专题23 图形的相似与位似【十四大题型】（举一反三）（原卷版）

专题23图形的相似与位似【十四大题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用比例的性质求值】 1【题型2黄金分割】 3【题型3由平行线分线段成比例判断式子正误】 4【题型4平行线分线段成比例（A型）】 5【题型5平行线分线段成比例（X型）】 7【题型6平行线分线段成比例与三角形中位线综合】 8【题型7平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线】 9【题型8平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线】 10【题型9相似多边形的性质】 11【题型10画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 13【题型11求位似图形的坐标】 15【题型12求位似图形的线段长度】 16【题型13求位似图形的周长】 17【题型14求位似图形的面积】 18【知识点图形的相似与位似】1.比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a，b，c的第四比例项。如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。2.比例的性质（1）基本性质①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c（2）更比性质（交换比例的内项或外项）（交换内项）（交换外项）（同时交换内项和外项）（3）反比性质（交换比的前项.后项）：（4）合比性质：（5）等比性质：3.黄金分割把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB4.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。5.相似多边形定义1：形状相同的图形叫做相似图形。定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例。【题型1利用比例的性质求值】【例1】（2023·浙江·统考中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填

【答案】2【变式1-1】（2023·四川甘孜·统考中考真题）若xy=2，则x-y【变式1-2】（2023·湖南岳阳·校考一模）已知x2=y3=z5【变式1-3】（2023·浙江·模拟预测）用“▲”，“●”，“◆”分别表示三种物体的重量，若▲●=●-◆▲=◆●A．2:3:4 B．2:4:3 C．3:4:5 D．3:5:4【题型2黄金分割】【例2】（2023·广东云浮·统考一模）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，以点B为圆心任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点O，连接A．5-1 B．3-5 C．5+1【变式2-1】（2023·上海杨浦·统考一模）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么下列等式能成立的是（

）A．ABAP=APC．APBP=5【变式2-2】（2023·四川达州·统考中考真题）如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A,B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离为【变式2-3】（2023·安徽·统考模拟预测）如图，AB为半圆O的直径，点O为圆心，点C是弧上的一点，沿CB为折痕折叠BC交AB于点M，连接CM，若点M为AB的黄金分割点（BM>AM），则sin∠BCM

A．5-12 B．5+12 C．【题型3由平行线分线段成比例判断式子正误】【例3】（2023·青海西宁·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（

A．直线PQ是AC的垂直平分线 B．CD=C．DE=12BC【变式3-1】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，连接DE，点F为BC边上一点，BF=2FC，连接AF交DE于点

A．ANAF=12 B．DNDE=【变式3-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，△ABC中，D是AB边上一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，DF∥BE交AC于点F，则下列结论错误的是（

）.

A．ADBD=AEEC B．AFAE=【变式3-3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，它们相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H，下列结论错误的是（

）A．AEED=BEEH B．EHEB=【题型4平行线分线段成比例（A型）】【例4】（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，

A．165 B．167 C．2 D【变式4-1】（2023·辽宁沈阳·校考一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，DE∥BC，AE=4，

A．1.5 B．2 C．3 D．2【变式4-2】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC=30°，已知窗户的高度AF=2m，窗外水平遮阳篷的宽AD=0.8m，则洒在地面上光线EP的宽度为m（参考数据3=1.732

【变式4-3】（2023·全国·一模）剪纸是中国的传统文化之一．如图1，将长为12cm，宽为5cm的矩形纸片剪成4张小纸片、分别记为“①，②，③，④”．若这四张小纸片恰好能拼成如图2所示的矩形，则在“小纸片①”中，较长直角边=cm．

【题型5平行线分线段成比例（X型）】【例5】（2023·广西贵港·统考一模）如图，F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，已知DE=2BC=4，CD=6，求BP的长（

）A．22 B．3 C．13 D．【变式5-1】（2023·北京·统考中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD.若AO=2，OF=1，FD=2.则BEEC的值为

【变式5-2】（2023·安徽滁州·统考二模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，且DE∥BC．若AE=2,AC=4，【变式5-3】（2023·重庆渝中·统考一模）已知▱ABCD，点E是BA延长线上一点，CE与AD，BD分别相交于点G，F．求证：CF

【题型6平行线分线段成比例与三角形中位线综合】【例6】（2023·安徽滁州·统考二模）如图，G为△ABC的重心，AG=12，则AD=．【变式6-1】（2023·湖南湘潭·模拟预测）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E．若OA=2，△AOE周长为10，则平行四边形A．16 B．32 C．36 D．40【变式6-2】（2023·宁夏银川·校考一模）如图，在▱ABCD中，AB=5，BC=8.E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC=90°.连接AF并延长，交CD于点G.若，则DG的长为（）A．52 B．32 C．3 D【变式6-3】（2023·山东聊城·统考二模）如图，在正方形ABCD中，按如下步骤作图：①连接AC，BD相交于A点O；②分别以点B，C为圆心、大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于点E；③连接OE交BC于点F；④连接AF交BO于点G．若AD=42

A．1 B．2 C．43 D．【题型7平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线】【例7】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）△ABC中，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC上的点，CE=2，CA=5，AD=4，BD=52，则sin∠DOB的值是

【变式7-1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，在△ABC中，D为BC边的中点，点E在线段AD上，BE的延长线交AC边于点F，若AE：ED＝1：3，AF

【变式7-2】（2023·安徽宿州·校考一模）如图，在△ABC中，CG平分∠ACB，过点A作AH⊥CG交BC于点H，且H是BC的中点．若AH=4，CG=6，则AB的长为．

【变式7-3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考三模）如图，在△ABC中，AB=9，∠B=2∠C，AD⊥BC，AE是BC边上中线，则线段DE=．

【题型8平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线】【例8】（2023·浙江·一模）如图，菱形ABCD中，点E是CD的中点，EF垂直AB交AB延长线于点F，若BGCG=13，EF=25

A．35 B．1455 C．5【变式8-1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十九中学校校考一模）在△ABC中，∠ABC=45°，AK⊥BC于点K，点M在AK上，CK=KM，tan∠KAC=34，N为BM的中点，G为AC的中点，若BC=14，则线段【变式8-2】（2023·河南商丘·校考二模）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AC=5，AB=12，将△ABC绕点C逆时针旋转α°0°<α°<90°，得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，射线ED分别交BC，AB于点F，M，当△MFB为等腰三角形时，【变式8-3】（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）如图，点P是△ABC内部一点，且PA=PB=PC，∠ABC=45°，点D在AC上，连接DP并延长交BC于点E，若CD=3AD，∠APD=∠CBP，PE=7则线段PD

【题型9相似多边形的性质】【例9】（2023·上海虹口·统考一模）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（

）A． B． C．D．【变式9-1】（2023·浙江宁波·校联考三模）如图，▱ABCD∽▱EFGH，AB∥EF，记四边形ABFE、四边形BCGF、四边形CDHG、四边形DAEH的面积分别S1，S2，S3，S4，若已知▱ABCD和▱EFGH的面积，则不用测量就可知的区域的面积为（）A．S1﹣S2 B．S1+S3 C．S4﹣S2 D．S3+S4【变式9-2】（2023·河北衡水·统考一模）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；对于两人的观点，下列说法正确的是（

）．A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对【变式9-3】（2023·河北石家庄·统考三模）对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．甲方案：如图1所示，最大值为16；乙方案：如图2所示，最大值为16．下列选项中说法正确的是（

）A．甲方案正确，周长和的最大值错误B．乙方案错误，周长和的最大值正确C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误【题型10画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】【例10】（2023·安徽芜湖·统考一模）如图，△ABC的顶点都在网格点上，点B的坐标(-2，

(1)以点O为位似中心，把△ABC按2:1放大在y轴的左侧，画出放大后的△DEF；(2)点A的对应点D的坐标是；(3)S△ABO:【变式10-1】（2023·广西防城港·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方格的边长都是1个单位长度，已知\△ABC的顶点坐标为A-6

(1)画出△ABC沿着x轴向右平移5个单位长度得到的△A(2)以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，请在位似中心同侧画出缩小后的△(3)直接写出线段C1【变式10-2】（2023·安徽合肥·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为-4,3，-3,-1，0,2．(1)以点O为对称中心，画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1（其中A与A1，B(2)以点D-2,1为位似中心，将△ABC放大2倍得到△A2B2C2（其中A与A2，B与【变式10-3】（2023·广西桂林·统考一模）如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为A-1,2，B-4,3，(1)画出△ABC关于y轴对称的△A(2)以点B为位似中心，在点B的下方画出△A2B2C2，使(3)直接写出点A1，C【题型11求位似图形的坐标】【例11】（2023·山东日照·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B坐标为-2，0，点C坐标为-1，0，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C．若点A的对应点A'的坐标为2,-3，点

A．3,-2 B．-2,32 C．-5【变式11-1】（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A1,2,B2,1,C3,2，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2

A．2,4 B．4,2 C．6,4 D．5,4【变式11-2】（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，△ABO的顶点坐标是A2,6，B3,1，O0,0，以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的13，得到△A

【变式11-3】（2023·江苏盐城·统考二模）如图，以点C(0,1)为位似中心，将△ABC按相似比1:2缩小，得到△DEC，则点A(2,-1)的对应点D的坐标为．

【题型12求位似图形的线段长度】【例12】（2023·广东湛江·岭师附中校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若A-2，0，D3，0，且A．22 B．32 C．42【变式12-1】（2023·河南周口·校联考二模）如图，在Rt△ABO中，∠B=90°，AB=2，BO=23，以点O为位似中心，将△AOB缩小为原图形的12，得到△COD，则OC

A．2 B．3 C．2.5 D．3.5【变式12-2】（2023·江苏南京·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A2,2，