2023届甘肃省高考模拟数学试卷（二）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省2023届高考数学模拟试卷（二）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合，集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗在数轴上表示两个集合，如图：易知.故选：A.2.已知，且，其中a，b为实数，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，得即故选:.3.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵，∴.∴，即，∴,，故选B.4.正项等比数列中，，则的值（）A.10 B.20 C.36 D.128〖答案〗B〖解析〗∵数列为等比数列，且，∴，∴．故选B．5.椭圆的离心率为，则的值为（）A.-21 B.21 C.或21 D.或21〖答案〗C〖解析〗当焦点在轴时，当焦点在轴时，故选C6.如图是一个算法的流程图．若输入的值为，则输出的值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，执行程序，，不满足；执行程序，，不满足；执行程序，，满足，输出；故选C．7.如图，在正方体中，直线与平面所成的角的大小是（）A90° B.60° C.45° D.30°〖答案〗D〖解析〗如图，连接,,连接,因为,,所以平面,所以即为所求角，并且,所以,故选D.8.设{an}是有正数组成的等比数列，为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得a2a4＝a32＝1，∴a3＝1，设{an}的公比为q，则q＞0，∴S31＝7，解得q或q（舍去），∴a14，∴S5故选B.9.在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.7π B.8π C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，取BD中点H，连接AH，CH因为△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°设△ABD与△CBD外接圆圆心分别为E，F则由AH＝2可得AEAH，EHAH分别过E，F作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°所以OE＝1，则R＝OA则三棱锥外接球的表面积故选：D10.在6道题中有3道理综题和3道文综题，如果不放回地依次抽取2道题，则“在第1次抽到理综题的条件下，第2次抽到文综题”的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗法一：第1次抽到理综题的条件下，依次抽取2道题，共有种抽法，其中第2次抽取文综题的情况共有种，因此，所求概率.故选：D.法二：第一次抽到理综题的概率，第一次抽到理综题和第二次抽到文综题的概率.故选：D.11.设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是,过F作的垂线与双曲线交于B，C两点，若,则双曲线的渐近线的斜率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，，所以，根据,所以,代入后得，整理为，所以该双曲线渐近线的斜率是，故选C.12.函数，若，则不等式恒成立，则实数的取值范围是()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为对于，则不等式恒成立，所以在上是增函数，对函数进行化简可得，当时，在上递增，则在上递增，当时，的增区间为减区间为既在上有减区间．综上所述，，故实数的取值范围是，故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为________．〖答案〗3〖解析〗由题意得，抽取的女生人数为，故〖答案〗：3.14.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程是_______．〖答案〗〖解析〗设圆心坐标为，则，当且仅当时取等号，此时圆心坐标为，故〖答案〗为．15.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的有，则______.〖答案〗〖解析〗因为函数的周期为，函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，满足的可知，一个取最大值一个取最小值，因为，若，在取最大值，在取得最小值，，此时，不合题意，若，在取最小值，在取得最大值，，此时，满足题意.故〖答案〗为：.16.已知，，且．现给出如下结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号是________．〖答案〗②③〖解析〗因为，所以当时，；当或时，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为所以，要使有三个解、、，那么结合函数的大致图象可知：所以又函数有个零点在之间，所以，且，所以，，，，故〖答案〗为：②③．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第题为必考题，每个试题考生都必须作答.第、题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知，，分别是的角，，所对的边，且，.（1）若的面积等于，求，；（2）若，求的值.（1）解：∵，由余弦定理得，∵的面积和等于，∴，∴，联立；（2）解：∵，∴，∴，当时，；当时，，由正弦定理得，联立，解得，，∴，即，又∵，∴，综上所述，或.18.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（1）证明MN∥平面PAB;（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.（1）证明：由已知得.取的中点，连接，由为中点知，.又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（2）解：取的中点，连结.由得，从而，且.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，，，，，，，.设为平面的一个法向量，则即可取.于是.19.为了推进国家“民生工程”，某市现提供一批经济适用房来保障居民住房.现有条件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供,人申请，且他们的申请是相互独立的.（1）求两人不申请同一套住房的概率；（2）设3名申请人中申请甲套住房的人数为，求的分布列和数学期望.解：（1）设两人申请同一套住房为事件，，所以两人不申请同一套住房的概率为；（2）方法一：随机变量可能取的值为.，，，所以的分布列为0123所以数学期望.方法二：依题意得，所以，所以的分布列为0123所以数学期望.20.已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，.（1）求直线的斜率；（2）求椭圆的方程；（3）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.解：（1）由已知有，又由，可得，，设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知有，解得.（2）由（1）得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去，整理得，解得或，因为点在第一象限，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为（3）设点的坐标为，直线的斜率为，得，即,与椭圆方程联立，消去，整理得，又由已知，得，解得或，设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得.①当时，有，因此，于是，得②当时，有，因此，于是，得综上，直线的斜率的取值范围是21.设函数.（1）讨论的导函数的零点的个数；（2）证明：当时.（1）解：的定义域为，.当时,，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点.（2）证明：由（1），可设在的唯一零点为，当时，;当时，.故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.由于，所以.故当时，.（二）选考题，共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)，若以直角坐标系中的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为为参数)．（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线与曲线有公共点，求的取值范围．解：（1）由,得，又由所以曲线可化为，又由,得，即，所以曲线可化为.（2）若曲线M，N有公共点，则当直线过点时满足要求，此时，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立,得，由，解得.综上可求得t的取值范围是.选修4-5：不等式选讲23.已知，，求证：（1）；（2）.证明：（1）∵，∴，当且仅当a=b=c等号成立，∴；（2）由基本不等式，∴，同理，，∴，当且仅当a=b=c等号成立∴．甘肃省2023届高考数学模拟试卷（二）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合，集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗在数轴上表示两个集合，如图：易知.故选：A.2.已知，且，其中a，b为实数，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，得即故选:.3.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵，∴.∴，即，∴,，故选B.4.正项等比数列中，，则的值（）A.10 B.20 C.36 D.128〖答案〗B〖解析〗∵数列为等比数列，且，∴，∴．故选B．5.椭圆的离心率为，则的值为（）A.-21 B.21 C.或21 D.或21〖答案〗C〖解析〗当焦点在轴时，当焦点在轴时，故选C6.如图是一个算法的流程图．若输入的值为，则输出的值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，执行程序，，不满足；执行程序，，不满足；执行程序，，满足，输出；故选C．7.如图，在正方体中，直线与平面所成的角的大小是（）A90° B.60° C.45° D.30°〖答案〗D〖解析〗如图，连接,,连接,因为,,所以平面,所以即为所求角，并且,所以,故选D.8.设{an}是有正数组成的等比数列，为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得a2a4＝a32＝1，∴a3＝1，设{an}的公比为q，则q＞0，∴S31＝7，解得q或q（舍去），∴a14，∴S5故选B.9.在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.7π B.8π C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，取BD中点H，连接AH，CH因为△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°设△ABD与△CBD外接圆圆心分别为E，F则由AH＝2可得AEAH，EHAH分别过E，F作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°所以OE＝1，则R＝OA则三棱锥外接球的表面积故选：D10.在6道题中有3道理综题和3道文综题，如果不放回地依次抽取2道题，则“在第1次抽到理综题的条件下，第2次抽到文综题”的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗法一：第1次抽到理综题的条件下，依次抽取2道题，共有种抽法，其中第2次抽取文综题的情况共有种，因此，所求概率.故选：D.法二：第一次抽到理综题的概率，第一次抽到理综题和第二次抽到文综题的概率.故选：D.11.设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是,过F作的垂线与双曲线交于B，C两点，若,则双曲线的渐近线的斜率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，，所以，根据,所以,代入后得，整理为，所以该双曲线渐近线的斜率是，故选C.12.函数，若，则不等式恒成立，则实数的取值范围是()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为对于，则不等式恒成立，所以在上是增函数，对函数进行化简可得，当时，在上递增，则在上递增，当时，的增区间为减区间为既在上有减区间．综上所述，，故实数的取值范围是，故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为________．〖答案〗3〖解析〗由题意得，抽取的女生人数为，故〖答案〗：3.14.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程是_______．〖答案〗〖解析〗设圆心坐标为，则，当且仅当时取等号，此时圆心坐标为，故〖答案〗为．15.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的有，则______.〖答案〗〖解析〗因为函数的周期为，函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，满足的可知，一个取最大值一个取最小值，因为，若，在取最大值，在取得最小值，，此时，不合题意，若，在取最小值，在取得最大值，，此时，满足题意.故〖答案〗为：.16.已知，，且．现给出如下结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号是________．〖答案〗②③〖解析〗因为，所以当时，；当或时，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为所以，要使有三个解、、，那么结合函数的大致图象可知：所以又函数有个零点在之间，所以，且，所以，，，，故〖答案〗为：②③．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第题为必考题，每个试题考生都必须作答.第、题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知，，分别是的角，，所对的边，且，.（1）若的面积等于，求，；（2）若，求的值.（1）解：∵，由余弦定理得，∵的面积和等于，∴，∴，联立；（2）解：∵，∴，∴，当时，；当时，，由正弦定理得，联立，解得，，∴，即，又∵，∴，综上所述，或.18.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（1）证明MN∥平面PAB;（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.（1）证明：由已知得.取的中点，连接，由为中点知，.又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（2）解：取的中点，连结.由得，从而，且.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，，，，，，，.设为平面的一个法向量，则即可取.于是.19.为了推进国家“民生工程”，某市现提供一批经济适用房来保障居民住房.现有条件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供,人申请，且他们的申请是相互独立的.（1）求两人不申请同一套住房的概率；（2）设3名申请人中申请甲套住房的人数为，求的分布列和数学期望.解：（1）设两人申请同一套住房为事件，，所以两人不申请同一套住房的概率为；（2）方法一：随机变量可能取的值为.，，，所以的分布列为0123所以数学期望.方法二：依题意得，所以，所以的分布列为0123所以数学期望.20.已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，.（1）求直线的斜率；（2）求椭圆的方程；（3）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.解：（1）由已知有，又由，可得，，设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知有，解得.（