高考冲刺《数学》考前中档保分专题冲刺练习（6+2+2+3）（13-14）教师版

第页高考考前最后冲刺系列中档保分（6+2+2+3）（本练习主要以模考题中的基础中档题为主，旨在为学生高考考前巩固基础，查缺补漏）（十三）一、单选题1、（2024·福建漳州·三模）一组数据如下：，该组数据的分位数是（

）A．15 B．17 C．19 D．20【答案】B【分析】将数据从小到大排序，利用分位数的求解方法进行计算.【详解】由题意可知，共8个数据，将数据从小到大排序得，因为，故选择第6个和第7个数的平均数作为分位数，即.故选：B.2、（20-21高一下·广东湛江·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（

）A．135° B．45° C．45°或135° D．以上都不对【答案】B【分析】直接利用正弦定理求解即可【详解】因为，，，所以由正弦定理得，，得，因为，所以角为锐角，所以，故选：B3、（2024·山东威海·二模）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据公式求出，结合焦点位置即可得渐近线方程.【详解】由题知，，解得，又双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为.故选：D4、（2024·江西·二模）从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（

）A．0.8 B．0.675 C．0.74 D．0.82【答案】D【分析】根据分层抽样的均值与方差公式计算即可.【详解】根据题意，按照分层抽样的方法从甲队中抽取人，从乙队中抽取人，这人答对题目的平均数为，所以这人答对题目的方差为.5．（2024·湖北·模拟预测）若正数，满足：，则的最大值为（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根据条件等式及均值不等式求解即可.【详解】因为，为正数，所以，因为，所以，所以，所以，当且仅当，时，取等号.故选：B.6、（2024·重庆·模拟预测）已知函数，其中是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求得，令，求得在上单调递增，根据的大小不确定，可判定A、B不正确；由是锐角的两个内角，得到，可得判定C错误；再由，可判定D正确.【详解】由函数，所以，令，则当时，，所以单调递增，可得，即，所以在上单调递增；因为的大小不确定，故与，与的大小关系均不确定，所以与，与的大小关系也均不确定，所以A、B不能判断．因为是锐角的两个内角，所以，则，因为在上单调递减，所以，所以，所以C错误；因为是锐角的两个内角，所以，则，因为在上单调递减，所以，故，所以D正确.故选：D.二、多选题7、（2024·山西临汾·三模）在的展开式中（

）A．所有奇数项的二项式系数的和为128B．二项式系数最大的项为第5项C．有理项共有两项D．所有项的系数的和为【答案】AB【分析】先求出二项式系数和，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即可确定A；二项式系数的最大项，即为中间项，可确定B；整理出通项公式，再对赋值，即可确定C；令，可求出所有项的系数的和，从而确定D.【详解】对于A,二项式系数和为，则所有奇数项的二项式系数的和为，故A正确；对于B,二项式系数最大为，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确；对于C,，为有理项，可取的值为，所以有理项共有三项，故C错误；对于D,令，则所有项系数和为，故D错误.故选：AB.8、（2024·福建漳州·三模）如图，四棱锥中，底面，且，，平面与平面交线为，则下列直线中与垂直的是（

）

A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用线面所成的角判断A；利用线面垂直的判定定理可知平面PAD，利用线面平行的判定定理证明平面PAD，由线面平行的性质定理可得，进而可证明平面PDC，可判断BCD【详解】分别取PD、PC的中点，连接AE、EF、BF，因为EF是的中位线，所以且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，且，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD，又平面与平面交线为，平面PAD，所以，又，E是PD的中点，所以,因为底面，平面，所以，又，所以，又平面PAD，所以平面PAD，又平面PAD，所以，，，平面PDC，所以平面PDC，又，所以平面PDC，又平面PDC，所以，故BCD对由，，所以，所以与PB所成的角就是BF与与PB所成的角即，令，，在中，由余弦定理得,，所以，故l与PB不垂直，故A错；故选：BCD

三、填空题9、（2024·山西临汾·三模）已知复数满足：，则．【答案】【分析】利用复数的乘法运算直接求得，进而求得即可.【详解】由，得，所以.故答案为：.10、（2024·福建漳州·三模）已知向量，且在上的投影向量的坐标为，则与的夹角为.【答案】/【分析】根据投影向量公式得在上的投影向量为，结合已知可得结果.【详解】设与的夹角为，且，，则在上的投影向量为，即，所以，所以，故答案为：.四、解答题11、（2024·安徽淮北·二模）记的内角的对边分别为，已知(1)试判断的形状；(2)若，求周长的最大值.【答案】(1)是直角三角形(2)【分析】（1）根据题意，求得，利用余弦定理列出方程，得到，即可求解；（2）由（1）和，得到，则周长为，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：由，可得，所以，即，所以，又由余弦定理得，可得，所以，所以是直角三角形（2）解：由（1）知，是直角三角形，且，可得，所以周长为，因为，可得，所以，当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为.12、（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在长方体中，点E、F分别在，上，且，．(1)求证：平面；(2)当，，时，求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）以线面垂直判定定理去证明即可解决；（2）建立空间直角坐标系，以向量法去求平面与平面的夹角的余弦值即可解决.【详解】（1）因为平面，平面，所以．又，，所以平面因为平面，所以同理：因为平面，平面，所以．又，，所以平面因为平面，所以又因为，，所以平面（2）以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图．则，，，，，．所以，且是平面的一个法向量．，设平面的法向量为则，即所以，令，得．则平面的一个法向量为．所以．，所以．所以平面与平面的夹角的余弦值为．13、（2024·安徽淮北·二模）塔山石榴，产自安徽省淮北市烈山区塔山，种植迄今已有千年历史.为了进一步发展高效农业，丰富石榴品种，壮大石榴产业，当地政府委托某种业科研公司培育了两种新品石榴，将它们分别种植在两块土质和大小相同的试验田内，并从收获的果实中各随机抽取300个，按质量（单位:g）将它们分成4组:，，得到如下频率分布直方图:

(1)分别估计品种石榴单个果实的质量；(2)经筛选检测，除去坏果和瑕疪果，两种石榴的合格率如下表:A品种合格率0.70.80.70.8品种合格率0.70.80.80.9已知A品种混放在一个库房，品种混放在另一个库房，现分别从两个库房中随机各抽取2个石榴，其中合格石榴的总个数记为，求的分布列及数学期望.【答案】(1)94g，90g(2)分布列见解析，期望为3.1【分析】（1）分别根据频率分布直方图计算平均数估计即可；（2）根据频率分布直方图及合格率表先得出两个品种取得合格品的概率，再分别计算随机抽取到合格品个数的概率，列出其分布列并计算期望即可.【详解】（1）由频率分布直方图得样本中A品种石榴单个果实质量的估计值为:样本中品种石榴单个果实质量的估计值为:（2）设A:从品种石榴中任取1个为合格品；B:从品种石榴中任取1个为合格品；则:由题意得，则，所以的分布列为012340.00250.0350.18250.420.36所以.（十四）一、单选题1、（2024·山西临汾·三模）已知集合，，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据补集运算求出，然后利用数轴分析可得.【详解】因为，所以或，又，所以.故选：A2、（2024·福建漳州·三模）二项式展开式中，项的系数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出的展开式的通项，再求出展开式中项系数即可．【详解】根据题意，二项式的展开式的通项，其中项为，，所以的展开式中项的系数为．故选：D．3、（2024·湖北·模拟预测）已知是等差数列的前项和，若，，则数列的首项（

）A．3 B．2 C．1 D．-1【答案】B【分析】由已知条件，利用等差数列通项与前项和基本量的计算，列方程组求出首项和公差.【详解】设等差数列的公差为，因为，可得，即，所以，又因为，可得，即，联立解得，.故选：B.4、（22-23高三上·重庆·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（

）A．10 B．9 C． D．【答案】C【分析】由已知，可设，，利用换底公式表示出，带入中，得到m，n的等量关系，然后利用“1”的代换借助基本不等式即可求解最值.【详解】由已知，令，，所以，，代入得：，因为，，所以.当且仅当时，即时等号成立.的最小值为.故选：C.5、（2024·山西临汾·三模）宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出上下圆台的高，利用台体体积公式求出答案.【详解】上、下两圆台的高之比是，故上圆台的高为厘米，下圆台的高为厘米，故上圆台的体积为立方厘米，下圆台的体积为立方厘米，故该汝窑双耳罐的体积为立方厘米.故选：D6、（2024·浙江·模拟预测）设函数，则函数的单调性（

）A．与a有关，且与b有关 B．与a无关，且与b有关C．与a有关，且与b无关 D．与a无关，且与b无关【答案】D【分析】通过对进行讨论，再用复合函数的求单调性的方法，可知该函数的单调性与是否有关.【详解】因为函数，所以当时，单调递增.当时，单调递增.则且，，的单调性都为单调递增.所以函数的单调性与无关.故选：D二、多选题7、（2024·福建漳州·三模）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．当时，的最小正周期为B．当时，的最大值为C．当时，在区间上有4个零点D．若在上单调递减，则的取值范围为【答案】AB【分析】利用三角恒等变换，转化为正弦型或者余弦形函数即可求出周期，采用换元法结合三角函数的有界性即可求出最值，结合三角函数图像解三角方程即可得出零点的个数，将三角函数转化为二次函数再结合复合函数的单调性的特点即可求出参数.【详解】选项A：当时，，其周期由决定，周期为，A正确.选项B：当时，，在本式中令可得，，其定义域为的值域，即，当它取最大值时，可以取到，将其代回原式得到最大值为，选项B正确.选项C，当时，，令，可得或，的解在间的有且只有，的解在间的有且只有和，因此在上总共有3个零点，选项C错误.选项D，，在该式中令，则，为开口向下的二次函数，所以顶点右侧为单调递减函数，其顶点横坐标，当时，在定义域上单调递增，当时，存在单调递减区间，则单调递减区间为，原式中单调递减区间为，即,因为，所以仅需要即可，解出，故a的取值范围是，选项D错误.故选：AB.8、（2024·山西临汾·三模）已知是以为圆心，为半径的圆上任意两点，且满足，是的中点，若存在关于对称的两点，满足，则线段长度的可能值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】BCD【分析】由已知得出点轨迹是以为圆心，1为半径的圆，得出的范围，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出范围，进而判断出答案．【详解】因为，所以，因为是中点，所以，所以点轨迹是以为圆心，1为半径的圆，设为点，则，所以，又，两点关于点对称，所以为直角三角形，且为斜边中点，则，所以，故选：BCD．三、填空题9、（2024·山西临汾·三模）已知函数的定义域为，且，，则．【答案】【分析】令求，令求，令得，通过迭代求周期，然后可解.【详解】令，则，因为，所以，令，则，得，令，则，即，所以，所以所以，所以，即，是以6为周期的周期函数，所以，故答案为：.10、（2024·江西·二模）已知分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上且不与顶点重合，满足，则该双曲线的离心率为．【答案】/【分析】首先确定点在左支上，作出的内切圆，内切圆切于点，证明点为双曲线的左顶点，从而根据得到，从而得到，求出离心率.【详解】

因为，所以，所以，故点在左支上，作的内切圆，设内切圆与切于点，与切于点，该内切圆切于点，连接，，，，，则，，，且平分，平分，接下来证明点为双曲线的左顶点：由双曲线的定义可知：，因为，，，所以，设点坐标为，则，解得：，故点为双曲线的左顶点，因为，所以，所以所以，所以，所以，所以．故答案为：四、解答题11、（2024·河北石家庄·三模）在中，角所对的边分别为．(1)若，求的值；(2)求面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理可得，从而可求的值；（2）利用基本不等式可得，再根据余弦定理可得的范围，从而可得的范围，结合三角形面积公式，即可得面积的最大值．【详解】（1）由正弦定理，可得，（2），，由余弦定理可得，，，，，当且仅当时，等号成立，此时面积取得最大值12、