2024年高中数学学业水平考试基础知识总结

2023年高中数学学业水平测试

复习必背知识点

必修一集合与函数概念

1、含n个元素的集合的所有子集有2"个

2、求y=/(x)BU反函数:解出x=/T(y),尤,y互换，写出y=/T(x)的定义域；函数

图象有关y=x对称。

3、对数:①负数和零没有对数;②1的对数等于0:log。1=0；③底的对数等于1:log/=1,

M

log——=log„M-logN

④、积的对数：bg〃(政V)=log〃M+k)g〃N^B^Ok：N

幕的对数：logaM"="log〃M；log/6"=—log„^

4.奇函数/(-x)=-/(x),函数图象有关原点对称；偶函数/(-x)=/(x),函数图象有关

y轴对称。

必修二

一、直线平面简朴的几何体

1、长方体的对角线长片=1+62+02；正方体的对角线长/=岛

_4

2、球的体积公式："=3^R3球的表面积公式：S=4万R2

3、柱体V=§./?,锥体V=&s2h

4.点、线、面的位置关系及有关公理及定理：

(1)四公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一种平面内，则该直线上所有的点都

在这个平面内:公理2：通过不在同一直线上的三点，有且只有一种平面。公理3：假如两个

平面有一种公共点，那么它们尚有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点

的直线。推论一:通过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一种平面。推论二:通过两条相

交直线，有且只有一种平面。推论三:通过两条平行直线，有且只有一种平面。公理4:平行于

同一条直线日勺两条直线平行；

(2)等角定理:空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

(3)空间线线，线面，面面的位置关系：

空间两条直线的位置关系：

相交直线一一有且仅有一种公共点；

平行直线一一在同一平面内，没有公共点；

异面直线一一不同样在任何一种平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面

直线。

直线和平面的位置关系

(1)直线在平面内(无数个公共点)；

(2)直线和平面相交(有且只有一种公共点);

(3)直线和平面平行(没有公共点)一一用两分法进行两次分类。

它们的图形分别可体现为如下，符号分别可体现为aua,a«=A,alia.

线面平行的鉴定定理：假如不在一种平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么

这条直线和这个平面平行。推理模式：aua,bua、allbnalla.

线面平行的性质定理：假如一条直线和一种平面平行，通过这条直线的平面和这个平面相

交,那么这条直线和交线平行。推理模式：a〃a,au£,a)3=b^a//b.

两个平面的位置关系有两种:两平面相交(有一条公共直线)、两平面平行(没有公共点)

(1)两个平面平行的鉴定定理：假如一种平面内有两条相交直线都平行于一种平面，那

么这两个平面平行。

推论:假如一种平面内有两条相交直线分别平行于另一种平面内的两条相交直线，那么

这两个平面互相平行。

推论模式:a，b=P,aua,bua,db'=P',du/3,b'u)3,a11a；b/1b'na11/3

(2)两个平面平行的性质A.假如两个平面平行，那么其中一种平面内的直线平行于另

一种平面;B.假如两个平行平面同步和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

2)垂直：

1.线线垂直

判断线线垂直的措施：所成的角是直角,两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于

另一条。

三垂线定理：在平面内的一条直线，假如它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它

也和这条斜线垂直。

三垂线定理时逆定理:在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线垂直,那麽它也

和这条斜线的射影垂直。

2.线面垂直

直线与平面垂直的鉴定定理:假如一条直线和一种平面内的两条相交直线都垂直，那么

这条直线垂直于这个平面。

直线和平面垂直的性质定理：假如两条直线同垂直于一种平面，那么这两条直线平行。

3.面面垂直

两平面垂直的鉴定定理：（线面垂直二>面面垂直）假如一种平面通过另一种平面的一条

垂线,那么这两个平面互相垂直。

两平面垂直的性质定理：（面面垂直n线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一种平面

内垂直于它们的交线时直线垂直于另一种平面。

二、直线和圆的方程

k=

1、斜率：左=tantz,左e（—8,+8）;直线上两点片（X1,%）,舄（/，为），则斜率为

2、直线方程：（1）、点斜式：y-％=左（%-七）；（2）、斜截式：y=kx+Z?;

AC

（3）、一般式：Ax+By+C=G（A、B不同样步为0）斜左=一石率y轴截一方

距

3、两直线的位置关系4n厂

a_4.a

42B2C*2

（1）、平行：/]〃乙=左=左2且40打；时，（〃/2；

垂青.K•k?=—1<=^>，i.~LZ244+丹丹=O=>I]_L12

tan0=■I

1+k2kl

（2）夹角范围：（0,乃）夹角公式：'离、42都存小板2"°

（。与tane=

夹角范围：夹角公式：I十七匕自、左2都存稻K*0

d_1yz1co+By。+C|

（3）、点到直线的距离公式（直线方程必须化为一般式）

VA2+B2-

4,圆的方程:

（1）圆的原则方程（x—a）2+（y—6）2=",圆心为c（a,b）,半径为广

（2）圆的一般方程+/+以+4+/7=0。2+62—4/>0体现圆。

必修三

算法初步与记录:

1.算法的三种基本构造：（1）次序构造（2）条件构造（3）循环构造

2.算法基本语句：1.输入语句:输入语句的格式：INPUT“提醒内容”；变量2.输出语

句：输出语句的一般格式:PRINT“提醒内容”；体现式3.赋值语句：赋值语句的一般格式：

变量=体现式4.条件语句（1）“IF—THEN—ELSE”语句

5.三种常用抽样措施：

1.简朴随机抽样2.系统抽样3.分层抽样4.记录图表:包括条形图，折线图，饼图，茎

叶图。

频率分布直方图:详细做法如下：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组

频率

距与组数；（3）将数据分组；（4）列频率分箱嬖巨（5）画频率分布直方图。注：频率分布

直方图中小正方形的面积=组距X频率。

折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点,就得到频率分布折线图。

6.刻画一组数据集中趋势的记录量：平均数，中位数,众数。

在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；

将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列,处在中间位置上的一种数据（或中间两位数据的

平均数）叫做这组数据的中位数；

7.刻画一组数据离散程度的记录量：极差，极准差,方差。

（1）极差一定程度上表明数据的分散程度，对极端数据非常敏感。

（2）方差，原则差越大，离散程度越大。方差,原则差越小，离散程度越小，汇集于平均数的

程度越高。

(3)计算公式:

8.频率分布直方图：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于对应各组日勺频率,小长方

形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。

随机事件：在一定的条件下所出现的某种成果叫做事件。一般用大写字母A,B,C…体现.

随机事件的概率:在大量反复进行同一试验时,事件A发生的频率总靠近于某个常数,在

它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件/的概率，记作尸(⑷。由定义可知0W产(给W

1,显然必然事件的概率是1,不也许事件的概率是0。

1.事件间的关系

(1)互斥事件:不能同步发生的两个事件叫做互斥事件；

(2)对立事件：不能同步发生，但必有一种发生日勺两个事件叫做互斥事件；

(3)包括：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包括于事件B(或事件B包括事件A)；

(4)对立一定互斥，互斥不一定对立。

2.概率的加法公式：

(1)当/和8互斥时，事件4+6的概率满足加法公式：尸(/+皮=P(A)+P(方(A、B

互斥)(2)若事件A与B为对立事件,则AUB为必然事件，因此P(AUB)=P(A)+P(B)=1,

于是有P(A)=l—P(B).

3.古典概型

⑴对的理解古典概型的两大特点：1)试验中所有也许出现的基本领件只有有限个;2)

A包含的基本事件个数

总的基本事件个数

每个基本领件出现的也许性相等;(2)掌握古典概型的概率计算公式：P(A)=

4.几何概型：

（1）几何概率模型:假如每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比

例，则称这样的概率模型为几何概率模型。

⑵几何概型的特点：1）试验中所有也许出现的成果（基本领件）有无限多种;2）每个基本领

件出现时也许性相等.

（3）几何概型的概率公式：

构成事件Afi勺区域:长度,面积或体积,

P（A尸试验的全司3结果所构成的区域长度（面积或体积）

必修四

一、三角函数

弧度,1弧度雪«7-18,

1、弧度制："80=715弧长公式:/二|阴r(是角的弧

n

yXrr

度数）sina=—ycosa=%—tana=—cota=一seca=—esca=—

rrXy%y

2、三角函数（1）、定义:

3、特殊角的三角函数值

a的角度0°30°45°60°90°120P135°150°180°270P360°

7VTCTC2〃37r5兀3兀

a的弧度071/6兀2冗

432346

V2V3A/3V2

sina01110-10

22222五

■A/21_VI—县

cosa10-101

222~222

后一旦

tana01A/3一-A/3-10一0

33

_sina

、同角三角函数基本关系式：22tanacota=ltani=

4sintz+cosa-Icosa

5、诱导公式：（奇变偶不变,符号看象限）正弦上为正；余弦右为正；正切一三为正

公式二:公式三：公式四：

公式五:

sin(l80°+a)=-sinasin(-o)=-sinosin(l80°-a)=sinasin(360°-a)=-sina

cos(l80°+a)=—cosacos(—a)=cosacos(l80°-a)=-cosacos(360°-a)=cosa

tan(180°+a)=tanatan(—a)=-tanatan(l80°-a)=-tanatan(3600-a)=-tana

6、两角和与差的正弦、余弦、正切

Sg+夕)：sin(a+/?)=sinacos0+cosasin(3

S(a—/3):sin(<z-/?)=sin<zcos/7一cosasin(3

C(a+p)：cosQ+/?)=cosecos/?—sinasin(3

Cg0)：cos(a-j3)=cosocos/?+sinasin4

tana+tan(3

J)：tan(c+")=

1—tanatanf3

tana-tan(3

Ti:tan(o_0=

1+tanatan/3

ab)

7、辅助角公式：asinx+bcosx=y/a2+b2sinxH——fcosx

y/a2+b2y/a2+b2)

=J"+Z?2(sjn%.cos0+cosx・sin0)=+〃”诅1+⑷

8、二倍角公式：(1)S2a：sin2a=2sinacosa

cos26z=cos-(z-sin2a=l-2sin-a-2cos2a-\

小2tane

tan2a=------------

1-tana

sin(zcos«=-sin2«

2

（2）、降次公式：（多用于研究性质）

.21-cos2a1cl

sina=------------=——cos2a+—

222

21+cos2a1cl

cosa=------------=—cos2a+—

222

9、三角函数:

函数定义域值域周期性奇偶性递增区间递减区间

--+2左匹—+Ikji

奇函数L22_冗八，34…

y=sin%xeR[-1,1]T=2»—F2k兀,----F2kyi

_22J

y=cosx

X£R[—1,1]T=2TI偶函数［（2左一1）万,2左万］[2左肛(24+1)乃]

函数定义域值域振幅周期频率相位初图象

相

y=Asin3¥+0)[-InCDX-\~(p

A\CD五点法

xeR1=——J=~=^T~(p

A,A]3T2TI

二、平面向量

1、坐标运算：（1）设a=b=（九2，乃），则a±人=（再±X2,%士乃）

数与向量的积：入a=X（%i，%）=（＞Ui，办;J,数量积：a-b=玉%2+%当

（2）、设A、B两点的I坐标分别为（xi,yi）,（x2,y2）,则AB二（九2-王，丁2—%）•（终点

减起点）

IAB|=Ja—九2产+（兄一为尸；向量〃的模IaI：\a\1=a-a=x2+y2；

（3）、平面向量的I数量积：a-b=a-bcos3,注意：0・a=0,0・a=0,a+(—a)=0

%%+M%

⑷、向量Q=（x,y）,Z?=（%2，%）的夹角区则，cos®=

11收+yj2+1

2、重要结论：(1)、两个向量平行：allboa=■(2G7?),allbx1y2-x2yt=0

(2)、两个非零向量垂直a上boa,b=。,a_Lb。xrx2+yxy2=0

⑶、P分有向线段蔗时:设P(x,y),P“xi,yi),P2(x2,yJ,且9=2而,

则定比分点坐标公式X=七+九々中点坐标公式=%+/

<1+2V2

v_必+V-必+先

L1+212

必修五:

--absmC--acsmB=—bcsinA

一、解三角形：（1）、三角形的面积公式:222

(/)止弦走蟹一二‘^=」一二2尺边用角表示：Q=2RsinA,b=2RsinB,c=2Rsin

sinAsinBsinC

(3)余弦定理：

a2=〃+/-2/?C-COSA

2

b=a?+H-2ac.cosB

c2=a2+b2-2abeosC=(a+Z?)2-2ab(l+cocC)

求角：

.b2+C2-a2a1+c2-b1-a1+b1-c2

cosA=---------------♦♦♦♦cosBD=---------------♦♦♦♦cosC=---------------

2bc