中图书的销售单价在［18,20］内的图书数是j-2xl00=200y,

依据题意，有200x=2x200y,即x=2y,①

根据频率分布直方图可知(0.025+0.05+y+0.1x2+x)x2=l,②

由①②得x=。［5,y=0.075；

(2)根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数为

9x0.025x2+11x0.05x2+13x0.1x2+15x0.15x2+17x0.1x2+19x0.075x2=14.9

(元)，

(0.025+0.05+0.1+0.15)x2=0.65>0.5,故可判断中位数在［14,16］之间，

设中位数为x,则(0。25+0.05+0.1)x2+0.15(x-14)=0.5,

解得x=15,故中位数为15；

(3)销售单价价格低于12元的书共有(0.025+0.05)x2x100=15本，

其中销售单价价格低于10元的书共有0.025x2x100=5本，

从销售单价价格低于12元的书中任取2本，这2本书价格都不低于10元共有种，

C24

因此，所求事件的概率为尸=1--乎=一.

《7

【点睛】

方法点睛：求古典概型概率的方法的如下：

(1)列举法；

(2)数状图法；

(3)列表法；

(4)排列组合数的应用.

3.某企业投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额冽(单位：十万元)与纯利润

n(单位：万元)的关系式为〃=1.7〃z—0.5,投资新型项目B的投资额x(单位：十

万元)与纯利润V(单位：万元)的散点图如图所示.

（i）求y关于x的线性回归方程；

（2）根据（1）中的回归方程，若A,B两个项目都投资60万元，试预测哪个项目的

收益更好.

_n___

2七%一〃％》

附：回归直线§=吼+》的斜率和截距的最小二乘估计分别为6=丹-------,

^xf-nx2

i=l

①—4一

a=y-ffx-

【答案】（1）y=1.6x+0,2：（2）3项目的收益更好.

【分析】

（1）先利用平均数公式求出样本中心点的坐标，再利用所给公式求出〃的值，最后将

样本中心点的坐标代入回归方程求得。的值即可；

（2）分别利用所给关系式以及所求回归方程，求出A，3两个项目投资60万元，该

企业所得纯利润的估计值，便可预测哪个项目的收益更好.

【详解】

（1）由散点图可知，x取1,2,3,4,5时，（的值分别为2,3,5,7,8,

1+2+3+4+5-2+3+5+7+8

所以x==3，W=------------------二5，

5

Ix2+2x3+3x5+4x7+5x8-5x3x5

=1.6,

12+22+32+42+52-5X32

则a=5—1.6x3=0.2,

故丁关于元的线性回归方程为y=l.6x+Q2.

（2）因为投资新型项目A的投资额比（单位：十万元）与纯利润〃（单位：万元）的

关系式为〃=1.7加—0.5,

所以若A项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为1.7x6—0.5=9.7万元；

因为丁关于％的线性回归方程为y=1,6x+0.2，

所以若3项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为1.6x6+02=9.8万元.

因为9.8〉9.7,所以可预测3项目的收益更好.

【点睛】

方法点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系;

②计算工亍，2才,工七％的值；③计算回归系数。力；④写出回归直线方程为

1=11=1

y=bx+a-回归直线过样本点中心（京亍）是一条重要性质，利用线性回归方程可以

估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.

4.袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球.黄球、绿球，从中任意取一

52

球，得到黑球或黄球的概率是得到黄球或绿球的概率是试求：

（1）从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？

（2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？

12413

【答案】（1）黑球、黄球、绿球的概率分别是（2）

【分析】

（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A,B,C,由已知列出

尸（人）、尸（5）、尸（C）的方程组可得答案；

（2）求出从9个球中取出2个球的样本空间中共有的样本点，再求出两个球同色的样

本点可得答案.

【详解】

（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A,B,C,

由于A，B,。为互斥事件，

P（A+B）=P（A）+P（B）=|

2

根据已知，得《P（B+C）=P（B）+P（C）=-

P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=1

P(A)[

P⑻J，

解得《

尸©4

124

所以，任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是―，=-,

399

(2)由(1)知黑球、黄球、绿球个数分别为3,2,4,

从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点，

其中两个是黑球的样本点是3个，两个黄球的是1个，两个绿球的是6个,

于是，两个球同色的概率为过上心=上，

3618

513

则两个球颜色不相同的概率是1--=—.

1818

【点睛】

本题考查互斥事件和对立事件的概率，一般地，如果事件4、A2....An彼此互斥，

那么事件4+友+…+4发生(即Al、A2....4中有一个发生)的概率，等于这W个事件

分别发生的概率的和，即P(AI+A2+...+An)=P(Ai)+P(A2)+...+P(An).

5.某班级以“评分的方式“鼓励同学们以骑自行车或步行方式“绿色出行”，培养学生的

环保意识.“十一黄金周”期间，组织学生去A、3两地游玩，因目的地A地近，3地远,

特制定方案如下：

目的地A地目的地5地

绿色出行非绿色出行绿色出行非绿色出行

出行方式出行方式

3]_21

概率概率

44I3

得分10得分10

若甲同学去A地玩，乙、丙同学去5地玩，选择出行方式相互独立.

(1)求恰有一名同学选择“绿色出行”方式的概率；

(2)求三名同学总得分X的分布列及数学期望EX.

725

【答案】(1)—：(2)分布列见解析，EX=­.

3612

【分析】

(1)分析恰有一个同学选择“绿色出行”方式的情况，利用相互独立事件的概率计算公

式求解；（2）根据题意得，X的所有可能取值为0，1，2，3,分别计算概率，列出

分布列，代入公式求解EX.

【详解】

（1）恰有一名同学选择绿色出行方式的概率

（2）根据题意，X的所有可能取值为0,1，2，3,根据事件的独立性和互斥性得:

P(X=0)=-x-x-=—；

43336

故X的分布列为:

X0123

1741

P

363693

174125

所以EX=0x—+lx—+2x—+3又一.

36369312

【点睛】

本题考查了随机变量分布列问题，一般列分布列时先判断变量的可能取值，遇到比较复

杂的情况可以采用列表格的方式能更直观的判断出可能取值有哪些，然后计算不同取值

下的概率，需要分析清楚不同取值对应的所有情况，注意是二项分布还是超几何分布问

题.

6.疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知识测试（百

分制）活动，活动结束后随机抽取了200名学生的成绩，并计算得知这200个学生的

平均成绩为65,其中5个低分成绩分别是30、33、35、38、38；而产生的10个高

分成绩分别是90、91、91、92、92、93、95、98、100、100.

（1）为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生

的测试得分近似满足正态分布N（〃,cr2）（〃和^2分别为样本平均数和方差），则认为

防控有效，否则视为效果不佳.经过计算得知样本方差为210,请判断该校的疫情防控

是否有效，并说明理由.(参考数据：7210^14.5)规定：若

尸(〃一2cr<X<〃+2cr)>0.9544,P(〃-3cr<X<〃+3cr)>0.9974,则称变量

X“近似满足正态分布N(〃,cr2)的概率分布”.

(2)学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对90分及以上的同学通过抽奖的方式

进行奖励，得分低于94分的同学只有一次抽奖机会，不低于94分的同学有两次抽奖机

31

会.每次抽奖获得50元奖金的概率是-，获得100元的概率是一.现在从这10个高分

44

学生中随机选一名，记其获奖金额为F,求y的分布列和数学期望.

【答案】(1)该校的疫情防控是有效的，理由见解析；(2)分布列见解析，87.5.

【分析】

(1)计算出尸(//—2cr<X<〃+2cr)和尸(〃-3cr<X<〃+3cr),结合已知条件判

断可得出结论；

(2)由题意可知，随机变量X的可能取值有50、100、150、200,计算出随机变

量F在不同取值下的概率，可得出随机变量F的分布列，进一步可求得随机变量F的

数学期望值.

【详解】

(1)据该校的疫情防控是有效的，理由如下：

J210仪14.5，—2cr=65-2x14.5=36,〃+2cr=65+2xl4.5=94,

〃一3cr=65—3x14.5=21.5,〃+3cr=65+3x14.5=108.5,

得分小于36分的学生有3个，得分大于94分的有4个,

7

二P（〃-2。<X<〃+2。）=1-砺=0.965>0.9544

学生的得分都在［30,100］间，.•.尸（〃—3cr<X<〃+3cr）=1>0.9974.

二学生得分近似满足正态分布N(65,210)的概率分布，因此该校的疫情防控是有效的;

(2)设这名同学获得的奖金为Y，则y的可能值为50、100、150、200.

P（Y=50）=—x-^—,P（y=100）=—X-+—X

,710420I710410

p（y=150）=-xC^x-xl=—,P（y=200）=—x1

727

'104420I1040

故F的分布列为:

Y50100150200

9331

P

2082040

9331

=50x—+100x-+150x—+200x—=87.5.

2082040

【点睛】

思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：

(1)明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；

(2)求出每一个随机变量取值的概率；

(3)列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽

样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理

求随机变量在不同取值下的概率.

7.进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源

的消耗，具有社会.经济.生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了

普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同

学答对每题的概率都为P,乙同学答对每题的概率都为>q),且在考试中每人各

题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为;，恰有一人答对的概率为得.

(1)求0和4的值；

(2)试求两人共答对3道题的概率.

325

【答案】(1)P=~><7=彳；(2)—.

4312

【分析】

(1)由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得p，q；

(2)分别求出两人答对1道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一

人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论.

【详解】

解：(1)设4=｛甲同学答对第一题｝,3=｛乙同学答对第一题｝,则P(A)=p,

P(B)=q.

设。=｛甲、乙二人均答对第一题｝,£>=｛甲、乙二人中恰有一人答对第一题｝,

则。=45,D=AB+AB

由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A与3相互独立，A豆与

独相互互斥，所以尸（C）=P（AB）=尸（A）尸（3）,尸（。）=尸（A3+

=P（AB）+P（AB）=P（A）P（B）+P（A）P（B）=P（A）（1-P（B））+（1-P（A））P（B）

1

pq=3.

由题意可得《

p（j）+q（l—p）=V，

132

pq=3PF

即《解得＜或＜

1723

p+q=一q

121好了

32

由于夕＞4,所以p=1，q二一

3

（2）设4=｛甲同学答对了i道题｝,用=｛乙同学答对了i道题｝,，=0,1,2.

上日古土/目ntA\13313/.\339

由寇恩得，P（A）=­X—I—X—=—,P（4）=-X—=—,

'"44448s4416

P（B）=-x-+-x-=-,P（B）=-x-=-.

133339v27339

设石=｛甲乙二人共答对3道题｝,则后二^为+4男.

由于4和B,.相互独立，4为与44相互互斥，

所以

34945

尸（马二尸（432）+尸（44）二尸（4）尸（即+尸4）尸（旦）二/8+正*8=五

o9lo912

所以，甲乙二人共答对3道题的概率为』.

12

【点睛】

关键点点睛：本题考查互斥事件与独立事件的概率公式，解题关键是把所求概率事件用

互斥事件表示，然后求概率，如设A=｛甲同学答对第一题｝,3=｛乙同学答对第一题｝,

设。=｛甲、乙二人均答对第一题｝,£＞=｛甲、乙二人中恰有一人答对第一题｝,则

C=AB,D=AB+AB-同样两人共答对3题分拆成甲答对2题乙答对1题与甲答

对1题乙答对2题两个互斥事件.

8.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗

遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1.

（1）设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列、期望、方差；

(2)设F为这名学生在首次停车前经过的路口数，求y的分布列；

(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

【答案】⑴分布列见解析，E(X)=°,O(X)=旦⑵分布列见解析；⑶—.

39243

【分析】

(1)由题意这名学生在途中遇到红灯的次数服从二项分布，进而求得分布列，期望及

方差；

(2)Y=k(左=0,1,2,3,4),表示前左个是绿灯，第左+1个是红灯，丫=5表示5

21

个均为绿灯，则=Q=左=0,1,2,3,4,由此可求这名学生在首次停车

前经过的路口数的分布列；

(3)利用对立事件概率计算公式可求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

【详解】

(1)由题意可知，X可取0、1、2、3、4、5,服从二项分布X~3(5,；),

则P(x=0)=C；•(；)。.(|)5=,，P(X=1)=C*.(j)1.(|殁，

243

P(X=2)Y.(1.(|)3=篝P(X=3)=C；.5.(|)240

"243'

P