2023届高三下学期开学摸底考数学试卷A（新高考II卷专用）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12023届高三下学期开学摸底考试卷A（新高考II卷专用）数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集，，，则（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗，，，故选：B2．若（为虚数单位）是纯虚数，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．2〖答案〗C〖解析〗，由于为纯虚数，因此且，故，故选：C.3．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智如南宋数学家杨辉在《详析九章算法商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗记第层有个球，则，，，，结合高阶等差数列的概念知，，，，，则第层的小球个数．故选：B4．已知，若非零向量满足，则（

）A． B．10 C．3 D．〖答案〗A〖解析〗设，则，，则，.故选：A5．因为疫情防控的需要，某校高二年级4名男教师和3名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务．根据岗位需求应派3人巡视商户，且至少一名男教师；另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温，则这7名教师不同的安排方法有（

）种．A．34 B．816 C．216 D．210〖答案〗B〖解析〗从7人中任选3人，不同的选法有种，而不选男教师的选法有种，则巡视商户的3人中至少一名男教师安排方法有种，另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法有种．则这7名教师不同的安排方法有种．故选：B．6．若，则（

）A． B． C． D．1〖答案〗C〖解析〗因为，可得，可得，解得，因为，所以，所以，所以.故选：C.7．已知直三棱柱中，，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因为三棱柱为直三棱柱，所以，平面所以，要使三棱柱的体积最大，则面积最大，因为，令因为，所以，在中，，所以，，所以，，所以，当，即时，取得最大值，所以，当时，取得最大值，此时为等腰三角形，，所以，，所以，所以，由正弦定理得外接圆的半径满足，即，所以，直三棱柱外接球的半径，即，所以，直三棱柱外接球的体积为.故选：C8．设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，．现有下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④〖答案〗D〖解析〗因为，所以．因为，所以，所以．因为，所以，得，所以，所以，所以的图象关于直线对称，所以，故①正确．因为为奇函数，所以，且．因为，所以，则的周期，所以，故③错误．因为，所以的周期也为4，所以，，所以，故②正确．因为，，，，所以，所以④正确．故选:D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．关于函数的描述正确的是（

）A．图象可由的图象向左平移个单位得到B．在单调递减C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称〖答案〗ACD〖解析〗向左平移个单位后变为，对，则，所以在单调递减，在不是单调减函数，错.，则当时，，的其中一条对称轴，C对，则，当时，，的其中一个对称中心为，D对，故选：.10．已知抛物线：的焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．以为直径的圆与准线相切C．设，则D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条〖答案〗ABC〖解析〗取的中点，在上的投影为，在的投影为，如图所示：对于选项A，因为，所以，故A正确；对于选项B，根据抛物线的性质，，为梯形的中位线，故，以为直径的圆与准线相切，故B选项正确；对于选项C，因为，所以，故C正确；对于选项D，显然直线，与抛物线只有一个公共点，设过的直线方程为，联立可得，令，解得，所以直线与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误.故选：ABC11．如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是（

）A．B．平面C．三棱锥的体积为定值D．异面直线，所成的角为定值〖答案〗ABC〖解析〗因为，，，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，故A项正确；易知，所以，且平面，平面，所以平面，故B项正确；如图1，连结交于点.图1因为平面，平面，所以，所以.因为，，，平面，平面，，所以平面.所以到平面的距离为，所以为定值，故C项正确；D．当，，取为，如下图2所示：图2因为，所以异面直线所成角为，，且；当，，取为，如下图3所示：图3易知，，所以四边形是平行四边形，所以.因为，是的中点，所以.又，，，所以异面直线所成角为，且，由此可知：异面直线所成角不是定值，故错误.故选：ABC.12．下列大小关系正确的是（

）A． B．C． D．〖答案〗ABD〖解析〗作出和的图象，如图所示，由图象可得，当时，，当时，，，，故A，B正确.令，则，在上单调递减，所以，故C错误.所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设随机变量，若，则_________．〖答案〗〖解析〗因为，，所以对称轴为，所以，．故〖答案〗为：.14．已知函数，则曲线在点处的切线方程为______.〖答案〗〖解析〗，，，所以曲线在点处的切线方程为，即．故〖答案〗为：15．已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线PA，PB，切点为A，B．四边形PAMB面积的最小值为______．〖答案〗〖解析〗如图，四边形PAMB的面积，所以当最小时，四边形PAMB的面积最小，又的最小值是圆心到直线的距离，即，所以四边形PAMB的面积最小值是．故〖答案〗为：．16．如图，椭圆：的离心率为，F是的右焦点，点P是上第一角限内任意一点，，FQ?OP=0，若，则的取值范围是_______．〖答案〗〖解析〗设，，，则，由，得，代入椭圆方程，得，化简得恒成立，由此得，即，故．故〖答案〗为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．数列满足，且.（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前项和.（1）证明：.所以所以.所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.（2）解：由（1）得.所以.设前项和为，前项和为，所以，，两式错位相减得，所以，所以.所以.18．在中，设角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，求的最大值.解：（1）由，得即，从而，由，得.（2）由得，从而，即又因为，得所以，即，从而，而，故解得，当且仅当时取等号，所以的最大值为.19．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，在该批棉花中随机抽取了容量为120的样本，测量每个样本棉花的纤维长度（单位：mm，纤维长度是棉花质量的重要指标），所得数据均在区间内，将其按组距为2分组，制作成如图所示的频率分布直方图，其中纤维长度不小于28mm的棉花为优质棉.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）已知抽取的容量为120的样本棉花产自于A，B两个试验区，部分数据如下2×2列联表：A试验区B试验区合计优质棉10非优质棉30合计120将2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质棉与A，B两个试验区有关系；(3)若从这批120个样本棉花中随机抽取3个，其中有X个优质棉，求X的分布列和数学期望.注：①独立性检验的临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828②，其中.解：（1）由，解得（2）抽取的优质棉样本数为则非优质棉样本数为90，则2×2列联表如下：A试验区B试验区合计优质棉102030非优质棉603090合计7050120则没有99.9%的把握认为优质棉与A，B两个试验区有关系.（3）X的可能取值为0，1，2，3则，，则X的分布列如下：X0123P数学期望.20．如图，在多面体中，四边形为直角梯形，，，，，四边形为矩形．（1）求证：平面平面ABCD；（2）线段MN上是否存在点H，使得二面角的余弦值为？若不存在，请说明理由．若存在，确定点H的位置．（1）证明：如图1，∵四边形为直角梯形，，，，，∴由平面几何的知识得，，又，∴在中，满足，∴为直角三角形，且．∵四边形为矩形，∴．∵，，，平面，平面，∴平面．又∵平面，∴平面平面；（2）解：存在点，使得二面角的余弦值为，点为线段上靠近的四等分点．以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图2，∴，设，由，即，得．设平面的一个法向量为，∴，即，不妨设，则．平面的一个法向量为．设二面角的平面角大小为，∴，解得或（舍去）所以当点为线段上靠近的四等分点时，二面角的余弦值为．21．若双曲线的一个焦点是，且离心率为2．（1）求双曲线的方程；（2）设过焦点的直线的一个法向量为，当直线与双曲线的右支相交于不同的两点时，①求实数的取值范围；②是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）因为双曲线的一个焦点是，且离心率为2，由解得，所以双曲线的方程为.（2）①根据题意设直线，由得，由得，恒成立，设，，则，，直线与双曲线的右支相交于不同的两点即所以解得.②设存在实数，使为锐角，所以即，因为，所以，由①得即解得，与矛盾，故不存在.22．设函数，为的导函数.（1）当时，①若函数的最大值为0，求实数的值；②若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.（2）当时，设，若，其中，证明：.（1）解：当时，.①易知，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，故，所以.②解法一，不等式.设（），，则由①知，所以存在实数，使得不等式成立，等价于存在实数，使得成立.易知在上单调递减，所以，所以，即实数的取值范围为.解法二，不等式.设，则存在实数，使得不等式成立，等价于存在实数，使得成立.易知，当时，易知，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围为.（2）证明：当时，，，所以，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，且当时，，当时，，故可作出的大致图象如图所示.不妨设，由图易知.要证，只需证.因为在上单调递减，所以只需证，又，所以只需证对任意的恒成立.设，则.设，则，因为当时，，，所以所以在上单调递减，所以，又当时，，所以，所以在上单调递增，所以，即在上恒成立，又，所以，原不等式得证.2023届高三下学期开学摸底考试卷A（新高考II卷专用）数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集，，，则（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗，，，故选：B2．若（为虚数单位）是纯虚数，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．2〖答案〗C〖解析〗，由于为纯虚数，因此且，故，故选：C.3．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智如南宋数学家杨辉在《详析九章算法商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗记第层有个球，则，，，，结合高阶等差数列的概念知，，，，，则第层的小球个数．故选：B4．已知，若非零向量满足，则（

）A． B．10 C．3 D．〖答案〗A〖解析〗设，则，，则，.故选：A5．因为疫情防控的需要，某校高二年级4名男教师和3名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务．根据岗位需求应派3人巡视商户，且至少一名男教师；另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温，则这7名教师不同的安排方法有（

）种．A．34 B．816 C．216 D．210〖答案〗B〖解析〗从7人中任选3人，不同的选法有种，而不选男教师的选法有种，则巡视商户的3人中至少一名男教师安排方法有种，另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法有种．则这7名教师不同的安排方法有种．故选：B．6．若，则（

）A． B． C． D．1〖答案〗C〖解析〗因为，可得，可得，解得，因为，所以，所以，所以.故选：C.7．已知直三棱柱中，，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因为三棱柱为直三棱柱，所以，平面所以，要使三棱柱的体积最大，则面积最大，因为，令因为，所以，在中，，所以，，所以，，所以，当，即时，取得最大值，所以，当时，取得最大值，此时为等腰三角形，，所以，，所以，所以，由正弦定理得外接圆的半径满足，即，所以，直三棱柱外接球的半径，即，所以，直三棱柱外接球的体积为.故选：C8．设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，．现有下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④〖答案〗D〖解析〗因为，所以．因为，所以，所以．因为，所以，得，所以，所以，所以的图象关于直线对称，所以，故①正确．因为为奇函数，所以，且．因为，所以，则的周期，所以，故③错误．因为，所以的周期也为4，所以，，所以，故②正确．因为，，，，所以，所以④正确．故选:D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．关于函数的描述正确的是（

）A．图象可由的图象向左平移个单位得到B．在单调递减C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称〖答案〗ACD〖解析〗向左平移个单位后变为，对，则，所以在单调递减，在不是单调减函数，错.，则当时，，的其中一条对称轴，C对，则，当时，，的其中一个对称中心为，D对，故选：.10．已知抛物线：的焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．以为直径的圆与准线相切C．设，则D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条〖答案〗ABC〖解析〗取的中点，在上的投影为，在的投影为，如图所示：对于选项A，因为，所以，故A正确；对于选项B，根据抛物线的性质，，为梯形的中位线，故，以为直径的圆与准线相切，故B选项正确；对于选项C，因为，所以，故C正确；对于选项D，显然直线，与抛物线只有一个公共点，设过的直线方程为，联立可得，令，解得，所以直线与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误.故选：ABC11．如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是（

）A．B．平面C．三棱锥的体积为定值D．异面直线，所成的角为定值〖答案〗ABC〖解析〗因为，，，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，故A项正确；易知，所以，且平面，平面，所以平面，故B项正确；如图1，连结交于点.图1因为平面，平面，所以，所以.因为，，，平面，平面，，所以平面.所以到平面的距离为，所以为定值，故C项正确；D．当，，取为，如下图2所示：图2因为，所以异面直线所成角为，，且；当，，取为，如下图3所示：图3易知，，所以四边形是平行四边形，所以.因为，是的中点，所以.又，，，所以异面直线所成角为，且，由此可知：异面直线所成角不是定值，故错误.故选：ABC.12．下列大小关系正确的是（

）A． B．C． D．〖答案〗ABD〖解析〗作出和的图象，如图所示，由图象可得，当时，，当时，，，，故A，B正确.令，则，在上单调递减，所以，故C错误.所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设随机变量，若，则_________．〖答案〗〖解析〗因为，，所以对称轴为，所以，．故〖答案〗为：.14．已知函数，则曲线在点处的切线方程为______.〖答案〗〖解析〗，，，所以曲线在点处的切线方程为，即．故〖答案〗为：15．已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线PA，PB，切点为A，B．四边形PAMB面积的最小值为______．〖答案〗〖解析〗如图，四边形PAMB的面积，所以当最小时，四边形PAMB的面积最小，又的最小值是圆心到直线的距离，即，所以四边形PAMB的面积最小值是．故〖答案〗为：．16．如图，椭圆：的离心率为，F是的右焦点，点P是上第一角限内任意一点，，FQ?OP=0，若，则的取值范围是_______．〖答案〗〖解析〗设，，，则，由，得，代入椭圆方程，得，化简得恒成立，由此得，即，故．故〖答案〗为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．数列满足，且.（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前项和.（1）证明：.所以所以.所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.（2）解：由（1）得.所以.设前项和为，前项和为，所以，，两式错位相减得，所以，所以.所以.18．在中，设角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，求的最大值.解：（1）由，得即，从而，由，得.（2）由得，从而，即又因为，得所以，即，从而，而，故解得，当且仅当时取等号，所以的最大值为.19．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，在该批棉花中随机抽取了容量为120的样本，测量每个样本棉花的纤维长度（单位：mm，纤维长度是棉花质量的重要指标），所得数据均在区间内，将其按组距为2分组，制作成如图所示的频率分布直方图，其中纤维长度不小于28mm的棉花为优质棉.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）已知抽取的容量为120的样本棉花产自于A，B两个试验区，部分数据如下2×2列联表：A试验区B试验区合计优质棉10非优质棉30合计120将2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质棉与A，B两个试验区有关系；(3)若从这批120个样本棉花中随机抽取3个，其中有X个优质棉，求X的分布列和数学期望.注：①独立性检验的临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828②，其中.解：（1）由，解得（2）抽取的优质棉样本数为则非优质棉样本数为90，则2×2列联表如下：A试验区B试验区合计优质棉102030非优质棉603090合计7050120则没有99.9%的把握认为优质棉与A，B两个试验区有关系.（3）X的可能取值为0，1，2，3则，，则X的分布列如下：X0123P数学期望.20．如图，在多面体中，四边形为直角梯形，，，，，四边形为矩形．（1）求证：平面平面ABCD；（2）线段MN上是否存在点H，使得二面角的余弦值为？若不存在，请说明理由．若存在，确定点H的位置．（1）证明：如图1，∵四边形为直角梯形，，，，，∴由平面几何的知识得，，又，∴