圆锥曲线中的定点定值问题（解析版）（三大题型）2024年高考数学二轮复习（新高考专用）

圆锥曲线中的定点定值问题（三大题型）

■考点上

求解直线过定点问题常用方法如下：

①“特殊探路，一般证明即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

②“一般推理，特殊求解即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根

据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

③求证直线过定点（天,%）,常利用直线的点斜式方程y-%=女（彳-%）.

④设直线为y=Lv+〃"根据题目给出的条件，转化为坐标之间的关系，利用韦达定理找出女与加之间的

关系，即可求出定点。

■题型J

题型一：圆锥曲线中直线过定点问题

【精选例题】

【例1】已知P（O,1）为椭圆C：5•+■l-ie〉人〉。）上一点，点尸与椭圆C的两个焦点构成的三角形面积

为B

（1）求椭圆c的标准方程；

（2）不经过点尸的直线/与椭圆C相交于A,B两点，若直线PA与PB斜率的乘积为一1,证明：直线/必过

定点，并求出这个定点坐标.

【答案】（1）［+尸=1；⑵证明见解析.

【分析】（1）根据题意求出a，"c即可得解；

（2）设4（4％）,8（%,%），分情况讨论，联立方程，利用韦达定理求出弘+%，%%，再根据直线必与心的

斜率之积为-1即可得出结论.

【详解】（1）由点尸与椭圆C的两个焦点构成的三角形面积为有可知;x2cxl=G,

解得:c=百，

b=\=>a=\lb2+c2=2，

r2

二椭圆C的标准方程：—+/=1；

4

（2）设4（芯,凹）,8（巧,％），

当直线/不平行于光轴时，设/方程为：x=ny+k1由/不经过点P知〃+丘0

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由：4得（川+4）/++/-4=0,

-2nkit2-4

〃+4n+4

k=y-i卜=必-i

KPA-/PB—，

玉X?

XxX2

=＞（3-1）（%-1）=一百々=一（孙+&）（佻+%）

=（〃2+1）乂丫2+（成_|）（弘+%）+]+&2=0

=（〃2+1）（6-4）+（成-1）（-2欣）+（1+%2）（/+4）=0

n（/?+A）（5&-3〃）=0,

3

Qn+k=-nf

3,过定点（。，-"!

:.x=n\y

当直线，平行于X轴时，玉=一式2，必=必wl，设玉＞0

由kpAkpB=•比口=鱼型-=-1和C的方程联立解得=

当，且椭圆c经过点，

（2）过点尸（2,0）且斜率不为零的直线与椭圆C交于反。两点，4关于％轴的对称点为A,求证：直线A。与1

轴交于定点Q.

【答案】（1）与+丁=1;（2）证明见解析

【分析】（1）利用离心率以及椭圆经过点的坐标联立解方程组，即可求得椭圆C的标准方程;

（2）设直线心的方程为工=/2+2并于椭圆联立，利用韦达定理写出直线AO的方程，求出点。横坐标表

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达式即可得。（1,0）.

【详解】（1）由离心率可得e=£=也,

a2

将点（1,用1

代入椭圆方程可得1工2又。2=/+（?；

=1

解得

b~=1

所以椭圆C的方程为《+丁=1

（2）设点。⑸为），则A（X],-yJ,直线PB的方程为x=阳+2,

直线尸8与椭圆u'+f=1联立，消去X,得5+2）y2+4"[）,+2=0,

则可得X%=超

m-+2m'+20,

易知△=8/T?—16>0,得知>2

由题意，直线4。的方程为丫="乂"一々）+%，

*2一百

令y=o,所以点。的横坐标X。=*；：：7=答比+2=1,

所以直线AO与X轴交于定点。（1,0）

【跟踪训练】

1.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富

的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：

步骤1：设圆心是E,在圆内异于圆心处取一定点，记为尸；

步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点尸（即折叠后图中的点A与点F重合）；

步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为尸；

步骤4：不停重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕.

现取半径为4的圆形纸片，设点尸到圆心E的距离为2石，按上述方法折纸.以线段E广的中点为原点，线

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段EF所在直线为x轴建立平面直角坐标系xO)，，记动点P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

⑵设轨迹C与X轴从左到右的交点为点A,B,点尸为轨迹C上异于A,B,的动点，设尸8交直线x=4于

点T，连结AT交轨迹C于点。.直线4>、AQ的斜率分别为3八kAQ.

(i)求证：原厂瓶。为定值;

(ii)证明直线P。经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.

【答案】(1)工+丁=1

4

(2)(i)证明见解析(ii)证明见解析，该定点的坐标为(1,0)

【分析】(1)由折纸的对称性,可知|明+|「产|=|M+|PE|=4>|£F|=26,从而确定点尸的轨迹;

(2)(i)设点尸(不乂)，。(孙必)，7(4,利)，根据斜率公式分别求出心八乜,结合椭圆方程证明；

(ii)设直线PQ的方程为x="+〃，直曲联立，结合韦达定理和(i)的结论求出"，根据直线方程即可求

出定点.

【详解】(1)由题意可知，|PE|+|PF|=|PA|+|PE|=4>\EF\=2>/3,

故点尸的轨迹是以E,尸为焦点，且长轴长2a=4的椭圆，

焦距2c=旧户|=26,所以加=〃_。2=1,

因此轨迹C方程为工+V=1.

4

(2)证明：⑴设P(x,，x),Q(%,％)，7(4,加)，

由题可知A(—2,0),8(2,0)如下图所示：

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..y,m2y.

而原尸=益7=----=—,于是机=---

x}-22Xj-2

所以L标一/，不一消><3(寸2厂3解_4),

又手+犬=1,则才=*T）,

-（4-X2]

因此么.k=41_2=__1为定值.

“AQ3（才一4）12

（ii）设直线R2的方程为x=a+〃,P（%,y）,Q（%,%）,

x=ty+n

III<得（产+4）/+2f〃y+“2-4=0,

=1

2tn

所以

n2-4

乂%二西7

由（i）可知，Z”•砥0=一4，

即上.上=_______^2_________」

X）+2x2+2（9+++2）（以+〃+2）12,

化简得24-4—,解得〃=1或〃=一2（舍去），

4/+16/+1612

所以直线PQ的方程为x="+l,

因此直线PQ经过定点(1,0).

【点睛】本题第二问(ii)解题关键是设出直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理结合(i)的结论列方程可

得.

2.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A(2,0),8(1,@)，M,N为椭圆E上关于x

轴对称的两点(不与点B重合)，。(1,0),直线MQ与椭圆E交于另一点C,直线。尸垂直于直线NC,尸为

垂足.

⑴求E的方程；

(2)证明：⑴直线M7过定点，(ii)存在定点R,使归国为定值.

【答案】(1)三+/=1；

4

(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析.

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【分析】(1)设方程为32+期2=1(机＞0,〃＞0,加*〃)，代入4,8点的坐标，得出方程组，求解即得.

(2)(i)设MQ的方程为x="+l(fHO),与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出坐标关系，得出NC的方

程为y-y=入主及。-玉)，令y=0,整理可得x=4,即可得出定点；(ii)由己知可得QP_LPH,即可得

出尸的轨迹，得出答案.

4m=1f1

zw—_

【详解】(1)设E的方程为侬2+，4=1(机＞0,"＞0,〃?K"),则■{3，解得＜4,

m+-n=11

41〃=1

所以E的方程为二+y2=i.

4'

(2)(i)依题意，直线的斜率存在且不为0,设“。的方程为x=(y+l(fR。)，

设点C（X1,yJ,加（工2。2），则'（工2，-%），

由{:U3=4消去X并整理得（尸+4）9+2"-3=°'则A=16/+48＞0,

-2t-3

y'+y2=~^4fy'y2=V+4,显然2h通=3（必+%），

直线NC的斜率kNC=生心，直线NC的方程为＞-%=入土立■（X一%）,

x}-x2xi-x2

令y=0,则x=玉X-=为X+—=%（-+1）+（—=2fxy2+（x+yJ=4

y+%K+%y+必y+必

所以直线NC恒过定点（4,0）.

(ii)令直线NC过的定点(4,0)为点//,由QP.NC=0,P在NC上，得QPL/W,

则点尸在以Q”为直径的圆上，从而Q”的中点R(g,o)为定点，使|产用为定值I".

【点睛】思路点睛：设MQ的方程为x=a+l(f#o),与椭圆联立得出方程，根据韦达定理得出坐标关系.

进而整理化简，即可得出定点坐标.

题型二：圆锥曲线中圆过定点问题

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【精选例题】

【例1】已知椭圆C：^+4=1(4>。>0)的离心率为巫，其左、右焦点分别为K，6，7为椭圆C上

a~h~2

任意一点，△"IE面积的最大值为1.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知4(0,1),过点(0,；)的直线/与椭圆C交于不同的两点M,N,直线AM,AN与x轴的交点分别为

P,Q,证明：以PQ为直径的圆过定点.

【答案】(l)5+y2=l,(2)证明见解析

(1)解：因为椭圆C的离心率为玄，所以£=也.又当T位于上顶点或者下顶点时，△巧鸟面积最大，即

2a2

bc=\.

又/=62+。2,所以匕=，=1,“="所以椭圆C的标准方程为'+>2=1

⑵解：由题知，直线/的斜率存在，所以设直线/的方程为y=fcr+g,设Ngy?)，将直线/代

入椭圆C的方程得：(4公+2卜?+4依一3=0,由韦达定理得：^x,=—

')4个+24F+2

直线AM的方程为y=&且X+1,直线AN的方程为y="x+i,所以/{=\,o],Q(二三,o1,

为马lz-1)5-1)

令①中的x=0,可得y2=6,所以，以PQ为直径的圆过定点倒,土指).

【例2】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C|：/+/=1(a>/,>0)过点(2,1),离心率为弓，其左右

焦点分别为6，巴.

⑴若点P与小尸2的距离之比为(，求直线x-&)，+6=()被点P所在的曲线C?截得的弦长；

(2)设A,4分别为椭圆C1的左、右顶点，。为C1上异于A,4的任意一点，直线A。，4。分别与椭圆G

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的右准线交于点M,N,求证：以MN为直径的圆经过x轴上的定点.

【答案】（1）叵；（2）证明见解析

2

【分析】根据题意，利用G上的点（2,1）和离心率得6万d及耳心；

（1）由点尸与K，B的距离之比化简整理得到点P的轨迹方程是一个圆，利用利用勾股定理可得弦长；

（2）根据题意，写出直线A。，&Q的直线方程并求其右准线交于点M,N的坐标，假设x轴上存在点RGO）

在以MN为直径的圆上，利用MR.NR=O求出♦的值，从而得证以MV为直径的圆经过x轴上的定点.

【详解】⑴因为椭圆C”=过点（2,1）,所以*+,1.

又因为离心率e=受，即故。2=2。2,

2a22

所以从=彦一c2=02,艮曝+4=1,所以‘2=3,则耳（一石⑼,6（石,0）.

设P（x,y），则9（x+K）2+9）,2=（x-6y+y2,即卜+y2=,

所以点P的轨迹为圆心（-,0）,半径r=2叵的圆.

44

-述-0+行

其圆心（一述,0）到直线》_夜）,+6=0的距离为

4

4d=

4

所以弦长但弓:？，7二^二2

故直线xS+昆。被点p所在的曲线G截得的弦长为耍

（2）证明：由（1）知：+[=1,所以4卜疯0），&（疯o）,右准线x=*=26

设。（%,%）,玉中土灰,

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修石+冲0、

由A。：y=7^(x+#)，则M2后,

X0+y/6

/

f厂(2痒佝为］

同理N2布4----jJ-.

x-V6

\07

假设x轴上存在点R(1,0)在以MN为直径的圆上，则MRNR=O

因为MR.NR=_26,-(2.+*)%.2瓜一注峭

X。+\/6x「<6,

(26+卡)%仅佝%62

=(r-2V3)2+-^---------7—----------=(・2用+学」=0,

x/16x0-V6苟一6

因为Q点在椭圆上，所以宜+超=1,即片-6=-2$,

63

所以MR-NR=(f—26)2+%=0,即(/一2石)2=3,解得"/或"38,

-2%

点(后,0)和卜6,0)都满足题意.

所以以MN为直径的圆经过x轴上的定点(百,0)和卜有,0).

【跟踪训练】

1.设椭圆C*+*l(a>b>0)的离心率为g点A为椭圆上一点，书柱的周长为6.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设动直线/：y="+加与椭圆C有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点。.问：x轴上是否存在定

点M,使得以PQ为直径的圆恒过定点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(1)三+炉=1;(2)存在，M(l,0).

43

⑴由e=g可得a=2c,①书人写的周长为10,所以耳4+A鸟鸟=10,即2z+2c=6②联立①®

得：〃=2,c=l,b-yja2-c2=74-1=V3»,椭圆的方程为?+=1;

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y=kx+m

(2)设点P*。,%).由'x?y2,

—+—=1

43

得(3+4公卜?+8研+4(/—3)=0,A=(85『一4(3+4炉)-4(加2_3)=0,化简得4炉_加+3=0，

二%=一若三=一竺，%=2二Pf--,-Y由[)'="：机，得0(4,4+%),假设存在点M(x「0),

4攵2+3mm\mmJ[x=4

则MP=(-竺-5.a),MQ=(4f,4/+w),:以PQ为直径的圆恒过M(&,0)点，A/p.MQ=0,

mm

16kAlex1DkU

即一些+旦一4玉+西2+―+3=0,...(4&-4)*+x；-4芭+3=0对任意A,“都成立.

nimmm

f4x-4=0

则｛2：解得当=1，故存在定点例(LO)符合题意・

2.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：5+营=1(。>〃>())的长轴长为4,且经过点3,缶)，其中e

为椭圆C的离心率.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点尸(0,1)的直线/交椭圆C于A,B两点，点8关于x轴的对称点为3',直线4B'交工轴于点。，过点

。作/的垂线垂足为H,求证：点，在定圆上.

【答案】(1)三+.=1；(2)证明见解析

42

【分析】(1)根据椭圆的长轴长，以及椭圆过的点，求出〃的值，即可求得答案：

(2)设/的方程为y="+l,联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，结合AB'的方程可求得。点坐标，

从而可得，'的方程，并求出其过定点，结合垂直关系，即可证明结论.

【详解】(1)因为椭圆C：5+¥=1(a>6>0)的长轴长为2。=4,所以。=2,

因为椭圆。•+/=l(a>6>0)经过点S,嬷e),所以,+尊=1,

力c24-b2匚口、।b24-b2,

)Le2=—=,所以一+一；一=1,

a-442b2

整理得/一6b2+8=0,解得"=2或加=4(舍).

22

所以椭圆C的方程为三+汇=1

42

(2)证明：由题意可知，/的斜率存在，

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设/的方程为丫=履+1，A(X],yJ,8(w，%),则？仇,一当).

y=kx+\

由，得(1+2/»2+4齿一2=0,△二32/+8>0,

x2+2/=4

4k2

所以西+々=一1+2k2'X'X2~~l+2k2

因为AB1的方程为>-M=近土&(x-玉),

玉一七

)'"占一％)月工2(3+1)+X[(仇+1)

令y=0,得q=占-*2%+3

X+必X+%(3+1)+(5+1)

4k4k

=2g+a+xJ=-1+2'J+2公=-8"版，

2

^(x,+X2)+24k2

一172P

即Q(0,-U),

因为/3/,

①当&M0时，/'的斜率为-J,则/'的方程为y=-J(x+4&),即y=_J>4,

Kkk

所以/'恒过点M(0，~4).

②当k=0时，/的方程为y=i,Q(0,0),则/'的方程为x=0,

此时/'也过点”(0，T).

综上，/'恒过定点MQY),

由题意可知故点，在以PM为直径的定圆上.

【点睛】:关键点睛:本题第二问证明点”在定圆上，关键在于推出直线，'过定点MQT)，从而结合

即可证明结论.

题型三：圆锥曲线中圆过定值问题

【精选例题】

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r2v25

［例1］在平面直角坐标系xOy中已知椭圆。:。+2=1("＞人＞0)的离心率为注，且右焦点尸到直线

a~b2

2

/：X=-幺的距离为66.

C

(1)求椭圆的标准方程;

(2)设椭圆C上的任一点材(标,几)，从原点。向圆M:(x-%)2+(y-%)2=8引两条切线，设两条切线的斜

率分别为匕他(匕上X0),

(0求证：勺网为定值;

(«)当两条切线分别交椭圆于RQ时，求证：『为定值

【答案】⑴工+工=1

2412

(2)(/)证明见解析；(//)证明见解析

【分析】(1)直接列出关于凡"c的方程组求解:

(2)(/)写出切线方程，由圆心到切线距离等于半径可以得出匕，&与%,%的关系，从而得出匕也是某个

一元二次方程的解，利用韦达定理可得:

(n)设口为,乂),。(法必)，利用桃2=彳及椭圆方程求得*+*，再求得犬+S后可得

'£_V2

［一下

2

【详解】(1)题意一。+^=6石，解得。=2C,c=2石,〃=2石，

b2=a2-c2

所以椭圆C的方程为《+片=1.

2412

(2)(/)证明：依题意，两条切线方程分别为'=&|兑丫=%2%，

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由勺”=20,化简得(X

2

-8）^-2xQyQk}+y（）-8=0,

同理（片-8）片—2xoyok2+y：-8=。.

所以勺&是方程(X-8*-2/〃+乂-8=0的两个不相等的实数根,

则出人=*z1.

%-8

丫21

又因为卷+2=1,所以火=12-；x：,

(")证明：由(i)得，*设P(X],yJ,Q(X2，y2)，则?即

+"=1

因为1：,所以，

贤=吴

+互=112-

得12-(12-g*)=；x位，即144-6(x：+考)+/：x；=/：*，

解得x；+x；=24,

所以代+父=12_gx；+12=24-；储+考)=24-24=12,

所以尸|2+|OQ|2=X：+寸+考+资=36为定值.

【例2】已知椭圆C：£+(=l(a>b>0)离心率《=正

,且经点.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过椭圆C右焦点的直线/交椭圆于4,8两点，交直线x=2于点。，且。1,,设直线Q4,QD,QB

的斜率分别为公，k2,k3,若与H0,证明牛勺为定值.

【答案】(1)二+丁=1；(2)证明见解析

2

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c_\/2

a2

，+奈=1，解方程求出4/，即可得出答案;

【分析】（1）由题意可得

a2-b2=l

（2）设A（x“yJ,B（x2,y2）,设直线A8方程为：y=/：（x-l）,将直线AB方程与随圆方程联立，得到关于

X的一元二次方程，根据韦达定理，可得为+W，X1♦马的表达式，由此表示出尢+勺，再/=”-?代入化简

即可得出答案.

C

a2

*+—■=1，解得〃=夜，b=l.

【详解】（1）由题意知

a2-b2=\

故椭圆C的标准方程为三+y2=1.

2

（2）由题意直线AB的斜率一定存在，由（1）知，则椭圆的右焦点的坐标为尸（1,0）,

设直线A8方程为：y=A（x—1）,。坐标为（2,4）.所以k2=k卫,

三+2_1

设A（XQJ,3（9,%），将直线AB方程与随圆方程联立，万+,=

y=k（x-l）

（1+2&2）/-4&?x+2左2—2=0,乂A>0恒成立，

4k2

i2=百至

由韦达定理知，,,

2k2-2

y+%=%（玉+/）-2%，另•々+%.玉=2例./-%（玉+/）

y_变v_也2Ax,-x2-2Z+—|（玉+*2）+2k+近

仁+及=^^+匚2_=-------L—L>-----------=2"&

Xj-1X2-1X）-X2-（X|+x2）+l

K+攵3_2k->/2

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【点睛】关键点睛：解题的关键是根据直线的方程得到O坐标为(2,&),则/=&_乎，直线A8方程与随

圆方程联立，化简整理，结合韦达定理表示出勺+%,代入化筒即可得出答案.

【例3】已知椭圆C：4+2■=1("”＞。)过点AT—1),离心率e=®.

a，h2

(1)求椭圆c的标准方程；

(2)设过点A的斜率为左直线/交椭圆C于另一点8,若A。钻的面积为2,其中。为坐标原点，求直线/的斜

率k的值；

(3)设过点。(＜。)的直线/'交椭圆C于点/，N,直线M4,N4分别交直线x=T于点P,Q.求证：线段

PQ的中点T为定点.

【答案】⑴《+二=1

82

(2)0

(3)证明见解析

【分析】(1)根据给定条件，列出关于的方程组并求解即得.

(2)由点斜式写出直线/的方程，与椭圆方程联立结合三角形面积求出左值即得.

(3)设出直线/'的方程，与椭圆方程联立，求出点P,。的坐标，结合韦达定理计算得解.

【详解】(1)令椭圆半焦距为c,依题意,

解得〃=20，b=五,c=瓜,所以椭圆C的方程为工+广=1.

82

(2)设直线/的方程为y+l=%(x+2),kx-y+2k-\=0,

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I2JI-1|

则原点到直线AB的距离为厉q，

11；；派:=。消去y并化简得（1+4'卜2+06%2-8%卜+16公-16%-4=0,

由

显然A(-设8小,%),有-2+/=-*等,则％=2-%孚-8A2+8%+2

1十4K1十^TK1+4&2

于是即Eyr=标•.

则s/g1联\2k-\\

£K±I_2解得k—0,

l+4k2

（3）依题意，直线/'的斜率存在，设直线，'的方程为y=«x+4）,例（与,乂）,25,必），

I：；；；：；，消去y并化简得（1+4/卜2+32/x+64--8=0,

由

则…一半.g

l+4r1-l+4r

由A=（32/丫_4（1+4/）（64r_8）＞0,得“＜；,所以

y+]

显然直线M4，N4的斜率存在，直线M4的方程为y+1=\。+2）,

Aj+2

得"盗—2）一「笔7-2[r(x]+4)+1]4t+2

令x=-4,----------------------------------1——zz—1---------------

%+2+2

4f+2

同理得为=-2-1-

X2+2

今+2组工=-4r-2-⑷+2)(」一+」一)

所以力+为=-4，-2-

玉+2%+2%+2工2+2

一至+4

=-4t-2-(4t+2)------"々+4—

=-4r-2-(4r+2)-1+4，

xx+2(玉+/)+4y^+2(-

}2+4

1+4厂1

=-4，-2+(4，+2)=0,

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所以线段尸。的中点T为定点(-4,0).

【点睛】结论点睛：过定点A(。/)的直线/：产"+8交圆锥曲线于点N(j%),则面积

SOMN=aI°A|,|%|—X2I;

过定点A(a,O)直线/：x=(y+“交圆锥曲线于点M(X1,y),N(x2,y2),则，OMV面积S砌=g|OA|・|y-必「

【跟踪训练】

1.如图，。为圆O：/+丁=1上一动点，过点。分别作X轴，),轴的垂线，垂足分别为A,B,连接54并

延长至点W,使得|也4|=1,点W的轨迹记为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)若过点K(-2,0)的两条直线4，4分别交曲线C于M,N两点，且求证：直线MN过定点；

⑶若曲线C交y轴正半轴于点S,直线x=x°与曲线C交于不同的两点G,H,直线SH,SG分别交x轴于P,

。两点.请探究：y轴上是否存在点R,使得NQRP+NQRQ=5?若存在，求出点R坐标；若不存在，请说

明理由.

【答案】⑴兰+产=1

4

⑵证明见解析，(-*0)

(3)存在,R(0,±2)

【分析】(1)设W(x,y),求得。点并代入x?+y2=l,化简求得曲线C的方程；

(2)设《的方程为x=%-2,直线。的方程为x=-^y-2,将直线4,4的方程与曲线C的方程联立，求

m

得M,W的坐标，对俄进行分类讨论，由此证得直线MN过定点并求得定点坐标；

(3)假设存在点R(01)使得NQRP+NQRQ、，先求得|。底『=|0?|.|。0,设出G,H的坐标，由宜线5〃

和直线SG的方程求得P,。两点的坐标，结合G在曲线C上求得R点的坐标.

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【详解】（1）设w（x,y）,力（%,%）,则4%,0）,8（。,%）,

_X

由题意知|A3|=1,所以WA=A8，得（与-x,-y）=（-Xo，%）,所以/“一5

jo=_y

因为x：+y；=l,得三+9=1,故曲线C的方程为三+V=1.

44

（2）由题意可知，直线44不平行坐标轴，

则可设4的方程为：x=my-2,此时直线4的方程为x=-2y-2.

m

x=my—2

由＜f消去X得：（/+4）/-4〃2y=0,

——+y-=1

14,

解得：丁=4^7或丁二°（舍去），所以x=m•—沙——2:-8

m~+4机~+4AH+4

6".，/2加2-84m、ees曰一2—8加24〃？、

所以”（y门）'同理可得：N（w-w）.

当〃zx±l时，直线MN的斜率存在,

4ffl4m

-,+....2

k=>+44m2+1=4/n（5m+5）=5m

ML2-2-82-病—16--16—4m2-4，

m2+44m2+1

5nt（6、

则直线MN的方程为y=x+w，

4"-415J

所以直线MN过定点（-*0）.

当/«=±1时，直线MN斜率不存在，此时直线MN方程为：x=-1,也过定点卜•!，（）

综上所述：直线MN过定点,上0）.

（3）假设存在点R使得NORP+NORQ=；,设R（0,f）,

因为NORP+NQRQ=],所以NORQ=NOPR,即tanNOR。=tanNOPR,

所以借=黑，所以|OR|2=|°P|・|°Q|,

ICW|IOr\

直线x=x°与曲线C交于不同的两点G、”，易知G、”关于x轴对称，

设G（x0,%）,H（%,一%）（%=±1,%片0）,

易知点5（0,1）,直线SG方程是y=&■3x+1,

工0

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令>=0得点P横坐标4=----7,

%T

直线SH方程是y=迎生》+1,令y=0得点Q横坐标％=一、

一玉)X)+1

由|OR『=10PH0Q|,得尸=正飞，又G(x。,%)在椭圆上,

所以［■+"，所以产=4,解得f=±2.

所以存在点R(0,±2)，使得NOHP+NORQ《成立.

22

3.已知椭圆C*+方=l(a>b>0)的长轴长为4,离心率为/定点尸(TO).

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线AB与椭圆C分别交于点AB(户不在直线AB上)，若直线F4,P8与椭圆C分别交于点M,N,

且直线A8过定点。［■!，?］，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出定值：若不是，说明理由.

22

【答案】⑴三+二=1；(2)直线MN的斜率为定值1

43

【分析】(1)由长轴长和离心率可求出&J结合关系式可求Hlb,进而求出椭圆C的方程:

仆3+用

1+2

(2)可设A(X1,yJ,3(毛,％),W(x,y),由AP=(PM，BP=〃PN得-，将A,

440=.皿凶

1+4

M代入椭圆整理得々今=-1,联立工今=-4求得%,三，同理求得马，与，结合心。=怎。，化简求出

1-21+2

y—V

%-%，尤4-*3由kMN=------即可求解.

*4一”3

【详解】(1)由椭圆C的长轴长为4可知。=2,

又椭圆c的离心率为:，即0=£=1，所以c=l,则

2a2

因此椭圆。的方程为工+工=1;

43

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直线MN的斜率为定值，定值为1,

证明：设A(%,yJ,8(%,%)，N®，”)，，

AP=APM>BP=juPN,

4

1+A

IIIAP=APM，有，

o=y+/

1+4

因为A,M在椭圆上,

所畔+N，因此心=+舒喈+孝

整理得1-22=七，芍+—"I=

434

W—A~x^Xj+4刍一九4因此上在=_[

即4=

1—X"1+41-21—4

联立士也

1十2

53,

X.—4

22

解得

、3，同理,5_J_

X,=------

2222~2^

33

又因为宜线A3过定点°卜5,5｝所以一|=―