2023届广东省深圳市高三下学期4月高考冲刺卷一数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省深圳市2023届高三下学期4月高考冲刺卷一数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故选：C2.已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗由题意，复数满足，可得，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.3.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设圆锥的半径为r，母线长为l，则，由题意知，，解得：，所以圆锥的侧面积为.故选：A.4.已知，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.5.某班学生的一次的数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：，且，，（）A.0.14 B.0.18 C.0.23 D.0.26〖答案〗C〖解析〗因为，，所以，又，所以.故选：C.6.已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左､右两支分别交于两点，，则实数（）A. B. C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗如图所示：设，，即，解得，，即，故．，，，，，即．故选：C7.如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图可知,，，因为是的中点，所以，所以，即，所以，由条件可得，，，因为P为AC边上的一个动点，故当P为AC中点时，最小，此时，当P为A或C时，最大，，所以，所以，又因为，所以.故选：C.8.定义在R上的函数满足，①对于互不相等的任意，都有，且当时，，②对任意恒成立，③的图象关于直线对称，则､､的大小关系为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为的图象关于直线对称，则函数关于轴对称，所以函数为上的偶函数，又因为对任意恒成立，则函数的周期为4，又因为对于互不相等的任意，都有，且当时，，所以对任意，则，故有，所以函数在上单调递增，则有，，，因为函数在上单调递增，则，即，故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗A选项，因为a，b都是正实数，故，当且仅当，即时，等号成立，A正确；B选项，因为a，b都是正实数，故，当且仅当，即时，等号成立，B错误；C选项，，故恒成立，C正确；D选项，a是正实数，故，其中，故，当且仅当，即时，等号成立，D错误.故选：AC10.某研究机构为了探究吸烟与肺气肿是否有关，调查了200人.统计过程中发现随机从这200人中抽取一人，此人为肺气肿患者的概率为0.1.在制定列联表时，由于某些因素缺失了部分数据，而获得如图所示的列联表，下列结论正确的是（）患肺气肿不患肺气肿合计吸烟15不吸烟120合计200参考公式与临界值表：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828A.不吸烟患肺气肿的人数为5人 B.200人中患肺气肿的人数为10人C.的观测值 D.按99.9%的可靠性要求，可以认为“吸烟与肺气肿有关系”〖答案〗AD〖解析〗A选项，200人中抽取一人，此人为肺气肿患者的概率为0.1，故肺气肿患者共有人，由于吸烟患肺气肿的人数为15人，故不吸烟患肺气肿的人数为5人，A正确，B错误；C选项，列联表如下：患肺气肿不患肺气肿合计吸烟156075不吸烟5120125合计20180200则的观测值，C错误；D选项，由于，故按99.9%的可靠性要求，可以认为“吸烟与肺气肿有关系”，D正确.故选：AD11.若函数，则下列结论正确的是（）A.函数的最小正周期为 B.函数在区间上单调递增C.函数图象关于对称 D.函数的图象关于点对称〖答案〗BCD〖解析〗由，所以最小正周期为，A错误；当，则，故在上递增，B正确；由，故是的一条对称轴，C正确；由，故是的一个对称点，D正确.故选：BCD.12.已知函数（且），且，，，则下列结论正确的是（）A.为R上的增函数 B.无极值C. D.〖答案〗ABC〖解析〗已知函数（且），则，则，所以，故在R上单调递增，A选项正确；因为为R上的增函数，所以无极值，B选项正确；因为是增函数，所以，因为是减函数，所以，因为是减函数，所以，综上可知，，又为增函数，则，C选项正确，D选项错误；故选：ABC.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数为奇函数，则___________.〖答案〗〖解析〗由函数为奇函数，可得，即，解得，当时，，此时函数为奇函数，符合题意；当时，，则，即，此时函数为奇函数，符合题意，综上可得，实数的值为.故〖答案〗为：.14.展开式中的系数为___________.〖答案〗〖解析〗的展开式的通项为：，，取和，计算得到系数为：.故〖答案〗为：.15.已知椭圆C：的离心率为，F为椭圆C的一个焦点，P为椭圆C上一点，则的最大值为___________.〖答案〗〖解析〗设椭圆的半长轴为a，半焦距为c，因为，所以，故椭圆焦点在y轴上，因为，离心率为，所以，解得，所以，，由椭圆性质知，，故〖答案〗为：．16.已知数列的前n项和为，满足：，且，为方程的两根，且.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.〖答案〗〖解析〗由可知数列是等差数列，设其公差为，解方程得或，又，，，.由得，，设，则，由对于任意恒成立，所以只考虑的符号，设，，令解得，即在上单调递增，令解得，即在上单调递减，，，，当，，当，时，，即，，当，，即，即从，开始单调递减，即，，即，的取值范围为.故〖答案〗为：.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等比数列的前n项和为，其公比，，且.（1）求数列的通项公式；（2）等比数列的前n项和为，其公比，，求证：.（1）解：因为是等比数列，公比为，则，所以，解得，由，可得，解得，所以数列的通项公式为.（2）证明：由（1）知，，，则等比数列的前项和为因为，所以，所以.18.某食品公司在八月十五来临之际开发了一种月饼礼盒，礼盒中共有7个两种口味的月饼，其中4个五仁月饼和3个枣泥月饼.（1）一次取出两个月饼，求两个月饼为同一种口味的概率；（2）依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第1次､第2次取到的都是五仁月饼的概率；（3）依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第2次取到枣泥月饼的概率.解：（1）一次取出2个月饼，共有种方法，其中两个都是五仁有种方法，两个都是枣泥的有种方法，两个月饼为同一种口味的概率为；（2）依次不放回地从礼盒中取2个月饼，共有种方法，其中求第1次､第2次取到的取到都是五仁月饼的有种方法，所以第1次､第2次取到的都是五仁月饼的概率是；（3）依次不放回地从礼盒中取2个月饼，共有种方法，第1次取五仁､第2次取到枣泥月饼的方法有种，第1次取到枣泥､第2次也取到枣泥月饼的方法有种，所以第2次取到枣泥月饼的概率为.19.已知a､b､c分别为三内角A､B､C所对的边，且.（1）求A；（2）若，且，求c的值.解：（1）依题意，因为，由正弦定理得：，由，所以，所以，所以，又因为，所以，所以.（2）由（1）以及余弦定理变形式得：即，由，解得或（舍去），所以，.20.已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，D为AB中点.（1）证明：；（2）求二面角的大小；（3）求直线CA与平面所成角的正弦值.（1）证明：由为正三棱柱可知，平面，又平面，所以，由底面是边长为2的正三角形，D为AB的中点，所以；又，平面，所以平面；又平面，所以；（2）解：取线段的中点分别为，连接，易知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示;由侧棱长为，底面边长为2可得，，由D为AB的中点可得，所以，设平面的一个法向量为，则，令，可得；即；易得即为平面的一个法向量，所以，设二面角的平面角为，由图可知为锐角，所以，即；即二面角的大小为.（3）解：由（2）可知，平面的一个法向量为，设直线CA与平面所成的角为，所以，即直线CA与平面所成角的正弦值为.21.已知斜率存在的直线过点且与抛物线交于两点.（1）若直线的斜率为1，为线段的中点，的纵坐标为2，求抛物线的方程；（2）若点也在轴上，且不同于点，直线的斜率满足，求点的坐标.解：（1）因为直线的斜率为1且过点，所以直线的方程为：，设，由，得：，所以，所以，因为为线段的中点，的纵坐标为2，所以，所以抛物线的方程为：.（2）设直线的方程为：，，，得：，所以，由由，所以，即，所以，所以点的坐标为.22.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围.解：（1）当时，，则，所以，切线斜率为，所以切线方程为：，即：.（2）∵，定义域为，∴，又∵有两个极值点，∴有两个零点，即：（）有两个不同的根.即：（）有两个不同的根.令，则与在上有两个不同的交点.∵，则，，∴在上单调递增，在上单调递减，又∵，，当时，；当时，，∴的图象如图所示，所以，所以.广东省深圳市2023届高三下学期4月高考冲刺卷一数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故选：C2.已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗由题意，复数满足，可得，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.3.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设圆锥的半径为r，母线长为l，则，由题意知，，解得：，所以圆锥的侧面积为.故选：A.4.已知，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.5.某班学生的一次的数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：，且，，（）A.0.14 B.0.18 C.0.23 D.0.26〖答案〗C〖解析〗因为，，所以，又，所以.故选：C.6.已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左､右两支分别交于两点，，则实数（）A. B. C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗如图所示：设，，即，解得，，即，故．，，，，，即．故选：C7.如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图可知,，，因为是的中点，所以，所以，即，所以，由条件可得，，，因为P为AC边上的一个动点，故当P为AC中点时，最小，此时，当P为A或C时，最大，，所以，所以，又因为，所以.故选：C.8.定义在R上的函数满足，①对于互不相等的任意，都有，且当时，，②对任意恒成立，③的图象关于直线对称，则､､的大小关系为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为的图象关于直线对称，则函数关于轴对称，所以函数为上的偶函数，又因为对任意恒成立，则函数的周期为4，又因为对于互不相等的任意，都有，且当时，，所以对任意，则，故有，所以函数在上单调递增，则有，，，因为函数在上单调递增，则，即，故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗A选项，因为a，b都是正实数，故，当且仅当，即时，等号成立，A正确；B选项，因为a，b都是正实数，故，当且仅当，即时，等号成立，B错误；C选项，，故恒成立，C正确；D选项，a是正实数，故，其中，故，当且仅当，即时，等号成立，D错误.故选：AC10.某研究机构为了探究吸烟与肺气肿是否有关，调查了200人.统计过程中发现随机从这200人中抽取一人，此人为肺气肿患者的概率为0.1.在制定列联表时，由于某些因素缺失了部分数据，而获得如图所示的列联表，下列结论正确的是（）患肺气肿不患肺气肿合计吸烟15不吸烟120合计200参考公式与临界值表：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828A.不吸烟患肺气肿的人数为5人 B.200人中患肺气肿的人数为10人C.的观测值 D.按99.9%的可靠性要求，可以认为“吸烟与肺气肿有关系”〖答案〗AD〖解析〗A选项，200人中抽取一人，此人为肺气肿患者的概率为0.1，故肺气肿患者共有人，由于吸烟患肺气肿的人数为15人，故不吸烟患肺气肿的人数为5人，A正确，B错误；C选项，列联表如下：患肺气肿不患肺气肿合计吸烟156075不吸烟5120125合计20180200则的观测值，C错误；D选项，由于，故按99.9%的可靠性要求，可以认为“吸烟与肺气肿有关系”，D正确.故选：AD11.若函数，则下列结论正确的是（）A.函数的最小正周期为 B.函数在区间上单调递增C.函数图象关于对称 D.函数的图象关于点对称〖答案〗BCD〖解析〗由，所以最小正周期为，A错误；当，则，故在上递增，B正确；由，故是的一条对称轴，C正确；由，故是的一个对称点，D正确.故选：BCD.12.已知函数（且），且，，，则下列结论正确的是（）A.为R上的增函数 B.无极值C. D.〖答案〗ABC〖解析〗已知函数（且），则，则，所以，故在R上单调递增，A选项正确；因为为R上的增函数，所以无极值，B选项正确；因为是增函数，所以，因为是减函数，所以，因为是减函数，所以，综上可知，，又为增函数，则，C选项正确，D选项错误；故选：ABC.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数为奇函数，则___________.〖答案〗〖解析〗由函数为奇函数，可得，即，解得，当时，，此时函数为奇函数，符合题意；当时，，则，即，此时函数为奇函数，符合题意，综上可得，实数的值为.故〖答案〗为：.14.展开式中的系数为___________.〖答案〗〖解析〗的展开式的通项为：，，取和，计算得到系数为：.故〖答案〗为：.15.已知椭圆C：的离心率为，F为椭圆C的一个焦点，P为椭圆C上一点，则的最大值为___________.〖答案〗〖解析〗设椭圆的半长轴为a，半焦距为c，因为，所以，故椭圆焦点在y轴上，因为，离心率为，所以，解得，所以，，由椭圆性质知，，故〖答案〗为：．16.已知数列的前n项和为，满足：，且，为方程的两根，且.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.〖答案〗〖解析〗由可知数列是等差数列，设其公差为，解方程得或，又，，，.由得，，设，则，由对于任意恒成立，所以只考虑的符号，设，，令解得，即在上单调递增，令解得，即在上单调递减，，，，当，，当，时，，即，，当，，即，即从，开始单调递减，即，，即，的取值范围为.故〖答案〗为：.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等比数列的前n项和为，其公比，，且.（1）求数列的通项公式；（2）等比数列的前n项和为，其公比，，求证：.（1）解：因为是等比数列，公比为，则，所以，解得，由，可得，解得，所以数列的通项公式为.（2）证明：由（1）知，，，则等比数列的前项和为因为，所以，所以.18.某食品公司在八月十五来临之际开发了一种月饼礼盒，礼盒中共有7个两种口味的月饼，其中4个五仁月饼和3个枣泥月饼.（1）一次取出两个月饼，求两个月饼为同一种口味的概率；（2）依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第1次､第2次取到的都是五仁月饼的概率；（3）依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第2次取到枣泥月饼的概率.解：（1）一次取出2个月饼，共有种方法，其中两个都是五仁有种方法，两个都是枣泥的有种方法，两个月饼为同一种口味的概率为；（2）依次不放回地从礼盒中取2个月饼，共有种方法，其中求第1次､第2次取到的取到都是五仁月饼的有种方法，所以第1次､第2次取到的都是五仁月饼的概率是；（3）依次不放回地从礼盒中取2个月饼，共有种方法，第1次取五仁､第2次取到枣泥月饼的方法有种，第1次取到枣泥､第2次也取到枣泥月饼的方法有种，所以第2次取到枣泥月饼的概率为.19.已知a､b､c分别为三内角A､B､C所对的边，且.（1）求A；（2）若，且，求c的值.解：（1）依题意，因为，