2024年高考数学：圆的综合问题（重点突围）(学生版)

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圆的综合问题

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目录

【直击中考】...................................................................................1

【考向一利用圆性质求角的度数】...........................................................1

【考向二利用圆性质求线段的长度】.........................................................3

【考向三利用圆性质求圆的半径】..........................................................11

【考向四利用圆性质求线段的最值】........................................................12

【考向四利用圆性质求阴影部分的面积】....................................................15

【考向五切线的证明综合应用】............................................................16

3:1

£学【直击中考】

【考向一利用圆性质求角的度数】

例题：（2022秋・浙江杭州•九年级校联考阶段练习）如图，四边形N8CD内接于e。，4B=CD,4为3D中

点，ABDC=60°,则等于（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【变式训练】

1.（2022•湖北省直辖县级单位•校考二模）如图，一块直角三角板的30。角的顶点尸落在e。上，两边分别

交eO于48两点，连结/。，BO,则N/03的度数是（）

A.30°B.60°C.80°D.90°

2.（2022•黑龙江哈尔滨•校考二模）如图，A、B、C、。四个点均在eO上，ZAOD=70°,AO//DC,

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3.（2022•内蒙古通辽•模拟预测）如图所示，已知四边形/3C。是e。的一个内接四边形，且

400=110°,贝=.

【考向二利用圆性质求线段的长度】

例题：（2022,四川绵阳•东辰国际学校校考模拟预测）如图，点4,B,C,。在e。上，点/为2c的中点,

04交弦BC于点E.若N/DC=30。，AE=1,则8C的长是（

B.4C.273D3亚

【变式训练】

1.（2022•江苏盐城•盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）如图，以NB

为直径的e。与/C相切于点A,点。、E在e。上，连接/E、ED、DA,连接AD并延长交/C于点C,

AE与BC交于点、F.

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⑴求证：NDAC=NDEA；

⑵若点E是弧AD的中点，e。的半径为3,BF=2,求/C的长.

2.（2022•内蒙古通辽•模拟预测）如图，e。与V/BC的8c边相切于点3,与4C、边分别交于点。、

E,DE//OC,E8是eO的直径.

⑴求证：4C是eO的切线；

（2）若NO=2,AE=1,求CD的长.

3.（2022・湖北省直辖县级单位•校考一模）如图，eO是V48c的外接圆，AD是eO的直径，尸是/。延长

线上一点，连接CD,CF,且NDCF=/C4D.

⑴求证：CF是eO的切线;

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3

⑵若cos3=w，AD=5,求FD的长.

4.（2022•四川绵阳•东辰国际学校校考模拟预测）如图，43为e。的直径，/C为弦，过点C的切线与42

的延长线交于点P,£为e。上一点，且CE=/C,连接防并延长交CP于点

⑴求证：BHLCP.

⑵若48=36，tanZE=,求尸7/的长.

【考向三利用圆性质求圆的半径】

例题：（2022•福建福州•校考一模）如图，四边形48CD内接于e。，ZABC=135°,NC=4,贝壮。的半径

为（）

B

A.4B.2&C.2A/3D.4a

【变式训练】

1.（2022•福建福州,校考一模）如图，BC为e。的直径，P为C8延长线上的一点，过尸作e。的切线尸/,

/为切点，PA=4,PB=2,则e。的半径等于.

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2.（2022•湖北省直辖县级单位•校考一模）如图，点/,B,C在e。上，ZAOC=90°,AB=26，

BC=\,则e。的半径为.

3.（2022•云南文山・统考三模）如图，在V/8C中，//=90。，D、£分别是A8、8C上的点，过8、D、E

三点作e。，交CD延长线于点/，NC=3,BC=5,AD=1.

⑴求证：YCDE网CBF；

⑵当e。与CD相切于点。时，求e。的半径;

⑶若SvCDE=3s7BDF，求DF的值.

【考向四利用圆性质求线段的最值】

例题：（2022•安徽合肥•校联考三模）如图，AB是e。的直径，/3=8,点M在eO上，NMAB=20。”是

确的中点，尸是直径A8上的一动点，若MN=2,贝UVPMN周长的最小值为（）

A.4B.5C.6D.7

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【变式训练】

1.（2022•广东江门•校考一模）矩形N8CD中，AB=2,5c=6,点尸为矩形内一个动点且满足

/PBC=ZPCD,则线段PD的最小值为.

2.（2022・广东江门•校考一模）V/8C中，AB=AC=13,BC=24,点。，。为V48c的对称轴上一动点,

过点。作eO与3C相切，AD与e。相交于点£,那么的最大值为.

【考向四利用圆性质求阴影部分的面积】

例题：（2022・广东江门•校考一模）如图，正方形的边长为2,则图中阴影部分的面积为（）

【变式训I练】

1.（2022•湖北省直辖县级单位•校考一模）如图，在半径为2,圆心角为90。的扇形内，以为直径作半圆,

交弦于点。，则图中阴影部分的面积是（）

A.n-\B.万一2C.~7t-1D.—%+1

22

3

2.Q022春•九年级课时练习）如图，矩形43。中，AB=2,5C=-,尸是AB中点，以点A为圆心，AD

为半径作弧交42于点以点8为圆心，B尸为半径作弧交8C于点G,则图中阴影部分面积的差岳-S?为

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3.（2022秋•四川泸州•九年级统考期中）如图，AB,/C分别是e。的直径和弦，半径OE1NC于点。.过

点A作e。的切线与OE的延长线交于点尸，PC,43的延长线交于点尸.

⑴求证：PC是e。的切线；

（2）若尸C=2ZD,/3=10,求图中阴影部分的面积.

4.（2022•江苏扬州•校考三模）如图，RtAABC中,D5=90°,ZC=30°,。为/C上一点，04=2,以。

为圆心，以。4为半径作圆与28相交于点尸，点E是。O与线段8c的公共点，连接。£、OF、EF,并且

ZEOF=2ZBEF.

⑴求证：2C是。。的切线;

⑵求图中阴影部分的面积.

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5.（2022秋•全国•九年级专题练习）如图，已知48,CD为e。的直径，过点/作弦/E垂直于直径CD于

尸，点8恰好为力£的中点，连接3C,BE.

⑴求证：AE=BC；

⑵若4E=2有,求e。的半径；

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积.

【考向五切线的证明综合应用】

例题：（2022・湖南株洲•校考二模）如图，在菱形N8CD中，。是对角线AD上一点（2。＞。。），OEVAB,

垂足为E,以为半径的e。分别交。。于点打，交EO的延长线于点b，EF与DC交于点G.

F

/D_G