双曲线及其性质（十年高考）-2024高考数学

双曲线及其性质

考点一双曲线的定义及标准方程

1.（2021北京,5,4分）若双曲线捻-g=l的离心率为2,且过点（V2,V3）,则双曲线的方程为（）

A.2%2-y2=lB.x2-y=l

（2.5_?-3产=1D.y-^=1

A=1,

答案B设双曲线的半焦距为c,由题意可知=g=2,解得『二；’则双曲线的方程为「（I.

222

\c=a+bf

第2y2%2y2

2.（2017课标HI理,5,5分）已知双曲线C*一2（a〉。,b〉。）的一条渐近线方程为y=yx,且与椭圆写卜

有公共焦点,则C的方程为（）

答案B本题考查双曲线的方程.

由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为:务保〉。），即I%,；双曲线与椭圆U有公共焦点,

454k5k123

4k+5k=12-3,解得k=l,故双曲线C的方程为＜¥=1.故选B.

45

/V2%2V2

一题多解•.椭圆"+三=1的焦点为（±3,0）,双曲线与椭圆会+$1有公共焦点,./+卜=（±3）X①,1•双曲

hA/5___%2y2

线的一条渐近线为y=?x,.小¥②,联立①②可解得a2=4,b'=5.，双曲线C的方程为:W=1.

zaL45

3.（2017课标I文,5,5分）已知F是双曲线C:x2-^=l的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐

标是（1,3）,则aAPF的面积为（）

1123

3-B.2-3-D.2-

答案D本题考查双曲线的几何性质.

易知F⑵0）,不妨取P点在x轴上方,如图.

•；PF_Lx轴，

.•.P(2,3),|PF|=3,又A(l,3),

,'.|AP|=1,AP±PF,

13

「•S/XAPF二1x3x1=5.故选D.

4.（2015安徽理,4,5分）下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为尸±2x的是（）

2y2%2o

A.x——=1B.——y=1

44

D.y^=l

44

答案c由于焦点在y轴上,故排除A、B.由于渐近线方程为y=±2x,故排除D.故选C.

5.（2014天津理,5,5分）已知双曲线，（a>0,b>0）的一条渐近线平行于直线1:y=2x+10,双曲线的一个

焦点在直线1上,则双曲线的方程为（）

答案A由题意得"2且c=5.故由Wb；得25=a'+4a1则界5,b2=20,从而双曲线方程为《《=1.

a520

6.（2014江西文,9,5分）过双曲线C：^=l的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C

的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,0两点（0为坐标原点），则双曲线C的方程为（）

答案A由双曲线方程^右顶点为（a,0）,不妨设其中一条渐近线方程为y=-x,因此可设点A的坐标为

a

（a,b）.设右焦点为F（c,0）,由已知可知c=4,且|AF|=4,即（c-a）2+b2=16,所以有（c-a）2+b2=c2,得a2-2ac+b2=0,

又知c三£+b；所以得a2-2ac+c2-a2=0,即/]=2,所以b2=c2-a2=42-22=12.故双曲线的方程为（一*=],故选A.

评析本题考查双曲线的标准方程的求法、双曲线的几何性质以及圆的定义,考查学生的运算求解能力和逻

辑推理能力.

22

7.(2016课标I,5,5分)已知方程--广^=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值

mz+n3mz—n

范围是()

A.(-1,3)B.(-1,V3)

C.(0,3)D.(0,V3)

答案A解法一:由题意可知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4出其中c为半焦距,，2c=2x21m|=4,|m|=1,•.方程

22

--7^-二1表示双曲线,「.(n^+n)•(3m2-n)>0,

mz+n3mz—n

.,.-m2<n<3m2,.*.-l<n<3.A.

解法二；•原方程表示双曲线,且焦距为4,

m2+n>0,

.'•13m2—n>0,①

<m2+n+3m2—n=4,

m2+n<0,

或37n2—n<0,②

.-(3m2—n)—(m2+n)=4,

由①得m2=l,n£(-1,3).②无解.故选A.

知识拓展对于方程mx2+ny2=l,若表示椭圆，则以n均为正数且mWn;若表示双曲线,则m-n<0.

8.(2016天津,6,5分)已知双曲线真=1(b〉0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线

的两条渐近线相交于A,B,C,D四点四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()

答案D设人(跖加，不妨令其在第一象限，

.+:=22,

由题意得'b

=斗，

2

2_162_b16_4b2

可侍"°受升’%二了、币W寿，

2

结合2x0,2y0=2b,可得b=12.

所以双曲线的方程为:%.故选D.

9.(2015课标I文,16,5分)已知F是双曲线C:x2-^=l的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6加).当4APF

O

周长最小时,该三角形的面积为.

答案12遍

解析由已知得双曲线的右焦点F(3,0).设双曲线的左焦点为F',则F'(-3,0).由双曲线的定义及已知得

IPF=2a+|PF'|=2+1PF,|.AAPF的周长最小,即|PA|+1PF|最小.|PA|+1PF|=|PA|+2+1PF'|2|AF'|+2=17,即

当A、P、F'三点共线时,ZXAPF的周长最小.

偿+九_1

I_3'一乙

设P点坐标为(xo,yo),y0>0,由〈2得y：+6&yo-96=0,所以y。二2&或y°=-8&(舍去).

所以当AAPF的周长最小时,该三角形的面积S=1X6X6V6-|X6X2V6=12A/6.

10.(2015课标H文,15,5分)已知双曲线过点(4,V3),且渐近线方程为y=±：x则该双曲线的标准方程

为.

答案

解析根据渐近线方程为x±2y=0,可设双曲线方程为x2-4y2=X(A^0).因为双曲线过点(4,百)，所以42-4x

L%2

电)2=N即入=4.故双曲线的标准方程为3-y2=l.

考点二双曲线的几何性质

1.(2021全国甲文,5,5分)点⑶0)到双曲线-『1的一条渐近线的距离为()

A.-B.-C.-D.-

5555

答案A双曲线会q=1的渐近线方程为产奉根据对称性,不妨取产"即3x-4y=0,点(3,0)到直线

3x-4y=0的距离内譬呼=故选A.

V32+(-4)25

易错警示在写渐近线方程时首先要根据双曲线的标准方程判断双曲线焦点位置:双曲线冬-

g=l(a>0,6>0)的焦点在x轴上,渐近线方程为尸丛;双曲线、-g=l(a>0,岳0)的焦点在y轴上,渐近线方

程为产士，

2.(2021全国甲理,5,5分)已知Fi,&是双曲线C的两个焦点，尸为C上一点,且NBPF2=60。,|P八|二3|尸改|,

则。的离心率为()

A.yB号C.V7D.V13

答案A设双曲线C的标准方程为《-\=1(a>0,b>0),由题意知|PBHPE|=2a,|PF4=3|P£|,两式联立

解得|P尸i|=3a,|PB|=a,又|BB|=2c,所以在△PFi及中，由余弦定理得|FF2F=|PFIF+|PF2F-2|PFI||PF2|COSN

F1PF2,即4c2=9屋+/-2X300COS60°,可得士=叱，所以双曲线C的离心率e=-=".故选A.

a2a2

方法总结求圆锥曲线的离心率,一般是利用条件得到C或〃力的关系式,然后利用离心率的定义得出结

论.

3.(多选)(2020新高考/,9,5分)已知曲线。:蛆2+九>2=].()

A.若m>n>0,则。是椭圆，其焦点在y轴上

B.若m=n>0,则C是圆，其半径为迎

C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±

D.若m=0,n>0,则C是两条直线

答案ACDA选项中，若加>心0,则方程如以炉二i可变形为a+±二i,因为心〃>o,所以o<\v所以

mn

此曲线表示椭圆,且焦点在y轴上,所以A正确.

B选项中,若m=n>0,则方程“曲炉勺可变形为x2+?2=l所以此曲线表示圆,半径为徐所以B不正确.

C选项中，若加〃<0,则此曲线应为双曲线,7加+町?=0可化为户-胃,即尸tJ^x,即双曲线的渐近线方程为

y=±J~~x>所以C正确.

D选项中,若m=0,n>0,则方程mx2+ny2=l可化为y2=^(x£R),即y=±亲,表示两条直线,所以D正确.

故选ACD.

4.(2019北京文,5,5分)已知双曲线今-y'=l(a〉0)的离心率是则a=()

A.V6B.4C.2D.1

答案D由题意得e=-=y/5,又a2+b2=c2,=e2-l=4,

aazaL

,,11

,.,b—1,7.a—'.'a.>0,「.a23亍

42

易错警示把双曲线的离心率错认为e=1-4而出错.

5.(2018浙江,2,4分)双曲(-尸=1的焦点坐标是()

A.(-V2,0),(V2,0)B.(-2,0),(2,0)

C.(0,-72),(0,V2)D.(0,-2),(0,2)

答案B,.•齐3,b2=l,:.c=yja2+b2=2.又1•焦点在x轴上，，双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).

易错警示求双曲线焦点坐标的易错点

⑴焦点在X轴上还是y轴上,容易判断错误;

（2）双曲线与椭圆的标准方程中a,b,c的关系式容易混淆.

6.（2015课标I理,5,5分）已知M（x。,y。）是双曲线c'-y'l上的一点,Fb艮是C的两个焦点.若丽丽<0,

则”的取值范围是（

A.（号冷B•（-黑）

。（-竽考）。衿）

，%：+y2=3,

答案A若西•丽=0,则点M在以原点为圆心,半焦距c八行为半径的圆上，则/:解得X'0=1

1万一=1,

___>___>]（-今手）故选人

可知:•时尸2<00点M在圆x2+y2=3的内部今次.=丫。£

7.（2015课标H理,11,5分）已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点加在E上,AABM为等腰三角形,且顶角为

120。,则E的离心率为（）

A.V5B.2C.V3D.V2

答案D设双曲线E的标准方程为1（a>0,b>0），则A（-a,0）,B（a,0）,不妨设点M在第一象限内,则易

得M（2a,«a）,又M点在双曲线E上，于是誓-等解得Ra；.“=

汽2y2

&（2015湖南文,6,5分）若双曲弟-%=1的一条渐近线经过点⑶-4）,则此双曲线的离心率为（）

545

AV_7---

343D.3

答案D双曲皓-9=1的两条渐近线方程为y=±-,则点（3,-4）在直线y=--x上,即-4♦亚，所以4a=3b,

baaa

即所以e=1+故选D.

a3\3

x2v2一

9.（2015重庆文,9,5分）设双曲线3-3=1（a〉0,b〉0）的右焦点是F,左、右顶点分别是AbA”过F作AA的垂

次b

线与双曲线交于B,C两点.若AiB，A£,则该双曲线的渐近线的斜率为（）

1

+V2-++

-2-2-D.-

答案C不妨令B在x轴上方,因为BC过右焦点F（c,0）,且垂直于x轴,所以可求得B,C两点的坐标分别

为fc,--）又Ai,A2的坐标分别为（-a,0）,（a,0）,

所以乖二（c+a,g）,碇=（c_Q，_g），

因为AIB_LA2C,所以方•碇二0,

、,、b2b2

即Hn/（c+a）（c-a）•一=0,

aa

即（?一/^^=0,所以b2-^2=0,

azaz

2

故4=1,即吗,又双曲线的渐近线的斜率为±2故该双曲线的渐近线的斜率为士L故选C.

a£aa

10.（2014课标I理,4,5分）已知F为双曲线Cx—niyKnilmX））的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离

为（）

A.VsB.3C.V3mD.3m

22________

答案A由题意知,双曲线的标准方程为巳-5=1,其中aMm,bM,故c=V^^不妨设F为

3m3

双曲线的右焦点,故F（鬲匚两,0）.其中一条渐近线的方程为y=4=x,即X-诟y=0,由点到直线的距离公式

y/m

可得d=产疝司3故选A.

、1+（一标）2

N

评析本题考查双曲线的方程、性质以及点到直线的距离公式等基础知识，考查考生对知识的灵活运用能力

和运算求解能力.

11.（2014课标I文,4,5分）已知双曲若（=1匕>0）的离心率为2,则2=（）

V6Vs

A.2B.——C.~~~D.1

22

_W次+3

答案D由双曲线方程®b2=3,从而c2=a2+3,又e=2,因此百=^=4,又a>0,所以a=l,故选D.

22Vs

12.（2013课标I理4,5分）已知双曲线Cx:成v-（a〉0,b>0）的离心率为色,则C的渐近线方程为（）

11

A.y=±-xB.y=±-x

43

1

C.y=±-xD.y=±x

答案C'.--=V?^1=F-1=1，.-.C的渐近线方程为y=±1x.故选C.

a\422

13.（2011课标全国理,7,5分）设直线1过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,1与C交于A,B

两点，IAB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）

A.V2B.V3C.2D.3

222b2

答案B不妨设双曲线C为%二l（a>0,b〉0）,并设l过F2（c,0）且垂直于x轴,则易求得|AB|二千，

—2x2a,,b2—2a,2,心e——=J1+与=«,故选B.

aa\

22

14.（2016课标n,11,5分）已知FbF2是双曲线E:今-多二1的左,右焦点，点M在E上,MF1与X轴垂直,sinZ

/b乙

1

MF2FF-,则E的离心率为（）

A.V2B.|C.V3D.2

（b\1

答案A解法一:不妨设M在第二象限，由MF」x轴，可得«一,丁卜.匹|二b.由sin/MF®w，可得cos

NMFB=J1-G）弩，又tanNMF「=船嗡,.•玄会.小法,•••cMb&bA—，

c2-a2--—ac-0=^>e2—―e_l=0,「.e=故选A.

/b2\b2

解法二:不妨设M在第二象限，由MF-x轴，得M-c,一,「」MFj二一,由双曲线的定义可得

\aJa

,2

21b

22二VI故选A.

|MF21=2a+1MFi|=2a+—,又sinNMFzF』，：^—=?=>a=b=>a=b,.\e=

aIM&I3

La-\—

a

15.（2016浙江7,5分）已知椭圆C.:蕨+广1（m>l）与双曲线&:R=1（n〉。）的焦点重合,el;6分别为C„C2

的离心率，则（）

A.m>n且eie2>lB.m>n且eeVl

C.m<n且eie2>lD.m<n且eie2<1

答案A在椭圆中,aec尸VKT,e广与士在双曲线中,af衍I*，.因为eg,所

以nW-2,从而M.玲吟粤理绘能,令t初T,则t〉l,吊•谥=为>1,即e,e2>l,结合图形易

知m>n,故选A.

思路分析根据焦点重合可得卡与南之间的关系,进而建立城城关于m的解析式,然后判定范围即可.

16.（2022北京，12,5分）已知双曲线声5=1的渐近线方程为产士争,贝ijm=.

答案-3

角军析由题意知双曲线的焦点在y轴上,且m<0,所以渐近线方程为J-嬴匹所以W所以心3.

17.（2022浙江,16,4分）已知双曲线，-，=1（。>0,b>0）的左焦点为F,过尸且斜率为萤的直线交双曲线于点

A（xi,yi）,交双曲线的渐近线于点8（x"2）且》<0。2.若|FB|=3|EA|,则双曲线的离心率是.

答案学

解析如图所示，

由题意得双曲线左焦点为尸（-C,0）,点B所在的渐近线方程为产，过尸且斜率为方的直线方程为y*（x+c）,

联立信…得右）,

由同=3|尸川,可得从-|喏），又A在双曲线上,所以符g-总=1,化简得盘=手则右手

18.（2021全国乙文，14,5分）双曲线?-9=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为.

答案V5

解析用51倚右焦点的二L标为（3,°）,则由点至“直浅的隹巨曷A式倚所求距曷dVF+22—

易错警示不能正确地写出右焦点坐标以及记错点到直线的距离公式导致出错.

19.（2021全国乙理，13,5分）已知双曲线C:~y2=l（m>0）的一条渐近线为gx+my=0,则C的焦距

为.

答案4

解析由双曲线C:^-y2=l（m>0）,

得渐近线方程为广噜，

结合题设得噂=一誓,."=3,.♦.双曲线C的方程为J#1,

...C的焦距为2VI41=4.

20.（2022全国甲文，15,5分）记双曲线C:^-，=1（。>0,万>0）的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C

无公共点”的e的一个值

答案2（答案不唯一，在（1,述］范围内取值均可）

解析欲使直线y=2x与双曲线C无公共点,则0拿2,所以e=”底产=J1+针©（1,V5］.

所以当（1,V5］时,直线y=2x与双曲线C无公共点.答案不唯一,可取e=2.

21.（2018上海,2,4分）双曲盘-广1的渐近线方程为

答案y=±gx

解析本题主要考查双曲线的渐近线方程.

解法一：由双曲线工"2二1知a2=4,b2=l,

.•.a=2,b=l,.•该双曲线的渐近线方程为y=±1x.

22

解法二:令双曲线［-y=1中的"1"为"0",即可得到双曲线的渐近线方程，即J-yM）,.•.该双曲线的渐近线

1

方程为y=±-x.

22.（2018江苏,8,5分）在平面直角坐标系xOy中,若双曲线（a〉0,b〉0）的右焦点F（c,0）到一条渐近

线的距离为苧c,则其离心率的值是.

答案2

解析本题考查双曲线的性质.

双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,则F（c,0）到这条渐近线的距离为.­.b^c,.'.b^c2,

M+（-a）2224

又b2=c2-a2,.*.c2=4a2,.,.e=-=2.

a

23.（2017课标I理,15,5分）已知双曲线C:^-^=l（a>0,b>0）的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,

圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点若NMAN=60°,则C的离心率为.

比-2V3

答空---

口木3

解析本题考查双曲线的几何性质和圆的性质.

b

不妨设点M、N在渐近线y二-x上,如图,AAMN为等边三角形,且IAM|二b,

a

则A点到渐近线弓的距离为冷，又将小变形为一般形式为bx”。,则A（a,0）到渐近线b-y=。的

所以双曲线离心率e=J*.

a3

22n

24.（2017课标DI文,14,5分）双曲线今--1（a>0）的一条渐近线方程为y=-x,则a=.

aL95--------

答案5

33

解析由题意可得一-,所以a=5.

a5

25.（2017北京理,9,5分）若双曲线x2-^=l的离心率为则实数m=

m-----------

答案2

解析本题考查双曲线的性质.

由题意知,a2=l,b2=m.

c/b2Im/—

".'e=-=J1+-^2=/1+—=\3,:.m=2.

26.（2016山东理,13,5分）已知双曲线E：，（=l（a>0,b>0）.若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点

为E的两个焦点,且21ABi=3|BC|,则E的离心率是.

答案2

2b24b2

解析由已知得IABRCD|=—|BCgAD|=|F,F1=2c.因为21ABi=31BC],所以——=6c,又b2=c2-a2,所以

a2a

1

2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=-]（舍去）.

评析本题考查了双曲线的基本性质,利用2|AB|=3|BC|和b2=c2-a,构造关于离心率e的方程是求解的关键.

27.（2016北京理,13,5分）双曲线■丁方1（a>0,b>0）的渐近线为正方形OABC的边0A,0C所在的直线，点B为

该双曲线的焦点.若正方形0ABC的边长为2,则a=.

答案2

解析由0A、0C所在直线为渐近线,且0A10C,知两条渐近线的夹角为90°,从而双曲线为等轴双曲线,则其

方程为x2-y2=a2.0B是正方形的对角线,且点B是双曲线的焦点,则c=2近,根据cVa?可得a=2.

评析本题考查等轴双曲线及其性质.

2

28.（2015北京理,1。,5分）已知双曲线x群-y』（a〉。）的一条渐近线为Wx+y=0,则a=

答案?

1（a〉0）知其渐近线方程为y=±4,又因为a>0,所以工=孤,解得_V3

解析由双曲

aaa~~3'

29.（2014浙江理,16,4分）设直线x-3y+m=0（mWO）与双曲线，-5=1（a>0,b>0）的两条渐近线分别交于点A,B.

若点P（m,0）满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是

答案苧

%—3y+m=0,

解析由b得A

ly=-x

ia

%—3y+m=0,

G■，磊）,则线段AB的中点为Wa2m3匕2m

由b得Bl由题意得PMJ_AB,

,9£>2—a2'9b2—a2/

.y=--ax

kpM--3,得a2=4b2=4c2-4a2,故e2=—,

考点三直线与双曲线的位置关系

1.（2022新高考/,21,12分）已知点A（2,1）在双曲线C:g-言=1（心1）上，直线1交C于尸,Q两点,直线

AP,AQ的斜率之和为0.

（1）求/的斜率;

⑵若tanZPAQ=2y/2,求APAQ的面积.

角牛析⑴，・,点A在双曲线上，.•.W—3

azaz—1

解得£2.・•.C的方程为①

设直线l:y=kx+m.®

联立①②,消去y得(1-2左2)x2-4kmx-2(m2+l)=0.

设尸(沏，yi),Q(X2,yi),

mi4km2m2+2

则Xl+X2=_,XlX2:

12fc2l-2k2

由kpA+kQA=O,得力:+'2；=0,

化简得2区iX2+(m-2k-l)(XI+X2)-4(m-1)=0,

即2k-[-+(m-2Z:-1)-^7-4(/n-1)=0,

化简得(24+加-1)(化+1)=0,

/.2k+m-l=0或女+1=0.

若2k+m-l=0,贝(Jl:y=k(x-i)+l,

这时直线/过点A,不合题意，

・\女+1=0,・••仁-1.

(2)由(1)知k=-l,从而l:y=-x+m,

设直线PA的倾斜角为火直线QA的倾斜角为夕,

贝UN尸AQ=。/,

**•|tan（a/）|=2A/2,即|蠹）|=2企，

\1+KPAKQA\

由题意知kQA=-kpA,解得脸4=2或脸!=

..•双曲线C的渐近线斜率为士当，

/.kpA=2,由对称性可取kpA=-V2,则kQA=y/2,

*•直线PA的方程为y=-V2（九-2）+1,

同理,及=智义

：.\PA\=y/l+klA\xl_2|=4病『

|QA|=J1+%|久2-2|=4/广),

由tanNPAQ=2鱼得sinZPAQ=^,

1

・•・S^PAQ=^PA\\QA\sinZPAQ

_14屈遮+1)4圾VI-l)2y[2_16遮

~2333-9,

2.（2022新高考II,21,12分）已知双曲线C:《-\=1（。＞0,於0）的右焦点为尸（2,0）,渐近线方程为y=±V3.r.

⑴求C的方程;

⑵过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点，点P(xi,yi),gte,yi)在C上,且xi>x2>0,”>0.过P且

斜率为-旧的直线与过。且斜率为B的直线交于点M从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成

立.

①M在AB上;©PQ//AB;③

注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.

(c=2,

解析⑴由题意知匕=声，解得