《建筑力学》课件-6.3 单跨静定梁弯曲时的强度计算

1《建筑力学》

——6.3单跨静定梁弯曲时的强度计算本节内容6.3单跨静定梁弯曲时的强度计算6.3.1梁横截面上的最大正应力和剪应力6.3.2梁的强度条件6.3.3提高梁强度的措施6.3.1梁横截面上的最大正应力和剪应力

梁在弯曲时，横截面上一般既有剪力又有弯矩。显然，只有剪应力才能构成剪力，只有正应力才能构成弯矩。因此，梁在弯曲时，横截面一般将同时存在剪应力和正应力，分别称为弯曲剪应力和弯曲正应力。

1、纯弯曲和横力弯曲的概念

一、

纯弯曲试验与基本假设

梁在弯曲时，若各横截面上既有弯矩又有剪力，我们称之为横力弯曲；若梁上只有弯矩而无剪力时，我们称之为纯弯曲。DCD段属于纯弯曲，AC和DB段属于横力弯曲。5水利土木工程学院工程力学课程组实

验

现

象纯弯曲时梁横截面上的正应力6水利土木工程学院工程力学课程组1、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。2、变形前垂直于纵向线的横向线,变形后仍为直线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线间相对转动了一个角度。实

验

现

象纯弯曲时梁横截面上的正应力2、纯弯曲试验观察梁的变形，可以看到:（1）横向线m-m和n-n在变形后仍保持为直线，只是相对转过了一个微小角度，但仍保持与各纵向线垂直。（2）各纵向线变为圆弧线，且a1-a1缩短，b1-b1伸长。3、纯弯曲假设

根据以上变形现象，可以做出以下假设：（1）平面假设：梁在纯弯曲时，各横截面始终保持为平面，且保持与各纵向线垂直。（2）单向受力假设：设想梁是由无数纵向“纤维”组成，则各纵向“纤维”之间没有相互拉伸或挤压作用，均处于单向拉伸或压缩状态。

由平面假设和单向受力假设可知，梁在纯弯曲时，横截面上各点无剪应变，所以梁在纯弯曲时横截面上无剪应力，而只有正应力。从上图还可以看出，梁的下部纤维伸长，上部纤维缩短。由于变形的连续性，沿梁的高度必有一层纤维既不伸长也不缩短(如果把梁看成一层层纤维叠加而成)，这一纤维层称为中性层，如图所示。中性层与横截面的交线称为中性轴，用Z表示，。显然，它与横截面的纵向对称轴垂直，且可证明它通过横截面的形心。梁在纯弯曲时，各横截面绕中性轴做相对转动。

中性层中性轴截面形心二、

弯曲正应力一般公式

根据单向受力假设，各纵向纤维只受到单向拉伸或压缩作用，且越靠近中性层各纵向纤维变形越小。进一步分析可知，各纵纵向纤维的线应变与其到中性层的距离成正比，也即横截面上各点的线应变与点到中性轴的距离成正比，即其中y为所求应力点到中性轴的距离。ρ为中性层曲率半径。当横截面上的正应力不超过材料的比例极限时，由虎克定律可知：

即纯弯曲梁横截面上任一点的正应力与其到中性轴的距离成正比，其应力分布图如图：rey=rsEy=弯曲正应力分布图:显然，中性轴上各点处的弯曲正应力均为零，距中性轴同一高度上各点的弯曲正应力相等。

进一步分析可知：zEIM=r1所以纯弯曲梁横截面上任一点的正应力公式为:zIMy=s为横截面上的弯矩。ò=AzAyId2为截面对Z轴的惯性矩，其大小和截面的形状和尺寸有关，单位为m或mm。

44为所求应力点到中性轴的距离

横截面上某点正应力该点到中性轴距离该截面弯矩该截面惯性矩显然正应力的最大值对应于该点到中性轴的距离(y)的最大值在离中性轴最远处即梁的上下边缘处弯曲正应力最大，其值为

zIMy=s令则zIMymaxmax=smaxyIWzz=zW称为抗弯截面模量，其大小也和截面的形状和尺寸有关单位为或。3m3mmzWM=maxs

上面两式已为试验所证实。以上公式虽然是在纯弯曲的情况下推出的，但精确分析表明，对于细长的非薄壁截面梁，只要梁的跨度与横截面高度之比（）大于5时，应用上述公式计算横力弯曲时的正应力仍然是相当准确的。

hl/三、惯性矩1．简单截面的惯性矩3121bhIz=261bhW=464DIzp=332DWzp=)()1(6444DdDIz=-=aap)()1(3243DdDWz=-=aap平面弯曲剪应力简介梁在横力弯曲时，横截面上既有弯矩又有剪力。因此，横力弯曲梁横截面上不仅存在弯曲正应力，还存在弯曲剪应力。下面就常见截面梁的弯曲剪应力进行简单介绍。

一、矩形截面梁横截面上的弯曲剪应力FQ如图所示矩形截面，当截面高度h大于宽度b时，对矩形截面上的弯曲剪应力可作如下的假设：1．各点处弯曲剪应力的方向均平行于剪力FQ

。t2．弯曲剪应力沿截面宽度均匀分布，即距中性轴等距离各点处的剪应力相等。t)4(6)(223yhbhFyQ-=t由上式可见：

弯曲剪应力沿截面高度呈抛物线规律分布，最大弯曲剪应力发生在中性轴上各点处（y=0）,其值为:

AFbhFQQ2323max==t

由此可见，矩形截面梁横截面上的最大弯曲剪应力为平均弯曲剪应力的1.5倍。FQ6.3.2平面弯曲强度条件及应用一、弯曲正应力强度条件

前面分析表明,一般情况下，梁的横截面上同时存在弯曲正应力和弯曲剪应力。最大弯曲正应力发生在离中轴最远的各点处；最大弯曲剪应力通常发生在中性轴上各点处。因此，针对上述情况应该分别建立相应的强度条件。

梁的最大弯曲正应力发生在横截面上离中性轴最远的各点处，而这些点处的剪应力或为零或很小，这些点处于单向拉伸或压缩状态，所以梁的弯曲正应力强度条件为

即要求整个梁内的最大弯曲正应力不得超过材料在单向受力时的许用正应力。][)(maxmaxss£=zWM只适用于许用拉应力和许用压应力相等的塑性材料。

对于等截面梁，最大弯曲正应力发生在最大弯矩所在截面，其弯曲正应力强度条件为

][maxmaxss£=zWM只适用于许用拉应力和许用压应力相等的塑性材料。

对于脆性材料的梁，由于许用拉应力［］和许用压应力[]不相等，所以应对梁内的最大拉应力

和梁内的最大压应力

分别进行校核，即

tscstmaxscmins][tmaxt£ss][cmaxc£ss应用弯曲正应力强度条件，可以解决弯曲强度校核，设计截面尺寸和确定许可载荷三类问题例1、

一简支梁，在全梁上受均布载荷的作用，己知梁的跨长为l=500mm,其横截面为矩形,高度h=12mm,宽度

b=8mm，均布载荷的集度q=1kN/m,材料的许用应力

[σ]=170MPa，试按弯曲正应力校核该梁的强度。

解：(1)画弯矩图FAFB

最大弯矩发生在梁的跨中截面C，故截面C为危险截面。mmN3125085001822max.=×==qlM（2）强度计算3221921286161mmbhWz=××==MPa170MPa7.16219231250maxmax£===zWMs所以，梁的强度足够。例2、

一等截面简支梁的受力情况及截面尺寸如图所示，已知截面为矩形，h=2b,FP=12kN,材料的许用应力[σ]=80MPa,试确定截面尺寸。解：(1)画弯矩图

最大弯矩发生在C截面上，故截面C为危险截面。xM(a)(+)FPm.kN76.5max=M

(2)强度计算根据强度条件取取取][maxmaxss£=zWM有3333maxmm107280101076.5][×=××=³sMWz33210723261׳==bbhWzmm7.47³b取，mm48=bmm96=h6.3.3提高梁强度的主要措施

一般情况下，梁的强度是由弯曲正应力控制的。所谓提高梁的弯曲强度是指用尽可能少的材料，使梁能够承受尽可能大的载荷，达到既经济又安全、减轻结构重量等目的。工程中常见的提高梁强度的措施有以下几种。1．选择合理的截面形状使

尽可能大。AWZ即用少的材料获得比较大的抗弯截面模量，从而降低最大弯曲正应力，达到提高弯曲强度的目的。（1）对于一定的WZ值，选择合理的截面形状，使截面积尽可能小。如采用工字型截面要比采用矩形截面更合理。

（2）对于一定的横截面积

A，选择合理的截面形状，使其WZ值尽可能大

。如矩形截面竖放要比横放更合理。

上述措施可以从梁横截面上弯曲正应力分布找到解释。在弹性范围内，弯曲正应力沿截面高度呈线性分布，距中性轴愈远的点正应力愈大，中性轴附近点上的正应力很小。当距中性轴最远点的应力达到许用应力值时，中性轴附近点的应力还远远小于许用应力，这部分材料便没有充分利用。在不破坏整体性的前提下，可以将中性轴附近的材料移至离中性轴较远处，从而形成工程结构中常用的空心截面以及工字型、箱型和槽型截面等的“合理截面”构件。

合理设计梁的截面时，在考虑使材料尽可能离中性轴较远时，还应考虑不同材料的特性。对于许用拉、压应力相等的塑性材料，应采用工字型等Z轴对称的截面，使其截面上的最大拉应力与最大压应力同时达到材料的许用应力，从而使材料得以充分利用；对于许用拉、压应力不等的脆性材料，则应采用T字型等Z轴不对称的截面，并使距中性轴较远的点受压应力，距中性轴较近的点受拉应力，充分发挥抗压性能强的优点。

2．采用变截面梁或等强度梁

梁的强度计算中，主要是以限制危险面上危险点的弯曲正应力不大于许用应力为依据的。除了纯弯梁之外，一般梁上的弯矩沿梁长度方向各不相等。因此，当危险截面上危险点的弯曲正应力达到许用应力时，其他截面上的最大弯曲正应力远未达到这一数值，因此，从节省材料、减轻结构重量的角度看，这样的设计不尽合理。所以，为了节省材料及减轻构件重量，常常在弯矩较大处采用尺寸较大的横截面；在弯矩较小处采用较小横截面，即截面尺寸随弯矩的变化而变化，这就是变截面梁。

还可以将变截面梁设计成等强度梁，等强度梁上每个横截面上的最大弯曲正应力都同时等于材料的许用应力值，显然，等强度梁的材料利用率最高、重量最轻，因而是最合理的。但由于这种梁的截面尺寸沿梁轴线连续变化，加工制造时有一定的难度。故一些实际弯曲构件都设计成近似的等强度梁。增添盖板的钢板梁鱼腹式吊车梁厂房中的屋架大梁工程中的变截面梁

3．改变梁的受力情况和支座位置为提