山东省青岛市莱西市2024届高三上学期期末教学质量检测数学试题（含答案解析）

山东省青岛市莱西市2023-2024学年高三上学期1月期末教学质量检测数学试题本试卷共22题，全卷满分150分，考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，请将答题卡上交.一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则复数虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数乘除法、共轭复数以及虚部的概念即可得解.【详解】由题意，所以的虚部为.故选：B.2.对于直线，下列选项正确的为（）A.直线倾斜角为B.直线在轴上的截距为C.直线的一个方向向量为D.直线经过第二象限【答案】C【解析】【分析】由直线斜率与倾斜角的关系可判断A，令可判断B，得出直线上两点，可作一个确定的向量，判断该向量与是否共线即可，画出图形即可判断D.【详解】因为直线的斜率为，所以直线倾斜角为，故A错误；在中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故B错误；在中，令，解得，即直线过两点，，所以直线的一个方向向量为，故C正确；画出直线的图象如图所示，所以直线不经过第二象限，故D错误.故选：C.3.在等比数列中，，则（）A.4 B. C.8 D.5【答案】A【解析】【分析】由等比数列基本量的计算首先得公比，进一步得首项，由此即可得解.【详解】由题意，所以，即等比数列公比为，所以，解得，所以.故选：A.4.“”是“直线与平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案.【详解】当时，直线与平行；当直线与平行时，有且，解得，故“”是“直线与平行”的充要条件，故选：C5.圆与圆相交于A、B两点，则（）A.2 B. C. D.6【答案】D【解析】【分析】两圆方程相减得直线的方程，由点到直线的距离求得C到直线的距离，由圆的弦长公式求出，再由三角形的面积公式计算即可求得.【详解】两圆方程相减得直线的方程为，圆化为标准方程，所以圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离为，弦长，所以.故选：D6.是等差数列的前项和，若恒成立，则不可能的值为（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质可得：，，，然后分情况考虑，结合等差数列的通项公式可求.【详解】由题意得，时，取得最大值，所以有，，，若，则，若，，则，有，故选：D7.设数列的前项和为，已知，若，则正整数的值为（）A.2024 B.2023 C.2022 D.2021【答案】B【解析】【分析】由题设有，等比数列定义求通项公式，进而有求，再由及放缩法确定范围求参数值.【详解】，又，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以，故，令由且，则，由，则，则，所以，故，则正整数的值为2023.故选：B8.直线与椭圆交于A、B两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为E，AE的中点为，设直线与椭圆的另一交点为，若，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设，根据向量数量积运算，三点共线，由点差法即可求解.【详解】设，则，，，，①，三点共线，，②，在椭圆上，，两式相减可得，③将①②代入③可得，，，所以椭圆的离心率.故选：A【点睛】方法点睛：点差法是解决圆锥曲线与直线的关系中常用到的一种方法.当直线与圆锥曲线相交的问题涉及到相交弦的中点或与中点坐标相关的条件时，宜应用点差法求解，即将直线被圆锥曲线截得的弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，得到两个等式，再将两个等式作差，转化得到弦的中点坐标与直线斜率的关系，进而解决问题.在解答圆锥曲线的某些问题时，若果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程.二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，它把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，根据欧拉公式，下列结论正确的是（）A.在复平面内对应的点在第三象限B.C.的共轭复数为1D.复数的实部为【答案】BD【解析】【分析】由复数几何意义可判断A，由复数模的运算可判断B，由共轭复数、实部的概念可判断CD.【详解】对于A，在复平面对应点为在第二象限（因为），故A错误；对于B，，故B正确；对于C，的共轭复数为，故C错误；对于D，的实部为，故D正确.故选：BD.10.已知点是直线的上一动点，，，成公差非0的等差数列，，则下列说法正确的有（）A.若，则的最大值为B.直线恒过定点C.存在3个点到直线的距离为.D.已知，，若存在点，使得，则正数的范围为.【答案】ACD【解析】【分析】根据，，成公差非0的等差数列，设出，，可知直线过定点，在利用，知道在过定点且与垂直的另一直线上，所以点在以为直径的圆上，然后利用直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系就可求得.【详解】因为，，成公差非0的等差数列，设公差为，则，，所以直线，由，化简得，由，解得，则直线过定点，故B不正确；设，则，又，知，故点在直线上，则点为两直线的交点，而与是互相垂直的直线，所以点在以为直径的圆上，圆方程为，其圆心为，半径为，因，则和除外.若，则最大值为，故A正确；又点到直线的距离为，半径为，所以存在3个点到直线的距离为，故C正确；已知，，若存在点，使得，即以原点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，故，解得，故D正确.故选：ACD.11.南宋数学家杨辉所著的（详解九章算法.商功）中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…..，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】首先通过归纳可得，由此可判断AC，进一步求和即可判断B，对于D，由裂项相消即可判断D.【详解】由题意，对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，即，故C正确；对于D，，故D错误.故选：BC.12.已知椭圆，直线与相交于两点，，若椭圆恒过定点，则下列说法正确的是（）A. B.C.|AB|的长可能为3 D.|AB|的长可能为4【答案】AC【解析】【分析】联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合垂直关系的坐标表示求出定点，再逐项判断即得.【详解】由消去得：，点在椭圆内，必有，设，则，而，，由，得，即，整理得，因此，整理得，于是椭圆恒过定点，且，显然，，A正确，B错误；，而，则，，因此，C正确，D错误.故选：AC【点睛】结论点睛：直线l：y=kx+b上两点间的距离；直线l：x=my+t上两点间的距离.三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.记双曲线的离心率为，写出满足条件“直线与无公共点”的的一个值____________.【答案】2（答案不唯一，满足皆可）【解析】【分析】由题意得直线与无公共点，则，结合离心率公式可得的范围，由此即可得解.【详解】由题意双曲线的一条渐近线为，其斜率为，若直线与无公共点，则，所以，满足题意的双曲线的离心率为.故答案为：2（答案不唯一）.14.已知复数()的模为，则的最大值为_______.【答案】【解析】【分析】根据题意将其转化为为圆心，为半径的圆上的点，根据几何意义将转化为圆上的点与原点连线的斜率，数形结合知道线与圆相切时取得最值.【详解】解：因为，所以，故在以为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点与原点所在直线的斜率，如图，由平面几何知识，易知当直线与圆相切时取得最值，在中，，所以,此时.故答案为：.【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复与复平面上的点一一对应.15.数列的前项和，数列定义如下:对于正整数是使得不等式成立的所有中的最小值，则数列的前项和为____________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，再由不等式求出数列的通项，利用分组求和法求解.【详解】数列的前项和，当时，，而满足上式，因此，由，得，则当为正奇数时，，当为正偶数时，，于是数列的前项和为.故答案为：16.过抛物线焦点的直线交于两点，中点的轨迹经过点，则的最小值为____________.【答案】【解析】【分析】求出焦点，且，设出直线的方程，联立直线和抛物线的方程，满足线段的中点的轨迹过点，求出的值，进而表达即可，利用导数可求最小值.【详解】抛物线的焦点，因为过抛物线的焦点的直线交于两点，若直线的斜率不存在时，的中点定在轴上，中点不可能为；则设直线的方程为：，设，联立方程组：，得：，得，所以中点的轨迹满足：，当恰好为时，即，解得，得此时抛物线，一般地，直线的方程为：，且，则故，令，，其中，则，，由，得，当时，；当时，，故在上为减函数，在上为增函数，故当时，函数取得最小值，所以的最小值为，故答案为：.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列的前项和.条件①:；条件②:；条件③:.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由等差数列及其前项和基本量的计算可列方程，求出首项公差即可得解；（2）若选①，则直接由等比数列求和公式即可求解；若选②，则由分组求和以及等差、等比数列求和公式即可求解；若选③，则由裂项相消法即可求解.【小问1详解】由题意知:，即:，化简得.所以数列的通项公式.【小问2详解】若选①:，，若选②:，.，若选③:，.18.已知抛物线上第一象限的一点到其焦点的距离为2.（1）求拋物线的方程及点的坐标;（2）过点的直线交抛物线于A，B两点，的角平分线过抛物线焦点，求直线的方程.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由焦半径公式列方程可得参数，即可得抛物线方程，代入结合点在第一象限即可求解；（2）发现的角平分线与轴垂直，所以，设直线方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理以及即可得解.【小问1详解】由题意得:由可得:，故抛物线方程为:，当时，，又因为，所以，所以点坐标为;【小问2详解】由题意可设直线方程为，由，消去得，所以，因为的角平分线过焦点，轴，所以，所以，即，即，所以，直线的方程为.19.已知为等差数列，公差中的部分项恰为等比数列，且公比为，若;（1）求；（2）求数列的通项公式及其前项之和.【答案】19.220.，前n项和为【解析】【分析】（1）由等比中项可得，结合等差数列通项公式运算求解；（2）根据题意分析可得，利用分组求和结合等比数列求和公式运算求解.【小问1详解】由成等比数列，则，即，整理得，且，则，可得，故等比数列的公比.【小问2详解】在等差数列中，可得，在等比数列中，可得，则，即，所以.20.已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列，数列，数列的前项和.（1）求（2）求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意列方程，求出数列的首项和公差，求出，可得，变形后构造等比数列，即可求得答案；（2）利用（1）的结论，讨论n的奇偶性，分组求和，结合等比数列前n项和公式，即可求得答案.【小问1详解】因为成等比数列，所以，设等差数列的公差为，，所以，解得，，，对上式两边同时除以得:，即，数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，即；【小问2详解】当为偶数时，,当为奇数时，,故.21.中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过点一条渐近线方程为.（1）求的方程:（2）若过的上焦点的直线与交于A，B两点.求证:以AB为直径的圆过定点.并求该定点.【答案】（1）（2）证明见解析，定点;【解析】【分析】（1）利用渐近线结合双曲线上的点解出参数，得到方程即可.（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，求出关键点的坐标关系，得到圆的方程，利用对称性求出定点，再检验特殊情况即可.【小问1详解】由题可设双曲线方程为，双曲线经过点双曲线方程为【小问2详解】设AB方程为，显然，由韦达定理得：，，以AB为直径的圆的方程为，即:，由对称性知以AB为直径的圆必过轴上的定点，令，得，，即.对恒成立，，经过定点检验，当时，，此时圆的方程为，也经过点以AB为直径的圆过定点.【点睛】关键点点睛：本题考查求圆中的定点问题，解题关键是找到圆的方程，然后利用对称性得到所要求的定点．22.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，且直线是双曲线的一条渐近线.直线与椭圆交于C，D两点，且的周长最大值为8.椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，直线与轴相交于点，记直线的斜率为，直线的斜率为.（1）求值.（2）若，设和面积分别为，求的最大值.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）由题意得当过右焦点时，的周长取最大值，结合双曲线渐近线方程得，联立可得即可得椭圆方程