2023-2024学年深圳市重点中学数学高一下期末质量跟踪监视试题含解析

2023-2024学年深圳市重点中学数学高一下期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若，，且，则与的夹角是（）A． B． C． D．2．甲：（是常数）乙：丙：（、是常数）丁：（、是常数），以上能成为数列是等差数列的充要条件的有几个（）A．1 B．2 C．3 D．43．实数满足,则的取值范围为（）A． B． C． D．4．已知等比数列中，若，且成等差数列，则（）A．2 B．2或32 C．2或-32 D．-15．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度6．直线在轴上的截距为()A． B． C． D．7．圆与圆的位置关系是（）A．外离 B．相交 C．内切 D．外切8．已知实数，满足，，且，，成等比数列，则有（）A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值9．如图所示，在ΔABC，已知∠A:∠B=1:2，角C的平分线CD把三角形面积分为3:2两部分，则cosAA．13 B．12 C．310．设偶函数定义在上，其导数为，当时，，则不等式的解集为（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知向量，则________12．在中，角的对边分别为，若面积，则角__________．13．当实数a变化时，点到直线的距离的最大值为_______.14．函数的定义域为________15．当时，不等式成立，则实数k的取值范围是______________.16．的值为__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）若，求函数的值域.18．正四面体是侧棱与底面边长都相等的正三棱锥，它的对棱互相垂直.有一个如图所示的正四面体，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点.（1）求证：面EFG；（2）求异面直线EG与AC所成角的大小.19．已知数列前项和（），数列等差，且满足，前9项和为153.（1）求数列、的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求及使不等式对一切都成立的最小正整数的值；（3）设，问是否存在，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.20．某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2012201320142015201620172018年份代号1234567人均纯收入2.93.33.64.44.85.25.9（1）已知y与x线性相关，求y关于x的线性回归方程；（2）利用（1）中的线性回归方程，预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入.（附：线性回归方程中，，，其中为样本平均数）21．函数.（1）求函数的图象的对称轴方程；（2）当时，不等式恒成立，求m的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

根据相互垂直的向量数量积为零，求出与的夹角.【详解】由题有，即，故，因为，所以.故选：B.【点睛】本题考查了向量的数量积运算，向量夹角的求解，属于基础题.2、D【解析】

由等差数列的定义和求和公式、通项公式的关系，以及性质，即可得到结论.【详解】数列是等差数列，设公差为，由定义可得（是常数），且（是常数），，令，即（、是常数），等差数列通项，令，即（、是常数），综上可得甲乙丙丁都对.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的关系，考查充分必要条件的定义，考查推理能力，属于基础题.3、A【解析】

画出可行域，平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的取值范围.【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线到可行域边界的位置，由图可知目标函数分别在出取的最小值和最大值，最小值为，最大值为，故的取值范围是，故选A.【点睛】本小题主要考查线性规划求最大值和最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.4、B【解析】

根据等差数列与等比数列的通项公式及性质，列出方程可得q的值，可得的值.【详解】解：设等比数列的公比为q（），成等差数列，，，，解得：，，，故选B.【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的定义及性质，熟悉其性质是解题的关键.5、D【解析】

由图象求得函数解析式的参数，再利用诱导公式将异名函数化为同名函数根据图象间平移方法求解.【详解】由图象可知，又，所以，又因为，所以，所以，又因为，又，所以所以又因为故选D.【点睛】本题考查由图象确定函数的解析式和正弦函数和余弦函数图象之间的平移，关键在于将异名函数化为同名函数，属于中档题.6、A【解析】

取计算得到答案.【详解】直线在轴上的截距：取故答案选A【点睛】本题考查了直线的截距，属于简单题.7、D【解析】

根据圆的方程求得两圆的圆心和半径，根据圆心距和两圆半径的关系可确定位置关系.【详解】由圆的方程可知圆圆心为，半径；圆圆心为，半径圆心距为：两圆的位置关系为：外切本题正确选项：【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的判定，关键是能够通过圆的方程确定两圆的圆心和半径，从而根据圆心距和半径的关系确定位置关系.8、C【解析】试题分析：因为，，成等比数列，所以可得，有最小值，故选C.考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算及基本不等式求最值.9、C【解析】

由两个三角形的面积比，得到边ACCB=32，利用正弦定理【详解】∵角C的平分线CD，∴∠ACD=∠BCD∵S∴设AC=3x,CB=2x，∵∠A:∠B=1:2，设∠A=α,∠B=2α，在ΔABC中，利用正弦定理2xsin解得：cosα=【点睛】本题考查三角形面积公式、正弦定理在平面几何中的综合应用.10、C【解析】构造函数，则，所以当时，，单调递减，又在定义域内为偶函数，所以在区间单调递增，单调递减，又等价于，所以解集为．故选C．点睛：本题考查导数的构造法应用．本题中，由条件构造函数，结合函数性质，可得抽象函数在区间单调递增，单调递减，结合函数草图，即可解得不等式解集．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、2【解析】

由向量的模长公式，计算得到答案.【详解】因为向量，所以，所以答案为.【点睛】本题考查向量的模长公式，属于简单题.12、【解析】

根据面积公式计算出的值，然后利用反三角函数求解出的值.【详解】因为，所以，则，则有：.【点睛】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，难度较易.利用面积公式的时候要选择合适的公式进行化简，可根据所求角进行选择.13、【解析】

由已知直线方程求得直线所过定点，再由两点间的距离公式求解．【详解】由直线，得，联立，解得．直线恒过定点，到直线的最大距离．故答案为：．【点睛】本题考查点到直线距离最值的求法，考查直线的定点问题，是基础题．14、【解析】

根据反余弦函数的定义，可得函数满足，即可求解.【详解】由题意，根据反余弦函数的定义，可得函数满足，解得，即函数的定义域为.故答案为：【点睛】本题主要考查了反余弦函数的定义的应用，其中解答中熟记反余弦函数的定义，列出不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15、k∈（﹣∞，1]【解析】

此题先把常数k分离出来，再构造成再利用导数求函数的最小值，使其最小值大于等于k即可．【详解】由题意知：∵当0≤x≤1时（1）当x＝0时，不等式恒成立k∈R（2）当0＜x≤1时，不等式可化为要使不等式恒成立，则k成立令f（x）x∈（0，1]即f'（x）再令g（x）g'（x）∵当0＜x≤1时，g'（x）＜0∴g（x）为单调递减函数∴g（x）＜g（0）＝0∴f'（x）＜0即函数f（x）为单调递减函数所以f（x）min＝f（1）＝1即k≤1综上所述，由（1）（2）得k≤1故答案为：k∈（﹣∞，1]．【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，属于中档题型．16、【解析】

由反余弦可知，由此可计算出的值.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查正切值的计算，涉及反余弦的应用，求出反余弦值是关键，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】分析：（1）由二倍角公式将表达式化一得到，，令，得到单调区间；（2）时，，根据第一问的表达式得到值域.详解：（1）由令得：所以，函数的单调减区间为（2）当时，所以，函数的值域是：.点睛：本题求最值利用三角函数辅助角公式将函数化为的形式，利用三角函数的图像特点得到函数的值域.18、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）连接EF，FG，GE，通过三角形的中位线可得，进而可得面EFG；（2）由题可得为异面直线EG与AC所成角，根据正四棱锥的特点得到为等腰直角三角形，进而可得结果.【详解】解：（1）连接EF，FG，GE，如图，E，F分别是棱AB，BC的中点，，又面EFG，面EFG，面EFG；（2）由（1），则为异面直线EG与AC所成角，AC与BD是正四面体的对棱，，又，，又，为等腰直角三角形，，即异面直线EG与AC所成角的大小为.【点睛】本题考查线面平行的证明，以及异面直线所成的角，通过直线平行找到异面直线所成角的平面角是关键，本题难度不大.19、（1），；（2），；（3）11.【解析】

（1）由数列的前项和结合求得数列的通项公式，再由，可得为等差数列，由已知求出公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）把数列，的通项公式代入，然后利用裂项相消法求和，可得使不等式对一切都成立的最小正整数的值；（3）分为偶数和奇数分类分析得答案．【详解】解：（1）由．故当时，．时，，而当时，，，又，即，为等差数列，于是．而，故，，因此，，即；（2）．．易知单调递增，由，得，而，故，；（3），①当为奇数时，为偶数．此时，，，．②当为偶数时，为奇数．此时，．，（舍去）．综上，存在唯一正整数，使得成立．【点睛】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，考查数列的函数特性，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．20、（1）；（2）6.8千元．【解析】

（1）由表中数据计算、，求出回归系数，得出关于的线性回归方程；（2）利用线性回归方程计算2020年对应时的值，即可得出结论．【详解】（1）由表中数据，计算，，，，，，关于的线性回归方程为：；（2）利用线性回归方程，计算时，（千元），预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【点睛】本题考查线性回归方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查数据