2024高考数学基础知识综合复习 优化集训23 概率

优化集训23概率

基础巩固

1.已知某人在投篮时投中的概率为50%,则下列说法正确的是（）

A.若他投100次,一定有50次投中

B.若他投一次,一定投中

C.他投一次投中的可能性大小为50%

D.以上说法均错

2.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（）

1339

A.—B.—C.-D.—

1010510

3.把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得一张，事件“甲分得红牌”

与事件“乙分得红牌”是（）

A.对立事件B.互斥但不对立事件

C.不可能事件D.以上都不对

4.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5

中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）

3ill

A.—B.-C.—D.—

1051020

5.从数字1,2,3,4中任取三个不同的数字,则所抽取的三个数字之和能被6整除的概率为（）

A.i1B1.i1C.i2D.-

2545

6.（2023浙江奉化）某市场供应的电子产品中，甲厂产品的合格率是90%,乙厂产品的合格率是80%.

若从该市场供应的电子产品中任意购买甲、乙厂各一件电子产品，则这两件产品都不是合格品的概

率为（）

A.2%B.30%

C.72%D.26%

7.若A,6为对立事件,则下列式子成立的是（）

A.P（A）+P（S）<1B.P（如+P（*>1

C.+P出=0D.+P（3）=1

8.设事件46,已知Pa）』户（6）三,户（”面嗓，则事件力与事件6是（）

A.两个任意事件B.互斥事件

C.非互斥事件D.对立事件

9.（2023浙江台州）一个袋子中装有大小和质地相同的5个球,其中有2个黄色球,3个红色球,从袋

中不放回地依次随机摸出2个球,则事件“两次都摸到红色球”的概率为（）

1311

A.-B.—C.-D.-

41032

10.（多选）（2023浙江精诚联盟）己知甲罐中有三个相同的小球,标号为1,2,3;乙罐中有四个相同的

小球,标号为1,2,3,4,现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,记事件/=”抽取的两个小球标号

之和小于5"，事件6="抽取的两个小球标号之积为奇数”，则下列说法正确的有（）

A.事件6发生的概率为1

B.事件/U8发生的概率为J

C.事件AC6发生的概率为；

D.事件AC8发生的概率为；

4

11.（2021全国甲）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

12.（多选）（2023浙江湖州）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，/表示事件“第一次掷出的点数是

5”，6表示事件”第二次掷出的点数是偶数”，，表示事件“两次掷出的点数之和是5"表示事

件“至少出现一个奇数点”，则（）

A.事件4与C互斥

B.P⑦三

4

C.事件8与，对立

D.事件6与C相互独立

13.从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等

于.

14.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同

颜色运动服的概率为.

15.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率

为.

16.（2023浙江奉化）现有三张卡片，分别写有“1”“2”“3”这三个数字.将这三张卡片随机排序

组成一个三位数,则该三位数是奇数的概率是.

17.（2020全国/）某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品（单位:件）按标准分为A,B,C,D四个等

级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于

D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本

费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元逑.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各

试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级,整理如下：

甲分厂产品等级的频数分布表

（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率.

（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂

承接加工业务？

能力提升

18.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）

46

19.（2023全国乙）某学校举办作文比赛,共设6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作

文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为（）

23

20.（多选）（2023浙江余姚）甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床的正品率是

0.8,乙机床的正品率为0.9,分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则下列说法正确的有（）

A.两件都是次品的概率为0.02

B.事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”是互斥事件

C.恰有一件正品的概率为0.26

D.事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件

21.(2023天津)己知有黑、白两种除颜色外完全相同的若干小球,放入三个相同的空箱子中，己知三

个箱子中小球的数量之比为5/4；6,其中黑球占比分别为40%,25%,50%,若从三个箱子中各取一球,

则取得的球均为黑球的概率为;若将三个箱子中的球全倒入一个箱子内，则从中取得一

个白球的概率为.

22.(2023浙江绍兴)某高校举行了运动会志愿者选拔面试,面试成绩满分100分,现随机抽取了80

名候选者的面试成绩,绘制成如下频率分布直方图.

(1)求a的值,并估计这80名候选者面试成绩的平均值元、众数、中位数；(同一组中的数据用该组

区间的中点值作代表,中位数精确到0.1)

(2)乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者,有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔,需要

通过抽签的方式决定最终的人选,现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分

配给每一位候选人,求中签者中男生比女生多的概率.

23.(2023浙江余姚)某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动,在某场比赛中，甲、乙、丙

三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是:，甲、丙两个家

庭都回答错误的概率是乙、丙两个家庭都回答正确的概率是"各家庭回答是否正确互不影响.

124

(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；

(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.

优化集训23概率

基础巩固

1.C解析概率是指一件事情发生的可能性大小.

2.D解析由题意可知从5个球中任取3个球的所有情况有10种,所取的3个球至少有1个白球

的情况有(10-1)种,根据古典概型概率公式得所求概率尸*=

3.B解析把红、蓝、黑、白四张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四个人，事件“甲分得红牌”与

“乙分得红牌”不会同时发生，则两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，

还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”，则两者不是对立事件,故事件“甲分得红牌"与“乙分得

红牌”是互斥但不对立事件.

4.C解析从1,2,3,4,5中任取3个数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5,因此3个

数构成一组勾股数的取法只有一种,故所求概率为，.

10

5.C解析从数字1,2,3,4中任取三个不同的数字有1+2+3,1+2留,1+3也,2+3%，共4种，其中所抽

取的三个数字之和能被6整除的有1+2+34,共1种,故所求概率为故选C.

6.A解析设46分别表示事件甲、乙是合格品，则46相互独立，所求即户(而)宇(用户(豆)=(1-

0.9)。(1-0.8)=0.02,故选A.

7.D解析若事件A与事件6是对立事件,则/U6为必然事件,再由概率的加法公式得

P(A)+P(B)=1.故选D.

8.B解析因为产(⑷步(面[+；郎乎C4U8),所以48之间的关系一定为互斥事件.故选B.

9.B解析5个球中取2个球有髭种取法,3个红球中取2个球有髭种取法,故所求概率为0借=条

故选B.

10.AD解析从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,共有12个样本

点：11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,抽取的两个小球标号之和小于5的样本点有

11,12,13,21,22,31,共6个,抽出的两个小球标号之积为奇数的样本点有11,13,31,33,共4个，所

以一(而磊=],故A正确；

事件/U6包含的样本点有11,12,13,21,22,31,33,共7个,所以户(4U0得，故B错误；

事件/C8包含的样本点有11,13,31,共3个,所以尸(/C而==；,故C错误,D正确.故选AD.

124

11.c解析将3个1和2个0随机排成一行,共有

11100,00111,01110,11010,11001,10110,10011,10101,01101,01011,10种排法,2个0不相邻的排

法共有01110,11010,10110,10101,01101,01011,6种排法,故所求的概率为6.故选C.

12.ABD解析用实数对(x,y),x,ye{1,2,3,4,5,6}表示试验结果,x是第一次掷出的点数,y是第

二次掷出的点数,共包含36个样本点，事件/={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),⑸6)};事件

6={(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(1,4),(2,4),⑶4),(4,4),(5,4),(6,4),(1,6),(2,6

),⑶6),(4,6),(5,6),(6,6)};事件C={(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)).

因为事件A与C不可能同时发生,所以事件A与C互斥,故A正确；

记“两次点数均为偶数”为事件己则

£={⑵2),(4,2),(6,2),(2,4),(4,4),(6,4),(2,6),(4,6),(6,6)},则P9==；,故P⑦=1-

364

P出弓故B正确；

因为事件8与。可能同时发生,所以事件B与，不对立,故C错误；

事件BC=d\,4),(3,2)},则P⑵岑=,尸(0高=iP(B。4=9,所以尸®P(。=P(B。,所以

3623693olo

B,，相互独立,故D正确.故选ABD.

13.|解析从3男3女共6名同学中任选2名，包含15个样本点,2名都是女同学包含3个样本点,

故其概率为2=1

14.|解析试验包含的样本点有(红，白)，(红，蓝)，(红，红)，(白，蓝)，(白，白)，(白，红)，(蓝，

白)，(蓝,红)，(蓝，蓝)，共9个,而选择同一种颜色包含3个样本点，即(红，红)，(白，白)，(蓝,蓝)，

故所求概率4=

15.|解析记两本数学书分别为a,az,语文书为b,则3本书一共有6种不同的排

法,：aiba2f及她，如同历2国,其中2本数学书相邻的排法有4种：团血6,a2aib,baia2,ba2ai,

故所求概率为:=|,

63

16.|解析3张卡片随机排列有6种方法,排成一个三位数奇数有123,213,321,231,共4个，故三

位数是奇数的概率是：=|.

63

17.解(1)由试加工产品等级的频数分布表知，

甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为怒4).4;

乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为黑4).28.

(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

利润6525-5-75

频数40202020

因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为弋。—=15.

由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

利润70300-70

频数28173421

因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为-/UX4=1O.

比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.

能力提升

18.B解析由题意知总样本点数为6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件

的样本点数是2,所以所求的概率为去

19.A解析甲、乙两位同学各随机抽取一个主题，共有6X6=36种结果，而甲、乙两位同学抽到同

一个主题的结果有6种，所以甲、乙两位同学抽到不同主题的概率=f.故选A.

366

20.ACD解析对于A,若取出的两件都是次品，其概率P=(1~0.8)X(l~0.9)=0.2X0.1R.02,故A

正确；

对于B,事件“至多有一件正品”包含有两件次品、一件正品和一件次品，“至少有一件正品”包含

有两件正品、一件正品和一件次品,所以两个事件不是互斥事件,故B错误；

对于C,恰有一件正品，其概率R0.8X(14).9)+(1-0.8)X0.9=0.08X).184).26,故C正确；

对于D,“至少有一件正品”包含有两件正品、一件正品和一件次品，所以事件“两件都是次品”与

事件“至少有一件正品”是对立事件,故D正确.故选ACD.

21.^-I解析由题意知从三个箱子中取到黑球的概率分别为m，因为从三个箱子中取球相互

独立,所以取得的球均为黑球的概率为:XiXi

54220

三个箱子中小球的数量占总数的比例分别为3卷,|,所以白球占比为

)力则从中取得一个白球的概率为|.

22.解(1)a^X(0.1-0.045-0.025-0.02)4).005.

x=50X0.0540XQ.25+70XO.45+80XO.2%0XO.05=69.5.

众数为70.

因为前2组的频率和为10X0.005+10X0.0254).3。5,前3组的频率和为

0.3+10X0.045=0.754.5,所以中位数位于区间［65,75)内,设为m,则0.34).045(叱65)=0.5,解得

必能69.4,所以中位数约为69.4.