2023届高三下学期开学摸底考数学试卷C（全国乙卷专用（文））（解析版） - 副本

高级中学名校试卷PAGEPAGE12023届高三下学期开学摸底考试卷C（全国乙卷专用（文））数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．集合，则（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗.故选:.2．已知为虚数单位)，则在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限〖答案〗B〖解析〗由可得，所以，则，故复平面内对应的点在第二象限，故选：B3．已知向量，且，则（

）A．68 B． C． D．〖答案〗D〖解析〗已知向量，,，即，又，，故，.故选：D.4．已知数据是某市个普通职工的年收入，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是（

）A．年收入的平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变；B．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差也不变；C．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大；D．年收入的平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变.〖答案〗C〖解析〗因为数据x1，x2，x3，…，xn是普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，而xn+1为世界首富的年收入则xn+1会远大于x1，x2，x3，…，xn，故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，中位数可能不变，也可能稍微变大，由于数据的集中程度也受到xn+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大.故选：C．5．若实数满足约束条件则的最大值为（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影区域，其中点，目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，作直线，平移直线到直线，当直线过点A时，直线的纵截距最小，最大，所以．故选：A．6．已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8〖答案〗C〖解析〗抛物线：的焦点为，准线的方程为，如图，过作于，由抛物线的定义可知，所以则当三点共线时，最小为.所以的最小值为.故选：C.7．已知函数，且.为了得到函数的图象，可以把函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度〖答案〗D〖解析〗据题意可知，所以直线是函数的一条对称轴，则，，解得，即，.即函数的图象向左平移个单位长度可得，故选：D.8．函数图像大致为（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗由于，∵，∴是奇函数，图像关于原点对称，排除A，令，得，∴，，∴，，∴函数有无数个零点，排除D.当，，排除C.故选：B.9．已知正三棱锥，若平面，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗如图一所示：因为平面，平面，所以，，又因为几何体为正三棱锥，所以,，又因为,所以，所以,所以，所以，即两两垂直，将三棱锥补成以为邻边的正方体，如图二所示：则三棱锥的外接球即为补形后的正方体的外接球，所以，即，所以球=.故选：B.10．已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的有（

）A．若，则 B．C．数列是等比数列 D．对任意正整数，〖答案〗D〖解析〗对于A选项，若且，则对任意的，，所以，，即，A错；对于B选项，当时，，则，B错；对于C选项，若，则，此时，数列不是等比数列，C错；对于D选项，，，所以，，D对.故选：D.11．椭圆的左右焦点分别为，右顶点为，点在椭圆上，满足，则椭圆的离心率为（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗由，得,故，即，故，，在△中，由余弦定理可得：，，化简得，即，则，，因为，所以解得或（舍），故选：B.12．已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由题意得,令，，该函数在R上为单调增函数，且，故函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，令即直线与的图象有两个不同交点，又，当时，递增，当时，递减，则，当时，，作出其图象如图：由图象可知直线与的图象有两个不同交点，需有，故选：A.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题共4小题，每小题5分，共20分.13．某中学从甲、乙两个班中各选出15名学生参加知识竞赛，将他们的成绩（满分100分）进行统计分析，绘制成如图所示的茎叶图.设成绩在88分以上（含88分）的学生为优秀学生，现从甲、乙两班的优秀学生中各取1人，记甲班选取的学生成绩不低于乙班选取得学生成绩记为事件，则事件发生的概率___________.〖答案〗〖解析〗从甲、乙两班的优秀学生中各取1人所有的可能为：，共18种情况，其中甲班选取的学生成绩不低于乙班选取得学生成绩的情况有4种，所以，故〖答案〗为：14．已知等差数列的前项和为，且，则___________；〖答案〗〖解析〗设等差数列的公差为，由得：，解得，又，于是得，解得，所以.故〖答案〗为：15．若直线过，且被圆截得的弦长为，则直线方程为______〖答案〗或〖解析〗由，得，所以圆的标准方程为，即圆的圆心坐标为，半径为，因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为，当斜率不存在时，直线的方程为，也符合题意；当斜率存在时，设直线的方程为，即，因为圆心到直线：的距离为，所以，解得，所以直线方程为．即所求直线的方程为或．故〖答案〗为：或．16．已知定义R上的函数满足，又的图象关于点对称，且，则______〖答案〗〖解析〗的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，即为奇函数，在中，所以又，所以是的周期函数，故〖答案〗为：三、解答题共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．在中，内角的对边分别是．已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．解：（1）因为，所以，所以，因为，所以.（2）由得，所以，所以，所以的面积为.18．如图，在四棱锥中，底面ABCD，梯形ABCD中，，，E是PD的中点.（1）求证：平面平面PBC；（2）若，求P到平面AEC的距离.（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，平面ABCD，∴.取AB的中点M，连接CM，∵，，∴，，∴四边形ADCM为平行四边形.∵，∴为菱形，∴.∵，∴四边形BMDC为平行四边形,∴,∴.又有，平面PBC,∴AC⊥平面PBC.平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.（2）解：∵，，，∴，又有，，，∴.，E为PD的中点，，∴在中，.由,得,求得.在中，，则，∴的面积.设P到平面AEC的距离为d，又，解得.19．2022年国际篮联女篮世界杯在澳大利亚悉尼落下帷幕，中国女篮团结一心､顽强拼搏获得亚军.这届世界杯，中国女篮为国人留下了许多精彩瞬间和美好回忆，尤其是半决赛绝杀东道主澳大利亚堪称经典一幕.为了了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下列联表.男女合计喜爱3040不喜爱40合计100（1）将列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关？（2）在不喜爱篮球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率.附：，其中.解：（1）由题意进行数据分析，得到列联表如下：男女合计喜爱301040不喜爱204060合计5050100计算所以在犯错误的概率不超过的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关.（2）不喜爱篮球运动的观众中，有男观众20人，女观众40人，按照分层抽样的方式抽取6人，有男观众2人，记为a、b，女观众4人，记为1、2、3、4.从6人中抽取2人，有：，共15个.记“所抽2人至少有一位男性”为事件A,包含：，共9个.所以.20．已知椭圆经过点和.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，且坐标原点到直线的距离为，求证：以为直径的圆经过点.（1）解：因为椭圆经过点，所以，又因为椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的方程为；（2）证明：设,，,，由，可得，由题意，，即，所以，，因为原点到直线的距离为，所以，即，因为，所以．因此以为直径的圆过原点．21．已知函数．（1）证明：当a＝1时，；（2）若是f（x）的极小值点，求a的取值范围．（1）证明：当时，．所以．令，则．当时，单调递减；当1时，单调递增；．所以，因此．（2）解：因为当时，，则当时，；当时，，故是f（x）的极大值点，不符合题意，舍去；当时，令，则或；由，当时，；当时，，故是f（x）的极大值点，不符合题意，舍去；当时，,①若，即，，故f（x）在R上单调递增，不符合题意，舍去；②若，即时，当时，，当时，，故是f（x）的极大值点，不符合题意，舍去；③若，即时，当时，，当时，，故是f（x）的极小值点，符合题意.综上所述，22题、23题为选做题；共10分。请考生在第22题、23题中任选一题作答；如果多做，则按所做的第一题计分。22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度，已知曲线，过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于两点.（1）求的取值范围；（2）若成等比数列，求实数的值.解：（1）由得，所以曲线的直角坐标方程为，把代入得，直线与曲线交于两点，则，解得或，又，所以；（2）设对应的参数为，由（1）得，，成等比数列，则，即，，解得或（舍去）．所以．23．已知函数（），若函数的最小值为5.（1）求的值；（2）若均为正实数，且，求的最小值.解：（1）因为，所以，即，则在内单调递减，在内单调递增，所以，由题意，得，解得.（2）由（1）知，，，当且仅当、、时取等号，所以的最小值为2023届高三下学期开学摸底考试卷C（全国乙卷专用（文））数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．集合，则（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗.故选:.2．已知为虚数单位)，则在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限〖答案〗B〖解析〗由可得，所以，则，故复平面内对应的点在第二象限，故选：B3．已知向量，且，则（

）A．68 B． C． D．〖答案〗D〖解析〗已知向量，,，即，又，，故，.故选：D.4．已知数据是某市个普通职工的年收入，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是（

）A．年收入的平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变；B．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差也不变；C．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大；D．年收入的平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变.〖答案〗C〖解析〗因为数据x1，x2，x3，…，xn是普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，而xn+1为世界首富的年收入则xn+1会远大于x1，x2，x3，…，xn，故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，中位数可能不变，也可能稍微变大，由于数据的集中程度也受到xn+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大.故选：C．5．若实数满足约束条件则的最大值为（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影区域，其中点，目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，作直线，平移直线到直线，当直线过点A时，直线的纵截距最小，最大，所以．故选：A．6．已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8〖答案〗C〖解析〗抛物线：的焦点为，准线的方程为，如图，过作于，由抛物线的定义可知，所以则当三点共线时，最小为.所以的最小值为.故选：C.7．已知函数，且.为了得到函数的图象，可以把函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度〖答案〗D〖解析〗据题意可知，所以直线是函数的一条对称轴，则，，解得，即，.即函数的图象向左平移个单位长度可得，故选：D.8．函数图像大致为（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗由于，∵，∴是奇函数，图像关于原点对称，排除A，令，得，∴，，∴，，∴函数有无数个零点，排除D.当，，排除C.故选：B.9．已知正三棱锥，若平面，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗如图一所示：因为平面，平面，所以，，又因为几何体为正三棱锥，所以,，又因为,所以，所以,所以，所以，即两两垂直，将三棱锥补成以为邻边的正方体，如图二所示：则三棱锥的外接球即为补形后的正方体的外接球，所以，即，所以球=.故选：B.10．已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的有（

）A．若，则 B．C．数列是等比数列 D．对任意正整数，〖答案〗D〖解析〗对于A选项，若且，则对任意的，，所以，，即，A错；对于B选项，当时，，则，B错；对于C选项，若，则，此时，数列不是等比数列，C错；对于D选项，，，所以，，D对.故选：D.11．椭圆的左右焦点分别为，右顶点为，点在椭圆上，满足，则椭圆的离心率为（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗由，得,故，即，故，，在△中，由余弦定理可得：，，化简得，即，则，，因为，所以解得或（舍），故选：B.12．已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由题意得,令，，该函数在R上为单调增函数，且，故函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，令即直线与的图象有两个不同交点，又，当时，递增，当时，递减，则，当时，，作出其图象如图：由图象可知直线与的图象有两个不同交点，需有，故选：A.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题共4小题，每小题5分，共20分.13．某中学从甲、乙两个班中各选出15名学生参加知识竞赛，将他们的成绩（满分100分）进行统计分析，绘制成如图所示的茎叶图.设成绩在88分以上（含88分）的学生为优秀学生，现从甲、乙两班的优秀学生中各取1人，记甲班选取的学生成绩不低于乙班选取得学生成绩记为事件，则事件发生的概率___________.〖答案〗〖解析〗从甲、乙两班的优秀学生中各取1人所有的可能为：，共18种情况，其中甲班选取的学生成绩不低于乙班选取得学生成绩的情况有4种，所以，故〖答案〗为：14．已知等差数列的前项和为，且，则___________；〖答案〗〖解析〗设等差数列的公差为，由得：，解得，又，于是得，解得，所以.故〖答案〗为：15．若直线过，且被圆截得的弦长为，则直线方程为______〖答案〗或〖解析〗由，得，所以圆的标准方程为，即圆的圆心坐标为，半径为，因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为，当斜率不存在时，直线的方程为，也符合题意；当斜率存在时，设直线的方程为，即，因为圆心到直线：的距离为，所以，解得，所以直线方程为．即所求直线的方程为或．故〖答案〗为：或．16．已知定义R上的函数满足，又的图象关于点对称，且，则______〖答案〗〖解析〗的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，即为奇函数，在中，所以又，所以是的周期函数，故〖答案〗为：三、解答题共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．在中，内角的对边分别是．已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．解：（1）因为，所以，所以，因为，所以.（2）由得，所以，所以，所以的面积为.18．如图，在四棱锥中，底面ABCD，梯形ABCD中，，，E是PD的中点.（1）求证：平面平面PBC；（2）若，求P到平面AEC的距离.（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，平面ABCD，∴.取AB的中点M，连接CM，∵，，∴，，∴四边形ADCM为平行四边形.∵，∴为菱形，∴.∵，∴四边形BMDC为平行四边形,∴,∴.又有，平面PBC,∴AC⊥平面PBC.平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.（2）解：∵，，，∴，又有，，，∴.，E为PD的中点，，∴在中，.由,得,求得.在中，，则，∴的面积.设P到平面AEC的距离为d，又，解得.19．2022年国际篮联女篮世界杯在澳大利亚悉尼落下帷幕，中国女篮团结一心､顽强拼搏获得亚军.这届世界杯，中国女篮为国人留下了许多精彩瞬间和美好回忆，尤其是半决赛绝杀东道主澳大利亚堪称经典一幕.为了了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下列联表.男女合计喜爱3040不喜爱40合计100（1）将列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关？（2）在不喜爱篮球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率.附：，其中.解：（1）由题意进行数据分析，得到列联表如下：男女合计喜爱301040不喜爱204060合计5050100计算所以在犯错误的概率不超过的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关.（2）不喜爱篮球运动的观众中，有男观众20人，女观众40人，按照分层抽样的方式抽取6人，有男观众2人，记为a、b，女观众4人，记为1、2、3、4.从6人中抽取2人，有：，共15个.记“所抽2人至少有一位男性”为事件A,包含：，共