单调性(1)课件高二上学期数学选择性

第5章导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.1单调性(1)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．2.能利用导数研究函数的单调性．3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．活动方案1.(1)复习巩固：函数单调性的定义，导数的概念及四则运算；活动一掌握函数的导数与单调性的联系【解析】略(2)导数f′(x)刻画了函数f(x)在每一点处的变化趋势(上升或下降的陡峭程度)，而函数的单调性也是对函数变化的一种刻画，那么导数与函数的单调性有什么联系？2.我们知道判断函数y＝x2的单调性可以用定义法、图象法，对于函数y＝x3－3x，如何判断它的单调性呢？【解析】定义法是解决问题的根本方法，但是定义法较繁琐，又不能画出它的图象．通过前面的学习，我们可以通过研究函数的导数来判断它的单调性．3.结论：设函数y＝f(x)在区间(a，b)上，(1)如果________________，那么f(x)在该区间上________；(2)如果________________，那么f(x)在该区间上________.【解析】(1)在某区间上f′(x)>0单调递增(2)在某区间上f′(x)<0单调递减4.试结合y＝x3进行思考：如果函数f(x)在某区间上单调递增，那么在该区间上必有f′(x)>0吗？【答案】不是，因为y′＝3x2≥0恒成立，所以y＝x3在R上单调递增，而f′(x)不一定恒大于0，也有可能等于0.用导数求函数单调区间的一般步骤：(1)求定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(4)确定单调区间．例1确定函数f(x)＝2x3－6x2＋7在哪些区间上单调递增．活动二掌握用导数的方法研究函数的单调性【解析】由题意，得f′(x)＝6x2－12x.令f′(x)>0，解得x<0或x>2，所以函数f(x)在区间(－∞，0)上，f′(x)>0，f(x)单调递增；在区间(2，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)也单调递增．例2

(1)求函数f(x)＝sinx，x∈[0,2π]的单调减区间；(2)求函数f(x)＝sinx－x，x∈(0，π)的单调减区间．【解析】(1)由题意，得f′(x)＝cosx.(2)由题意，得f′(x)＝cosx－1.令f′(x)<0，即cosx<1.又x∈(0，π)，所以x∈(0，π)，故函数f(x)的单调减区间为(0，π)．求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝3x2－2lnx；(2)f(x)＝x2·e－x；(2)易知函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝

2xe－x－x2e－x＝e－x·(2x－x2)．令f′(x)>0，得0<x<2，令f′(x)<0，得x<0或x>2，所以f(x)的单调减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调增区间为(0,2)．令f′(x)>0，得x>1或x<－1，令f′(x)<0，得－1<x<1，且x≠0，所以函数f(x)的单调减区间为(－1,0)和(0,1)，单调增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．检测反馈24513A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(－1,3)C.(－3,1) D.R【答案】B24513A.(－∞，1) B.(0,1)C.(1，e) D.(1，＋∞)【答案】D24533.(多选)(2024重庆七校期末联考)已知函数f(x)＝x－sinx，则下列结论中正确的是(

)A.f(x)为奇函数 B.f(x)为其定义域上的减函数C.f(x)有唯一的零点 D.f(x)的图象与直线y＝1相切12453【答案】AC1【解析】对于A，因为f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sinx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；对于B，f′(x)＝1－cosx≥1－1＝0，所以f(x)是定义域上的增函数，故B错误；对于C，因为f(0)＝0－sin0＝0，且f(x)是定义域上的增函数，所以f(x)有唯一的零点，故C正确；对于D，因为f′(x)＝1－cosx，令1－cosx＝0，可得x＝2kπ，k∈Z，所以斜率为0的切线方程为y－(2kπ－sin2kπ)＝0·(x－2k