2024届高中寒假数学科模拟高考练习试题（含答案）

第一中学2024届高三数学寒假测试六A

一、单选题

1.设集合。={1,2,3,4,5},A={1,3},B={2,3,4},则()

A.{1}B.{1,3}C.(1,3,5}D.{123,4,5}

2.在复平面内，复数z=±的共辗复数对应的点位于()

l+2z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知sin[-^-+aJ=c°s[]+aj,贝[|sin2a=()

A.—1B.1C.~D.0

4.已知数列{%}中，对任意”eN*,O1+a2+a3++=3"-1,则+a~=

()

A.(3"B.C.9"-lD.；(9"T)

5.山西五台山佛光寺大殿是尻殿顶建筑的典型代表.虎殿顶四面斜坡，有一条正脊和四条

斜脊，又叫五脊殿.《九章算术》把这种底面为矩形，顶部为一条棱的五面体叫做“刍薨”,

并给出了其体积公式：jx(2X下袤+上袤)X广X高(广：东西方向长度；袤：南北方

6

向长度).已知一刍薨状庞殿顶，南北长18m,东西长8m,正脊长12m,斜脊长后m,则其

体积为(

A.64Am3B.192V2m3C.320m3D.192m3

6.已知/为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，准线为/,过焦点尸的直线与抛物线交于A,B

两点，点A,3在准线上的射影分别为2C,且满足⑷尸|=^|CF|,则瞿!=()

IFB|

A.3A/3B.26C.3D.I

7.已知正方形ABC。的边长为2,MN是它的外接圆的一条弦，点尸为正方形四条边上的动

点，当弦的长度最大时，的取值范围是()

A.[-1,0]B.[0,72]C.[L2]D.[-1』

8.已知〃>0,b>0,且。成立，则下列不等式不可能成立的是（)

b

A.ab<b<\B.l<b<abC.b<ab<lD.ab<l<b

二、多选题

22

9.已知双曲线的方程为工-上=1,则（）

6416

A.渐近线方程为y=±；xB.焦距为86

C.离心率为立

D.焦点到渐近线的距离为8

2

10.某校10月份举行校运动会，甲、乙、丙三位同学计划从长跑，跳绳，跳远中任选一项参

加，每人选择各项目的概率均为;，且每人选择相互独立，则（）

A.三人都选择长跑的概率为药B.三人都不选择长跑的概率为:

4

C.至少有两人选择跳绳的概率为二

27

D.在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为，

11.如图，已知—ABC是边长为4的等边三角形，D,£分别是四，的中点，将VADE沿

着龙翻折，使点/到点户处，得到四棱锥尸则（)

P

B.存在某个点尸位置，满足平面正£吹，平面P8C

C.当尸3,尸C时，直线尸3与平面BCDE所成角的正弦值为正

3

D.当P8="。时，该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为三兀

x+]

12.已知函数>=[与y=e’相交于48两点，与y=lnx相交于乙〃两点，若4B,C,

x-1

。四点的横坐标分别为X],巧，凡，匕，且西<%2，%<匕，贝U（）

X|

A.%+%=0B.X3X4=1C.Inx3=1D.x4e=1

三、填空题

13.(2-x)(l-3x)4的展开式中，/的系数等于.(用数字作答)

14.已知函数〃x)=2sin(5+0)®>0),若函数外力的图象关于点］中心对称,且关

于直线x=］轴对称,则。的最小值为.

15.将函数〃x)=4cos_|x和直线g(x)=x-l的所有交点从左到右依次记为4,4,…，An,

/、lUumuuiruuir.

若尸(o,返)，贝I］pa+尸A+…+尸4卜.

16.已知椭圆土+9=1,若此椭圆上存在不同的两点A,3关于直线y=2%+相对称，则

2

实数加的取值范围是

2024届寒假测试六A答案:

1.c

【分析】根据补集的运算求得用8={1,5},再结合并集的运算，即可求解.

【详解】由题意，集合。={1,2,3,4,5},A={1,3},B={2,3,4},

根据补集的运算，可得dB={l，5},则@3）。4={1,5}。{1,3}={1,3,5}.

故选：C.

2.D

【分析】先对复数化简，从而可得其共辗复数，进而可得答案

ii(l-2i)i-2i22+i

【详解】解:因为z=2+L

1+2;-(1+2z)(l-2z)-l-(2z)255

所以-z=2］-1/，

所以三对应的点位于第四象限,

故选：D

3.A

【解析】利用两角和的正弦和余弦公式求出tane的值，然后利用二倍角的正弦公式以及弦

化切思想可求出sin2a的值.

［详解］.sinf――+«|=cos］—+cz|2/lcosa_'sina=」cosa—^^sina,

I3J13J2222

可得(右osa=(_J)sina/.tancr=-l.

.cc.2sinacosa2tana2x(-1)

因此,sin2a=2smacosa=——--------------=——-------=——-~-=-1.

sincr+cosatana+12

故选：A.

【点睛】本题考查二倍角正弦值的计算，同时也考查了两角和正弦和余弦公式的应用以及弦

化切思想的应用，考查计算能力，属于中等题.

4.D

【分析】利用4,=S“-S“T求通项公式，判断出{〃；}是等比数列，再进行求和.

【详角犁】。］+4+“3++/=3"-1O,。］+%+/++。〃+1=3〃+1-1,

②・①得〃例=3向-3"=2x3"，・•.a〃=2x3〃T(心2).

1

当〃=1时，a［=3-1=2,符合上式,

4=2x3"，.•.〃；=4x9”l

a1

a；=4,卓=9,

%

・.{"}是以4为首项，9为公比的等比数歹!J,

4x0-9")

**a；+a；+d+

~1^9~

故选：D.

5.D

【分析】过点P作/垂足为。，过点尸作平面ABC。，垂足为。，连接O。,

利用直角三角勾股定理，求出高RZ代入体积公式求解即可.

【详解】如图，

过点歹作尸Q垂足为Q,过点尸作尸平面ABCD,垂足为。，连接。。,

则仅2=3,FQ=5,02=4,FO=3,即该五面体的高度为3m.

所以其体积V='x(2xl8+12)x8x3=192(m3).

故选：D

6.C

【分析】先设出A,8点坐标，根据抛物线定义表示出|必|和但回，然后把已知条件

耳=V^C可进行用坐标表示，最后化简即可得出结果.

【详解】解：设A(&y),巩%,%),准线/与x轴交于点E,如图:

在R/DFED和WAFEC中，由勾股定理得:

\DF(=\EF(+|ED|2=/+靖=/+2px-

2222

|CF|=|EF|+|EC|=02+%2=p+2px2,

+2。占_p+2X|_3

又因为|D^=g|CF|,所以

2X

时p+2px2p+22

由抛物线定义知，但同=々+言=生产

FA2%+2二3

所以

百2X2+p

故选：C.

【点睛】本题考查了抛物线的定义和设而不求思想，解析几何中设而不求是一种常见的计算

技巧，关键是把条件坐标化，突出考查计算能力，属于中档题.

7.A

【分析】作出图形，结合向量的线性运算和数量积运算化简PM•尸N,求的范围可得

PATPN的取值范围.

【详解】当弦MV的长度最大时，弦MN过正方形A3CD的外接圆的圆心。,

因为正方形ABCQ的边长为2,所以圆。的半径为亚，

如下图所示：

则尸M=PO+OM,PN=PO+ON=PO-OM,

所以，PMPN=^PO+OM^PO-OM^=PO2-OM2.

因为点P为正方形四条边上的动点，所以14|尸。卜友,

又|(?M=五，所以PMJNe[-l,O],

故选：A.

8.D

【分析】将+转化为Q—ln〃<1-ln,，构造函数/(x)=x—lnx(x>0),求出了(%)

bbb

的单调性，即可求出答案.

【详解】tz<—+lnab=—+lna+lnb,BP6z-ln«<—+ln/?=--In—,

bbbbb

.a>0,b>0,:.^f(a]=a-\na,f\-\=--\n-,所以Q<，+1IIQO等价于

\bJbbb

〃")</['，所以构造函数/(“"X-MMX〉。)，制q=1一g=¥'(x>°)，所以

盟x)>0即x>Lr(x)<OBPO<x<l,所以在(0,1)上为减函数，在(1,瑶)上为增函

数.

对A,等价于a<l<，即ae(O，l),：e(l,+8),可以满足条件/(。)</(；],故A可

bb\b)

能成立；

对B,等价于：<1<。即ge(O,l),ae(l，+8),可以满足条件/(a)</[!],故B可

能成立；

对C,6<必<1等价于即a，；e(l,+s),同在“X)的单调增区间内，满足条件

bb

故C成立；

对D,必<1<6等价于。<：<1即a,，e(O,l),同在的单调减区间内，

故D不满足题意.

故选D.

9.BC

【分析】A选项，先判断出双曲线焦点在y轴上，利用公式求出渐近线方程;

B选项，求出c=4石，得到焦距;

C选项，根据离心率公式求出答案;

D选项，利用点到直线距离公式进行求解.

22

【详解】匕-土=1焦点在y轴上，故渐近线方程为y=±fx=±2x,A错误；

6416b

c2=64+16=80,故c=4百，故焦距为8君，B正确；

离心率为£=生5=直，c正确；

。82

焦点坐标为但±4句，故焦点到渐近线>=±2尤的距离为g^=4,D错误.

故选：BC

10.AD

【分析】根据相互独立事件概率计算公式计算即可.

【详解】由已知

三人选择长跑的概率为=故A正确.

三人都不选择长跑的概率为=故B错误.

1111177

至少有两人选择跳绳的概率为3*可*鼻+亡金*鼻、鼻=方，故C错误.

1111177

记至少有两人选择跳远为事件A,所以「（4）=3*耳、鼻+（：；鼻*鼻义鼻=不.

记丙同学选择跳远为事件B,所以尸（AB）=mx：+C；x£x：］=焉.

JJJ7乙/

z।、P（AB）5

所以在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为尸（叫可=避7=亍，故

D正确.

故选：AD

11.ACD

【分析】当平面尸£>£_L平面3CDE时，体积最大，求出底面积和高，即可求出最值，判断A

项；找出平面PDE与平面P5C所成的二面角，根据题意推导出/NPMW90。，即可说明B

项错误；过点尸作根据题意可得即为直线PB与平面3cDE所成的角.根

据余弦定理以及三角函数可推出sin/PMN=如，进而得出耽=亚，即可得出结果，得

33

出C项；由己知可推得平面尸DE_L平面BCDE.设球心为。，△?©£■的外心为G,点M为等

腰梯形BCDE的外心，可得四边形OGNM为矩形，进而求出。8即半径的长，即可得出外

接球的表面积.

p

c

【详解】

B

图1

如图1,设N分别是BC,OE的中点.则PNLDE,MNLDE,MNJ.BC,且

PN=NM=6

对于A项，当平面尸DEL平面BCDE时，四棱锥尸-及E的体积最大.△PDE的高为

PN=0四边形3CDE为高为脑V=有的梯形，梯形面积S=萼xg=3指，体积

V=1xSxV3=3,故A项正确；

对于B项，设平面PDE平面P3C=/,则〃/3C,有/_LMN,IA.PM,可得/I平面PMV,

即N/VPAf为平面PDE与平面P8C所成的二面角，由PN=M0可知，ZNPM90°,故B

项错误；

对于C项，如图1,过点尸作「H_LMZV,垂足为".由B分析可得，3CJ：平面PW,所以

平面3CDEJ_平面PMV,平面3CDEc平面PMN=MN,PHu平面对亚，所以P//JL平面

BCDE.所以ZPBH即为直线PB与平面BCDE所成的角.由题意可知，PB=PC=2也,

PM=2,PN=NM=也,在二PMN中，由余弦定理可得

cosNPMN=PM-+NM—-PN-=g,所以sin/PMN=逅；在PMH中,

2PM-NM33

PH=PMsinNPMN=亚，所以直线PB与平面BCDE所成角的正弦值为—=—；

对于D项，当尸2=JTU时，由BN=J7,可知PN'BN?=/）笈，即PN_LBN,又PN1.DE,

且BN\DE=N,则PN人平面BCDE,又PNu平面PDE,则平面PZ)E_L平面BCDE.四

棱锥P-3CED的外接球球心为。，的外心为G，则。G，平面PDE.如图2,易知点〃

为等腰梯形3cDE的外心，则OM±平面BCDE,

则四边形OGMW为矩形，S.OM=GN=-PN=^~,=OB2=OM2+MB2=—,

333

从而该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为'5■2兀，故D项正确.

故选：ACD.

12.ABD

+1,1_%+1

【分析】根r据,皿尤3='XR分+1别代入一占，一即可判断A,B,根据>=上一，

y=\nx,y=ex关于直线V=x的对称，因此可知AC对称，氏。对称，即可根据对称性判

断CD.

【详解】由题意可知看是方程e，==的一个根，则e'=将-%代入得

x-1玉一1

e』=士|=土]，所以-不也是方程e'==的一个根，所以-玉=工2,故%+%=0,

_玉一]再+1X-1

故A正确，

由题意可知X3是方程lnx==的一个根，则lnw=—,则

x-lx3~[

—+1]]

lnl=-lnx3=-^±|=^-,所以■1■也是方程lnx=g的一个根，所以'=%,故

七次3-1-L-lX3X-1%

x3

%3%4=1，故B正确，

设点P（飞,几）在函数y=合上，则满足为=岩，即为%-%-%一1=0点P（X0,九）关

于直线y=x的对称点为p（%,x0）,将尸'（%,%）代入y==得％=当2,即可

X—1%1

-1=0,因此可知「'（为,1）在函数>上，即》='关于直线y=x的

x-1x-1

对称，又y=lnx,y=e，关于直线V=x的对称，因此可知A,C对称，氏。对称，

x1=y3=lnx3和々=%=ln%

故x=y=e-r,"

3l无4=%=e"

x1

所以ei=w=—,x4e'>=1,故D正确,

X4

由于西=111X3,&W±1,故c错误,

故选：ABD

【分析】利用二项式展开式分两种情况求出即可.

【详解】由题意分两种情况：

①2xC；x俨x(-3x)2=108x2,

②(-x)xC；x/x(-3x)=12x2,

故/的系数为：108+12=120,

故答案为：120.

14.3

【分析】图象关于点中心对称，且关于直线x=g轴对称，即2与5之间相差

<6)336

TkT

：+色。eZ),列出等式,根据范围求解即可.

【详解】解:由题知“X)的图象关于点［今。］中心对称，

且关于直线轴对称,

则三与巳之间的距离为(