2023-2024学年上海市高考数学模拟试题(二模)含解析

2023-2024学年上海市高考数学模拟试题（二模）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题

每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

L若a:xe（l,2）,尸:xe［0,2］,则口是尸的条件.

【正确答案】充分非必要

【分析】判断集合。,2）和［0,2］之间的关系，即可判断出答案.

【详解】由于（1,2）是［0,2］的真子集，故a是0的充分非必要条件，

故充分非必要

34

2.若2=（sin。—j+Mcos。—彳）是纯虚数，则tan。的值为

3

【正确答案】——

4

3

sinO——二0

【详解】分析：由纯虚数的概念得;结合sin20+cos26=1可得解.

cosO——w0

5

详解：若z=卜也，—|）+cos，—g）是纯虚数,

3

sinO——二0

则《5

4

cosO——w0

5

又由sz/e+codO'i,可得sine=M，cos3=--.

▼…八sin。3

所以tan0—-----二—

cos。4

3

故答案为—.

4

点睛：本题主要考查了纯虚数的概念及同角三角函数的基本关系，属于基础题.

3.已知新函数f（x）的图象经过点（2,4）,则f（x）为函数.（填奇偶性）

【正确答案】偶

【分析】根据幕函数的概念设出/(X)的解析式/(X)=x"然后代点求出a,再用函数奇

偶性定义判断奇偶性.

【详解】因为函数/(x)是基函数，所以可设/(x)=x"，

又f(2)=4,即2=4,解得a=2,

A/(x)=x2,/(-x)=(-x)2=x2=/(x),

.♦.f(x)为偶函数.

故答案为偶.

本题主要考查了幕函数的基本概念，以及利用定义法判定函数的奇偶性，其中解答中熟记幕

函数的基本概念，熟练应用函数奇偶性的定义判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能

力，属于基础题.

4,若双曲线经过点(3,也)，且渐近线方程是y=±gx,则双曲线的方程是.

【正确答案】/-y=l

【分析】

12

利用渐近线方程为〉=±§x,设双曲线的方程是1Y=丸，代入点(3,血)即可求解

1丫2

【详解】根据渐近线方程为〉=±；X,设双曲线的方程是\_=丸，因为双曲线过点

—92

(3,V2),所以2=2—5=1,所以双曲线的方程为/-2=1

故/--=1

5.已知命题：“非空集合M的元素都是集合尸的元素”是假命题，给出下列四个命题：

①〃的元素不都是尸的元素；②/的元素都不是尸的元素；

③M中有P的元素；④存在xeM,使得xgP；

其中真命题的序号是(将正确的序号都填上).

【正确答案】①④

【分析】从命题的否定入手.

【详解】命题：“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，则命题：“非空集合〃的

元素不都是集合尸的元素”是真命题，说明集合M中至少有一个元素不属于集合尸，或者M

中就没有集合尸中的元素，因此②③错误，①④正确.

故答案为①④.

本题考查真假命题的理解，对一个假命题，可从反面入手，即它的否定为真命题入手，理解

起来较方便.

6.一个袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5,从中任取3个，用X表示取出的3个球

中最大编号，则£（X）=.

【正确答案】4.5

【分析】求出X可能取值和概率，再根据£（X）公式进行计算即可.

【详解】从中任取3个球，共有（1,2,3）,（1,2,4）,（1,2,5）,（1,3,4）,（1,3,5）,（1,4,5）,

（2,3,4）,（2,3,5）,（2,4,5）,（3,4,5）10中情况,

所以X可能取值为3,4,5,

p（X=3）=—,P（X=4）=—,P（X=5）=—=-,

,710V710V7105

39

所以E（X）=3x——+4x——+5x

101052

故答案为.4.5

7,函数y=tan（］X—万）的部分图象如图所不，贝!］（。4+05>/8=

【正确答案】6

【详解】试题分析：由图可知4(2,0),5(3,1),A(04+OB\AB=(5,1)-(1,1)=6.

考点：正切型函数的图象与平面向量的数量积运算.

【方法点睛】本题主要考查了正切型函数的图象与平面向量的数量积运算，属于中档题.本

7777

题解答的关键观察图象发现48分别是函数y=tan(—x--)y轴右侧的第一个零点和函

-42

数值为1的点，即可求得43的坐标，进而求得向量(方+砺)，京的坐标，根据平面向量

数量积的坐标运算即可求得答案.

8.如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的3倍，那么圆锥侧面积和球的表面积的比值

为.

3

【正确答案】一

2

【分析】设球的半径为「，则圆锥的高为3r,取圆锥的轴截面ABC,其中A为圆锥的顶

点，设球心为0,作出图形，分析可知4BC为等边三角形，求出48,利用圆锥的侧面

积公式以及球体的表面积公式可求得结果.

【详解】设球的半径为小则圆锥的高为3「，取圆锥的轴截面ABC,其中A为圆锥的顶

点，

设球心为0,如下图所示：

设圆。分别切48、ZC于点£、D,则。为8c的中点，

由题意可得OD=OE=r,AD=3r,则NO=AD—OD=3r—r=2r=2OE,

又因为所以，ZBAD=-,同理可得/。。=工，所以，ZBAC=-,

663

,八AD3r_rr

AB=-----------二一产=2v3r

又因为=故N8C为等边三角形，故.兀百，

sin--2—

32

所以，圆锥的侧面积为兀x48xBD=TIX2#)rx^r=6兀户,

因此，圆锥侧面积和球的表面积的比值为671空T2.=23.

4;ir22

故答案为•已3

2

19

9.已知某产品的一类部件由供应商/和3提供，占比分别为一和一，供应商N提供的该

1010

97

部件的良品率为一，供应商3提供的该部件的良品率为一.若发现某件部件不是良品，

1010

那么这个部件来自供应商2的概率为(用分数作答)

【正确答案】—

28

【分析】利用全概率公式，条件概率公式求解即可.

【详解】设“某件部件不是良品”为事件A,

“这个部件来自供应商2”为事件3,

119328

■：P（A）=-X--1__x—

10101010100

27

3西Too

27

28'

故，27

28

10.已知/(力=5m]5+：卜。＞0),函数y=/(x),xeR的最小正周期为兀，将

＞=/(x)的图像向左平移。0＜。＜]个单位长度，所得图像关于了轴对称，则。的值是

兀1

【正确答案】-##-n

88

【分析】由周期求出。，即可求出/(x)的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后

的解析式，最后根据对称性得到。的值.

【详解】•••/(x)=sin(ox+]}o＞0),函数y=/(x)的最小正周期为7=1=兀，

...G=2,/(x)=sinl2x+—I.

将y=/(x)的图像向左平移。个单位长度，可得y=sin[2x+2°+：J的图像，

JIJI'JIJI

根据所得图像关于了轴对称，可得2°+—=E+—,keZ,解得0=—+—,keZ,

4228

jrjr

又0<0<彳，则令左=0,可得。的值为了.

2o

哼

11.如图，椭圆的中心在原点，长轴/4在x轴上.以A、4为焦点的双曲线交椭圆于C、

1AJ7

D、。、G四点，且|CD|=T，4|.椭圆的一条弦NC交双曲线于£,设——=4,当

2EC

23

——时，双曲线的离心率的取值范围为.

【分析】由题意设/(—c,0)，4(c，0)，则可设。，根据向量的共线求得E

点坐标，代入双曲线的方程二=1,结合离心率化简可得2X+e2；l=e2-1，求出；I的

ab2

表达式，结合条件可列不等式，即可求得答案.

【详解】设/(-c,0)，4(c,0),则设。,C其中c为双曲线的半焦距，〃为

CD到x轴的距离),

A七___»C

,•*~z—=»则.,.力£=/lEC,即（、£+。,%）=%（彳一马，,一左），

AC2

+2

~C2_C（2-2）y=卫,

1+2-2（2+1），J;£-1+2

c(2—2)hA,

即点坐标为

E?

2(2+1)2+1?

22222

设双曲线的方程为=-4=1,将a=£代入方程，得胃一*①,

/匕?e

c(%-2)

将C(|,/z),E代入①式，整理得—一斤—I-（4Z4）2_（2）2叫T，

2(1+1)'1+1?4加-1，4与+1）与+1）加

"22_13

消去4,得24+/%=/—1，所以e;—十二，

b1e2+2e2+2

23233

由于一V2V—.所以一VI—：---<—,故7We~V10,；.s/1<e<J10,

343e2+24

故近We工回

12.将关于x的方程2sin（2x+M）=l«为实常数，0</<1）在区间［0,+。）上的解从小

到大依次记为玉,孙…,天,…，设数列｛%｝的前“项和为北，若@<100兀，贝卜的取值

范围是.

【正确答案】f0,—u—

1626

【分析】先根据三角函数的周期性得出百,马满足的关系，然后再根据西,马的对称性可得结

果.

【详解】由2sin（2x+/7i）=l得sin（2x+/7r）=；,则方程2sin（2x+机）=1的解即为函数

y=sin（2x+tn）图象与直线y=g交点的横坐标，

因为函数〉=sin（2x+机）的周期为T=兀,

所以石,七,天…是以XI为首项，兀为公差的等差数列，

了2，X4，/，…是以电为首项，兀为公差的等差数列，

所以《0=再+工2+工3+%+------FX20=10（再+X2）+9071<10071,所以国+》2〈兀，

..771Z7_xkit71til

令2x+，兀=4兀+—（左£Z）得x=----1--------,

2242

因为xe[0,+oo）,所以2x+机e[机,+oo）,

由函数y=sin（2x+机）图象的对称性知，xi与乙对应的点关于函数〉=sin（2x+机）图象

的某条对称轴对称，

因为0＜1,

IT1TT/IT

所以当0＜沅《不，即时，可知xi与々对应的点关于直线x=a—5对称，此时

满足再+工2«兀成立；

TTSjT1S3兀tn

当^即一＜/«己时，可知xi与％对应的点关于直线"—竺对称，此时由

666642

,15

所以一V/V—；

26

57r5SirtTl

当不〈机＜71,即不＜Z＜1时，可知XI与乙对应的点关于直线对称，此时不满

足再+/W兀；

综上，0＜/«—或一W/W—.

626

j_5-

故答案为.u

256_

思路点睛：涉及同一函数的不同自变量值对应函数值相等问题，可以转化为直线与函数图象

交点横坐标问题，结合函数图象性质求解.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13,14题每题4分，第15,16

题每题5分）

13.设a€R,则“a=l”是“直线lx*ax+2y-l=0与直线12：x+（a+l）y+4=0平行”的

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】A

【详解】试题分析：运用两直线平行的充要条件得出h与L平行时a的值，而后运用充分必

要条件的知识来解决即可.

解：，・,当a=l时,直线h：x+2y-1=0与直线b：x+2y+4=0,

两条直线的斜率都是-二截距不相等，得到两条直线平行，

故前者是后者的充分条件，

•.•当两条直线平行时，得到总二二1

1a+14

解得a=-2,a=l,

•••后者不能推出前者，

前者是后者的充分不必要条件.

故选A.

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系.

14.已知平面夕，直线/,若a_/3,ac/3=1,贝！］

A.垂直于平面耳的平面一定平行于平面a

B.垂直于直线/的直线一定垂直于平面a

C.垂直于平面夕的平面一定平行于直线/

D.垂直于直线/的平面一定与平面戊，万都垂直

【正确答案】D

【详解】选D.由a_L£,aA£=/,知：

垂直于平面£的平面与平面a平行或相交，故A不正确；

垂直于直线/的直线若在平面口内，则一定垂直于平面a,否则不一定，故B不正确；垂直于

平面£的平面与/的关系有/u.,l//p,/与.相交，故C不正确；

由平面垂直的判定定理知：垂直于直线，的平面一定与平面。，£都垂直，故D正确.

15.已知抛物线y2=2px（p>0）上一点M（l,冽）（加>0）到其焦点的距离为5,双曲线

二-V=1的左顶点为4,若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数a的值为（）

a~

1111

A.—B.一C.—D.-

3492

【正确答案】A

【分析】由1+3=5得抛物线方程，M在抛物线上求得M坐标，再根据双曲线一条渐近线

2

与直线AM平行可得答案.

【详解】根据题意，抛物线/=2px(0>0)上一点M(l,加)(加〉0)到其焦点的距离为5,

则点M到抛物线的准线尤=-"的距离也为5,即1+2=5,解得夕=8,

22

所以抛物线的方程为产=16x,则苏=16,所以加=4,即M的坐标为(1,4),

21

又双曲线1一/=1的左顶点一条渐近线为y=—X,

aQ

4411

而——，由双曲线的一条渐近线与直线//平行，则有——二—，解得。二一•

\+a1+aa3

故选：A

16.已知函数歹=/(%)是定义域在R上的奇函数，且当x>0时，

/(x)=(x-2)(x-3)+0.02,则关于y=/(x)在R上零点的说法正确的是()

A.有4个零点，其中只有一个零点在(-3,-2)内

B.有4个零点，其中只有一个零点在(-3,-2)内，两个在(2,3)内

C.有5个零点，都不在(0,2)内

D.有5个零点，其中只有一个零点在(0,2)内，一个在(3,+8)

【正确答案】C

【分析】解法一：先研究x>0时，零点的情况，根据歹=(x-2)(x-3)零点的情况，以及

函数图象的平移，即可得出x>0时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得

出答案；解法二：求解方程/'(x)=0,也可以得出x>0时零点的个数.然后根据奇函数的

对称性以及特性，即可得出答案.

【详解】解法一：根据对称性可以分三种情况研究

(l)x>o的情况,/(X)是把抛物线丁=(X一2)卜一3)与工轴交点为(2,0),(3,0)向上平移了

0.02,则与x轴交点变至(2,3)之间了，所以在(2,3)之间有两个零点；

(2)当x<0时，/(x)=-(x+2)(x+3)-0.02,根据对称性(—3,—2)之间也有两个零点

(3)/(x)是定义在R上的奇函数，故/(0)=0,

所以有五个零点.

解法二：

⑴直接解方程(x—2)(x—3)+0.02=0的两根

也可以得两根为X=5土,都在（2,3）之间；

（2）当x<0时，/（x）=-（x+2）（x+3）-0.02,根据对称性（—3,—2）之间也有两个零点

（3）/（x）是定义在R上的奇函数，故/⑼=0,

所以有五个零点.

故选：C

方法点睛：先求出x>0时，零点的情况.然后根据奇函数的性质，即可得出答案.

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应

位置写出必要的步骤

17.2020年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利.某市积极

探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效

益和经济效益的双丰收，某商家统计了7个月的月广告投入x（单位：万元）与月销量y（单

位：万件）的数据如表所示：

月广告投入X/万元1234567

月销量W万件28323545495260

（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明，并求y关于x的

线性回归方程；

（2）根据（1）的结论，预计月广告投入大于多少万元时，月销量能突破70万件.（本题结

果均按四舍五入精确到小数点后两位）

【正确答案】（1）r=0.99,线性相关程度相当高；y=—x+—.

147

（2）当月公告投入大于9.04万元时，月销售量能突破70万件.

【分析】（1）利用相关系数的公式求得『的值，得出相关性相当高，再求得右和&的值，即

可求得回归直线的方程；

（2）结合（1）中的回归方程，根据题意列出不等式，即可求解.

【小问1详解】

-1

解：由表格中的数据，可得x=,x(l+2+3+4+5+6+7)=4,

-1

y=,x(28+32+35+45+49+52+70)=43,

7_7_7__

E(%-x)2=28,ZJ-»=820,Z(x;-x)(j-j)=150.

Z=1Z=1Z=1

7__

x)(y-y)150

可相关系数为「=i7"】28忘2(T°"'

VZ=1Z=1

所以了与X的线性相关程度相当高，从而用线性回归模型能够很好地拟合了与X的关系,

7__

又由r=---------------=一，可得&=y—gx=43——x4=——，

Vz_、214/147

Z=1

所以V关于X的线性回归方程为夕=至％+里.

147

【小问2详解】

解：要使得月销售量突破70万件，则一x+——>70,解得X〉——«9.04,

14725

所以当月公告投入大于9.04万元时，月销售量能突破70万件.

18.如图，在四棱锥尸—/BCD中，底面48CD是平行四边形，N/CS=90°,24人平

面ABCD,PA=BC=1,4B=6,F是BC的中点.

(2)试在线段PD上确定一点G，使CG//平面尸4F,并求三棱锥A-CDG的体积.

【正确答案】(1)证明见解析；

1

(2)

12

【分析】(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以NZC8=ADAC=90°，所以D4，NC,

因为产/上平面48CD,则PZLZU,又ZCcPZ=Z,故D/工平面上4C.

（2）取尸。的中点为G,构造平行四边形，可证得CG//平面04F.此时，高为R4的一

半，所以体积为G

VaA-_CDG—-—-AACLDU~3,SBZACZtCDZ>,h=—3X—2xlxlx—2=—]2.

【小问1详解】

因为四边形ABCD是平行四边形，二ZACB=ADAC=90°,;.DA1AC;:R4，平面

ABCD,u平面ABCD，

又NCCPZ=Z,.•.£)/，平面"c,

p

设尸。的中点为G,连接ZG,CG,在平面P/。内作于点X,则G////Z£>,

且G//=工2。，由已知可得FCHADUGH，且EC=工2。=GH，连接FH，则四边形

22

FCGH为平行四边形，

GC/IFH,■：FHu平面PAF,CG<Z平面PAF,CG//平面PAF,

G为PD的中点时,CG//平面尸4F,设S为ZQ的中点，连接GS，则GSIIPA,

且GS=工&=工,P/_L平面ABCD,GS1平面ABCD,

22

^A-CDG=^G-ACD=JNCl/GS=§X万X1X1X鼻=方.

19.甲、乙两地相距1004千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时，

已知汽车每小时的运输成本（以1元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度

v（千米/小时）的立方成正比，比例系数为2,固定部分为a元（。>0）.

（1）把全部运输成本了元表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；

（2）为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

【正确答案】⑴y=1004^+2v^（ve（0,120］）

（2）答案见解析

【分析】（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本可变部

分和固定部分组成，可求得全程运输成本以及函数的定义域;

(2)对>=100413+2/)求导，分两种情况讨论单调性，从而可求得最小成本时对应的

速度.

【小问1详解】

由题意得，每小时运输成本为(a+2M),全程行驶时间为幽小时，

所以全部运输成本J=1(a+2/)=1004：+2V2］卜e(0,120］)；

【小问2详解】

由(1)知y=1004(2+2v2),4VA

=1Q04L_1+4VV1004X~,

解得n=j|,

令；/=0,4V3一a=0,

当行<120,即0<a<4xl2()3时，0<v(后,了<0/=1004](+2/]递减;

<v<120，y'>Q,y=1004£+2v2递增,

此时，当v=?了有最小值;

当卷2120，即024x12()3时，0<v<120,y'<0,y=1004]q+2v]递减;

此时，当v=120,V有最小值.

综上，为了使全部运输成本最小，当0<a<4xl2()3时，汽车应以丫=?千米/小时行驶;

当a24x1203时，汽车应以v=120千米/小时行驶.

20.已知48是平面内的两个定点，且［48|=8,动点M到A点的距离是10,线段"8的

垂直平分线/交于点尸，若以48所在直线为x轴，48的中垂线为了轴建立直角坐标系.

(1)试求尸点的轨迹。的方程；

(2)直线加％-'-4加=0(加eR)与点尸所在曲线C交于弦EE,当加变化时，试求

△,AEF的面积的最大值.

22

【正确答案】(1)土+乙=1

259

(2)15

【分析】(1)根据几何关系将距离转化为忸/|+|必|=10,结合椭圆定义即可求解；

(2)先判断直线过定点且斜率不能为0,则三角形的底为定值，即求三角形的高的

最大值，联立直线与椭圆方程，将斜率转化为三角形式，结合三角公式化简，用基本不等式

求解即可.

【小问1详解】

以AB为x轴，48中垂线为V轴，则/(—4,0),8(4,0),

由题意得，|24|+|必|=|24|+\PM\=10>|48|=8,

所以尸点的轨迹是以48为左右焦点，长轴长为10的椭圆,

设椭圆的方程为I+《=l(a>b>0),焦距为2c,

a2b2v)

'2a=10a=5

解得

所以2c=8b=3,

a2=b2+c2c=4

22

所以P点的轨迹C的方程为土+匕=1

259

【小问2详解】

由znx—y—4加=0得歹=加(％-4)过定点B(4,0),显然加h0,

y=加(x-4)

联立W

〔259

9\7?

得+25y2H----y—81=0,A〉0恒成立

m2)m

722

72m8181m

所以弘+%=一寸一PM=_"6二-o'”2

2[+259+25冽’

—+259+25m

mm

加之

所以一对="凹+/2)2-=If72mY4x81

2H--------------y

\[~9+25m)9+25m2

因为加为直线斜率，所以令加=tandtanew0,

90tan2^1+tan2。90tan2。1

所以|必_>2|=

25tan