2024届柳州市重点中学高三数学第一学期期末考试试题含解析

2024届柳州市重点中学高三数学第一学期期末考试试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知双曲线上+丁=1的一条渐近线倾斜角为3,则。=()

a6

A.3B.-73C.一旦D.-3

3

2.下列函数中，在区间(0,+。)上为减函数的是()

2

A.y=Jx+1B.y=x-1C.y=D.y=log2%

3.若复数机(也―2)+。川一3加+2)/•是纯虚数，则实数僧的值为()

A.0或2B.2C.0D.1或2

4.设i是虚数单位，若复数z=l+i,则匹+z2=()

z

A.1+zB.1-zC.-1-iD.-1+z

5.已知函数/(x)=Qsinftu+3cos0X(0>O),对任意的再，x2,当5)=一12时，归-马京=，

则下列判断正确的是()

A.H)=lB.函数，(%)在9上递增

C.函数“X)的一条对称轴是％=等D.函数/(九)的一个对称中心是［

6.若函数/(%)=阴-如2有且只有4个不同的零点，则实数加的取值范围是()

「e2、<e2A，c2、(c2~|

A.一,+8B.—,+ooc.-00,一D.-00,一

4444

「2-

7.若[可表示不超过x的最大整数(如[2.5]=2,[4]=4,[-2.5]=-3),已知。“='xlO",bi=at,

-lOa^e2),%i9=()

bn=anN*,n>则

A.2B.5C.7D.8

8.复数z满足（l+，）z=|l—z],则2=

C,也一旦D,正+正,

A.1-zB.1+z

2222

9.已知函数/（%）=（--。）［奴+，］,若/（%）20（%€尺）恒成立，则满足条件的。的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

22

10.已知双曲线卞-2=1（。＞0/〉。）的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±^l^~xB.y=±^/3xC.y=±—xD.y—i2x

32

1-V2

11.函数/的图象大致为0

ex

12.已知将函数/（x）=sin（ox+e）（0＜«＜6,-工＜夕＜色）的图象向右平移彳个单位长度后得到函数g（x）的

223

图象'若/XX）和g（“）的图象都关于对称’则下述四个结论:

①0=3②夕=?③/闺=孝④点］,o］为函数〃尤）的一个对称中心

其中所有正确结论的编号是（）

A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数/■（尤）=«+log2（l-x）的定义域为.

14.在（与+4）”的二项展开式中，所有项的系数之和为1024,则展开式常数项的值等于

X

15.如图，已知扇形的半径为1,面积为（，则.

16.已知函数/（x）=Asin（0x+夕）4〉0,。〉0,|。|〈/的部分图象如图所示，则了（0）的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生

物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况.现分别从4、6、C三块试验田中各随机抽

取7株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）：

A组10111213141516

B组12131415161718

。组13141516171819

假设所有植株的生长情况相互独立.从A、B、C三组各随机选1株，A组选出的植株记为甲，B组选出的植株记为

乙，C组选出的植株记为丙.

（1）求丙的高度小于15厘米的概率；

（2）求甲的高度大于乙的高度的概率；

（3）表格中所有数据的平均数记为〃o.从4、B、。三块试验田中分别再随机抽取1株该种植物，它们的高度依次

是14、16、15（单位：厘米）.这3个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为〃1，试比较〃。和小的

大小.（结论不要求证明）

18.(12分)已知。泊都是大于零的实数.

2

(1)证明/幺+幺b..。+8;

...12a1“

(2)若a>b,ffiil°+TTH—；--77〉4.

b3a(a-b)

19.(12分)设函数/(x)=-x?+3,其中nicR.

(I)当FW为偶函数时，求函数〃(%)=犷(幻的极值；

(II)若函数f(x)在区间［-2,4］上有两个零点，求加的取值范围.

20.(12分)已知函数/(x)=d-x+alnx(a<0),且/(%)只有一个零点.

(1)求实数〃的值；

(2)若玉</，且/6)=/(%)，证明：%+%2〉2.

21.(12分)已知离心率为‘的椭圆〃：±+口=1(a>b>0)经过点。

2a2b212；

⑴求椭圆M的方程；

⑵荐椭圆〃的右焦点为尸，过点尸的直线AC与椭圆M分别交于A,3,若直线ZM、DC、的斜率成等差数

列，请问ADCE的面积鼠。”是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

221

22.(10分)已知片，拈为椭圆石：=r+==1(〃〉匕〉0)的左、右焦点，离心率为大，点尸(2,3)在椭圆上.

ab2

(1)求椭圆E的方程；

1,1

(2)过耳的直线分别交椭圆于4C和R。，且问是否存在常数X,使得由"，两成等差数列？

若存在，求出丸的值；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解题分析】

由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果.

【题目详解】

由双曲线方程可知：a<0,渐近线方程为：y=±Jx,

7-a

・：一条渐近线的倾斜角为学，；.—」=tan生=—正，解得：a=-3.

6563

故选：D.

【题目点拨】

本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示

双曲线对于"的范围的要求.

2^C

【解题分析】

利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间（0,+。）上的单调性，进而可得出结果.

【题目详解】

对于A选项，函数y=J7ZT在区间（0,+。）上为增函数；

对于B选项，函数丁=必-1在区间（0,+。）上为增函数；

对于C选项，函数y=在区间（0,+"）上为减函数；

对于D选项，函数>=log2x在区间（0,+。）上为增函数.

故选：C.

【题目点拨】

本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.

3、C

【解题分析】

试题分析：因为复数机（根一2）+（根2—37〃+2）z•是纯虚数，所以加（加―2）=。且〃亍―3〃7+2/0,因此机=0.注意不

要忽视虚部不为零这一隐含条件.

考点：纯虚数

4、A

【解题分析】

结合复数的除法运算和模长公式求解即可

【题目详解】

复数z=1+，，•*.|z|=-\/2,z2=(1+z)2=2z,则■—■—h=---；+2z=-—.,+2z=1—z+2z=1+z,

z1+z(1+z)(l—i)

故选：A.

【题目点拨】

本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题

5、D

【解题分析】

利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期T,从而得到。，即可求出解析式，然后利

用函数的性质即可判断.

【题目详解】

/(x)=sin^x+3coscox=2^3sin[GX+,

又一<sin[GX+—V1,即一<2^/3^sin(QX+—<2y,

「•有且仅有-2A/3X2A/3=-12满足条件；

又鼠]—九2|.，则工=工=>7=万，

11zImin222

:.co=^-=2,二函数/(x)=26sin(2x+(1,

对于&/^=2V3sin^=3,故A错误；

对于B,由一/+2左》<2x+y<^+2k7r(keZ),

5TZ"TC

解得一行■+左乃VxV五+左乃(左eZ),故B错误；

对于C,当x=?时，+(1=26sin^

,故C错误;

对于D,由=2百51111与+0]=0,故D正确.

故选：D

【题目点拨】

本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题.

6、B

【解题分析】

由/(%)=阴-如2是偶函数，则只需/(尤)=阴-如2在xe(O,^»)上有且只有两个零点即可.

【题目详解】

解：显然/(%)=阴-如2是偶函数

所以只需尤e(0,­)时，/(x)=阴—如2=，—加/有且只有2个零点即可

令ex—mx2=0,贝！Im=二

X

x

A/\e，/、e"(x-2)

令g(x)=A，g(x)=3

xw(O,2),g，(x)<O,g(x)递减，且xf0+,g(x)f+oo

xe(2,+oo),g'(x)>0,g(x)递增，且x--H»,g(x)f”

g(x)>g(2)=—

xw(0,+oo)时，/(x)=e忖一加f=e*-加/有且只有2个零点，

e1

只需机〉一

4

故选：B

【题目点拨】

考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.

7、B

【解题分析】

求出伪，b2,b3,“，4,b6,判断出｛4｝是一个以周期为6的周期数列，求出即可.

【题目详解】

2*

解：an=yxlO",b=avb=an-lOa^^z/eN,n>2),

：.4=[学=2=4,42=[^^]=28,

d=28—10x2=8,

同理可得：%=285,&=5;%=2857,Z?4=7；%=28571,Z?5=l.a6=285714,4=4；%=2857142,伪=2,...

故也｝是一个以周期为6的周期数列，

则^2019—4x336+3—4—5.

故选：B.

【题目点拨】

本题考查周期数列的判断和取整函数的应用.

8、C

【解题分析】

利用复数模与除法运算即可得到结果.

【题目详解】

田"i)乌

'1+z1+i(l+z)(l-z)222

故选:C

【题目点拨】

本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.

9、C

【解题分析】

由不等式恒成立问题分类讨论：①当。=0,②当。<0,③当。>0,考查方程历。=-2的解的个数，综合①②③得

ae

解.

【题目详解】

①当1=0时，/(x)=^-1>0..0,满足题意，

②当avO时，ex-a>03xe(—―,+8),ax+-<0,故/(1)..。(兀£氏)不恒成立，

0aee

③当〃>0时，设g(%)=e"-a,h(x)=ax+-9

令g(%)=e"-a=O,得x=/na,h(x)=ax+-=O,得％=--—,

eae

下面考查方程Ina=-工的解的个数，

ae

设。(〃)=alna,则9,(〃)=l+lna

由导数的应用可得：

(P(a)=a/网在(0-)为减函数，在d，+s)为增函数，

ee

贝！19(«)=--,

mine

即/=有~■解，

ae

又g(x)=e"-a,/7(x)=ax+』均为增函数，

e

所以存在1个“使得/(%)..0(xeR)成立，

综合①②③得：满足条件的。的个数是2个，

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的

题型.

10、A

【解题分析】

根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出c=2b,结合02=4^=42+〃，得出1=3/,即可求出双曲线的渐近

线方程.

【题目详解】

22

解：由双曲线♦—齐=1(。〉0］〉0)可知，焦点在X轴上，

b

则双曲线的渐近线方程为：y=±—x,

a

由于焦距是虚轴长的2倍，可得：c=2b,

c1=4b之=a2+Z?2，

即：1=3/,2=走，

a3

所以双曲线的渐近线方程为：y=±Y3x.

-3

故选：A.

【题目点拨】

本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程.

11、D

【解题分析】

根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值/(2)可区分剩余两个选项.

【题目详解】

2

因为/(-x)=1L-Vna(x)知/(X)的图象不关于y轴对称，排除选项B,c.

—X

1-43

又式2)=^=—石＜0.排除A,故选D.

ee

【题目点拨】

本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题.

12＞B

【解题分析】

首先根据三角函数的平移规则表示出g(x),再根据对称性求出。、9,即可求出了(*)的解析式，从而验证可得;

【题目详解】

解：由题意可得力卜―三

g(%)=sin+(p=sina)x-^~a)+(p\,

71,71

—3+(p=k]7l-----

TF42(K，£GZ),

又.“⑶和g(x)的图象都关于行了对称’

JIJIJIv7

—CD------0+(p=居"+一

[43-2

.••解得鼻力=(左1_初乃(勺&《Z),即刃=3(勺_左2)(4,左26Z),又•.•0＜口＜6,・••Q二3,甲=_气

,f71n

/./(x)=sin13%一£sin-----也---0,

(6412

二①③④正确，②错误.

故选：B

【题目点拨】

本题考查三角函数的性质的应用，三角函数的变换规则，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、［0,1)

【解题分析】

根据函数成立的条件列不等式组,求解即可得定义域.

【题目详解】

\x>0

解:要使函数有意义，则I,

l-x>0

即0<x<l.则定义域为：［0,1).

故答案为：［0,1)

【题目点拨】

本题主要考查定义域的求解，要熟练掌握张建函数成立的条件.

14、15

【解题分析】

利用展开式所有项系数的和得n=5,再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项.

【题目详解】

因为+的二项展开式中，所有项的系数之和为4n=1024,n=5,

故+的展开式的通项公式为Tr+i=C'-35-r£i。,令^厂-10=0,解得r=4,可得常数项为T5=C'3=15,故填15.

【题目点拨】

本题主要考查了二项式定理的应用、二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题.

3

15、——

2

【解题分析】

根据题意，利用扇形面积公式求出圆心角NAC石，再根据等腰三角形性质求出|AB|=百，利用向量的数量积公式求

ULIUUUIU

出O4AB-

【题目详解】

>rr1

设角NAOB=6>,则一=—8x12,

32

所以在等腰三角形AQ45中，|A5|二g,

贝(IOA-AB=1x^3xcosl50°.

2

3

故答案为：-7.

【题目点拨】

本题考查扇形的面积公式和向量的数量积公式，属于基础题.

16、—6

【解题分析】

由图可得的周期、振幅，即可得A,。，再将(正，2)代入可解得9,进一步求得解析式及7(0).

【题目详解】

35冗jr37r27r

由图可得A=2,-r=-,所以T=»=/，即口=2,

41234①

X/(—)=2,BP2sin(2x—+^?)=2,—+(p=—+Ik/c.k^Z,

121262

又故°=£，所以/a)=2sin(2%—g),/(0)=2sin(—1)=—

NJOJ

故答案为：-6

【题目点拨】

本题考查由图象求解析式及函数值，考查学生识图、计算等能力，是一道中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

210

17、(1)-；(2)；(3)〃()<〃]•

749

【解题分析】

设事件4为“甲是A组的第i株植物”，事件用为“乙是3组的第i株植物”，事件G为“丙是。组的第i株植物”，了=1、

2、、7,可得出P(A)=P(4)=P(G)=；.

(1)设事件。为“丙的高度小于15厘米”，可得。=£。。2,且G、02互斥，利用互斥事件的概率公式可求得结果;

(2)设事件E为“甲的高度大于乙的高度”，列举出符合题意的基本事件，利用互斥事件的概率加法公式可求得所求

事件的概率；

(3)根据题意直接判断从和〃i的大小即可.

【题目详解】

设事件4为“甲是a组的第i株植物”，事件用为“乙是3组的第i株植物”，事件G为“丙是c组的第i株植物"，1=1、

2、、7.

由题意可知P(A)=尸(4)=P(G)=；，，=1、2、、7.

(1)设事件。为“丙的高度小于15厘米”，由题意知。=。1。。2，

2

又G与G互斥，所以事件。的概率P(D)=P(£uC2)=P(a)+P(C2)=,；

(2)设事件E为“甲的高度大于乙的高度”.

由题意知E=44耳。A4u4瓦D4耳D4B2u4与AJB2D人员oAJB3A7B4.

所以事件E的概率P(E)=P(44)+p(A4)+P(44)+p(44)+?()

+P(A5)+P()+p(&用)+p(4团+p(劣片)

=IOP(AB1)=IOP(A4)P(B1)^^;

(3)4<M.

【题目点拨】

本题考查概率的求法，考查互斥事件加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中等

题.

18、(1)答案见解析.(2)答案见解析

【解题分析】

2I2

(1)利用基本不等式可得幺+够a,幺+a2b,两式相加即可求解.

ba

(〃、h2(a—b}

(2)由(1)知。2..人a+b——=ab+———代入不等式，利用基本不等式即可求解.

IaJa

【题目详解】

2b2

(1)a1■引股a,1-a2b

ba

b2a2

两式相加得幺+幺..〃+/?

ab

/、上/、卜2j(j7b2(a-b)

(2)由(1)知ci..ba+b----cibH----------

、aJa

▼口2a1,b2(a-b)a1

于是，a+—+-------..ab+--------+—+-------

ba(a-b)aba(a-b)

(.a\(b2(a-b)1、

Ib~)aa(a—b),

..2—.

ba

【题目点拨】

本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.

19、(I)极小值加-1)=-2,极大值/1)=2；(II)-2e<〃z<与或机=?

ee

【解题分析】

(I)根据偶函数定义列方程，解得机=0.再求导数，根据导函数零点列表分析导函数符号变化规律，即得极值，(II)

先分离变量，转化研究函数g(x)=±F，九q-2,4],利用导数研究g(x)单调性与图象，最后根据图象确定满足

e

条件的心的取值范围.

【题目详解】

(I)由函数/(尤)是偶函数,得/(—x)=/(x)，

即me-x-(-%)2+3=mex-x2+3对于任意实数x都成立，

所以机=0.

此时“(X)=4(x)=T3+3x,贝!J"(x)=-3x2+3.

由〃(x)=0,解得x=±l.

当x变化时，〃(%)与的变化情况如下表所示：

X(-8,一1)-1(-M)1(L+8)

/zr(x)-0+0-

/z(x)极小值极大值X

所以力⑴在(-8,-1),(1,+8)上单调递减，在(fl)上单调递增.

所以h(x)有极小值/i(-l)=-2,h(x)有极大值丸⑴=2.

2Q

(II)由/(x)="?e'—f+3=0,得加=三二2.所以“/(九)在区间［—2,4］上有两个零点”等价于“直线y=根与曲

e%

r2-3「1

线g(x)=Y士，2,4］有且只有两个公共点”.

对函数g(x)求导，得g0)=7+2x+3.

e

由g'(x)=O,解得石=-1,*2=3.

当x变化时，g'(x)与g(x)的变化情况如下表所示:

X(-2,-1)-1(-13)3(3,4)

g'(x)-0+0-

g(x)X极小值7极大值

所以g(x)在(―2,-1),(3,4)上单调递减，在(-1,3)上单调递增.

又因为g(—2)=e2,g(-l)=-2e,g⑶=?<g(—2),g(4)=£>g(—l),

ee

所以当-2e<m<与或m=?时，直线尸切与曲线且(力==1,2,4］有且只有两个公共点.

eee

即当-2e<m<q或帆=g时，函数”力在区间［—2,4］上有两个零点.

ee

【题目点拨】

利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

⑴利用零点存在的判定定理构建不等式求解.

⑵分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.

⑶转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

20、(1)a=-l(2)证明见解析

【解题分析】

⑴求导可得在［上呼显,+8上用工)〉。,在［o’+q7砺上/凶刀)<。,所以函数/(尤)在x=i+，f时,

\7V74

取最小值,由函数/(无)只有一个零点，观察可知/(1)=0则有1+^^=1,即可求得结果.

⑵由⑴可知/'⑴=0为最小值,/(玉)=/(%2)则。<再<1<工2构造函数

/i(x)=/(x)-/(2-x)=2x-2-lnx+ln(2-x)(0<x<l)，求导借助基本不等式可判断网工)为减函数,即可得

//(%)>7/(1)=0,即/?(%)=/(玉)一/(2—玉)>0则有/(2—%)</(%),由已知/(%)=/(%)可得

/(2-^)</(X2),由西<1,可知2-%>1,因为时,/(%)为增函数，即可得2-西<々证得结论.

【题目详解】

(1)f'(x)=2x-l+-=2x2~X+a(x>0).

XX

因为avO,所以l—8a>0,

令第x)=0得%=匕竽？，

l+y/1-Sa

X---------9

94

且芭<0,x2>09在"'I阻,+8上/4%)>0；

I4)

在0,二零比上/«x)<0；

所以函数〃无)在xJ+q3诟时,取最小值，

当最小值为。时，函数“X)只有一个零点，

易得/。)=0,所以匕YE&=i,

解得。=一1.

(2)由(1)得。=一1,函数/(Muf-x-lnx,

设/(%)=/'(%2)=加(m>0)，贝！1。<为<1<%，

^/i(x)=/(x)-/(2-x)(0<x<l),

贝！I/?(%)=x2一九一In九一(2—x)-+(2—尤)+ln(2—x)=2九一2—lnx+ln(2-x),

1122

h'(x)=2-------------=2-——-<2----------------r=0

x2—xx(2-x)广+2-J,

所以/I(%)为减函数，所以M%)>Mi)=o,

即=-〃2-％)>0,

所以/(2—%)</(玉)，即/(2—%)</(%)，

又西<1,所以2—七>1,

又当尤>1时，/(无)为增函数，

所以2-X]<々，即X]+%2>2.

【题目点拨】

本题考查借助导数研究函数的单调性及最值，考查学生分析问题的能力，及逻辑推理能力，难度困难.

V2V29

21、(1)一+匕=1；⑵是，-

434

【解题分析】

⑴根据e=£=工及a?=廿+°2可得4〃=3a2,再将点。代入椭圆的方程与4b~=3a2联立解出/万，即可

a2I2)

求出椭圆的方程；

(2)可设AC所在直线的方程为>=左(*-1),4为%),B(x2,y2),C。水将直线AC的方程与椭圆的方

程联立，用根与系数的关系求出％1+%2，再演，然后将直线加、DB、DC的斜率匕、42、网分别用和々1表示，

利用匕+七=2七可求出，=4,从而可确定点C恒在一条直线％=4上，结合图形即可求出ADCE的面积鼠比尸.

【题目详解】

1C11

(1)因为椭圆的离心率为大，所以e=—二—,即。=不〃，

2a22

又/=/+02,所以4〃=3片，①

因为点在椭圆上，所以:+京=1，②

/=4%22

由①②解得2,所以椭圆C的方程为上+匕=1.

[b2=343

(1)可知c=l,尸(1,0),可设AC所在直线的方程为>=依*-1),

y=左(x-l)

由丫？,得(3+4左2)/—8左2%+4(公—3)=0，

—+—=1

143

设4和%),3(々,％),CQ,左则马+々=。与,石々=4/一?,

3+4K1-3+44②

设直线ZM、DB、。。的斜率分别为左1、左2、%,

因为A3,尸三点共线，所以心尸=凝尸=左，即』7==左，

再一1%2—1

33

当一彳再十九2-2

以「23/11〕=21,

乙_|____________一-------------1---------------------------------------1--------------=2k--

所以k/V]+।八k(2=%马一(九1+%2：

——2

人X]-1±x人？-1JL~%一1%212(%一1%21

3

乂“=2»

3t-1

因为直线DA、DC、05的斜率成等差数列，所以%+&=2%,

即(2左一1)。-1)=2左«—1)-3