2023届湖南岳阳市高三信息数学试卷（二）

成就未来，新教育伴你成长联系电话：400-186-9786湖南岳阳市2023届高三数学信息卷（二）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数z满足，则（

）A．1 B． C． D．2．已知集合，则下列集合为空集的是（

）A．B．C．D．3．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．“且”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．将一个底面半径为，高为的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（

）A． B． C． D．6．古希腊数学家阿波罗尼奧斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为，，若从椭圆右焦点发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足，且，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．7．已知随机变量，有下列四个命题：甲：

乙：丙：

丁：如果只有一个假命题，则该命题为（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．的最小正周期为B．当时，的最大值为C．函数的图象关于点对称D．函数在点处的切线方程为10．圆与轴相切于点，与轴正半轴交于、两点，且，则（

）A．圆的标准方程为B．圆关于直线对称C．经过点与圆相交弦长最短的直线方程为D．若是圆上一动点，则的最大值为11．已知的面积是1，点分别是的中点，点是平面内一动点，则下列结论正确的是（

）A．若是线段的中点，则B．若，则的面积是C．若点满足，则点的轨迹是一条直线D．若在直线上，则最小值是12．已知数列的前项和是，满足对成立，则下列结论正确的是（

）A． B．一定是递减数列C．数列是等差数列 D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．有男女共名学生被分派去三个公司实习,每个公司至少人,且公司要且只要个女生,共有________种不同的分派方法.(用数字作答)14．一组数据按照从小到大顺序排列为1，2，3，4，5，8，记这组数据的上四分位数（第75百分位数）为，则展开式中的常数项为______.15．若正整数m满足则m=________.（参考数据:lg2≈0.3010）16．在三棱锥中，底面为的中点.若三棱锥的顶点均在球的球面上，是该球面上一点，且三棱锥体积的最大值是，则球的表面积为__________.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本题满分10分）如图，平面四边形中，.（1）若，求的值；（2）试问为何值时，平面四边形的面积最大？18.（本题满分12分）已知为数列的前项和，，．（1）求；（2）若，证明：．19．（本题满分12分）如图，，为圆柱的母线，是底面圆的直径，，分别是，的中点，面．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面的夹角余弦值．20．（本题满分12分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过公里的地铁票价如下表：乘坐里程（单位：）票价（单位：元）现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过公里.已知甲、乙乘车不超过公里的概率分别为，，甲、乙乘车超过公里且不超过公里的概率分别为，.（1）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（2）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．21．（本题满分12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不断重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.则这些折痕所围成的图形是一个椭圆.现取半径为的圆形纸片，定点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以向量的方向为轴正方向，线段中点为原点建立平面直角坐标系.（1）求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）已知点是圆上任意一点，过点做椭圆的两条切线，切点分别是，求面积的最大值，并确定此时点的坐标.注：椭圆：上任意一点处的切线方程是：.22.（本题满分12分）已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若，是函数的两个极值点，且，求证：.参考答案一、单项选择题1．D2．B3．D4．A5．C6．D7．A8．B二、多项选择题9．AD10．BC11．CD12．AC三、填空题13．14．1015．15516．四、解答题17．（1）解：若，，所以，在中，所以；（2）解：因为，，所以，根据余弦定理得，因为所以，，所以，所以，时，取到最大值18．解：（1）①时，②则①-②得，当时可整理得，即，由①当时，，得，当时，，得，，，又，，符合，；（2）由（1）得，，19．（1）证明：取中点，连接，，如图所示：因为分别为，，的中点，所以，，又因为平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又因为，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面.（2）解：连接，如图所示：因为分别为的中点，所以，，又因为为的中点，所以，，所以，，即四边形为平行四边形，即.因为面，所以面.又因为面，所以，即.以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令得.则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.20．解：（1）由题意可知，甲、乙乘车超过公里且不超过公里的概率分别为，则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率，所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率.（2）由题意可知，,则,,,,,所以的分布列为则.21．解：（1）设为椭圆上一点，则，所以点轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，设椭圆的方程为，所以，则，所以椭圆方程为；（2）设，则，切线方程：，切线方程：，两直线都经过点，所以，得，，从而直线的方程是：，由，得，由韦达定理，得，，点到直线的距离，，其中，令，则，令，则，在上递增，，即时，的面积取到最大值，此时点.22．（1）解：易知函数的定义域为.又.当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在和上单调递减；当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在和上单调递减.（2）证明：由，则，由题意知是方程的两根，因此，，，且，.所以，把，代入得要证，只需证明，即，也即.令，，由，得.设，要证.因为，，在上单调递减，所以，，即证.湖南岳阳市2023届高三数学信息卷（二）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数z满足，则（

）A．1 B． C． D．2．已知集合，则下列集合为空集的是（

）A．B．C．D．3．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．“且”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．将一个底面半径为，高为的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（

）A． B． C． D．6．古希腊数学家阿波罗尼奧斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为，，若从椭圆右焦点发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足，且，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．7．已知随机变量，有下列四个命题：甲：

乙：丙：

丁：如果只有一个假命题，则该命题为（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．的最小正周期为B．当时，的最大值为C．函数的图象关于点对称D．函数在点处的切线方程为10．圆与轴相切于点，与轴正半轴交于、两点，且，则（

）A．圆的标准方程为B．圆关于直线对称C．经过点与圆相交弦长最短的直线方程为D．若是圆上一动点，则的最大值为11．已知的面积是1，点分别是的中点，点是平面内一动点，则下列结论正确的是（

）A．若是线段的中点，则B．若，则的面积是C．若点满足，则点的轨迹是一条直线D．若在直线上，则最小值是12．已知数列的前项和是，满足对成立，则下列结论正确的是（

）A． B．一定是递减数列C．数列是等差数列 D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．有男女共名学生被分派去三个公司实习,每个公司至少人,且公司要且只要个女生,共有________种不同的分派方法.(用数字作答)14．一组数据按照从小到大顺序排列为1，2，3，4，5，8，记这组数据的上四分位数（第75百分位数）为，则展开式中的常数项为______.15．若正整数m满足则m=________.（参考数据:lg2≈0.3010）16．在三棱锥中，底面为的中点.若三棱锥的顶点均在球的球面上，是该球面上一点，且三棱锥体积的最大值是，则球的表面积为__________.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本题满分10分）如图，平面四边形中，.（1）若，求的值；（2）试问为何值时，平面四边形的面积最大？18.（本题满分12分）已知为数列的前项和，，．（1）求；（2）若，证明：．19．（本题满分12分）如图，，为圆柱的母线，是底面圆的直径，，分别是，的中点，面．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面的夹角余弦值．20．（本题满分12分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过公里的地铁票价如下表：乘坐里程（单位：）票价（单位：元）现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过公里.已知甲、乙乘车不超过公里的概率分别为，，甲、乙乘车超过公里且不超过公里的概率分别为，.（1）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（2）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．21．（本题满分12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不断重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.则这些折痕所围成的图形是一个椭圆.现取半径为的圆形纸片，定点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以向量的方向为轴正方向，线段中点为原点建立平面直角坐标系.（1）求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）已知点是圆上任意一点，过点做椭圆的两条切线，切点分别是，求面积的最大值，并确定此时点的坐标.注：椭圆：上任意一点处的切线方程是：.22.（本题满分12分）已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若，是函数的两个极值点，且，求证：.参考答案一、单项选择题1．D2．B3．D4．A5．C6．D7．A8．B二、多项选择题9．AD10．BC11．CD12．AC三、填空题13．14．1015．15516．四、解答题17．（1）解：若，，所以，在中，所以；（2）解：因为，，所以，根据余弦定理得，因为所以，，所以，所以，时，取到最大值18．解：（1）①时，②则①-②得，当时可整理得，即，由①当时，，得，当时，，得，，，又，，符合，；（2）由（1）得，，19．（1）证明：取中点，连接，，如图所示：因为分别为，，的中点，所以，，又因为平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又因为，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面.（2）解：连接，如图所示：因为分别为的中点，所以，，又因为为的中点，所以，，所以，，即四边形为平行四边形，即.因为面，所以面.又因为面，所以，即.以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令得.则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.20．解：（1）由题意可知，甲、乙乘车超过公里且不超过公里的概率分别为，则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率，所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率.（2）由题意可知，,则,,,,,所以的分布列为则.21．解：（1）设为椭圆上一点，则，所以点轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，设椭圆的方程为，