广西壮族自治区贵港市覃塘高级中学2023-2024学年高考数学五模试卷含解析

广西壮族自治区贵港市覃塘高级中学2023-2024学年高考数学五模试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某程序框图如图所示，若输出的S=120,则判断框内为（)

A.k>7?B.k>6?C.k>57D.左>4?

CCSX

2.函数/•（力=2，+2一的部分图像大致为（

c.D

07x

3.如图是一个算法流程图，则输出的结果是()

/输出在/

()

A.3B.4C.5D.6

4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.

问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草

每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是()

(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3”0.4771,1g2ao.3010)

A.2B.3C.4D.5

5.设y=/(x)是定义域为R的偶函数，且在［0,+8)单调递增，«=log020.3,^=log20.3,则()

A.f(a+b)>于(ab>>fQ)B.于(a+b)>fQ)>f(ab)

C.于(ab)>f(a+b)〉/⑼D.于(ab)>于g)>f(a+b)

6.已知复数2=/-,则复数Z的虚部为()

3+4z

444.4.

A.——B.-----C.——iD.----i

5555

7.波罗尼斯(古希腊数学家，的公元前262-190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲

线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0,

且后1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆与+、=1(a>b>0),A,B为椭圆的长轴端

点'c,D为椭圆的短轴端点'动点M满足IM向AI=2,AMAB面积的最大值为8.4MCD面积的最小值为1,则椭

圆的离心率为（）

A.—B.立C.—D.正

3322

8.港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55

千米.桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100耐"〃2,现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查.画

出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90）的车辆数和行驶速度超过90«”力

的频率分别为（）

频率

A.300,0.25B.300,0.35C.60,0.25D.60,0.35

9.已知数列是公比为;的等比数列，且q〉0,若数列｛4｝是递增数列，则%的取值范围为（）

A.（1,2）B.（0,3）C.（0,2）D.（0,1）

10.已知函数/（九）的定义域为[0,2],则函数8（%）=/（2%）+，^三的定义域为（）

A.[0,1]B.[0,2]

C.[1,2]D.[1,3]

x-y>0

11.已知x,y满足约束条件<x+yW2,则z=2x+y的最大值为

y>Q

A.1B.2C.3D.4

12.在棱长为。的正方体ABC。—A4Gq中，E、尸、M分别是A3、AD.A4的中点，又P、。分别在线段4月、

4〃上，且4尸=4。=根（0<7九<。），设平面MEbi平面MPQ=/,则下列结论中不成立的是（）

A.///平面3。。1片B.ILMC

C.当机=@时，平面MPQLM砂D.当机变化时，直线/的位置不变

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

7T

13.曲线V=xcosx在％=§处的切线的斜率为.

14.设等差数列｛4｝的前〃项和为S”，若S3=6,邑=28,则。“=,的最大值是.

\8

3炉+3

15.的展开式中二项式系数最大的项的系数为（用数字作答）.

、yx7

16.已知Jjx5办=〃，则（x+y+1）”展开式中的系数为一

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知椭圆C：三+/=1（。〉人〉0）的左、右焦点分别为月，F2,焦距为2,且经过点7］一1,一^

斜率为左仕>0）的直线4经过点以（0,2）,与椭圆C交于G,H两点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）在x轴上是否存在点P（皿0）,使得以PG,7W为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出心的取值范围,

如果不存在，请说明理由.

18.（12分）已知函数

一7一—一二工一：1I

（1）讨论的单调性；

（2）当->_:时，，求-的取值范围.

二（二1）+（二；-口+12。

1

x=-costz

2

19.（12分）已知曲线M的参数方程为〈（a为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极

1.

y=-sincr

-2

2

坐标系，曲线N的极坐标方程为夕=、.〜八.

(1)写出曲线M的极坐标方程；

(2)点A是曲线N上的一点，试判断点A与曲线M的位置关系.

20.(12分)已知函数/(x)=(awR,a/0),g(x)=x+lnx+l.

(I)讨论/Xx)的单调性；

(H)若对任意的x＞0,/(x)2g(x)恒成立，求实数。的取值范围.

21.(12分)已知函数/0)=0-西)(工一%2)。一%3)，%,%2，%€氏，且为＜%2＜七.

(1)当石=0,%=1，%=2时，求函数/(尤)的减区间；

(2)求证：方程/。)=。有两个不相等的实数根；

(3)若方程/'(%)=0的两个实数根是。，，(。＜，)，试比较之小，迨/与a,分的大小，并说明理由.

22.(10分)已知数列｛%｝满足卬,/…a(〃eN*)，数列也｝的前〃项和S"=",(女可*)，

且白=1,b2=2.

(1)求数列｛4｝的通项公式：

(2)求数列出｝的通项公式.

11，、

(3)设C,=-———,记T“是数列｛g｝的前〃项和，求正整数使得对于任意的〃eN*均有。27；.

424+1

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

程序在运行过程中各变量值变化如下表：

KS是否继续循环

循环前11

第一圈24是

第二圈311是

第三圈426是

第四圈557是

第五圈6120否

故退出循环的条件应为k>5?

本题选择C选项.

点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循

环次数.尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别.

2、A

【解析】

根据函数解析式，可知/（%）的定义域为xeR,通过定义法判断函数的奇偶性，得出/（r）=/（x）,则〃尤）为偶

函数，可排除选项，观察A,8选项的图象，可知代入％=0,解得/（0）>0,排除5选项，即可得出答案.

【详解】

解：因为/"）=2工+2-'

所以/（九）的定义域为xeR,

、）2~x+2X2X+2~x、'

为偶函数，图象关于y轴对称，排除选项，

且当x=0时，/（0）=1>0,排除3选项，所以4正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查由函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除.

3、A

【解析】

执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，执行上述的程序框图：

第1次循环：满足判断条件，x=2,y=l；

第2次循环：满足判断条件,x=4,y=2.

第3次循环：满足判断条件,x=8,?=3；

不满足判断条件，输出计算结果y=3,

故选A.

【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止

循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

4、C

【解析】

1

31

2"匕^,解出即可得出.

由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度，进而可得:

2-1

2

【详解】

n—1

由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为4=3义［；］

I2n/2〃-1

据题意得：2x^-J―-解得2〃=12,

1-12—1

2

"件2+暂

1.

lg2lg2

故选：C.

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

5、C

【解析】

根据偶函数的性质，比较刈I即可.

【详解】

lgO-31lg0.3

解:\a+b\=|log0.3+log0.3|=

022lg0.2lg2

lg0.3xlg|lg0.3xlg|

_________________乙_______________________乙

-Ig5xlg2Ig5xlg2

lg0.3lg0.3

\ab\=|log020.3xlog,0.3|=lg02XliT

-lg0.3xlg0.3_lg0.3xlg0.3

Ig5xlg2Ig5xlg2

-lg0.3x(-lg0.3)

Ig5xlg2

lg0.3xlg^

Ig5xlg2

显然所以,+4<|同

y=/(x)是定义域为R的偶函数，且在［0,+8)单调递增,

所以/(")>/(a+b)>/(0)

故选:C

【点睛】

本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.

6、B

【解析】

利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出

【详解】

_55(3-旬=34.

3+4z-(3+4z)(3-4z)-5-5Z，

4

则复数z的虚部为一

故选：B.

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

7、D

【解析】

求得定点M的轨迹方程「X—"］+>2可得工x2ax3a=8,Lx2b><La=l,解得a,b即可.

3J92323

【详解】

MA

设A(-a,0),B(a,0),M(x,y).1•动点M满足有二=2,

MB

则J(x+a『+y2=2j(x—+=2,化简得色—日了+y?=华.

AMAB面积的最大值为8,△MCD面积的最小值为1,

—x2ax—a=8,—x2bx—tz=1,解得a=b=,

23232

.•.椭圆的离心率为Jl—4=走.

\a22

故选D.

【点睛】

本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题.

8、B

【解析】

由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90)的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能

求行驶速度超过90km//z的频率.

【详解】

由频率分布直方图得：

在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90)的频率为Q06x5=0.3,

在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90)的车辆数为：0.3x1000=300,

行驶速度超过90加2/丸的频率为：(0.05+0.02)x5=0.35.

故选:B.

【点睛】

本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

9、D

【解析】

先根据已知条件求解出｛4｝的通项公式，然后根据｛4｝的单调性以及4〉0得到用满足的不等关系，由此求解出内的

取值范围.

【详解】

因为q〉0,数列｛凡｝是单调递增数列，

]1

所以。…〉o,则

(1H1

化简得0<-—1—<——1,所以0<q<l.

故选：D.

【点睛】

本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据%,%+i之间的大

小关系分析问题.

10、A

【解析】

0<2x<2

试题分析：由题意,得4―。，解得OWE,故选A.

考点：函数的定义域.

11、D

【解析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论.

【详解】

作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，

x+y-.

夕-y二0

12\x

z=2%+y等价于y=-2x+z,作直线y=-2x,向上平移，

易知当直线经过点(2,0)时z最大，所以入砍=2x2+0=4,故选D.

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.

12、C

【解析】

根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可.

【详解】

因为AP=AQ=/%所以PQ//用2,因为E、尸分别是A5、4D的中点，所以EF//3D,所以P。//防,因为面

面MPQ=/，所以P。〃跳？//.选项A、D显然成立；

因为BD//EF//1,6。_L平面ACQA，所以/，平面ACQA，因为MCu平面ACQA，所以/_L,所以B项成

立；

易知ACX1平面MEF,\C1平面MPQ,而直线AQ与不垂直，所以C项不成立.

故选：C

【点睛】

本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

[Q16兀

_LJ、--------

26

【解析】

7T

求出函数的导数，利用导数的几何意义令x=上,即可求出切线斜率.

3

【详解】

y=/(x)=xcosx,

/f(x)=cosx-xsinx,

即曲线丁=%以方兀在》=三处的切线的斜率左=J_—翅

326

故答案为：1.—叵

26

【点睛】

本题考查了导数的几何意义、导数的运算法则以及基本初等函数的导数，属于基础题.

1

14、n-

7

【解析】

利用等差数列前九项和公式，列出方程组，求出首项和公差的值，利用等差数列的通项公式可求出数列｛4｝的通项公

a.+&a.+a

式，可求出」「的表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出」「n的最大值.

【详解】

(1)设等差数,列同、的公差为(则1S与R==37C；L++3d2=*628'解得fa匕==11'

所以，数列｛«„｝的通项公式为4=%+(n—1)d=〃；

力c_〃(4+4)+2(1+〃)

=_S“+4—(〃+5)(〃+4)'

a\+an_2t_2

令/=九+1,贝!U22且，eN,S’.一a+4)1+3)，+*+7，

t

由双勾函数的单调性可知，函数y=/+—+7在te(0,2君)时单调递减，在/e(2道,+对时单调递增，

a+a1

当1=3或4时，七｝」1取得最大值为三.

七=47

故答案为：n；—.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式、前〃项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

15、5670

【解析】

根据二项式展开的通项，可得二项式系数的最大项，可求得其系数.

【详解】

二项展开式一共有9项，所以由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第5项，系数为《34=5670.

故答案为：5670

【点睛】

本题考查了二项式定理展开式的应用，由通项公式求二项式系数，属于中档题.

16、1.

【解析】

由题意求定积分得到”的值，再根据乘方的意义，排列组合数的计算公式，求出展开式中dy的系数.

【详解】

042

•.•已知1三公=二=4=〃，贝!I(x+y+1)"=(x+y+l>,

240一-

它表示4个因式(x+y+1)的乘积.

故其中有2个因式取X,一个因式取y,剩下的一个因式取1,可得好,的项.

故展开式中的系数玛•以•C：=12.

故答案为：L

【点睛】

本题主要考查求定积分，乘方的意义，排列组合数的计算公式，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)—+21=1(2)存在；实数M的取值范围是一事,0

43L6)

【解析】

(1)根据椭圆定义计算。，再根据b,c的关系计算b即可得出椭圆方程；(2)设直线4方程为y=^+2,与

椭圆方程联立方程组，求出左的范围，根据根与系数的关系求出GH的中点坐标，求出GH的中垂线与x轴的交点横,

得出心关于左的函数，利用基本不等式得出机的范围.

【详解】

(1)由题意可知c=l,4(TO),巴(L0).

又2a=|S|+|超|=J(-l+l)2+(--|)2++(-'|)2=1'+3=4,

：,a=2,:.b=sia2—c2=y/3,

22

，椭圆。的方程为：L+匕=i.

43

(2)若存在点尸(办。)，使得以PG,PH为邻边的平行四边形是菱形,

则P为线段GH的中垂线与x轴的交点.

设直线4的方程为：y=kx+2,G(X],%),H(X2,%)，

y=kx+2

联立方程组《尤2y,消元得：(3+4炉+16履+4=0,

[43

△=256女2—16(3+4左2)>0,又左>0,故人>工.

2

16”

由根与系数的关系可得%+%=-----不，设G”的中点为(%,%),

3+4左

no8k7c6

则/=一直充'%=1+2=三布'

二线段GH的中垂线方程为：旷=-4。+丁当广)+「二，

k3+4左3+4左

-2k22

■y*—___________—_____________yyi—____________

令y=0可得-3+正一3+公,即-3+40

kk

k>~,故」+4上.2、95=4小，当且仅当』=4左即左=克时取等号,

2k\kk2

"Z…---j==~~~>且/〃<0.

4V36

二根的取值范围是[-£,0).

【点睛】

本题主要考查了椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

18、(1)见解析；(2)

【解析】

(1)f(x)=(x+l)ex-ax-a=(x+1)(ex-a).对a分类讨论，即可得出单调性.

(2)由xeX-ax-a+l^O,可得a(x+l)<xex+l,当x=-l时，0£+1恒成立.当x>-l时，a-令g(x)=,

利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.

【详解】

解法一：⑴二。=二二+二二二-二二-二=（二.二）（二

①当二，时，

n[TB，-/)-1(T.+x)

□d)-0+

二（二）极小值/

所以--］在J._•上单调递减，在一•一单调递增.

②当时,—7口、一〃的根为门一打）一或———丁

若工二＞一?即一/

n-1(TAJ)揖二QB£I+»)

Z(Z)+0-0+

/极大值极小值/

所以-］在上单调递增，在._:口-上单调递减.

若工二=T即一/

口=:

-一）»»I＞「J在J,,,-•J--上恒成立，所以一-\，―-在，,——上单调递增，无减区间.

若一，X

n(-x.ittZ)MlQaELF-1

口'(cq+0-0+

n(ng/极大值\极小值/

所以--在_上单调递增，在■..-上单调递减.

XJlL*JI\13・IJIMBXJ*AJ

综上:

当-时，-二在（一工一。上单调递减，在F）上单调递增；

当1时，口（匚）在［f・刀，［一儿一上单调递增，在3口_,上单调递减;

自时，在..上单调递增，无减区间；

r，I二”J

n=-

当时，--在一.-八上单调递增，在」•：「上单调递减.

r*、“、“

」）二

（2）因为口口^一一口+/>?所以—（厂+J）g-匚：+』•

当--_•时，恒成立.

」-,，一*■■

0£—二+』

4ZL---

取一—V「-J•—一—."，一十•一二一十一/'.J_1'，

因为二（二）=二二（二+J）（~+2）>0在□€<―/.4«）上恒成立，

即二（匚）=二1（二;+二+/）-1^26（T+与上单调递增•

又因为=7所以;在I；）上单调递减，在「上单调递增,

则一厂—一•_.，所以一丁一.

综上，的取值范围为-

解法二：（1）同解法一；

⑵令一.,

二（匚）=二（口）+9二•-二+/=二二--二二一二

所以一（-）=-1+--;__=_1。一一1，

当:］$a时，□（0）n一则二：Z）在卜工上单调递增，

所以，满足题意.

二⑶2=

当,<n<一时，

令一一一一二十—二--，

因为二(二)：=2二二+二二户>9即□(3)=口匚+口口0一口在［一儿4«)上单调递增•

又因为=-<0,-=二隹，-,

所以二二，二二二一二二二_二二力在0］上有唯一的解，记为-，

□01

□,(Q-0+

极小值/

，满足题意.

=一二，/二二：一」二-二-；+」>-0

当二：时，二•——二十,::］，不满足题意.

综上，的取值范围为,H.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能

力，属于难题.

19、(1)p=-(2)点A在曲线M外.

2

【解析】

(1)先消参化曲线M的参数方程为普通方程,再化为极坐标方程；

(2)由点A是曲线N上的一点，利用sin26的范围判断P的范围，即可判断位置关系.

【详解】

1

x=—cosa

21,1

(1)由曲线/的参数方程为:可得曲线M的普通方程为x2+V=4,则曲线〃的极坐标方程为F

4

y=—sina

I2

即夕=:

(2)由题，点A是曲线N上的一点,

2-1

因为sin20e［T,1］斯以夕e§,2，即夕〉e，

2

所以点4在曲线M外.

【点睛】

本题考查参数方程与普通方程的转化，考查直角坐标方程与极坐标方程的转化，考查点与圆的位置关系.

20、(I)见解析(II)a>l

【解析】

(I)求导得到/'(x)=a(x+l)",讨论。>0和。<0两种情况，得到答案.

、x+Inx+1、］、%+In%+14、-(x+l)(x+lnx).1上心/、

(II)变换得到aN-------------，设F(x)=---------——，求F(x)=-------------------,令"(zx)x=x+lnx,故°(x)

xexexe

在单调递增，存在/右(：,，使得计算得到答案.

(0,+8)0(%)=0,F(x)max=F(x0),

【详解】

(I)/r(x)=a(x+l)ex

当〃>0时，〃%)在(-8,-D单调递减，在(-1,住)单调递增;

当，<0时，/(%)在(f1)单调递增，在(—1,行)单调递减.

x+lnx+1/八、

(II)/(x)>^(x)(x>0),即ore*2%+lnx+l(x>0),a>---------——(x>0).

xex

.尸/、x+lnx+1/八、

令尸(％)=------——(x>0),

xe

IT—jX£x—(x+(x+Inx+1)

_-(x+l)(x+lnx),

则F1(x)=

22x

xexxe

1Y-U1

令0(x)=x+lnx,>，(％)=1+—=——,故夕(x)在(0,+8)单调递增,

XX

注意到=夕(1)=1>0,

于是存在/使得0(/)=%+111%=0,

可知/(x)在(0,5)单调递增，在(%,+8)单调递减.

・•.9—(%)=匚丁=1・

综上知，a>l.

【点睛】

本题考查了函数的单调性，恒成立问题，意在考查学生对于导数知识的综合应用能力.

21、(1)(1-^,1+^)(2)详见解析(3)tz〈当巴〈号玉<，

【解析】

试题分析：(1)当石=0,x2-1,退=2时，/(x)=x(x-l)(x-2)=x3-3犬+2x,/'(X)=3x?-6x+2,,由/(x)<。

得了(X)减区间(1一日/+1)；(2)因为/(X)=d一(芯+々+工3)必+(玉々+工2工3+工3%)%一%%2%3，所以

22

/'(X)=3x-2(X1+%2+%)%+(占%2+々%3+%3%),因为A二2[(^~X2)+(々一％3V+(%-再。所以，方程

2

/'(x)=。有两个不相等的实数根；(3)因为了，(出土逗)=_(族一再)2<0,(x2-x3)<()>所以

2424

X\+X2X2+X3

a<<<B

22

试题解析：(1)当再=。，％2=1，退=2时，/(九)=%(九一1)(%-2)=%3一3%2+2羽尸(%)=3%2-6%+2,,由/(%)<0

得了(%)减区间(1—

(2)法1：/(%)=/一(斗+%2+%3)%2+(再%2+%2%3+%3%)%-11%2%3，

2XXXx

/'(%)=3x-2(%+X2+x3)x+(再%2+23+3i)

A=2[(再—X2)+(%2—%)?+(%3—石)2]>0,王<尤2<%3，

所以，方程/(%)=0有两个不相等的实数根;

法2:尸(九)=(x-Xj)(x-x2)+(X-x2)(x-x3)+(X-x3)(x-Xj),

r

f(x2)=(x2-x3)(x2一玉)<0,

/(X)是开口向上的二次函数，

所以，方程/'(%)=。有两个不相等的实数根;

(3)因为(