2024届内蒙古赤峰市高三年级下册二模理数试题及答案

高中

赤峰市高三年级3-20模拟考试试题

理科数学

2024.03

本试卷共23题，共150分，共8页，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一

并交回.

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴条形码区域内.

2.选择题答案必须使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字

体工整，笔迹清楚.

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草

稿纸、试卷上答题无效.

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知全集U=R,A=^x|0<x<ij-,8={x|lnx<l},贝()

A.(0,1)B.(l,e)C.[l,e)D.[e,4-oo)

2.棣莫弗公式(cosx+i-sinx)"=cos(〃x)+i-sin(〃x)(其中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667-

1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数"g+i-sing］在复平面内所对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.若向量5与B满足H+鼠且同=1,|可=2,则向量方与B的夹角为()

A.—B.-C.-D.—

3366

4.命题“VxeR,3MeN*,〃〉/"的否定形式是()

22

A.VxeR,V/7GN*,n<x.B.3xeR,eN*,n<x.

22

C.3xGR,VT?GN*,n<x.D.3xeR,VwGN*,n<x.

5.已知/(%)是定义在R上的偶函数，且周期T=6.若当3,0］时，/(x)=4-\则/(2024)=

()

11

A.4B.16C.—D.-

164

高中1

高中

6.在下列四个图形中，点尸从点。出发，按逆时针方向沿周长为/的图形运动一周，O、P两点连线的距离

y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（）

7.正值元宵佳节，赤峰市“盛世中华•龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中，有4名

大学生将前往3处场地B,C开展志愿服务工作.若要求每处场地都要有志愿者，每名志愿者都必须参加

且只能去一处场地，则当甲去场地N时，场地8有且只有1名志愿者的概率为（）

321八63

A.-B.—C.—D.一

450115

8.如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的

22

另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为三+2=1,其左、右焦点分别

2516

是《，鸟，直线/与椭圆C切于点P,且忸片|=2,过点尸且与直线/垂直的直线/'与椭圆长轴交于点

则阳M：丘叫=（）

A.1:V3B.1:2C.1:3D.1:4

9.已知△48C的三个内角B,C所对的边分别为a,b,c,满足2a+b=2ccos8,且

sinZ+sinB=l,则△NBC的形状为（）

等边三角形顶角为120。的等腰三角形

顶角为150。的等腰三角形等腰直角三角形

10.已知数列｛4｝满足4-2'"，若%=1，%的所有可能取值构成集合则M中

3%+1,当a,为奇数时

高中2

高中

的元素的个数是（）

A.7个B.6个C.5个D.4个

11.在直三棱柱4BC—481G中，各棱长均为2,M,N,P,。分别是线段ZC,4G，441，eq的中

点，点。在线段儿。上，则下列结论错误的是（）

A.三棱柱4BC-451G外接球的表面积为个B.BDLMQ

C.面A0ND.三棱锥Q—Q5］N的体积为定值

22

12.已知尸是双曲线C:二—々=1（。〉0力〉0）的左焦点，过点尸的直线/与双曲线C的一条渐近线垂

ab

——►1—►

直，垂足为"，且直线/与双曲线。的右支交于点N,若FM=—FN,则双曲线。的渐近线方程为

4

（）

314

A.y=±—xB.y=±-xC.y=±2xD.y=±-x

423

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.［一+j］的展开式中x的系数为

14.已知圆C:（x—2『+/=4,直线/:y=—x+1被圆C截得的弦长为

15.已知函数/（x）=/sin（0x+0）［/〉0,0〉0,—J的部分图象如图所示，若将y=/（x）的图

象向左平移机（机〉0）个单位长度后所得的图象关于y轴对称，则加的最小值为

X+.V

16.定义在（一1,1）上的函数/（x）满足：对任意都有/（x）+/（y）=/,且当

xe（O,l）时，/（x）＜0恒成立.下列结论中可能成立的有

①/（x）为奇函数;

②对定义域内任意而W/，都有西/（西）+》2/（》2）〉%/（》2）+》2/（不）；

高中3

高中

x+x三/(七)+/(%)

③对VX],/e(T,0)，都有fx2

2一2

]

④

广+3z+1I

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.（12分）已知数列｛4｝,.在①数列｛4｝的前〃项和为Sn,Sn=2a“—2；②数列｛«„｝的前n

项之积为S“=2k（〃eN*）,这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条

件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选"）

（1）求数列｛4｝的通项公式;

（2）令，=%+log2%,求数列｛"｝的前H项和1.

18.（12分）2024年甲辰龙年春节来临之际，赤峰市某食品加工企业为了检查春节期间产品质量，抽查了一

条自动包装流水线的生产情况.随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），

质量的分组区间为（495,505],（505,515],（535,545],由此得到样本的频率分布直方图，如图所

（1）根据频率分布直方图，求质量超过515克的产品数量和样本平均值亍;

（2）由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值J服从正态分布N（〃,1.252）,

其中〃近似为（1）中的样本平均值了，计算该批产品质量指标值42519.75的概率；

（3）从该流水线上任取2件产品，设¥为质量超过515克的产品数量，求丫的分布列和数学期望.

附：若J~N（x,cf2）,则尸（〃-cr<JW”+cr）70.6827,

高中4

高中

尸(〃一2b<JW〃+2b)合0.9545,尸(〃一3cr<JW〃+3cr)。0.9973.

19.(12分)已知函数/(x)=］』+a—1：/.

(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在点处的切线方程；

(2)当a=2时，求函数/(x)的单调递增区间；

(3)若函数/(x)在区间(0,1)上只有一个极值点，求a的取值范围.

20.(12分)已知正方体ZBCD-4B1GA,棱长为2.

(1)求证：4c，平面48Q1.

(2)若平面a〃平面48］。］,且平面a与正方体的棱相交，当截面面积最大时，在所给图形上画出截面图

形(不必说出画法和理由)，并求出截面面积的最大值.

(3)在(2)的情形下，设平面a与正方体的棱48、BB「51G交于点E、F、G,当截面的面积最大

时，求二面角R—EE—G的余弦值.

21.(12分)已知抛物线尸：/=2/(0<P<5)上一点0的纵坐标为4,点0到焦点厂的距离为5.过点

F做两条互相垂直的弦AB、CD,设弦AB、CD的中点分别为M、N.

(1)求抛物线P的方程.

(2)过焦点尸作尸GLMV,且垂足为G,求|OG|的最大值.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第

一题计分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

22.选修4-4：坐标与参数方程(本题满分10分)：

x=2cosa

已知在平面直角坐标系X。中，曲线G的参数方程为《厂(。为参数)，曲线。2的参数方程为

［y=V3sina

高中5

高中

<.（。为参数，兀工。<2兀）.

y=4+sin。

（i）求曲线G的普通方程；

（2）已知M,N分别是曲线。，G上的动点，求的最小值.

23.选修4-5:不等式选讲（本题满分10分）

已知函数/（x）=|x-m|.

（1）当加=2时，求不等式/（对24-卜+1|的解集；

（2）若|x+U恒成立，求〃？的取值范围.

高中6

高中

赤峰市高三年级3.20模拟考试试题

理科数学答案

2024.03

一、选择题:

题号123456789101112

答案CBACBDADBBCD

二、填空题：

13.8014.V1415.-16.①③④

6

解答题：

17.解：(1)选①，当〃=1时，ax—2ax—2,即q=2

当〃22时，S〃=2%—2①

SNT=2%-2②

①一②得：an=2an-2ani,即2=2

所以数列｛%｝是以2为首项，2为公比的等比数列

所以%=2"

选②，当〃=1时，〃]=Si=2,即q=2

Q02〃(〃+1)«(«-1)

当〃时，％=+=工，即4=2、--1=2"

"T22

当〃=1时，2符合上式.

所以数列｛%｝是以2为首项，2为公比的等比数列

所以4=2"

(2)因为〃=。“+log2%,所以〃=2"+",

所以q=(2]+2?+…2")+(1+2+…+〃)

2(1—2")〃(〃+1)

--------------+------------

〃1-22

高中7

高中

2

T=2"+i-2+4^

"2

18.解(1)由频率分布直方图可知，

•.•质量超过515克的产品的频率为5x007+5x005+5x001=065,

.•.质量超过515克的产品数量为40x0.65=26(件)

x=10x(500x0.015+510x0.020+520x0.035+530x0.025+540x0.005)=518.5

(2)由题意可得〃=亍=518.5,cr=1.25

则尸(〃—cr<JV〃+CT)=尸(517.25<^<519.75)»0.6827,

则该批产品质量指标值42519.75的概率:

尸(1519.75)=1-0(517.25<“519.75)35865

2

(3)根据用样本估计总体的思想，从该流水线上任取一件产品，

该产品的质量超过515克的概率为至=—=0.65

4020

所以，从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看作二项分布.

故，质量超过515克的件数y可能的取值为0,1,2,且y〜

p(y=k)=c；

P(Y=0)=C°

117Q113i2169

p(y=l)=c'X—X—=—=0.455,P(Y=2)=C；xi-0.4225，

2202020020400

：.Y的分布列为

Y012

P4991169

400200400

499116913

丫的均值为E(y)=0x」+lx二+2、2=1.3或者£(7)=2乂-=1.3

40020040020

e%ex(x-l)

19.解(1)：当4=1时,/(%)=—,则八%)=

Xx2

所以，/(l)=e,⑴=0,

高中8

高中

故当a=l时，曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程为y—e=0,即y=e.

(2)当a=2时，/(x)=p+l|ex=(X+1)eJ,该函数的定义域为{x|xw0},

,(x+2)xe"-(x+l)e"(x2+x-l)ex

J(%)-2-2'

XX

由/'(x)〉O,即V+x—1>O,解得工〈—上半或》〉1二1,

因此，当。=2时，函数/(x)的单调递增区间为-哈-士？、、—,+oo

(3)法I：因为/(x)=(』+a—l[e1则f'(x)=()+a—]—e'=(伍一D"?；二一,二

\x)XJX

令g(x)=(a—1)/+X-1,因为函数/(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，

则函数g(x)在(0,1)上有一个异号零点，

当a=l时，对任意的xe(O,l),g(x)=x—1<0恒成立，无零点，故不符合题意；

当a>l时，函数g(x)=(a-1)炉+.一1在(0,1)上单调递增,

因为g(O)=—1<0,只需g(l)=a—1〉0,故。>1符合题意;

当。<1时，函数g(x)的图象开口向下，对称轴为直线x=—2(1])〉0,

因为g(O)=—1<0,只需g(l)=a—1〉0,故。<1不符合题意，舍去

综上所述，实数。的取值范围是(1,+8).

法II：令(a-l)x?+x—1=0

则a—]=-7有根.

XX

令，二一£(1,+00)

X

设g«)=/T

由题意可知a—1>0

:.a>\

高中9

高中

20.证明：（1）连接4C,A.B

因为45CD—4用。]。1是正方体，所以BC_L平面4aBi4,因为2与u平面,所以BCLZg

又因为四边形ABBXAX是正方形，所以J.ABX,

因为48nBe=8,所以平面48C,

因为4Cu平面45C,所以4CJL45].同理：AXC1DXBX

又因为ZgnBQi=用，所以4CL平面48Q1.

（2）截面图形为如图所示的六边形

根据题意知截面面积最大时，图形是边长为友的正六边形，

所以最大的截面面积为S=6x工x后x0xsin60°=3G

2

（3）因为平面a〃平面Ng。],所以当截面ENG的面积最大时，E、F、G分别是棱45、BB「81G的

中点，以。为原点建立如图所示空间直角坐标系

，（0,0,2）,£（2,1,0）,7（2,2,1）,G[1,2,2）

设平面。]£下的一个法向量是力二(4必/1),

----►----►[ri-D.E=2x}+y,-2z.=0

j£二(2,l,—2),。尸二(2,2,—l),上11

n-D[F=2再+2%一句=0

令％]=3,则必=—2,4=2,n=(3,—2,2)

设平面GE尸的一个法向量是应=(%,%,Z2),而=(0,1,1),FG=(-1,0,1)

m•EF=y?+z?=0

v__.,令％2=1，则％=—1,z2=1f则成=(1,—1,1)

m•FG=-x2+z2=0

/_n-m3xl+(-2)x(-l)+lx27同

/同网舟+(-2)2+22.+(-1)2+F51

设二面角2—£尸—G的平面角为6,由图知。为锐角，所以cos8=Z叵，

151

所以二面角2-£尸-G的余弦值为

高中10

高中

21.解：(1)由题可知，42=2p15—

解得，2=2或2=8(舍)

所以，抛物线P的方程为V=4x

(2)设直线48:%=叼+1,4(再,%),8(%2，%)，

,,x=my+lr.

联，可得-4机v-4=0,则得%+%=4机，Xj+x=4m~+2,

=4x2

:.M(2m2+\,2m),同理N(4+l,-工］

\mm)

①加=±1时，|0G|=3

②当机w±l时，

c2

2mH——

:.lMN:y-2m=-----%(x—2掰2-1)

2m2―一

m

根据曲线对称性可知，令丁