2024年暑假高二数学新课：直线与方程综合测评

2024年暑假高二数学新课:直线

与方程综合测评

।则固层•知识整台\

知识体系—反哺教材公

直

线

与

方

程

适用条

件及相

互转化

［自我校对］

①0°Wa<180°

②左=tana

X2-XI

④上1,左2=—1

⑤后=左2,bl于b2

|4xo+Eo+C|

⑦公

\IA2+B2

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Q—C2I

⑧d=

-\JA2+B2

月k学思心得

提升层•能力强化'

I深化整合—探究提升出

回直线方程及其应用

(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用

条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要

另行讨论条件不满足的情况.

(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单.

》例］过点2(—5,—4)作一直线/,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成

的三角形的面积为5,求直线/的方程.

【精彩点拨】已知直线过定点4且与两坐标轴都相交，围成的直角三角

形的面积已知.求直线方程时可采用待定系数法，设出直线方程的点斜式，再由

面积为5列方程，求直线的斜率.

【规范解答】由题意知，直线/的斜率存在.设直线为了+4=©x+5),交

x轴于点【左5'°］交y轴于点(0,5左一4),

1--5

S=；XkX|5^-4|=5,

得25沼一30左+16=0(无实根)，或25左2—50左+16=0,

解得♦=：，或

所以所求直线/的方程为2x-5v-10=0,或8x-5v+20=0.

［再练一题］

1.过点P(—1,0),。(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距

之差的绝对值为1,求这两条直线的方程.

【解】(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为X=-1,X

=0,它们在x轴上截距之差的绝对值为1,满足题意；

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(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为左，

则两条直线的方程分别为了=-x+l),y=kx+2.

令y=0,分别得x=—1,x=-

"k

—1+-

由题意得k=1,即k=1.

则直线的方程为y=x+1,y=x+2,

即x—y-\-1=0,x—j+2=0.

综上可知，所求的直线方程为x=-l,x=0,或x—.v+l=O,x—y+2=0.

直线的位置关系

利用直线的方程判定两条直线的平行或垂直关系是这部分知识常涉及的题

型.求解时，可以利用斜率之间的关系判定；若方程都是一般式，知道平行或垂

直关系，求参数的值时也可用如下方法：

直线/1：Zix+5iy+Ci=0,

h：Z2x+52_y+C2=0.

时，可令482—Z赤1=0,解得参数的值后，再代入方程验证，排除

重合的情况；

(2)/I，/2时，可利用小小+8由2=0直接求参数的值.

例已知直线。：x+mj+6=0,liz(m—2)x+3y+2机=0,求机的值，

使得：

(1)/1±/2；(2)71/7/2.

【精彩点拨】已知两直线的方程中都含有参数，求不同的位置关系时参数

的取值，可以利用平行(或垂直)的条件列方程求解.

【规范解答】法一当机=0或2时，两直线既不平行，也不垂直；

当加W0且加W2时，直线/1,/2的斜率分别为：一二

m3

12—m1

(1)若则一!—1,解得掰=上

m32

1Q-yyj

(2)若八〃/2,则由---=----,得掰=—1或机=3.

m3

又当机=3时，/i与心重合，故机=3舍去.

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故/i〃/2时，m=-l.

法二(1):/iJ_，2,：.m—2+3机=0,掰=；

⑵，3—侬优一2)=0且2机关6(机一2),

故m=­l.

［再练一题］

2.已知点2(2,2)和直线/：3x+4j-20=0.

(1)求过点4且和直线/平行的直线方程；

(2)求过点Z,且和直线/垂直的直线方程.

【解】(1)因为所求直线与/:3x+4y—20=0平行，

所以设所求直线方程为3x+4v+m=0.

又因为所求直线过点2(2,2),所以3X2+4X2+机=0,

所以m=—14,所以所求直线方程为3x+4y—14=0.

(2)因为所求直线与直线/：3x+4y—20=0垂直，

所以设所求直线方程为4x—3v+??=0.

又因为所求直线过点2(2,2),所以4X2—3X2+〃=0,

所以〃=—2,所以所求直线方程为4x—3y—2=0.

em对称问题

对称问题主要有两大类，一类是中心对称，一类是轴对称.

1.中心对称

(1)两点关于点对称,设尸i(xi,yi),P(a,b),则尸i(xi,yi)关于尸(a,6)对称

的点尸2(2a—xi,2b—yi),也即尸为线段P1P2的中点；特别地，尸(x,y)关于原点对

称的点为P'(—X,—V).

(2)两直线关于点对称，设直线。，/2关于点尸对称，这时其中一条直线上任

一点关于尸对称的点在另外一条直线上，并且尸到K/2的距离相等.

2.轴对称

(1)两点关于直线对称，设尸1,02关于直线/对称，则直线P1P2与/垂直，

且P1P2的中点在/上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程.

(2)两直线关于直线对称，设/1,/2关于直线/对称.

①当三条直线/1、卜、/共点时，/上任意点到/1、/2的距离相等，并且/1、h

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中一条直线上任意一点关于/对称的点在另外一条直线上;

②当时，。到/的距离等于到/的距离.

例国已知直线/：2x—3y+l=0,点4(—1,-2).求：

(1)点N关于直线/的对称点幺’的坐标；

(2)直线加：3x—2y—'6=0关于直线/的对称直线机'的方程；

(3)直线/关于点Z的对称直线厂的方程.

【精彩点拨】(1)设点/关于直线/的对称点H的坐标，利用对称点的连

线被对称轴垂直平分，列出方程组求解；(2)转化为点关于直线的对称来解决，

求出直线机上一点的对称点，结合直线机与/的交点，用两点式求出直线方程;

(3)转化为点关于点的对称问题.

【规范解答】(1)设对称点Z'的坐标为(切，〃)，由已知可得

乂匕

2X0—3卜1=0,

22

rm=--33,

133341

」

解得‘4即H13'13

113

(2)在直线掰上取一点，如8(2,0),则5关于/的对称点必在机'上，设对称

点、为B'(a,b),

2Xa±23xb±0+1=Q

22

则由

匕°X2=T,得B

a~23

设机与/的交点为N,

2x—3v+1=0,

由'得N(4,3).

以一2y—6=0,

y—3x—4

设直线机,上的点为(x,y),由两点式得直线加,的方程为百----

--13旦一4

1313

即9x-46v+102=0.

(3)法一：在/:2x—3y+l=0上任取两点，如MU),N(4,3).

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则N关于点Z的对称点,N'均在直线/'上.

易知(―3,-5),N'(-6,-7),由两点式可得/'的方程为2x—3y—9

=0.

法二：设直线/关于点Z的对称直线/'上的任意一点P(x,y),则点P(x,y)

关于点—1,—2)的对称点P(—2—x,—4—y),

•.•点P在直线/上，

.\2(-2-x)-3(-4-j)+1=0,即2x-3j-9=0.

［再练一题］

3.求直线/i：2x+y—4=0关于直线/：3x+4y—1=0的对称直线/2的方程.

2x+v—4=0,

【解】解方程组・

3x+4y~l=Q,

x=3,

得

y=~2,

所以直线/i与/相交，且交点为E(3,-2),£也在直线/2上，在直线/i：2x

+v-4=0上取点=(2,0),设点Z关于直线/的对称点为S(xo,yo),

3X2+^+4X0+V«-1=0,

22

于是有yp—04

xo—23

_4

'°一《'即《可

解得.8

yo=--,

-D

故由两点式得直线/2的方程为2x+1ly+16=0.

数形结合思想

数形结合思想是一种重要的思想方法，数形结合的应用大致分为两类：第一

类“以数解形”——就是有些图形太过于复杂或过于简单，直接观察不易求解，

这时需要给图形赋值；第二类“以形助数”——借助图形的直观性阐明数之间的

关系.

例四点尸(一2,一1)到直线/：(l+37)x+(l+ny—2—54=0的距离为力

求d的最大值.

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【精彩点拨】解答本题可以利用运动变化的观点，让直线绕定点转动，观

察距离的变化情况，从而得d的最大值.

【规范解答】直线I的方程可化为》+了-2+"3%+了一5尸0,

|x+v—2=0,

由..

3x+y-5=0,

当时，d取最大值R|.

的最大值为a.

2

［再练一题］

4.直线/i过点P(—1,2),斜率为一；，把人绕点尸按顺时针方向旋转30。

得直线/2,求直线/1和/2的方程.

【解】设直线/i的斜率为左，倾斜角为a.由题意，知直线人的方程是＞一2

=一m+1)，

即\［3x-\-3y—6+A/3=0.

•.次i=—：=tanai,

7i的倾斜角ai=150°.

如图，Zi绕点P按顺时针方向旋转30°,得到直线h的倾斜角o(2=150°—30°

=120°,

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，直线，2的斜率左2=tan120°=—

：.h的方程为y—2=~\/3(x+1),

即品+厂2+3=0.

|拓展层"链接高考\

真题链接—探究提升。

1.已知点0(0,0),4(0,b),B(a,a3).若△048为直角三角形，则必有()

A.b=ai

B.b=a3+-

a

c.S—上T=o

b一〃——

D.|/)—a3|+a=0

【解析】若以。为直角顶点，则8在x轴上，则。必为0,此时。，B重

合，不符合题意；

若NZ=：,则b=a3^0.

若N8=匹，根据斜率关系可知#4"=一1,所以研/―6)=—1,即6—

2a

a3—-=0.

a

以上两种情况皆有可能，故只有C满足条件.

【答案】C

2.已知点40,2),5(2,0).若点C在函数歹=炉的图象上，则使得8c的

面积为2的点C的个数为()

A.4B.3

C.2D.1

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【解析】设C«,祥)，由幺(0,2),8(2,0)易求得直线48的方程为y=—x+

2.

...点C到直线48的距离d=『+L2]

也

又•.,"|=2他，

12

：.SllABc=^X\AB\-d=\t^t-2\.

令伍2+/—2|=2,得/+.一2=±2,."+/=0或祥+/_4=0,符合题意的/

值有4个，故满足题意的点。有4个.

【答案】A

3.