第19章矩形 菱形与正方形测试卷2023-2024学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形测试卷一、单选题1．若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：12．若一个正方形的面积是12，则它的边长是（）A． B．3 C． D．43．已知矩形ABCD，下列结论错误的是（）A．AB＝DC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．∠A+∠C＝180°4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形5．下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线互相垂直C．四边相等的四边形是菱形D．一组对边平行的四边形是平行四边形6．将一张正方形纸片按如图步骤①②，沿虚线对折2次，然后沿图③的虚线剪去一个角，展开铺平后得到图④，若图③中，，则四边形与原正方形纸面积比为（）A． B． C． D．7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，若矩形的对角线长为4，则AD的长是（）A．2 B．4 C．2 D．48．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为5小块，除D、E外，其余3块都是正方形，若阴影E的周长为8，下列说法中正确的是（）①x的值为4；②若阴影D的周长为6，则正方形A的面积为1；③若大长方形的面积为24，则三个正方形周长的和为24.A．①②③ B．①② C．①③ D．②③9．正方形、矩形、菱形都具有的特征是A．对角线互相平分 B．对角线相等C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角10．如图，将矩形纸带ABCD，沿EF折叠后，C，D两点分别落在C′，D′的位置，经测量得∠EFB＝65°，则∠AED′的度数是（）A．65° B．55° C．50° D．25°二、填空题11．若菱形的两条对角线长分别是6㎝和8㎝，则该菱形的面积是㎝2.12．如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A’B’D，此时A’D’与CD交于点E，则DE的长度为．13．在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，则对角线BD的长为cm。14．，，连接，点E在上，，连接，是以为腰的等腰三角形，则的度数为．三、解答题15．如图，在中，，平分，交于点，过点作交于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）若菱形的周长为，，求的大小．16．如下图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知DC＝8cm，AD＝10cm，求EC的长.17．如图，在中，对角线与相交于点O，点E、F分别在和的延长线上，且，连接．求证：四边形是平行四边形．18．如图，已知AB⊥BC，FA⊥AC，BC=3cm，AB=4cm，AF=12cm．求正方形CDEF的面积．四、综合题19．如图1，在正方形中，点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连接BE，过点A作交BC于点F．（1）求证：；（2）如图2，取BE的中点M，过点M作，交AD于点G，交BC于点H．①求证：；②连接CM，若，求GH的长；（3）如图3，取BE的中点M，连接CM，过点C作交AD于点G，连接EG、MG，若，则四边形的面积为．（直接写出结果）20．如图，中，点分别为的中点，连接并延长到点E，使．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当满足什么条件时，矩形是正方形？证明你的结论．21．在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点．（1）当点在边上时，如图①，求证；（2）当点在边的延长线上时，如图②；当点在边反向延长线上时，如图③，请分别写出图②．图③中，，之间的数量关系，不需要证明；（3）若，，则．22．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE。（1）求证：AB=DF；（2）若CE=1，AF=3，求DF的长。23．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于点F，连接BF（1）若AP：BP=1：2，则AE的长为．（2）求证：四边形BFEP为菱形；（3）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P，Q分别在边AB、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，∵菱形的周长为16，∴AB＝4，在Rt△ABH中，sinB＝＝，∴∠B＝30°，∵AB∥CD，∴∠C＝150°，∴∠C：∠B＝5：1.故答案为：B.【分析】如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性质得到AB＝4，利用正弦的定义得到∠B＝30°，则∠C＝150°，从而得到∠C：∠B的比值.2．【答案】A【解析】【解答】解：由题意知：正方形的面积等于边长×边长，设边长为a，故a²=12，∴a=±，又边长大于0∴边长a=.故答案为：A.【分析】根据正方形的面积公式即可求解.3．【答案】C【解析】【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AC＝BD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠A+∠C＝180°，只有AB＝BC时，AC⊥BD，∴A、B、D不符合题意，只有C符合题意，故答案为：C.【分析】由矩形的性质得出AB＝DC，AC＝BD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，则∠A+∠C＝180°，只有AB＝BC时，AC⊥BD，即可得出结果.4．【答案】D【解析】【解答】解：由四边形ABCD是平行四边形，

A、当AB=BC时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A不符合题意；

B、当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B不符合题意；

C、当∠ABC=90°时，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C不符合题意；

D、当AC=BD时，根据对角线相等的平行四边形是矩形，故D符合题意.

故答案为：D.【分析】根据菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法逐项进行判断，即可求解.5．【答案】C【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项说法错误；B、矩形的对角线相等，但不一定互相垂直（正方形除外），故本选项说法错误；C、菱形的四边相等，故本选项说法正确；D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项说法错误；故选：C．【分析】A、直接利用菱形的判定方法得出即可．B、利用矩形的性质作出判断即可．C、根据菱形的定义即可作出判断．D、根据平行四边形的判定定理作出判断．6．【答案】D【解析】【解答】解：根据图示的方法折叠可知四边形为菱形，∵图③中，，故在图④中，可知G为OQ中点，∠OHG=30°，设原正方形的面积为a，则PQ=a，S正方形MNQP=a2，故OQ=∴OG=OQ=，EG=2OG=∵∠OHG=30°∴HG=2OG=，OH==∴HF=2OH=∴S四边形EFGH=EG×HF=a2，∴四边形与原正方形纸面积比为a2：a2=，故答案为：D.【分析】设原正方形的边长为a，根据图3中，，得到图④中的图形中的线段关系，求出四边形的面积，即可求解.7．【答案】C【解析】【解答】解：∵AC=4，∠AOB=60°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OC=OD，∠ADC=90°，

∴∠CAD=30°，

∴，

∴；故答案为：C.

【分析】由矩形的性质得OC=OD，∠ADC=90°，从而根据30°所对的直角边等于斜边的一半求出CD，再由勾股定理求出AD即可。8．【答案】B【解析】【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，则x=a+b，y=b+c，阴影E的长为c，宽为a+b-c，阴影D的长为a，宽为b-a，①∵阴影E的周长为8，∴2(c+a+b-c)=8，∴a+b=4，即x=4，故①正确；②∵阴影D的周长为6，∴2(a+b-a)=6，∴b=3，∵a+b=4，∴a=1，∴正方形A的面积为1，故②正确；③∵大长方形的面积为24，∴xy=24，∵x=4，∴y=6，∴b+c=6，假设三个正方形周长的和为24，则4a+4b+4c=24，∴a+b+c=6，∴a=0，不合题意，故③错误；故答案为：B.【点评】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，则x=a+b，y=b+c，阴影E的长为c，宽为a+b-c，阴影D的长为a，宽为b-a，根据阴影E的周长为8可得a+b=4，据此判断①；根据阴影D的周长为6可得b=3，结合a+b=4可得a的值，据此判断②；由大长方形的面积为24以及x的值可得y的值，据此可得b+c，假设三个正方形周长的和为24，则a+b+c=6，据此判断③.9．【答案】A【解析】【解答】解：A、三者均具有此性质，故符合题意；B、菱形不具有此性质，故不符合题意；C、矩形不具有此性质，故不符合题意；D、矩形不具有此性质，故不符合题意；故答案为：A【分析】正方形的对角线相等、垂直且互相平分；矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角；据此判断即可.10．【答案】C【解析】【解答】解：∵EF是折痕

∴∠DEF=∠DEF

∵矩形ABCD

∴AD∥CB

∴∠DEF=∠EFB=65°=∠DEF

∵∠AED=180°-∠DEF-∠DEF=180°-65°-65°=50°

故答案为：C【分析】根据折叠的性质可得出∠DEF=∠D'EF，再根据矩形的性质可知AD∥CB，再根据平行线的性质，就可求出∠DEF的度数，然后利用平角等于180°，即可求解。11．【答案】24【解析】【解答】解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，根据S=ab=×6×8=24cm2，故答案为：24.【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可计算得出答案.12．【答案】2-【解析】【解答】解：∵△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A’B’D，

∴∠BDC=45°，∠DA’E=90°，

∴A’D=A’E，

∵在正方形ABCD中，AD=1，

∴AB=A’B=1，

∴BD=，

∴A’D=BD-A’B=-1，

∴DE=A’D=2-.

故答案为：2-.

【分析】根据旋转的性质，可得∠BDC=45°，∠DA’E=90°，AB=A’B=1，利用等角对等边可得A’D=A’E，利用正方形的性质可得BD=，从而可得A’D=BD-A’B=-1，由DE=A’D，可求出DE的长.13．【答案】5【解析】【解答】如图所示：

∵四边形ABCD是矩形

∴，

∵AB=3cm，BC=4cm

∴AD=BC=4cm

在Rt△ABD中，BD=

【分析】矩形一条对角线分成两个直角三角形.14．【答案】39°或26°【解析】【解答】解：

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴，BC=DA，∠DAC=∠ABC=180°，

∴∠CAD=78°，

①当AE=BE时，∵AE=AD=EB，

∴CB=AE=BE，

∴∠BAE=∠ABE，∠CEB=∠ECB，

∵∠BEC=∠BAE+∠ABE=2∠EAB，

∴∠BCA=2∠BAC，

∴∠BAC=∠BCA=180°-102°=78°=3∠BAC，

∴∠BAC=26°；

②当EA=BA时，

∵EA=DA，

∴EA=DA=BA，

∴四边形ABCD为菱形，

∴AD为∠DAB角平分线，

∴；

故答案为：39°或26°

【分析】先根据平行四边形的性质得到，BC=DA，∠DAC=∠ABC=180°，再根据等腰三角形的性质结合菱形的判定与性质分类讨论即可求解。15．【答案】（1）证明：四边形为平行四边形，，即，，∴四边形为平行四边形，平分，，，，，，∴四边形是菱形；（2）解：连接交于点；则于点，，，，∵菱形的周长为，，在中，，由勾股定理可得：，．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出，再求出边形为平行四边形，最后利用菱形的判定方法证明求解即可；

（2）根据题意先求出，再求出AB=4，最后利用勾股定理计算求解即可。16．【答案】解：设EC的长为xcm，则DE=（8-x）cm.∵△ADE折叠后的图形是△AFE，∴AD=AF，∠D=∠AFE，DE=EF，∵AD=BC=10cm，∴AF=AD=10cm，又∵AB=DC=8cm，在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，∴82+BF2=102，∴BF=6cm，∴FC=BC-BF=10-6=4cm，在Rt△EFC中，FC2+EC2=EF2，∴42+x2=（8-x）2，即16+x2=64-16x+x2，化简，得16x=48，∴x=3，答：EC的长为3cm.【解析】【分析】设EC的长为xcm，则DE=（8-x）cm，由矩形及折叠的性质可得AD=BC=AF=10cm，∠D=∠AFE=90°，DE=EF，AB=DC=8cm，在Rt△ABF中，利用勾股定理求出BF=6cm，从而求出FC=BC-BF=4cm，在Rt△EFC中，由勾股定理建立关于x方程并解之即可.17．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，即，∴四边形是平行四边形．【解析】【分析】利用平行四边形ABCD即可求出BO=OD，结合已知条件DE=BF即可求出FO=OE，从而证明四边形是平行四边形．18．【答案】解：∵AB⊥BC，FA⊥AC，

∴∠B=∠CAF=90°，

∴，

，

∴正方形CDEF的面积为FC2=132=169cm2.【解析】【分析】利用垂直的定义可证∠B=∠CAF=90°，分别利用勾股定理可求出AC，FC的长，据此可求出正方形CDEF的面积.19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠BAF=∠CBE，在△ABF和△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（ASA）．（2）解：①证明：如图2，过点G作GP⊥BC于P，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠BAD=∠ABC=90°，∴四边形ABPG是矩形，∴PG=AB，∴PG=BC，同（1）得，∠PGH=∠CBE，在△PGH和△CBE中，，∴△PGH≌△CBE（ASA），∴BE=GH；②：由①知，BE=GH，连接CM，∵∠BCE=90°，点M是BE的中点，，∴BE=2CM=6，∴GH=6．（3）16【解析】【解答】解：(3)由（2）可知，BE=2ME=2CM，，∴ME=4，同理可得：△DCG≌△CBE（ASA），∴CG=BE=8，∵BE⊥CG，∴故答案为：16．

【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得出AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，由AF⊥BE，得出∠BAF=∠CBE，即可得出结论；

（2）①由四边形ABCD是正方形，证出四边形ABPG是矩形，得出PG=BC，同（1）得，∠PGH=∠CBE，证出△PGH≌△CBE（ASA），即可得出结论；②由①知，BE=GH，连接CM，由∠BCE=90°，点M是BE的中点，，即可得解；

（3）由（2）可知，BE=2ME=2CM，，得出ME=4，同理可得：△DCG≌△CBE（ASA），得出CG=BE=8，再根据，即可得解。20．【答案】（1）证明：，是的中点，，在和中∵，，四边形是平行四边形是中点，即，四边形是矩形；（2）解：当时，(答案不唯一)理由：是边的中线，由得四边形是矩形矩形是正方形．【解析】【分析】（1）利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出，即可得出答案；

（2）利用等腰直角三角形的性质得出进而利用正方形的判定得出即可。21．【答案】（1）证明：如图①，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，（2）解：图②，图③（3）4或8【解析】【解答】（2）①如图②，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，②如图③，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，．（3），，由（1）可知如图①由（2）可知如图②（舍）如图③综上，或8．故答案为：4或8．

【分析】（1）证明四边形是平行四边形，是等腰三角形即可得出结论；

（2）与（1）的证明方法相同；

（3）根据（1）（2）中的结论直接求解。22．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中∴BC=ADAD∥BC，∠B=∠C=90°∴∠DAF=∠AEB∵DF⊥AE，AE=BC，∴∠AFD=90°=∠B，AE=AD∴△ABE≌△DFA，∴AB=DF（2）解：由(1)可得△ABE≌△DFA，∴AF=BE=3，DF=AB=CD∴∠DFE=∠DCE∴△DFE≌△DCE，∴CE=EF=1，AE=4在Rt△ABE中，AB==【解析】【分析】（1）根据矩