数学（选修2-2）课件6.1.3-6.1.4演绎推理；合情推理与演绎推理的关系

第六章推理与证明6.1合情推理与演绎推理6.1.3演绎推理6.1.4合情推理与演绎推理的关系学习目标重点难点1.理解演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种必然性推理.2.掌握演绎推理中通过大前提、小前提推出结论的三段论式推理的基本模式.3.能准确区别合情推理与演绎推理，并能利用它们解决一些实际问题.1.重点：三段论推理的基本模式.2.难点：灵活运用合情推理和演绎推理解决有关数学问题.1.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由_______到_______的推理.2.“________”是演绎推理的主要形式，包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断.一般特殊三段论3.三段论的基本格式______(M是P)(大前提)______(S是M)(小前提)______(S是P)(结论)4.三段论推理的根据(用集合的观点来理解)若集合M的___________都具有性质P，S是M的_______，则S中的所有_______也都具有性质P.5.演绎推理的结论一定正确演绎推理是一种__________推理，因而只要_________、________及____________正确，那么结论一定是正确的.M—PS—MS—P所有元素子集元素必然性大前提小前提推理的形式6.合情推理与演绎推理的关系(1)从推理模式看，①归纳推理是由_______到________的推理.②类比推理是由_______到________的推理.③演绎推理是由_______到________的推理.(2)从推理的结论看，①合情推理所得的结论___________正确，有待证明.②演绎推理所得的结论_______正确.特殊一般特殊特殊一般特殊不一定一定7.总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，合情推理与演绎推理有差异；从合情推理与演绎推理在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系、相辅相成的.__________的结论需要__________的验证，而___________的内容一般是通过___________获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.合情推理演绎推理演绎推理合情推理

将下列演绎推理写成三段论的格式：(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分.(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形底角，则∠A＝∠B.(3)通项公式an＝2n＋3表示的数列{an}为等差数列.

三段论解：(1)平行四边形的对角线互相平分，(大前提)菱形是平行四边形，(小前提)菱形的对角线互相平分.(结论)(2)等腰三角形两底角相等，(大前提)∠A，∠B是等腰三角形的底角，(小前提)∠A＝∠B.(结论)(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，(大前提)通项公式an＝2n＋3时，若n≥2，则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，(小前提)通项公式an＝2n＋3表示的数列为等差数列.(结论)【点评】在“三段论”中，“大前提”提供了一般的原理、原则，“小前提”指出了一个特殊场合的情况，“结论”在大前提和小前提的基础上，说明一般原则和特殊情况间的联系.1.把下列演绎推理写成三段论的形式：(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，y＝tanα是三角函数，因此y＝tanα是周期函数.解：(1)在一个标准大气压下水的沸点是100℃.(大前提)在一个标准大气压下水加热到100℃.(小前提)水会沸腾.(结论)(2)一切奇数都不能被2整除.(大前提)2100＋1是奇数.(小前提)2100＋1不能被2整除.(结论)(3)三角函数都是周期函数.(大前提)y＝tanα是三角函数.(小前提)y＝tanα是周期函数.(结论)

如图所示，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足，求证：AB的中点M到D，E两点的距离相等.演绎推理【点评】三段论推理所遵循的规则为“若a⇒b，b⇒c，则a⇒c”的传递性.【点评】本题用到的仍为演绎推理，其中的原则是“若a≥b，b≥c，则a≥c”，这种推理规则又称为关系推理.

若不等式ax2＋2ax＋2－a＜0的解集为空集，求实数a的取值范围.

解：①当a＝0时，原不等式为2＜0，解集为空集，∴a＝0符合条件.②当a≠0时，∵不等式ax2＋2ax＋2－a＜0的解集为空集，∴二次函数y＝ax2＋2ax＋2－a的图象开口向上且与x轴最多有一个交点.则a＞0且Δ＝(2a)2－4a(2－a)≤0，解得0＜a≤1.综上可知，实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}.【点评】

“若p⇒q，p为真，则q为真”，这种推理又称为假言推理.

已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.(1)求证：|c|≤1；(2)求证：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；(3)设a＞0，当－1≤x≤1时，函数g(x)的最大值为2，求函数f(x)的表达式.

(1)证明：由已知，当－1≤x≤1时，有|f(x)|≤1.∵当x＝0时，满足－1≤x≤1的条件，∴|f(0)|≤1.而f(0)＝c，|c|≤1.合情推理与演绎推理的综合应用(2)证明：当a＞0时，g(x)在[－1,1]上是增函数，则g(－1)≤g(x)≤g(1).又g(1)＝a＋b＝f(1)－c，g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c，代入上式，得－f(－1)＋c≤g(x)≤f(1)－c. ①由绝对值不等式m＋n≤|m|＋|n|，可得f(1)－c≤|f(1)|＋|c|，及f(－1)－c≤|f(－1)|＋|c|，再由条件|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1，|c|≤1及不等式的有关性质，可得f(1)－c≤2，－f(－1)＋c≥－2. ②由①②及不等式的性质，得－2≤g(x)≤2，即|g(x)|≤2.当a＜0时，可用类似的方法证得|g(x)|≤2.当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c，|g(x)|＝|f(1)－c|≤|f(1)|＋|c|≤2.综上，|g(x)|≤2.(3)解：a＞0，g(x)在[－1,1]上是增函数，其最大值在右端点处取得，即g(1)＝2.又g(1)＝f(1)－c，∴c＝f(1)－2.由(1)，得c≥－1.由已知，得f(1)≤1.∴－1≤c≤1－2＝－1，c＝－1.又当－1≤x≤1时，f(x)≥－1，而c＝－1，f(0)＝c.【点评】本题是一道将一次函数、二次函数的有关性质与不等式的证明相综合的代数推理证明题，每一问都需要用到演绎推理，如第(1)问采用了典型的演绎推理方法.大前提：当－1≤x≤1时，有|f(x)|≤1，小前提：－1≤0≤1，结论：|f(0)|≤1.这并不是什么特殊值法，而是一段条理十分清晰、透彻的三段论的证明，能体现出本题对演绎推理的证明思路及书写格式的考查要求.第(2)问也有关键的几步.对函数的单调性进行演绎推理，得g(－1)≤g(x)≤g(1).由函数值及代数式的恒等变形，得g(－1)＝－f(－1)＋c，g(1)＝f(1)－c.由不等式及绝对值不等式的性质进行演绎推理，得－f(－1)＋c≥－2，f(1)－c≤2.再由不等式的传递性、绝对值不等式的性质进行演绎推理，得－2≤g(x)≤2.最后，得|g(x)|≤2.这四大关键步骤缺一不可，且步步相连、环环相扣，形成了漫长而连贯的思维通道，只要在通道的任何一处出现