2023届高考冲刺必刷押题密04数学试卷（新高考地区专用）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12023届高考数学冲刺必刷押题密04卷（新高考地区专用）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．若集合，，则（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗由可得，解得，所以，又，所以.故选：D.2．若复数，，在复平面上对应的点在第四象限，则（

）A．6 B．4 C． D．〖答案〗A〖解析〗，，由在复平面上对应的点在第四象限，故舍去，．故选：A．3．使成立的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．，且〖答案〗B〖解析〗，故A错误；当时，，得，即，显然，则，即，故是的充分条件；当时，，故是的不必要条件，故B正确；当时，成立，但，故C错误；当时，由，得，即，故D错误.故选：B.4．为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例关于贷款人的年收入（单位：万元）的Logistic，模型：，已知当贷款大的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为（

）（精确到0.01万元，参考数据：，）A．4.65万元 B．5.63万元 C．6.40万元 D．10.00万元〖答案〗A〖解析〗由题意，即，得，所以.令，得，得，得得.故选：A.5．已知函数是定义在上的偶函数，且函数在上是减函数，如果，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗函数是定义在上的偶函数，且函数在，上是减函数，所以在上是增函数，由（3），则不等式（3）（3），解之可得，故不等式的解集为，．故选：．6．已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线交于两点，且，，则当取得最小值时，双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗不妨设位于第一象限，双曲线的右焦点为，连接，，为中点，四边形为平行四边形，，；设，，则由得：，解得：；在中，，，（当且仅当时取等号），当取得最小值时，双曲线的离心率.故选：D.7．已知数列满足，，恒成立，则的最小值为（

）A．3 B．2 C．1 D．〖答案〗C〖解析〗，是等差数列，又∵，∴，故对，，也符合上式，，故，即的最小值为1．故选：C．8．已知，b=0.01，c=ln1.01，则（

）A．c>a>b B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a〖答案〗C〖解析〗由指数函数的性质得：，设，则在时恒成立，所以在上是增函数，是连续函数，因此在上是增函数，所以，即，即，所以，所以．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知的最小正周期为，则下列说法正确的有（

）A．B．函数在上为增函数C．直线是函数图象的一条对称轴D．是函数图象的一个对称中心〖答案〗BD〖解析〗，，，故A不正确；当时，是函数的单调递增区间，故B正确；当时，，，所以不是函数的对称轴，故C不正确；、当时，，，所以是函数的一个对称中心，故D正确.故选：BD.10．已知圆C过点，，直线m：平分圆C的面积，过点且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，则（

）A．圆心的坐标为B．圆C的方程为C．k的取值范围为D．当时，弦MN的长为〖答案〗ABD〖解析〗设圆的标准方程为，因为圆C被直线平分，所以圆心在直线m上，可得，由题目条件已知圆C过点，则综上可解得，所以圆心的坐标为，选项A正确；圆C的方程为，选项B正确；根据题目条件已知过点且斜率为k的直线l方程为，即，又直线l与圆C有两个不同的交点M，N，所以点到直线l的距离小于半径r，则利用点到直线的距离公式可得：，解得k的取值范围为，所以选项C错误；当时，可求得点到直线l的距离为，所以根据勾股定理可得，即弦MN的长为，所以弦MN的长为，选项D正确.故选：ABD.11．已知一组个数据：，，…，，满足：，平均值为，中位数为，方差为，则（

）A．B．C．函数的最小值为D．若，，…，成等差数列，则〖答案〗BCD〖解析〗A：当时，一组数据1,2,4,17，则，不在2，4之间，故错误；B：由中位数定义知：，正确；C：，当时，最小值为，正确；D：若，，…，成等差数列，则，故正确．故选：BCD12．已知函数定义域为，满足，当时，.若函数的图象与函数的图象的交点为，（其中表示不超过的最大整数），则（

）A．是偶函数 B．C． D．〖答案〗BC〖解析〗函数，显然，而，即，因此不是偶函数，A错误；函数定义域为，满足，当时，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，因此当时，函数在上递减，在上递增，当时，取得最大值，当时，，，当时，，，当时，，，因此当时，函数，在同一坐标平面内作出函数的部分图象，如图，当时，函数的图象有唯一公共点，因为，因此，，而满足的整数有个，即，B正确；显然，所以，C正确；，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，D错误.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分。13．的展开式中项的系数为_________.〖答案〗240〖解析〗由，则其展开式的通项，化简可得，令，则，即.故〖答案〗为：240.14．已知函数f(x)＝若f(x)在区间[m，4]上的值域为[－1，2]，则实数m的取值范围为________.〖答案〗〖解析〗作出函数f(x)的图象，当x≤－1时，函数f(x)＝单调递减，且最小值为f(－1)＝－1，则令＝2，解得x＝－8；当x＞－1时，函数f(x)＝在(－1，2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为f（2）＝2，又f(4)＝＜2，f(－1)＝－1，所求实数m的取值范围为故〖答案〗为：15．如图，正四面体的棱长为3，，，分别是，，上的点，，，，截去三棱锥，同理，分别以，，为顶点，各截去一个棱长为1的小三棱锥，截后所得的多面体的外接球的表面积为_____．〖答案〗〖解析〗中心为，底面正六边形中心为，球心O在上，设多面体的外接球半径为，正三角形外接圆半径，底面正六边形外接圆半径为1，原正四面体高为，故，则解得，故．故〖答案〗为：.16．如图，某景区有景点A，B，C，D．经测量得，，，则______.现计划从景点B处起始建造一条栈道BM，并在M处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景点A、D的视角.为了节约修建成本，栈道BM长度的最小值为___________．〖答案〗〖解析〗（1），，为正三角形，.（2）设的外心为，连接交于点，则，,的最小值为，，，，，，的最小值为，故〖答案〗为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，直线，线段DE与，均垂直，垂足分别是E，D，点A在DE上，且，.C，B分别是，上的动点，且满足.设，面积为.（1）写出函数〖解析〗式；（2）求的最小值.解：（1）结合图形可知，若，则，所以，又，所以，又在中，在中，所以面积为（2）由（1），因为，所以，所以的取值范围是所以当时，取得最小值.18．已知等差数列，等比数列，满足，，．（1）求数列，的通项公式；（2）令，求满足的最小的正整数的值．解：（1）设公差为，由．当时，不符合题意，舍去；故，所以，；（2）由题意，可得，所以，由，又，所以当时，，当时，，故的最小值为8．19．在四棱锥中，，.（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.（1）证法一：取的中点，连接.在四边形中，，故四边形为直角梯形，又，故.又由，所以四边形为正方形，故，从而；又，所以，故.由平面平面，从而平面，又平面，所以平面平面.证法二：取的中点的中点，连接.在四边形中，，故四边形为直角梯形，又，故，且，所以四边形为正方形，故为等腰直角三角形，从而，为等腰直角三角形.在中，，又因为，所以，，又，所以，故，由平面平面，从而平面，又平面，所以平面平面.（2）解法一：取的中点，连接，由，所以，因为平面平面，且平面平面，所以平面.又为的中点，所以，且，由（1）知，故.以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图的空间直角坐标系，则则，设，则，，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则令，则，因为二面角的大小为，所以，由，解得：，所以线段上存在点，当时，使得二面角大小为.解法二：过作，则平面.以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图的空间直角坐标系，则，设，则，，，设平面的一个法向量为，则令，得，因为二面角的大小为，所以平面与平面所成的角也等于，平面的一个法向量为，，因为，解得，所以线段上存在点，当，即时，使得二面角大小为.解法三：过点作于，过作于，连接，由（1）知平面平面，所以平面，平面，故，又平面平面，所以平面，又平面，因而，所以是二面角的平面角.因为平面平面，二面角大小为，所以二面角大小为，从而，故，设，因为，从而，所以，从而，因为，从而，所以，即，解得，所以，从而.所以线段上存在点，当时，使得二面角大小为.20．某公司对40名试用员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级，测试分笔试和面试两个环节．笔试环节所有40名试用员工全部参加；参加面试环节的员工由公司按规则确定．公司对40名试用员工的笔试得分笔试得分都在内进行了统计分析，得到如下的频率分步直方图和列联表．男女合计优得分不低于90分8良得分低于90分12合计40（1）请完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；（2）公司决定：在笔试环节中得分低于85分的员工直接淘汰，得分不低于85分的员工都正式录用．笔试得分在内的岗位等级直接定为一级无需参加面试环节；笔试得分在内的岗位等级初定为二级，但有的概率通过面试环节将二级晋升为一级；笔试分数在内的岗位等级初定为三级，但有的概率通过面试环节将三级晋升为二级．若所有被正式录用且岗位等级初定为二级和三级的员工都需参加面试．已知甲、乙为该公司的两名试用员工，以频率视为概率．①若甲已被公司正式录用，求甲的最终岗位等级为一级的概率；②若乙在笔试环节等级初定为二级，求甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率．参考公式：，解：（1）得分不低于90分的人数为：，所以填表如下：男女合计优得分不低于90分8412良得分低于90分161228合计241640所以，因此没有的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；（2）不低于85分的员工的人数为：，直接定为一级的概率为，岗位等级初定为二级的概率为：，岗位等级初定为三级的概率为：.①甲的最终岗位等级为一级的概率为：；②甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率为：.21．已知函数.（1）求函数在上的最小值；（2）证明：当时，.（1）解：由，得，，令，得，即，因此函数在上单调递减，在上单调递增.①当，即时，函数在上单调递减，因此；②当时，函数在上单调递增，因此；③当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，因此.综上所述，当时，；当时，；当时，.（2）证明：设，，则，易得函数在上单调递减，在上单调递增，因此，故恒成立.要证，只需证，因为，所以，故只需证（因时，左边小于右边，所以可以带等号），即.令，则，易得函数在上单调递减，在上单调递增，因此，故.因此当时，.22．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且点和点在椭圆上，椭圆的左顶点与抛物线的焦点的距离为.（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）直线与抛物线变于两点，与椭圆交于两点.（ⅰ）若，抛物线在点处的切线交于点，求证：；（ⅱ）若，是否存在定点，使得直线的倾斜角互补?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（1）解：设椭圆的方程为：，和在椭圆上，，解得：，椭圆的标准方程为：；由椭圆方程可知：椭圆的左顶点为，又，，解得：，抛物线的方程为；（2）（ⅰ）证明：当时，直线，即，令，则直线，设，，由得：，则，，，；设抛物线在点处的切线方程分别为：，，由得：，，又，则，，则；同理可得：；联立两切线方程，将，代入，可解得：，，，又，；同理可得：；，要证，等价于证明，，又，，同理可得：，，即；（ⅱ）解：当时，直线，假设存在点，使直线的倾斜角互补，则直线的斜率之和为；设，由得：，，即恒成立，，，，，即，，即，解得：，假设成立，即存在点，使得直线的倾斜角互补.2023届高考数学冲刺必刷押题密04卷（新高考地区专用）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．若集合，，则（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗由可得，解得，所以，又，所以.故选：D.2．若复数，，在复平面上对应的点在第四象限，则（

）A．6 B．4 C． D．〖答案〗A〖解析〗，，由在复平面上对应的点在第四象限，故舍去，．故选：A．3．使成立的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．，且〖答案〗B〖解析〗，故A错误；当时，，得，即，显然，则，即，故是的充分条件；当时，，故是的不必要条件，故B正确；当时，成立，但，故C错误；当时，由，得，即，故D错误.故选：B.4．为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例关于贷款人的年收入（单位：万元）的Logistic，模型：，已知当贷款大的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为（

）（精确到0.01万元，参考数据：，）A．4.65万元 B．5.63万元 C．6.40万元 D．10.00万元〖答案〗A〖解析〗由题意，即，得，所以.令，得，得，得得.故选：A.5．已知函数是定义在上的偶函数，且函数在上是减函数，如果，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗函数是定义在上的偶函数，且函数在，上是减函数，所以在上是增函数，由（3），则不等式（3）（3），解之可得，故不等式的解集为，．故选：．6．已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线交于两点，且，，则当取得最小值时，双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗不妨设位于第一象限，双曲线的右焦点为，连接，，为中点，四边形为平行四边形，，；设，，则由得：，解得：；在中，，，（当且仅当时取等号），当取得最小值时，双曲线的离心率.故选：D.7．已知数列满足，，恒成立，则的最小值为（

）A．3 B．2 C．1 D．〖答案〗C〖解析〗，是等差数列，又∵，∴，故对，，也符合上式，，故，即的最小值为1．故选：C．8．已知，b=0.01，c=ln1.01，则（

）A．c>a>b B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a〖答案〗C〖解析〗由指数函数的性质得：，设，则在时恒成立，所以在上是增函数，是连续函数，因此在上是增函数，所以，即，即，所以，所以．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知的最小正周期为，则下列说法正确的有（

）A．B．函数在上为增函数C．直线是函数图象的一条对称轴D．是函数图象的一个对称中心〖答案〗BD〖解析〗，，，故A不正确；当时，是函数的单调递增区间，故B正确；当时，，，所以不是函数的对称轴，故C不正确；、当时，，，所以是函数的一个对称中心，故D正确.故选：BD.10．已知圆C过点，，直线m：平分圆C的面积，过点且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，则（

）A．圆心的坐标为B．圆C的方程为C．k的取值范围为D．当时，弦MN的长为〖答案〗ABD〖解析〗设圆的标准方程为，因为圆C被直线平分，所以圆心在直线m上，可得，由题目条件已知圆C过点，则综上可解得，所以圆心的坐标为，选项A正确；圆C的方程为，选项B正确；根据题目条件已知过点且斜率为k的直线l方程为，即，又直线l与圆C有两个不同的交点M，N，所以点到直线l的距离小于半径r，则利用点到直线的距离公式可得：，解得k的取值范围为，所以选项C错误；当时，可求得点到直线l的距离为，所以根据勾股定理可得，即弦MN的长为，所以弦MN的长为，选项D正确.故选：ABD.11．已知一组个数据：，，…，，满足：，平均值为，中位数为，方差为，则（

）A．B．C．函数的最小值为D．若，，…，成等差数列，则〖答案〗BCD〖解析〗A：当时，一组数据1,2,4,17，则，不在2，4之间，故错误；B：由中位数定义知：，正确；C：，当时，最小值为，正确；D：若，，…，成等差数列，则，故正确．故选：BCD12．已知函数定义域为，满足，当时，.若函数的图象与函数的图象的交点为，（其中表示不超过的最大整数），则（

）A．是偶函数 B．C． D．〖答案〗BC〖解析〗函数，显然，而，即，因此不是偶函数，A错误；函数定义域为，满足，当时，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，因此当时，函数在上递减，在上递增，当时，取得最大值，当时，，，当时，，，当时，，，因此当时，函数，在同一坐标平面内作出函数的部分图象，如图，当时，函数的图象有唯一公共点，因为，因此，，而满足的整数有个，即，B正确；显然，所以，C正确；，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，D错误.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分。13．的展开式中项的系数为_________.〖答案〗240〖解析〗由，则其展开式的通项，化简可得，令，则，即.故〖答案〗为：240.14．已知函数f(x)＝若f(x)在区间[m，4]上的值域为[－1，2]，则实数m的取值范围为________.〖答案〗〖解析〗作出函数f(x)的图象，当x≤－1时，函数f(x)＝单调递减，且最小值为f(－1)＝－1，则令＝2，解得x＝－8；当x＞－1时，函数f(x)＝在(－1，2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为f（2）＝2，又f(4)＝＜2，f(－1)＝－1，所求实数m的取值范围为故〖答案〗为：15．如图，正四面体的棱长为3，，，分别是，，上的点，，，，截去三棱锥，同理，分别以，，为顶点，各截去一个棱长为1的小三棱锥，截后所得的多面体的外接球的表面积为_____．〖答案〗〖解析〗中心为，底面正六边形中心为，球心O在上，设多面体的外接球半径为，正三角形外接圆半径，底面正六边形外接圆半径为1，原正四面体高为，故，则解得，故．故〖答案〗为：.16．如图，某景区有景点A，B，C，D．经测量得，，，则______.现计划从景点B处起始建造一条栈道BM，并在M处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景点A、D的视角.为了节约修建成本，栈道BM长度的最小值为___________．〖答案〗〖解析〗（1），，为正三角形，.（2）设的外心为，连接交于点，则，,的最小值为，，，，，，的最小值为，故〖答案〗为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，直线，线段DE与，均垂直，垂足分别是E，D，点A在DE上，且，.C，B分别是，上的动点，且满足.设，面积为.（1）写出函数〖解析〗式；（2）求的最小值.解：（1）结合图形可知，若，则，所以，又，所以，又在中，在中，所以面积为（2）由（1），因为，所以，所以的取值范围是所以当时，取得最小值.18．已知等差数列，等比数列，满足，，．（1）求数列，的通项公式；（2）令，求满足的最小的正整数的值．解：（1）设公差为，由．当时，不符合题意，舍去；故，所以，；（2）由题意，可得，所以，由，又，所以当时，，当时，，故的最小值为8．19．在四棱锥中，，.（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.（1）证法一：取的中点，连接.在四边形中，，故四边形为直角梯形，又，故.又由，所以四边形为正方形，故，从而；又，所以，故.由平面平面，从而平面，又平面，所以平面平面.证法二：取的中点的中点，连接.在四边形中，，故四边形为直角梯形，又，故，且，所以四边形为正方形，故为等腰直角三角形，从而，为等腰直角三角形.在中，，又因为，所以，，又，所以，故，由平面平面，从而平面，又平面，所以平面平面.（2）解法一：取的中点，连接，由，所以，因为平面平面，且平面平面，所以平面.又为的中点，所以，且，由（1）知，故.以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图的空间直角坐标系，则则，设，则，，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则令，则，因为二面角的大小为，所以，由，解得：，所以线段上存在点，当时，使得二面角大小为.解法二：过作，则平面.以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图的空间直角坐标系，则，设，则，，，设平面的一个法向量为，则令，得，因为二面角的大小为，所以平面与平面所成的角也等于，平面的一个法向量为，，因为，解得，所以线段上存在点，当，即时，使得二面角大小为.解法三：过点作于，过作于，连接，由（1）知平面平面，所以平面，平面，故，又平面平面，所以平面，又平面，因而，所以是二面角的平面角.因为平面平面，二面角大小为，所以二面角大小为，从而，故，设，因为，从而，所以，从而，因为，从而，所以，即，解得，所以，从而.所以线段上存在点，当时，使得二面角大小为.20．某公司对40名试用员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级，测试分笔试和面试两个环节．笔试环节所有40名试用员工全部参加；参加面试环节的员工由公司按规则确定．公司对40名试用员工的笔试得分笔试得分都在内进行了统计分析，得到如下的频率分步直方图和列联表．男女合计优得分不低于90分8良得分低于90分12合计40（1）请完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；（2）公司决定：在笔试环节中得分低于85分的员工直接淘汰，得分不低于85分的员工都正式录用．笔试得分在内的岗位等级直接定为一级无需参加面试环节；笔试得分在内的岗位等级初定为二级，但有的概率通过面试环节将二级晋升为一级；笔试